Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua việc trình bày một số phương pháp giải hệ phương trình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HẬU LỘC I SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TỐN CHO HỌC SINH THƠNG QUA VIỆC TRÌNH BÀY MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Người thực : Trần Thị Hiếu Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2012-2013 A MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Giải tập tốn học có vai trị quan trọng mơn tốn, học sinh phải thực hoạt động định bao gồm nhận dạng thể định nghĩa, định lý, quy tắc, phương pháp, hoạt động tốn học phức hợp, hoạt động trí tuệ phổ biến tốn học, hoạt động trí tuệ chung hoạt động ngôn ngữ Việc giải tốn q trình mị mẫm, tìm tịi dựa hiểu biết người giải tốn Có người phải mò mẫm lâu, thử hết cách đến cách khác, có người lại tìm cách giải nhanh Vậy đâu bí cho kỹ giải tốn nhanh gọn xác? Cách rèn luyện chúng nào? Những đường mà người giải tốn trải qua để đến lời giải thoả đáng gì? Trong giai đoạn nay, việc đổi phương pháp dạy học chủ yếu theo hướng hoạt động hoá người học với phương châm "Học tập hoạt động hoạt động" Rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh yêu cầu việc đổi phương pháp dạy học Trong chương trình mơn tốn,hệ phương trình đưa vào từ cấp xuyên suốt chương trình mơn tốn trường phổ thơng Nó có vai trị quan trọng làm sở để nghiên cứu kiến thức tốn học có liên quan Trong chương trình tốn THPT,hệ phương trình thể hình thức chủ yếu: Các hệ phương trình thơng thường, hệ phương trình vơ tỷ chứa hàm lượng giác, hệ phương trình chứa hàm lơgarit Việc giải thành thạo hệ phương trình thể khả lựa chọn công cụ, linh hoạt sáng tạo suy luận phân tích toán Mặt khác, thực trạng kỹ giải tốn học sinh cịn yếu, em học cách thụ động, lười suy nghĩ, bắt chước nhiều sáng tạo, tư logic em chưa rèn dũa, chưa biết tìm tịi, khai thác giả thiết, xâu chuỗi kiến thức để đến tìm hướng giải tốn, Từ lý nói trên, với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn, tơi chọn đề tài nghiên cứu là: "Rèn luyện kỹ giải tốn cho học sinh thơng qua việc trình bày số phương pháp giải hệ phương trình" II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Xác định nội dung phương pháp rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh sở trình bày phương pháp giải hệ phương trình, nhằm góp phần nâng cao hiệu việc dạy học mơn tốn - Làm rõ khâu tìm lời giải giải toán nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh - Xây dựng phương pháp giải hệ phương trình theo hướng rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh - Xây dựng ví dụ tập vận dụng nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh III PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu lý luận dạy học, phương pháp dạy học để hiểu rõ tầm quan trọng việc giải tập toán Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo hệ phương trình, để thấy vị trí tầm quan trọng hệ phương trình, vấn đề nội dung phương pháp giảng dạy hệ phương trình Điều tra quan sát: + Thực tiễn dạy học giải hệ phương trình trường THPT + Những khó khăn sai lầm học sinh giải hệ phương trình B NỘI DUNG Theo tâm lý học kỹ khả vận dụng kiến thức (Khái niệm, cách thức, phương pháp,…) để giải nhiệm vụ Thực chất hình thành kỹ hình thành cho học sinh nắm vững hệ thống phức tạp thao tác nhằm làm biến đổi sáng tỏ thông tin chứa đựng tập, nhiệm vụ đối chiếu chúng với hành động cụ thể Muốn vậy, hình thành kỹ (chủ yếu kỹ học tập) cho học sinh cần: - Giúp học sinh biết cách tìm tịi để tìm yếu tố cho, yếu tố phải tìm mối quan hệ chúng - Giúp học sinh hình thành mơ hình khái qt để giải tập, đối tượng loại - Xác lập mối liên quan tập mơ hình khái qt kiến thức tương ứng Chúng ta khơng thể có thuật giải tổng quát để giải toán Ngay lớp toán riêng biệt có trường hợp có, có trường hợp khơng có thuật giải Tuy nhiên, trang bị hướng dẫn chung, gợi ý cách suy nghĩ tìm tịi, phát cách giải tốn lại cần thiết Sau ta nêu phương pháp chung để tìm lời giải tốn: Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài, phân tích nghiên cứu đề Đây yêu cầu quan trọng định việc tìm lời giải tốn Bước 2: Tìm cách giải Tìm tịi, phát cách giải nhờ suy nghĩ có tính chất tìm đốn: Dựa vào việc phân tích giả thiết, điều kiện toán hay liên hệ giả thiết Bước 3: Trình bày cách giải Từ cách giải phát hiện, xếp việc phải làm thành chương trình gồm bước theo trình tự định thực bước Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải Nghiên cứu khả ứng dụng kết lời giải, nghiên cứu giải toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề, từ sáng tạo tốn Sau tác giả xin giới thiệu số phương pháp giải Hệ phương trình I.PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 1.Kỹ thuật biến đổi tương đương Nội dung: Biến đổi tương đương hệ cho, biến đổi rút phương trình hệ phương trình tích Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: Giải: Biến đổi phương trình (2) ta có: xy = x2 + y2 2=0 • Với xy = thay vào (1) ta được: x=y ( xy = nên y ) x = y = x = y = -1 • Với x2 + y2 = x2 + y2 = 2, thay vào (1) ta được: x = 2y x = y thay vào hệ phương trình ta nghiệm (x;y) hệ là: (1;1), (-1;-1), , 2.Kỹ thuật cộng đại số Nội dung: + Đôi việc giải hệ phương trình, đơn giản cộng trừ theo vế hai phương trình + Hoặc nhân vào hai vế phương trình với biểu thức cộng vào phương trình cịn lại + Các cách đưa phương trình tích đẳng thức, từ tìm mối liên hệ x y + Các hệ mà phương trình hệ có dạng tương đương trừ vế hệ, cộng vế hệ nhân tử chung( áp dụng cho hệ đối xứng loại 2) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: Giải: Từ phương trình hệ suy hệ có nghiệm x, y Trừ vế cho vế (1) (2) ta được: • Nếu , ta hệ: • Nếu , Từ x ta có hệ: suy để hệ có nghiệm phương trình thứ phải có nghiệm Do nghiệm hệ Vậy hệ có nghiệm (x;y) là: (0;0), (1;1) Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: Giải: Trừ vế cho vế (1) (2) ta được: - Với thay vào (2) ta được: phương trình vô nghiệm - Với y= thay vào (2) ta được: Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x;y) là: , Nhận xét: Ở ví dụ 3, giải thông thường cách rút y từ phương trình (2) vào phương trình (1) ta thu phương trình bậc khơng đặc biệt, giải khó khăn Vì việc đưa phương tích hợp lý khẳng định tính hiệu phương pháp hệ có dạng tương tự 3.Kỹ thuật nhân, chia vế với biểu thức nhân, chia vế phương trình với Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: Giải: Nhận xét: x = y = nghiệm hệ phương trình Với x y Ta xét x > y cho x y = không thỏa mãn hệ phương trình : Chia vế (1) cho chia vế (2) ta được: Nhân theo vế phương trình (3), (4) ta được: thay vào (4) ta => Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) là: (0;0), ( ; ) 4.Kỹ thuật Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: Giải: Nhận thấy , khơng nghiệm hệ, xét rút từ (1) vào (2), ta được: Vậy hệ có nghiệm (x;y) là: (0; ), ( ; 0) Ví dụ 6: Giải hệ phương trình: Giải: Thay từ phương trình (1) vào phương trình (2), ta được: • Với hệ trở thành Hệ vơ nghiệm • Với hệ trở thành Vậy hệ cho có nghiệm (x;y) = ( -2;-1) II.PHƯƠNG PH ÁP ĐẶT ẨN PHỤ Áp dụng cho hệ có số hạng chung xuất phương trình hệ 1.Kỹ thuật giải hệ đối xứng loại Hệ có chứa biểu thức: xy, x+y Ví dụ 7: Giải hệ phương trình: Giải: Đặt S = ,P= Khi hệ trở thành: Vậy hệ có nghiệm (x;y) là: (2;0), (0;2) Ví dụ 8: Giải hệ phương trình: Giải: Đặt , Khi hệ trở thành: 10 Đặt S = ,P= , hệ trở thành: Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) là: (64;8), (8; 64) Kỹ thuật giải hệ đẳng cấp bậc hai Nội dung: Xét xem hệ phương trình có nghiệm Xét hay khơng đặt Ví dụ 9: Giải hệ phương trình: Giải: Nhận thấy nghiệm hệ Xét hệ trở thành , đặt Từ suy • Với => • Với => 11 Vậy hệ có nghiệm (x;y) là: (0;0), , Kỹ thuật biến đổi đặt ẩn phụ Thường đề thi đại học cho hệ giải phương pháp đặt ẩn phụ ta thấy nên đặt Vì phải biến đổi nhân chia với biểu thức biến đó( chẳng hạn x, y, x 2, x3, xy, ) sau đặt ẩn phụ Ví dụ 10: Giải hệ phương trình: Giải: Nhận xét: nghiệm phương trình Với Xét khơng thỏa mãn hệ phương trình : Chia vế (1) cho x chia vế (2) cho ta được: Đặt ; Ta có hệ phương trình: • Với 12 • Với • Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) là: (0;0), (1;1) Ví dụ 11: Giải hệ phương trình: Giải: Điều kiện: Với điều kiện trên, hệ phương trình tương đương với: Đặt Khi ta có hệ phương trình: • Với • Với 13 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) là: (2;1), ( ; ) III.PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 1.Kỹ thuật dùng tính đơn điệu hàm số Nội dung: Biến đổi phương trình hệ thành Nếu chứng minh hàm số đơn điệu tăng đơn điệu giảm miền xác định hệ phương trình tương đương với lúc ta ngược lại hệ cho Ví dụ 12: Giải hệ phương trình: Giải: Điều kiện: Đặt , phương trình (1) trở thành: Xét hàm số miền xác định, ta có đơn điệu miền xác định Do nên Thay vào phương trình (2) ta suy Vậy hệ cho có nghiệm , Ví dụ 13: Giải hệ phương trình: Giải: Điều kiện: Phương trình (2) tương đương với: (3) 14 Xét hàm số Do hàm số miền xác định có đồng biến Từ (3) suy hay thay vào phương trình (1) ta phương trình: ( với *Xét ) ta có: Do *Xét với ta có: Do với • Với • Với Vậy hệ có nghiệm Kỹ thuật sử dụng điều kiện có nghiệm hệ phương trình Ví dụ 14: Giải hệ phương trình: 15 Giải: Coi (2) phương trình bậc với ẩn x điều kiện để phương trình có nghiệm Cũng coi (2) phương trình bậc hai với ẩn y điều kiện để phương trình có nghiệm Nhận thấy , khơng nghiệm hệ Ta chia vế (1) cho xy => Ta có: => ( Với ) đồng biến => Vậy Thay vào (2) thấy thỏa mãn Vậy hệ có nghiệm (x;y) = ( 2; 1) Ví dụ 15: Giải hệ phương trình: Giải: Từ phương trình thứ hai hệ, ta có: => Khi từ phương trình thứ ta suy Vậy Trừ theo vế hai phương trình hệ ta được: (*) Xét phương trình (*): i).Với => 16 => , từ suy ii).Với => iii).Với => , hệ vô nghiệm => , từ suy => , hệ vơ nghiệm Vậy hệ có nghiệm (x;y) = ( 1; 1) Kỹ thuật sử dụng BĐT cổ điển Nội dung: Thông thường ta hay sử dụng BĐT thông dụng BĐT Cauchy, Bunhiacopski để đánh giá hai vế PT Từ sử dụng điều kiện xảy dấu BĐT thức để tìm nghiệm PT Ví dụ 16: Giải hệ phương trình: Giải: Điều kiện: Với điều kiện hệ tương đương với: Từ suy Ta có: 17 Từ suy ra: 16 Thử lại thấy thỏa mãn phương trình Vậy hệ có nghiệm (x;y) = IV.KIỂM CHỨNG SƯ PHẠM Mục đích kiểm chứng sư phạm -Vận dụng phương pháp tìm lời giải toán nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh thông qua hệ thống phương pháp giải hệ phương trình -Kiểm nghiệm tính hiệu việc sử dụng ví dụ phương pháp giải hệ phương trình nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh Nội dung kiểm chứng sư phạm Kiểm chứng sư phạm tiến hành khoảng thời gian giảng dạy mơn tốn lớp 12 trường THPT Hậu Lộc năm học 2012-2013 Tổ chức kiểm chứng sư phạm * Tác giả chọn đối tượng kiểm chứng lớp 12A1 với 44 học sinh lớp đối chứng 12A4 với 39 học sinh Qua điều tra thấy trình độ lớp tương đương * Tác giả dựa vào khâu "Rèn luyện kỹ giải tốn cho học sinh thơng qua hệ thống phương pháp giải hệ phương trình", soạn giáo án kiểm chứng trực tiếp dạy kiểm chứng sư phạm * Cho học sinh lớp dạy kiểm chứng sư phạm lớp đối chứng làm kiểm tra đề Chấm kiểm tra, thống kê điểm làm sở để đánh giá Đánh giá kết kiểm chứng sư phạm 4.1 Kết định tính 18 Qua kiểm chứng cho thấy học sinh tiếp thu tốt phương pháp giải hệ phương trình mà giáo viên trình bày Trong tiết học khơng khí học tập sôi hào hứng 4.2 Kết định lượng Sau thời gian thực dạy kiểm chứng, cho hai lớp làm kiểm tra sau với thời gian tiết: Câu 1: Giải hệ phương trình: Câu 2: Giải hệ phương trình: Câu 3: Giải hệ phương trình: Nhận xét cách làm học sinh: + Lớp đối chứng có 25 học sinh mắc sai lầm sử dụng phép biến đổi tương đương để biến đổi phương trình thứ hệ thành phương trình tích câu Lớp kiểm chứng có học sinh mắc sai lầm + Câu 2, phần lớn học sinh hai lớp làm +Lớp đối chứng có học sinh làm câu 3, lớp kiểm chứng có 10 học sinh làm câu Bảng thống kê tỷ lệ % (yếu- kém, trung bình, khá- giỏi) thu sau chấm kiểm tra Bảng 1: Thống kê điểm kiểm tra Điểm 10 số Lớp kiểm chứng 12A1 2 11 10 44 Lớp đối chứng 12A4 11 39 * Điểm trung bình kiểm tra lớp kiểm chứng: X = 6,73 * Điểm trung bình kiểm tra lớp đối chứng: Y = 5,59 Bảng 2: Thống kê tỷ lệ % (yếu - kém, trung bình, - giỏi) 19 Xếp loại(điểm ) Lớp kiểm chứng 12A1 Lớp đối chứng 12A4 Yếu - 9,1% (4 ) 25,6 %(10 ) Trung bình 31,8 %(14 bài) 46,2%(18 ) Khá -giỏi 59,1%(26 ) 28,2 %(11 ) Qua cho thấy chất lượng làm kiểm tra lớp kiểm chứng cao so với lớp đối chứng Điều chứng tỏ rèn luyện kỹ giải tập toán cho học sinh bước quan trọng cần thiết 20 C KẾT LUẬN Nội dung Đề tài "Rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh thơng qua việc trình bày số phương pháp giải hệ phương trình " Qua trình nghiên cứu, từ kết thu tơi kết luận Đề tài góp phần làm sáng tỏ nội dung: "Rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh dạy học giải tập toán" Đề tài xây dựng hệ thống phương pháp giải hệ phương trình lớp ví dụ minh hoạ cho phương pháp theo hướng rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh Những nghiên cứu lý luận thực tiễn chứng tỏ giả thuyết khoa học Đề tài chấp nhận Xác nhận thủ trưởng đơn vị Thanh Hoá, tháng năm 2013 Tôi xin cam đoan SKKN viết khơng chép nội dung người khác Người viết Trần Thị Hiếu 21 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thái Hoè, Dùng ẩn phụ để giải toán, NXBGD, 2004 [2] Nguyễn Thái Hoè, Rèn luyện tư qua việc giải tập toán, NXBGD, 1995 [3] Phạm Văn Điều (Chủ biên), Phan Đức Chính, Đỗ Văn Hà, Phan Văn Hạp, Phạm Văn Hùng, Phạm Đăng Long, Nguyễn Văn Mậu, Đỗ Thanh Sơn, Lê Đình Thịnh, Một số phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp, Tập III, NXBĐHQGHN, 2000 [3] Phan Huy Khải, Toán nâng cao cho học sinh Đại số 10, NXĐHQGHN, 1997 [4] Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học môn Toán, NXBĐHSP, 2003 [5] G.Polia, Giải toán nào, NXBGD, 1997 [6] Lê Văn Hồng (Chủ biên), Lê Ngọc Lan, Nguyễn Văn Thàng, Tâm lý học lứa tuổi tâm lý học sư phạm, Hà Nội, 1995 22 ... hiệu việc dạy học mơn tốn - Làm rõ khâu tìm lời giải giải toán nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh - Xây dựng phương pháp giải hệ phương trình theo hướng rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh. .. dụng phương pháp tìm lời giải toán nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh thông qua hệ thống phương pháp giải hệ phương trình -Kiểm nghiệm tính hiệu việc sử dụng ví dụ phương pháp giải hệ phương. .. luyện kỹ giải toán cho học sinh dạy học giải tập toán" Đề tài xây dựng hệ thống phương pháp giải hệ phương trình lớp ví dụ minh hoạ cho phương pháp theo hướng rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh