Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức

Chuyên đề chứng minh bất thức Phần I... Sử dụng phơng pháp làm trội.. Chứng minh các bất đẳng thức với n là các số tự nhiên.

Chuyên đề chứng minh bất thức Phần I kiến thức cơ bản.

n

n n

b a a

b a a

b a a

n m

;1

1,0

5 a>b≥0,c>d≥0⇒ac>bd 10

b a ab

b

a> , >0⇒ 1<1

3.Một số hằng bất đẳng thức

1 A2 ≥ 0 với ∀A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )

4 A B+ ≥ A + B ( dấu = xảy ra khi

2 A ≥0 với A∀ (dấu = xảy ra khi A = 0 )

a

a

3 2 1 3

3.Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốpx-ki:

*Cho n cặp số bất kì a1,a2,a3, ,a n;b1,b2,b3, ,b n, ta có:

)

)(

(), ,

3 3 2

a b

a b

2 1

2 2

2 1

2 2 2 1

*Biến dạng: (a+c)2 +(b+d)2 ≤ a2 +b2 + c2 +d2

b a

a

+

≥+

+

21

2

+

∈+

+

>

a b

a

a

,,

11

11

11

0

+

≤+

⇒

+

≤+

≤+

a

bc ac

ab c

b a

3

411)

c b a c b

2

1141)

14(1

4a+ = a+ ≤ a+ + = a+

;2

24

b a ab

b a b a

ab ab

⇒

≥

xy y

21

11

1

2 2

a

2

++

≥+6

ab b

b a

4

1

y x y

7 1k k 2 k k 12 k =2( k +1− k)

++

>

+

=9

)1(

21

22

−+

<

+

k k k k

k

18

=

2

1 [(x−y)2 +(x−z)2 +(y−z)2]≥0đúng với mọi x;y;z R∈ Vì (x-y)2 ≥0 với∀x ; y do đó dấu bằng xảy ra khi x=y (x-z)2 ≥0 với∀x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z (y-z)2 ≥0 với∀ z; y, dấu bằng xảy ra khi Vậy x2 + y2 + z2 ≥ xy+ yz +zx, dấu bằng xảy ra khi x = y =z

b)Ta xét hiệu: x2 + y2 + z2- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x2 + y2 + z2- 2xy +2xz –2yz =( x – y + z)2 ≥0 đúng với mọi x;y;z Vậy x2 + y2 + z2 ≥ 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z R∈ Dấu bằng xảy

ra khi x+y=z

c) Ta xét hiệu: x2 + y2 + z2+3 – 2( x+ y +z ) = x2- 2x + 1 + y2 -2y +1 + z2-2z +1 = (x-1)2+ (y-1) 2+(z-1)2≥ 0 Dờu (=) xảy ra khi x = y = z = 1

VÝ dô 2: chøng minh r»ng : a)

2 2

2 2

a

c) H·y tæng qu¸t bµi to¸n

Lêi gi¶i: a) Ta xÐt hiÖu:

2 2

2a2 +b2 −a2 + ab+b2

= (2a 2b a b 2ab)4

2 2

1 2 2

n

a a

a n

a a

44

4

2 2

2 2

2 2

22

2 2

2 2

02

02

02

m q m p m n m

m

m q

m p

m n

2

q p n m

⇔ (a−2b) (2 + a−2c) (2 + a−2d) (2 + a−2c)2 ≥0 Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: (a10 +b10)(a2 +b2) (≥ a8 +b8)(a4 +b4)

Lời giải: (a10 +b10)(a2 +b2) (≥ a8 +b8)(a4 +b4) ⇔ a12 +a10b2 +a2b10+b12 ≥a12 +a8b4 +a4b8+b12 ⇔ a8b2(a2 −b2)+a2b8(b2 −a2)≥0⇔ a2 b2 ( a2 - b2) ( a6 - b6 )≥ 0 ⇔ a2b2( a2 - b2 )2( a4+ a2b2+b4) ≥ 0Bất đẳng thức cuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 3: cho x.y =1 và x.y ;Chứng minh

y x

y x

y x

−

+ 2

2

≥2 2 vì :x〉y nên x- y 〉 0 ⇒x2+y2≥ 2 2( x-y) ⇒ x2+y2- 2 2 x+2 2y ≥0⇔

x2+y2+2- 2 2 x+2 2y -2 ≥0 ⇔ x2+y2+( 2 )2- 2 2 x+2 2y -2xy ≥0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2

⇒(x-y- 2 )2 ≥ 0 Điều này luôn luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh

<

++

=

z y x z y x

z y x

111

1

Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1

11

1+ + )=x+y+z - (1+ 1+1) > 0

z y

11

1+ + < x+y+z theo gt)

→2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dơng

Nếủ trờng hợp sau xảy ra thì x, y, z >1 →x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy ra trờng hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1

a a

3 2 1 3

2

1+ + + + ≥ Với a i >0 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski

( ) ( ) ( )2

2 2 1 1 2 2

2

2 1 2 2

c b a

⇒

3

.33

C B A c b a cC bB

c b a

⇒

3

.33

C B A c b a cC bB

c b a

Ví dụ 1 Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥8 a b c

++

+

c a c

b c b a

≥+

≥

≥

b a

c c a

b c b

2 2 2

++

++

≥+

++

+

c c a

b c b

a c b a b a

c c c a

b b c

b

a

3

2 2 2 2

2

2

3.3

1

=21

Vậy

2

13 3

3

≥+

++

+

c c a

b c

b

a Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=

31

Ví dụ 4:

Cho a, b, c, d > 0 vµ abcd =1 .Chøng minh r»ng :

2 2 2

2

1

1 ≥+

x

Ta cã 2 + 2 + 2 ≥2( + )=2( + 1 )≥4

ab ab cd

ab c

ac ab

2 2

a d b c

d c a

d c a

2 + b + c =

a

Chøng minh

abc c b a

111

1 + + <

Gi¶i:

Ta cã :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab - ac - bc) 〉 0 ⇒ ac+bc-ab 〈

2

1( a2+b2+c2) ⇒ ac+bc-ab

11

⇒ (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d)=1-a-b-c-d+ad+bd+cd

⇒ (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (§iÒu ph¶i chøng minh)

c a b

c a b

c a b

a d

c b

+++

+++

+++

<

b a d

d a

d c

c d

c b

b c

b a a

Gi¶i :

Theo tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc ta cã

d c b a

d a c

b a

a c

b

a

a

+++

+

<

++

b a

a

+++

d a

+++

+

(3)

T¬ng tù ta cã

d c b a

a b d

c b

b d

c b a

b

+++

+

<

++

<

++

c b a

d c

c d

c b a

c

+++

+

<

++

<

++

d c b a

c d b

a d

d d

+

<

++

+++

+++

d a

d c

c d

c b

b c

cd

+

+2 2Gi¶i: Tõ

cd d b

cd ab b

cd ab

<

+

+2

2 ®iÒu ph¶i chøng minh

vÝ dô 3 : Cho a;b;c;d lµ c¸c sè nguyªn d¬ng tháa m·n : a+b = c+d =1000, t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña

d

b c

a+gi¶i : Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö :

c

a d

b

≤ Tõ :

c

a d

b

≤

d

b d c

b a c

d c

999

1+ §¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi d= 1; c=999

VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña

d

b c

a+ =999+

999

1khi a=d=1; c=b=999

2 2

1

+ +

=

n n

n

a

a a

a a

a a a

2

11

12

++++

++

<

n n n

n

Giải:

Ta có

n n n k

111

=+

1

2

12

1

2

11

n n

++

>

1

22

21

Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có

11

11

11

3

12

1

11

11

3

12

13

1

2

112

1

2 2

Ph ơng pháp 7: Dùng bất đẳng thức trong tam giác

L u ý: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0

Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a

Ví dụ1 : Cho a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng

a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)

b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)

c a b

c b a

)(

)(

2 2 2

b a c c

c a b b

c b a a

b a c a c b c b a c b a

−+

−+

−+

>

⇒

−+

−+

−+

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

++

+

c a c

b c b

a

(1)Giải :

Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a=

2

x z

; b =

2

y x

; c =

2

z y

ta có (1) ⇔

z

z y x y

y x z x

x z y

22

2

−++

−++

−+

x y

z y

x x

z x y

⇔( + )+( + )+( + )≥6

z

y y

z z

x x

z y

x x y

Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ( + ≥2;

y

x x

y

+ ≥2

z

x x

z

; + ≥2

z

y y

12

1

2 2

+

++

x Với x+y+z < 1 và x ,y,z > Theo bất đẳng thức Côsi ta có

x+y+z≥3.3 xyz ; + + ≥

z y x

111

z y x z y

Vậy 1+1+1 ≥9

z y

Ví dụ3: Cho x≥0 , y≥0 thỏa mãn 2 x− y =1 CMR

5

1

≥+y x

+

c a c

b c b a

2)Tổng quát m, n, p, q, a, b >0

CMR ( m n p) (m n p)

b a

pc a c

nb c b

+

++

++

22

2

2 2

−+

−

=

y

y y y

Kiến thức: Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n>n0ta thực hiện các bớc sau :

1 – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n=n0

2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh đợc gọi là giả thiết quy nạp )

3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh rồi biến đổi

để dùng giả thiết quy nạp)

4 – kết luận BĐT đúng với mọi n>n0

Ví dụ1:Chứng minh rằng

n n

12

1

2

11

1

2 2

2 + + + < − ∀n∈N;n>1 (1)

Giải :Với n =2 ta có

2

124

1

1+ < − (đúng) Vậy BĐT (1) đúng với n =2

Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) đúng với n = k+1

Thật vậy khi n =k+1 thì

(1) ⇔

1

12)1(

11

2

11

1

2 2

2

2 + + +k + k+ < −k+ Theo giả thiết quy nạp

121

112)1(

11

2

11

1

2 2

2 2

2 + + +k + k+ < −k + k+ < −k+

⇔

(k ) k k

k

11

11

1)

1(

1

1

1

2 2

+

++

<

+++

⇔ 2 1 ( 2) ( 1)2

)1(

11

k k

k k k

b a b

2

.2

1 1 1

=+

04

2

1 1

1

1

≥+++

2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “G ⇒ K”

phép toán mệnh đề cho ta :

Nh vậy để phủ định luận đề ta ghép tất cả giả thiết của luận đề với phủ định kết luận của nó

Ta thờng dùng 5 hình thức chứng minh phản chứng sau :

A - Dùng mệnh đề phản đảo : K− ⇒G−

B – Phủ định rôi suy trái giả thiết :

C – Phủ định rồi suy trái với điều đúng

D – Phủ định rồi suy ra 2 điều trái ngợc nhau

E – Phủ định rồi suy ra kết luận :

Ví dụ 1:

Cho ba số a,b,c thỏa mãn a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > Chứng minh rằng a > 0 , b > 0 , c > 0 Giải :

Giả sử a ≤ 0 thì từ abc > 0 ⇒ a≠ 0 do đó a < 0, Mà abc > 0 và a < 0 ⇒ cb < 0

Từ ab+bc+ca > 0 ⇒ a(b+c) > -bc > 0, Vì a < 0 mà a(b +c) > 0 ⇒ b + c < 0

a < 0 và b +c < 0 ⇒ a + b +c < 0 trái giả thiết a+b+c > 0, Vậy a > 0 tơng tự ta có b > 0 , c > 0

Ví dụ 2: Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện

ac ≥ 2.(b+d) Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:

a2 <4b , c2 <4d

Giải :

Giả sử 2 bất đẳng thức : a2 <4b , c2 <4d đều đúng khi đó cộng các vế ta đợc, a2 +c2 <4(b+d)(1) Theo giả thiết ta có 4(b+d) ≤ 2ac (2), Từ (1) và (2) ⇒ a2+c2 <2ac hay (a−c)2 <0 (vô lý) Vậy trong 2 bất đẳng thức a2 <4b và c2 <4d có ít nhất một các bất đẳng thức sai

Ví dụ 3 Cho x,y,z > 0 và xyz = 1 Chứng minh rằng

Nếu x+y+z >

z y x

111++ thì có một trong ba số này lớn hơn 1 Giải :

Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1=x + y + z – (

z y x

11

1+ + ) vì xyz = 1

theo giả thiết x+y +z >

z y x

111++ nên (x-1).(y-1).(z-1) > 0 Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một số dơng

Thật vậy nếu cả ba số dơng thì x,y,z > 1 ⇒ xyz > 1 (trái giả thiết)

Còn nếu 2 trong 3 số đó dơng thì (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (vô lý)

Vậy có một và chỉ một trong ba số x , y,z lớn hơn 1

Phần II Bài tập áp dụng.

Bài tập 1 (Sử dụng phơng pháp làm trội)

Cho a,b,c là 3 số dơng chứng minh rằng:1 <2

+

++

++

<

a c

c c b

b b a a

HD *Ta luôn có:

a c

c c b a

c c b

b c b a

b b a

a c b a

a

+

<

+++

<

+++

<

+

.1

=++

++

=++

+++

+++

>

+

++

+

c b a c b a

c c

b a

b c

b a

a a

c

c c

c a b a

a b

a

a

++

c c b a

a b c b

b

++

+

<

+++

++

=++

++++

++++

+

<

+

++

+

c b a c b a

b c c b a

a b c b a

c a a c

c c b

b b a a

Bài tập 2 (Sử dụng phơng pháp làm trội)

Chứng minh rằng với mọi n > 1 thì 1 1

5

14

13

12

1

2 2

2 2

n

HD Với n > 1 ta có

n n

n n n

11

1)

1(

11

1

11

1

5

14

14

13

13

12

12

11

11

5

14

2

2

−++

−+

−+

−+

−

<

++++

+

n

n n n

n n

Bài tập 3 (Sử dụng phơng pháp làm trội)

Chứng minh các bất đẳng thức với n là các số tự nhiên

)

1(

1

4.3

13

12

1

1

1

2 2

2 2

2 + + + + + < − n>

n n

3

51

4

13

12

1

1

1

2 2

2 2

5

14

14

13

13

12

12

11

1)

1(

1

4.3

13.2

12

1

−++

−+

−+

−+

−

=

−++++

n

n n n

n n

n n n

11

1)

1(

11

n n

n

12

11

11

1

5

14

14

13

13

12

12

11

11

5

14

2

2

−++

−+

−+

−+

−

<

++++

c)Với n = 0 thì 1 <

3

5Với n > 1ta có:

n n

n n n

11

1)

1(

11

n n

11

1

11

1

5

14

14

13

13

12

12

11

11

5

14

−+

−+

−+

−

<

++++

+

3

53

333

n n

4

13

12

1

1

1

2 2

2 2

b a b a

b a

19992000

19961997

2 2

2 2)())(

(

))(

(

b a

b a b a

b a b a b a

b a b a b

+

+

−

=+

−

19992000

19992000

)19992000

(

19992000

)19992000

)(

19992000

(

)19992000

)(

19992000

(19992000

19992000

Vì hai BT có tử thức bằng nhau và (2000+1999)2 >20002 +19992

c)Tơng tự câu a

Bài tập 5.( Sử dụng BĐT Cô Si)

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

c b a c b

++

+

c a c

b c b

a

HD a) a2 +b2 +c2 ≥ab+bc+ca⇔2a2 +2b2 +2c2 ≥2ab+2bc+2ca

0)()()

( − 2 + − 2 + − 2 ≥

⇔ a b b c c a vì (a−b)2 ≥0;(b−c)2 ≥0;(c−a)2 ≥0với mọi a,b,c

b)Với a,b,c dơng áp dung bất đẳng thức Cô Si ta có:

abc c

b a ca

bc ab a

c c

22

222222

( − 2 + − 2 + − 2 ≥

⇔ a b a b vì (a−b)2 ≥0;(a−1)2 ≥0;(b−1)2 ≥0với mọi a,b

d) Với a,b,c dơng áp dung bất đẳng thức Cô Si ta có:

⇒

≥++

≥

+

+

c b a

abc c

b a c b a c b a c b a abc c

(

C B

ta có:

3111)(

2

1311

1)(

33

11

+++

+

=

−+

++++

++++

++

=

−++++++++

=+

++

+

+

C B A C B A b

a a c c b c b

a

b a

c b a a c

c b a c b

c b a b

a

c a

c

b c

b

a b a

c a c

b c

2

332

9 − =

≥+

++

+

c a c

b c b

411

;b) Cho x≥0,y≥1, Chứng minh:x y−1+ y x−1≤xy;

c) Cho x≥0,y≥1,z≥2, Chứng minh: ( )

2

12

y xy

x y x xy

y x xy y x

y

x

+

≥+

⇔+

≥+

⇔+

≥

+

⇔

≥+

y xy

x y xy

y x xy x

y y

áp dụng BĐT Cô Si ta có:

22

11

1.1

;22

11

1

1 x− ≤ +x− = x y− ≤ + y− = y ,nên ta có:

12

12

11.2

1.2

x y

y x

1211

20

2212

−+

+

( x −1) (2 + y−1−1) (2 + z−2−1)2 ≥0vì ( x−1)2 ≥0,( y−1−1)2 ≥0,( z−2 −1)2 ≥0.

Bài tập 7.( Sử dụng BĐT Cô Si)

Cho a, b, c là các số không âm thoả mãn: a+b+c=1.Chứng minh:

với x,y không âm

22

11)1.(

11,122

11

)1.(

11)1.(

13

2

111

1

32

11

13

22211

1

≤+++++

⇔+

≤++++

+

⇔

+++

≤+++++

⇔+++

≤+++

+

+

c b

a c

b a

c b a c

b a

c b a c

2.3)(

3

)(

)(

)(

)111(

1

1

≤++++

+

⇒

=++

=+++++

≤++++

+

⇒

++++++

+

≤++++

+

a c c b b

a

c b a a

c c b b a a c c b b

a

a c c

b b

a a

c c

b b

a

Bài tập 8.( Sử dụng HĐT)

Choa,b,c≥0,Chứng minh rằng:

ca bc

ab c

b a

11

111

HD Với a,b,c≥0, ta có: 1 +1+1≥ 1 + 1 + 1 ⇔2 + 2+2 − 2 − 2 − 2 ≥0

ca bc

ab c

b a ca bc

ab c

b

01

11

11

1 2 + − 2 + − 2 ≥



a c c

b b

11,01

1,01

1 2 ≥  − 2 ≥  − 2 ≥



a c c

b b

ca c b

bc b a

+

++

+

HD.Ta có (a−b)2 ≥0⇔a2 −2ab+b2 ≥0⇔(a+b)2 ≥4ab⇔(a+b)(a+b)≥4ab

b a

c c b

bc c

b

+

≥

++

≥

2,

2

2 , cộng vế với vế ta đợc:

2

2

22

22

)(

22

22

22

2

c b a a c

ca c b

bc b a

ab c

b a a c

ca c b

bc b

a

ab

a c

ca c

b

bc b

a

ab c

b a a

c

ca c

b

bc b

a

ab a

c c

b

b

a

++

≤+

++

++

⇔++

++

≥++

⇔+

++

++

≥

++

+

+

+

Bài tập 10 ( Sử dụng BĐT Cô-Si)

Cho a, b, c là các số dơng.Chứng minh các bất đẳng thức:

a)

2

2 2

b a

c a c

+

b)

2

2 2

a c

c c b

2 2

>

+++

≥+

++

++

+

d c b a a d

d d c

c c b

a)áp dụng bất đẳng thức Cô-si: x+ y≥2 xy,x,y≥0.Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:

;42

24.2

4

;42

24.2

4

2 2

2

2 2

2

a c b a c

b b b a c a c

b a

a a a c b c b

a c

⇒

=

=

++

⇒

=

=

++

24.2

4

2 2

c b a

c c c b a b a

c b

4

2 2

c b a b a

c a c

b c b

+

++

++

22

2 2

c b a b a

c a

+

2 2

b a

c a c

b c b

+

++

++b)Tơng tự câu a) ta có:

;42

24.2

4

;42

24.2

4

;42

24.2

4

2 2

2

2 2

2

2 2

2

a c c a c

c c c a c a c

c a

b b b c b c b

b c

a a a b a b a

a b

⇒

=

=

++

⇒

=

=

++

⇒

=

=

++

4

2 2

c b a a c

c c b

b b a

+

++

++

22

2 2

c b a a c

c c

+

2 2

a c

c c b

b b a

+

++

+

c) Làm tơng tự câu a, b

Bài tập 11 ( Sử dụng BĐT Cô-Si)

Cho a, b, c là các số dơng.Chứng minh các bất đẳng thức:

2

>

+

++

+

c c

a c

b

a a

c b a a

c b

a

c

b

++

≥+

⇒++

:11

Tơng tự ta có:

c b a

c b

a

c c b a

b c

a

b

++

≥++

+

≥+

2

;

2 , cộng vế với vế ta đợc:

2)(

22

2

++

++

=++

+++

+++

≥+

++

+

c b a c b a

c c

b a

b c

b a

a b

a

c c

a

b c

b

a

Dấu (=) xảy ra khi và chỉ khi:

⇒+

c a b

c b a

, trái với giả thiết a,b,c là ba số dơng.Vậy đẳng thức

+

++

+

c c

a

b c

b

a

Bài tập 12 ( Sử dụng BĐT Cô-Si)

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác.Chứng minh rằng:

+

c a c

)(

0

0)(

0

b ab bc b

a c b c

b

a

a ac ab a

c b a a

Bài tập 13 ( Bài tập dùng định nghĩa)

HD 1) Cho abc = 1 và a3 >36 Chứng minh rằng +

−+

x

H≥0 ta có điều phải chứng minh

b) Vế trái có thể viết H = (a−2b+1) (2 + b−1)2 +1⇒ H > 0 ta có điều phải chứng minh

c) vế trái có thể viết H = (a−b+1) (2 + b−1)2 ⇒ H ≥ 0 ta có điều phải chứng minh

Bài tập 14 ( Bài tập dùng biến đổi tơng đơng)

HD 1) Cho x > y và xy =1 Chứng minh rằng ( )

2 2 2

≥

−

+

y x

y x

Giải :

Ta có x2+y2 =(x−y)2+2xy=(x−y)2+2 (vì xy = 1) ⇒ (x2+y2)2 =(x−y)4+4.(x−y)2+4

Do đó BĐT cần chứng minh tơng đơng với ( )4 ( )2 ( )2

.84

21

11

1

2 2

Giải : Ta có

xy y

21

11

11

11

1

2 2

2

≥++

−+

++

−

xy y

y xy xy

x

x

)(1

.1

)(

2

++

−+

++

−

xy y

y x y xy

x

x y x

⇔ ( ) ( )

(1 )(.1 ).(1 ) 0

12 2

2

≥++

+

−

−

xy y

x

xy x y

BĐT cuối này đúng do xy > 1 Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài tập 15 ( Bài tập dùng bất đẳng thức phụ )

HD 1) Cho a , b, c là các số thực và a + b + c = 1Chứng minh rằng

3

12 2

1.1

1a+ b+ c ≤ + + a +b +c ⇔ ( )2 ( 2 2 2)

3 a b c c

c b a c b

Giải : (1) ⇔ 1+ + + +1+ + + +1≥9

a

c a

c c

b a

b c

a b

b

c c

b a

c c

a a

b b a

áp dụng BĐT phụ + ≥2

x

y y

c b a c b

a

c b c

b

2 3

3

2 3

3

1

1+