Họ sẵn sàng tiếp nhận cái mới, những tinh hoa tri thức khoa học của nhân loại, áp dụng một cách khoa học vào thực tiễn đất nớc.. Hiện nay sách giáo khoa môn toán mới đợc biên soạn theo h
Trang 1Phòng giáo dục
trờng trung học cơ sở
****************** Sáng kiến kinh nghiệm “Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh phơng pháp sử dụng bất đẳng thức cô-si dạng nghịch đảo” Ng ời thực hiện :
Trờng Trung học cơ sở
H - T
tháng 4 năm 2008.
A- Phần mở đầu I/ Lý do chọn đề tài:
Trong thời kỳ đổi mới của đất nớc thì một trong những yêu cầu của nền giáo dục là phải tạo ra một lớp ngời mới, năng động sáng tạo Họ sẵn sàng tiếp nhận cái mới, những tinh hoa tri thức khoa học của nhân loại, áp dụng một cách khoa học vào thực tiễn đất nớc Vậy làm thế nào để phát huy đợc tính chủ động sáng tạo của
Trang 2học sinh đây là một trong những yêu cầu trớc mắt, nhằm tập dợt khả năng sáng tạo của học sinh ngay từ khi còn ngồi trên ghế nhà trờng
Hiện nay sách giáo khoa môn toán mới đợc biên soạn theo hớng đổi mới, phơng pháp dạy học hiện nay là: Tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm hình thành cho học sinh t duy tích cực độc lập sáng tạo nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui và hứng thú học tập cho học sinh Sách giáo khoa mới có những bài toán mở, mục có thể
em cha biết nhằm khơi dậy và định hớng cho các em sự sáng tạo Tuy nhiên sự h-ớng dẫn chỉ bảo tận tình của ngời thày là rất cần thiết
Nội dung kiến thức về bất đẳng thức đợc trình bày trong chơng IV - Đại số 8 Đây là một phần kiến thức hay nhng khó đối với học sinh Bất đẳng thức Cô-Si
đ-ợc giới thiệu trong mục " Có thể bạn cha biết" Nhằm giới thiệu học sinh tìm tòi,
khám phá và sử dụng nó Vậy để giúp các em làm việc này thì trớc hết ngời thày phải nghiên cứu, hớng dẫn về mặt phơng pháp, cung cấp và hớng dẫn cho học sinh thực hiện trên các bài toán điển hình cơ bản tạo cho học sinh tiền đề để các em tự học, tự nghiên cứu
Đứng trớc yêu cầu trên tôi xin trình bày một phần nhỏ trong chơng trình dạy
về bất đẳng thức đó là: "Hớng dẫn học sinh một số phơng pháp sử dung bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo"
II- Mục đích nghiên cứu:
Chỉ ra một số phơng pháp cơ bản để áp dụng bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo để giải một số bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị
Hớng dẫn học sinh sử dụng vào giải toán chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị (đối với học sinh khá giỏi lớp 8-9 )
III- Ph ơng pháp nghiên cứu
+Chứng minh bất đẳng thức Cô-Si : Trờng hợp với hai số không âm
+áp dụng đối với hai số dơng có dạng nghịch đảo
+Phân loại một bài tập điển hình và xây dựng phơng pháp giải nhờ áp dụng bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo
+Tham khảo ý kiến đồng nghiệp và nhà trờng
+áp dụng vào việc giảng dạy cho học sinh
Trang 3+Rút kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy để tiếp tục hoàn thiện vào các năm sau
IV- Phạm vi và đối tợng nghiên cứu
+Nghiên cúu bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo và các bài toán áp dụng
+Chọn các bài toán thích hợp cho việc giảng dạy cho học sinh lớp 8; 9 diện khá, giỏi
B - phần nội dung
I/Bất đẳng thức Cô-Si:
1/Bất đẳng thức Cô-Si (Đối với hai số không âm)
+Với hai số không âm a và b ta có : a+b ≥ ab
Bất đẳng thức này còn gọi là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân do nhà toán học Cô-Si (Cauchy) ngừời Pháp (1789-1857) nghiên cứu
+Chứng minh:
Với hai số a và b không âm ta có :
( a− b)2 ≥0
a− 2 ab+b≥ 0
a+b≥ 2 ab Ta có điều phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy ra a = b
2/Bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo
+Ta có : + ≥ 2
x
y y
x
Với x.y > 0
Thật vậy : áp dụng (1) với a =
y
x
và b =
x
y là hai số dơng ta có :
+ ≥ 2
x
y
y
x
2 =
x
y y
x Ta có điều phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy ra
x y = x y x2 = y2 x = y (Vì x và y cùng dấu )
*Chú ý: a =
y
x
và b =
x
y là hai số nghịch đảo của nhau
II/ áp dụng :
Để áp dụng bất đẳng thức trên ta cần biến đổi làm xuất hiện các biểu thức có dạng nghịch đảo " hoàn toàn" hoặc “ không hoàn toàn “ tuỳ thuộc vào cái đích mà
bài toán cần đạt tới Vậy biến đổi nh thế nào ? có những phơng pháp nào ?
1/Ph ong pháp biến đổi đồng nhất:
Trang 4a, Một số bài toán đơn giản ta chỉ cần thực hiện phép tính nhân hoặc chia là xuất hiện dạng nghịch đảo
+Bài toán 1: Cho a ; b ; c là các số dơng , CM rằng :
( 1 + )( 1 + )( 1 + ) ≥ 8
a
c c
b b
Giải: Ta có VT =
b
a c
b+ +
1
a
c c
a + +
= 1 + + + + + + + 1
c
a b
c b
a a
b c
b a c
= 2 ( ) ( ) ( )
b
c c
b a
c c
a a
b b
a+ + + + + +
b
c c
b a
c c
a a
b b
a + + = + + + = = +
Ta có điều phải chứng minh, dấu đẳng thức sảy ra a = b = c
* Với phơng pháp trên mời các em làm tiếp bài toán sau:
+Bài toán 2: Cho a ; b ; c là các số dơng , CM rằng :
( + + )(1 +1+1) ≥ 9
c b a c b
* Bài này mời các em tự thực hiện
+Bài toán 3: Cho x là số dơng, tìm GTNN của :
A =
x
x
x2 + 2 + 4 -Nhận xét: Với x dơng ta chỉ cần thực hiện phép chia tử cho mẫu là xuất hiện dạng nghịch đảo
-Giải: Có : A = 2 + 2 + 4 = +4+2
x
x x x
x x x
Ta có : +4 ≥2 .4 =4
x
x x
x
Nên + 4+ 2 ≥ 6
x
x Hay A≥ 6 dấu đẳng thức sảy ra
x
x= 4
x = 2 (vì x > 0 )
Vậy Amin = 6 x = 2
Trang 5+Bài toán 4: Cho a, b, c là các số thực dơng thoả mãn a + b +c = 1 Chứng minh
+
+ + +
+ + +
+
b a
ab c a c
ca b c
b
bc
- Nhận xét: Có a + bc = a(a + b + c) + bc = (a + b)(c + a)
Tơng tự có b + ca = (b + a)(b + c)
c + ab = (c + a)(c + b) do đó ta có:
b a
b c a c a
c
c b a b c
b
c a b a
VT
+
+ + + +
+ + + +
+ +
= ( )( ) ( )( ) ( )( ) áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có
( )( ) ( )( ) 2 (a b)
a c
c b a b c
b
c a b
+
+ + + +
+ +
) ( 2 ) )(
( ) )(
(
) ( 2 ) )(
( ) )(
(
c b b
a
b c a c c
a
c b a b
c a b
a
b c a c c
b
c a b a
+
≥ +
+ + + +
+ +
+
≥ +
+ + + +
+ +
Vậy 2 VT ≥ 4 (a+b+c) = 4 hay VT ≥ 2 ⇒ĐPCM Đẳng thức xảy ra a = b = c =
3 1
* Mời các em làm tiếp bài toán sau:
+Bài toán4 : Tìm GTNN của :
B =
x
x x
3
16 15
2 + + (với x dơng )
C =
5 2
356 80
56 16
4
2
2 3
4
+ +
+ + +
+
x x
x x
x
Gợi ý : Thực hiện phép chia đa thức ta đợc :
C =
5 2
256 )
5 2 (
+ + + + +
x x x
b, Đôi khi chúng ta phải "tách" , "nhân trộn" rồi chia mới xuất hiện đợc dạng
nghịch đảo
+Bài toán5 : Tìm GTNN của :
D =
2
2
2 16 48 )( 12 27 ) (
x
x x x
x + + + + (với x là số dơng )
Trang 6-Nhận xét: Nếu chia ngay thì D = ( +48+ 16 )( +27+ 12 )
x
x x
dấu bằng không thể xảy ra vì x không đồng thời bằng
x
48 và
x
27 Nên ta phải tìm cách "cào bằng" hai số 48 và 27 May thay cả hai đa thức trên tử đều phân tích
đ-ợc thành nhân tử !
-Giải : Ta có :
D =
x x
x x x x
.
) 4 )(
9 )(
3 )(
12
=
x x
x x
x x
.
) 36 13 )(
36 15
= ( +36+ 15 )( +36+ 13 )
x
x x
x Việc làm tiếp theo là rất đơn giản ! +Bài toán 6 : Tìm GTNN của :
E = ( 2 11 30)(22 22 120)
x
x x
x
* Bài này mời các em tự thực hiện
2/Ph ơng pháp thêm bớt :
a/ Ta có thể thêm và bớt cùng một số vào biểu thức rồi biến đổi làm xuất hiện dạng nghịch đảo
+Bài toán 1 : Tìm GTNN của :
A =
x x
x 5
− ( Với 0 < x < 1 )
Nhận xét: Điều kiện 0 < x < 1 chỉ làm cho A xác định và các hạng tử đều dơng Phải làm xuất hiện nhân tử (1 - x) Trên tử của số hạng thứ hai
Ta có
x
x x
) 1 ( 5 5
Giải : Ta có : A = 5 5 5
−x x x
5 5 5
−
=
x
x x
x
1 2 ) 1 ( 5
−
≥
− +
x x
x x
x x
x
Trang 7Nên A ≥2 5+5 dấu đẳng thức sảy ra
x
x x
x 5 ( 1 ) 1
−
=
−
x2 = 5( 1 - x )2
x =
4
5
5 −
Vậy A min = 2 5+5 x =
4
5
5 −
+Bài toán 2 : Tìm GTNN của :
B =
x x
1 1
2
+
− ( Với 0 < x < 1 )
Nhận xét: Phải đồng thời làm xuất hiện nhân tử x trên tử và nhân tử (1 - x ) dới mẫu
Có
x
x
x − = −
2 2 1
2
Còn
x
x x
−
=
− 1 1 1
Giải : Ta có B = 2 1 1 3
1
= 1 3
1
x x
x
1
2 2
1 1
2
=
−
−
≥
− +
x x
x x
x x
x
Nên có B ≥2 2+3 dấu đẳng thức sảy ra
x
x x
x = −
−
1 1
2
x = 2 − 1
Vậy B min = 2 2+3 x = 2−1
Bài3: Cho a ; b ; c ; d là các số dơng CM rằng :
1
3 )
1 (
1 )
1 (
1 )
1 (
1
+
≥ +
+ +
+
b a
+Hớng dẫn:
6 1 ) 1 (
1 1
) 1 (
1 1
) 1
(
1 )
1
+
+ +
+
+ +
+
+
⇔
a c
abc c
b
abc b
a
abc
Trang 86
1
) 1 ( ) 1 (
1 1
) 1 ( ) 1 (
1 1
) 1 ( ) 1
(
+
+ + +
+ +
+
+ + +
+ +
+
+ + +
+
⇔
a
b a a
c
c c
a c c
b
b b
c b b
a
a
6 1
) 1 ( ) 1 (
1 1
) 1 ( ) 1 (
1 1
) 1 ( ) 1
(
1
⇔
≥
+
+ + +
+ +
+
+ + +
+ +
+
+ + +
+
⇔
c
a c a
c
c b
c b c
b
b a
b a b
a
a
*Tơng tự mời các em giải bài toán sau:
+Bài toán 4 : Tìm GTNN của :
C =
1
4 3
+
+
x
x (với x > - 1 )
D =
1
2
2+ x−
x ( với x > 1 )
E =
2 2
1 )
1
+ + +
x
x
Hớng dẫn : E =
2 2
2
1
2 2 )
1
+
+ + + +
x
x x x
= 2 2
1
1 ) 1 ( ) 1 (
+ + + + +
x x
x
= 2
) 1 (
1 )
1 (
+ + +
x x
b, Nhiều khi việc thêm bớt phải dựa trên việc xác định điểm rơi (điểm cực trị) Bài1: Cho a ; b ; c ; d là các số dơng CM rằng :
a
d d
c c
b b
a
+ + +
≥ + +
2
Nhận xét: Nhận thấy dấu bằng xảy ra khi a = b = c = d
Khi ấy : b
b
a
=
2
Giải : Ta có : b
b
a
+
2
a b b
a
2 2
2
=
≥
Tơng tự ta có : +c≥
c
b2
2b
Trang 9+d ≥
d
c2
2c
+a ≥
a
d2
2d
Nh vậy : 2 2 2 2 a b c d 2 (a b c d)
a
d d
c c
b b
a + + + + + + + ≥ + + +
a
d d
c c
b b
a2 + 2 + 2 + 2 ≥ + + +
Ta có điều phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy ra a = b = c = d Bài2: Cho a ; b ; c là các số dơng CM rằng :
2
2 2
b a
c a c
b c b
+
+ +
+
Nhận xét : Nhận thấy dấu bằng xảy ra khi a = b = c
Khi ấy :
4
2 b c c
b
a = + + .
c b
a c
b c b
+
≥
+ +
2 2
Tơng tự ta có : + + ≥
2 a c c
a
b b
+ + ≥
2 a b b
a
c c
b a
c c a
b c b
+
+ +
+
2 2
2
Hay :
2
2 2
b a
c a c
b c b
+
+ +
+
Ta có điều phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy ra a = b = c
* Bằng cách trên mời các em làm tiếp bài toán sau :
Bài3: Cho a ; b ; c là các số dơng CM rằng:
a, 3 3 3 ab ac bc.
a
c c
b b
a
+ +
≥ + +
Trang 10b, a b c
c
ab b
ac a
bc + + ≥ + +
3, Ph ơng pháp tách :
Phơng pháp này đợc áp dụng cho loại bài : tởng nh đã có thể áp dụng đợc (1) ngay, nhng dấu bằng lại không thể xảy ra Do vậy trớc hết chúng ta phải xác định đợc
điểm rơi đế tách một cách hợp lý thì mới áp dụng đợc Loại bài tập này khá phổ biến , ta sẽ dành nhiều thời lợng hơn cho loại bài tập này
Bài 1 : Cho a≥ 10 ;b≥ 100 ;c≥ 1000 Tìm GTNN của :
A = 1 1 1.
c b a c b
a+ + + + +
Nhận xét: Với GT trên thì chúng ta phải quan tâm đến và "tiêu hoá" hết lợng
c b a
1 1
1 + +
Dự đoán điểm rơi là : a = 10 ; b = 100 ; c = 1000
Khi đó :
1000000
1 1
; 10000
1
; 100
1
=
=
=
c
b b
a
1000000
( 1000000
999999 )
1 10000
( 10000
9999 )
1 100
( 100
99
c
c c
b
b b
a
a a
+ +
+ + +
+ + +
c
c b
b a
1000000
2 1000000
1000 999999 1
10000
2 10000
100 9999 1
100
2
100
10
.
≥
=
1000
2 1000
999999 100
2 100
9999 10
2
10
Bài 2: Cho x ; y là hai số dơng thoả mãn : x + y = 1 Tìm GTNN của:
B = ( 1 )( 2 12)
2
2
x
y y
x + +
Nhận xét : Ta có B = 2 2 + 21 2 + 2
y x y x
Với GT trên ta cần tiêu hoá hết lợng x2y2
Dự đoán điểm rơi là :
2
1
=
= y x
Trang 11
Khi đó 16.
1 256
1
2 2 2
2 = =
y x y
x
Giải : Ta có B = 2 2 2 2 2 2
256
255 )
256
1 (
y x y
x y
Có
8
1 256
1 2
256
1
2 2 2
2 2
2 2
y x y
x y
x y
x
Và (x+y) 2 ≥ 4xy 1 ≥ 4
xy 21 2 ≥ 16
y x
Vậy B 16 2
256
255 8
Bài 3: Cho a ; b ; c là các số dơng thoả mãn :
2
3
≤ + +b c
A = 1 1 1.
c b a c b
a+ + + + +
Nhận xét: Với GT trên thì chúng ta phải quan tâm đến và "tiêu hoá" hết lợng
c b a
1 1 1
+ +
Dự đoán điểm rơi là
2
1
=
=
=b c
c
b b
a
1
; 4
1
; 4
Giải : Có A = ( 4 1) ( 4 1) ( 4 1) 3 (a b c)
c
c b
b a
a+ + + + + − + +
Ta có : 4 +1 ≥ 2 4 1 = 4
a
a a
Tơng tự có : + ≥
b
b 1
4 4
+ ≥
c
c 1
4 4
Còn - 3 ( a+b+c )
2
9
−
≥
Vậy A
2
15
≥ dấu đẳng thức xảy ra
2
1
=
=
=b c a
Amin =
2
15
2
1
=
=
=b c a
Trang 12Bài 4: Cho a ; b ; c là các số dơng thoả mãn : 1+1+1≥ 6
c b
A = 1 1 1.
c b a c b
a+ + + + +
Nhận xét: Với GT trên thì chúng ta phải quan tâm đến và "tiêu hoá" hết lợng
a + b +c
Dự đoán điểm rơi là
2
1
=
=
=b c
a khi đó
c
c b
b a
a
4
1
; 4
1
; 4
=
Giải :Ta có: 1
4
1 2 4
+
a
a a
a
Tơng tự + ≥
b
b
4
1 1
+ ≥
c
c
4
1 1
Còn
2
9 ) 1 1 1 ( 4
c b a
Vậy A
2
15
≥ dấu đẳng thức xảy ra
2
1
=
=
=b c a
Amin =
2
15
2
1
=
=
=b c
*Nhận thấy : Bài 3 và Bài 4 chỉ là một vì với các số dơng a ; b ; c ta có :
9 ) 1 1 1
)(
c b a
c
b
a
Nên :
2
3
≤ + +b c
a 1 +1+1 ≥ 6
c b a
Tuy nhiên mỗi bài lại phải có cách tách khác nhau Ta sẽ có bài toán mới nếu ta thay giả thiết là : a ; b ; c là các số dơng thoả mãn:
a2 +b2 +
4
3
2 ≤
c
Hoặc:
≤ +
≤ +
≤ +
2
5 3 2
2
5 3 2
2
5 3 2
a c
c b
b a
Hoặc :
≤ +
≤ +
≤ +
4
5 2 3
4
5 2 3
4
5 2 3
2 2
2 2
2 2
a c
c b b a
Trang 13Bài 5 : Cho x ; y là hai số dơng thoả mãn : x2 + y2 = 1 Tìm GTNN của:
C = ( 1 )( 1 1) ( 1 )( 1 1)
x
y y
x + + + + +
Nhận xét : = + + + +1+ 1 + 2
y x x
y y
x y x C
Với GT trên thì chúng ta phải quan tâm đến và "tiêu hoá" hết lợng : x + y
Dự đoán điểm rơi là :
2
2
=
= y
y
y x
x
2
1
; 2
1
=
=
2
1 ) (
) 2
1 ( ) 2
1
=
y x x
y y
x y
y x x C
2
1 2 2
+
x
x x
x
Tơng tự : + ≥
y
y
2
1 2
+ ≥ 2
x
y y x
2 2
1 1
)
1
1
(
2
1
2 2
4 2 2 =
+
≥
=
≥
+
y x y
x xy y
x
Vậy C≥4+3 2
Bài 5 : Cho x ; y là hai số dơng thoả mãn : x+ y≥ 6 Tìm GTNN của:
D =
y x y
x 2 6 8
Nhận xét: Với GT trên thì chúng ta phải quan tâm đến và "tiêu hoá" hết lợng
y x
8
6 +
Rõ ràng với x = y = 3 không giải quyết đợc vấn đề, phải chăng x≠ y?
Thử tới x = 2 ; y = 4 thì ổn Khi đó :
y
y x x
8 2
; 2
3
Giải : Ta có
y
y x x y x
2
6 2
3 ) ( 2
=
2 2
6 2
3 2 6
.
2
≥
y
y x
x
Trang 14Vậy Dmin = 19 x = 2 ; y = 4
Bài 7: Giả sử x1 và x2 là các nghiệm của phơng trình : x2 - 4x +7 - m = 0 (1)
với m là tham số Tìm GTLN của :
2 2 2
1 7
1
x x x x
P= −
Nhận xét: Trớc hết ta phải tìm m để (1) có nghiệm , đó cũng là cơ sở để xác định
điểm rơi
Giải : Ptrình (1) có nghiệm ∆ ≥ 0
4 − 7 +m≥ 0 m≥ 3
Khi đó theo Vi-et ta có : x1x2 = 7 - m
m
m m
m
P= − − = − +
Ta có :
3
10 1 9
1 2 3 9
8 )
1 9
1 ( 9
8
+
m
m m
m m m m
dấu đẳng thức xảy ra m = 3 ( T/m điều kiện)
m
m m
m
P = − − = − +
3
11 3
10
7 − =
≤
Vậy Pmax =
3
11 m = 3
*Tơng tự mời các em giải các bại tập:
Bài 8: Cho :a≥ 5 ;ab≥ 20 ;abc≥ 60 CM rằng :
a, a+b+c≥ 12
b, a2 +b2 +c2 ≥50
Bài9: Cho :a ; b ; c là độ dài ba cạnh của một tam giác thoả mãn :
a≥ 5 ;ab≥ 20 ;abc≥ 60 CMrằng : a = 5 ; b = 4 ; c = 3
Bài 10 : Cho :a≥ 3 ;b≥ 4 ;abc≥ 24
CMrằng : a+b+c≥ 9
4/ Ph ơng pháp đặt ẩn phụ:
Phơng pháp này đợc áp dụng cho các bài toán phải thông qua phép đặt ẩn phụ
và biến đổi mới xuất hiện dạng nghịch đảo
Bài toán 1: Cho a ; b ; c là độ dài ba cạnh của một tam giác tìm GTNN của:
c b a
c b
c a
b a
c b
a A
− +
+
− +
+
− +