Một số PP chứng minh bất dẳng thức

Đề tài : Rèn luyện kỹ CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS lí chọn đề tài Các toán bất đẳng thức toán khó , để giải đợc toán bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm tính chất bất đẳng thức, phải nắm đợc phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Có nhiều phơng pháp để chứng minh bất đẳng ta phải vào đặc thù toán mà sử dụng phơng pháp cho phù hợp Mỗi toán chứng minh bất đẳng thức áp dụng đợc nhiều phơng pháp giải khác , có phải phối hợp nhiều phơng pháp cách hợp lí Bài toán chứng minh bất đẳng thức đợc vận dụng nhiều vào dạng toán giải biện luận phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình đặc biệt , tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức đợc sử dụng nhiều ôn tập , ôn thi ngoại khoá Vì học sinh cần thiết phải nắm đợc kiến thức bất đẳng thức Trong thực tế giảng dạy trờng THCS , học sinh gặp nhiều khó khăn giải toán liên quan bất đẳng thức , toán chứng minh bất đẳng thức thờng khong có cách giải mẫu , không theo phơng pháp định nên học sinh không xác định đợc hớng giải toán Mặt khác nhận thức học sinh THCS có nhiều hạn chế khả t cha tốt học sinh lúng túng nhiều vận dụng kiến thức vào giải dạng tập khác Trong nội dung đề tài xin đợc tập trung giới thiệu số phơng pháp hay đợc sử dụng chứng minh bất đẳng thức nh : dùng định nghĩa , biến đổi tơng đơng , dùng bất đẳng thức đà biết , phơng pháp phản chứng số tập vËn dơng , nh»m gióp häc sinh bít lóng tóng gặp toán chứng minh hay vận dụng bất đẳng thức , giúp học sinh tự định hớng đợc phơng pháp chứng minh hứng thú học bất đẳng thức nói riêng môn Toán nói chung Vì thời gian có hạn , kinh nghiệm giảng dạy cha nhiều khả nghiên cứu cha tốt nên nội dung đề tài nhiều hạn chế mong bạn góp ý thêm Đề tài : Rèn luyện kỹ CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS phần i : Các kiến thức cần lu ý 1, Định nghĩa bất đẳng thức + a nhỏ b , kÝ hiƯu a < b + a lín h¬n b , kÝ hiÖu a > b , + a nhỏ b , kí hiệu a < b, + a lớn b , kí hiÖu a > b , 2, Mét sè tÝnh chÊt bất dẳng thức : a, Tính chất 1: a > b b < a b, TÝnh chÊt 2: a > b vµ b > c => a > c c, TÝnh chÊt 3: a > b a + c > b + c HƯ qu¶ : a > b a - c > b - c a + c > b a > b - c d, TÝnh chÊt : a > c vµ b > d => a + c > b + d a > b vµ c < d => a - c > b - d e, TÝnh chÊt : a > b vµ c > => ac > bd a > b vµ c < => ac < bd f, TÝnh chÊt : a > b > ; c > d > => ac > bd g, TÝnh chÊt : a > b > => an > bn a > b an > bn víi n lỴ h, TÝnh chÊt : a > b ; ab > => 3, Một số đẳng thức thông dụng : a, Bất đẳng thức Côsi : Với số d¬ng a , b ta cã : a +b ≥ ab Dấu đẳng thức xảy : a = b b, Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : Với sè a ; b; x ; y ta cã : ( ax + by )2 ≤ (a2 + b2)(x2 + y2) Dấu đẳng thức xảy a b = x y c, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : a + b a +b Dấu đẳng thức xảy : ab Đề tài : Rèn luyện kỹ CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS phần ii : Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức 1.Phơng pháp : Dùng định nghĩa - Kiến thức : Để chứng minh A > B , ta xÐt hiÖu A - B råi chøng minh A -B >0 - Lu ý : A2 ≥ víi mäi A ; dÊu '' = '' x¶y A = - VÝ dơ : Bµi : Víi mäi sè : x, y, z chøng minh r»ng : x2 + y2 + z2 +3 ≥ 2(x + y + z) Gi¶i : Ta xÐt hiÖu : H = x2 + y2 + z2 +3 - 2( x + y + z) = x2 + y2 + z2 +3 - 2x - 2y - 2z = (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) + (z2 - 2z + 1) = (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 Do (x - 1)2 ≥ víi mäi x (y - 1)2 ≥ víi mäi y (z - 1)2 ≥ víi mäi z => H ≥ víi mäi x, y, z Hay x2 + y2 + z2 +3 ≥ 2(x + y + z) víi mäi x, y, z DÊu b»ng x¶y x = y = z = Bµi : Cho a, b, c, d, e số thực : Chøng minh r»ng : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a(b + c + d + e) Gi¶i : XÐt hiƯu : H = a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - a(b + c + d + e) a a a a = ( − b )2 + ( − c )2 + ( − d )2 + ( − e )2 a Do ( − b )2 ≥ víi mäi a, b a Do( − c )2 ≥ víi mäi a, c a Do ( − d )2 ≥ víi mäi a, d Đề tài : Rèn luyện kỹ CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS a Do ( − e )2 ≥ víi mäi a, e => H ≥ víi mäi a, b, c, d, e DÊu '' = '' x¶y b = c = d = e = a Bµi : Chứng minh bất đẳng thức : a2 + b2  a + b  ≥    Gi¶i : XÐt hiƯu : H = = = a + b2  a + b  −    2(a + b ) − (a + 2ab + b ) 1 (2a + 2b − a − b − 2ab) = (a − b) ≥ 4 Víi mäi a, b DÊu '' = '' x¶y a = b Phơng pháp ; Dùng phép biến đổi tơng đơng - Kiến thức : Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức bất đẳng thức đà đợc chứng minh - Một số bất ®¼ng thøc thêng dïng :  (A ± B)2 = A2 ± 2AB + B2  (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC  (A ± B)3 = A3 ± 3A2B + 3AB2 ± B3  VÝ dơ : Bµi : Cho a, b hai số dơng có tổng Chøng minh r»ng : Gi¶i: 1 + ≥ a +1 b +1 Dïng phÐp biÕn ®ỉi t¬ng ®¬ng ; 3(a + + b + 1) ≥ 4(a + 1) (b + 1)  ≥ 4(ab + a + b + 1) (v× a + b = 1)  ≥ 4ab +  ≥ 4ab  (a + b)2 ≥ 4ab Bất đẳng thức cuối Suy điều phải chøng minh Bµi 2: Cho a, b, c lµ số dơng thoả mÃn : a + b + c = Chøng minh r»ng : (a + b)(b + c)(c + a) a3b3c3 Giải: Đề tài : Rèn luyện kỹ CM Bất đẳng thức cho häc sinh THCS Tõ : (a + b)2 ≥ 4ab , (a + b + c)2 = [ (a + b) + c ] ≥ 4(a + b)c => 16 ≥ 4(a + b)c => 16(a + b) ≥ 4(a + b)2c ≥ 16 abc => a + b ≥ abc T¬ng tù : b + c ≥ abc c + a ≥ abc => (a + b)(b + c)(c + a) ≥ a3b3c3 Bµi : Chøng minh bất đẳng thức : a3 + b3 a + b  ≥    ; a > ; b > Giải : Dùng phép biến đổi tơng đơng : Với a > ; b > => a + b > a3 + b3  a + b  ≥     a+b  a + b   a + b 2  .(a − ab + b ) ≥            a2 - ab + b2 ≥ a +b       4a2 - 4ab + 4b2 ≥ a2 + 2ab + b2  3a2 - 6ab + 3b2 ≥ 3(a2 - 2ab + b2) Bất đẳng thức cuối ; suy : a3 + b3  a + b  ≥    Bµi 4: Cho sè a, b tho¶ m·n a + b = CMR a3 + b3 + ab ≥ Gi¶i : Ta cã : a3 + b3 + ab ≥ a3 + b3 + ab - (a + b)(a2 - ab + b2) + ab a2 + b2 - 2 ≥0 ≥0 ≥ V× a + b = 2a2 + 2b2 - ≥ 2a2 + 2(1-a)2 - ≥ ( v× b = a -1 ) 4a2 - 4a + ≥ ( 2a - )2 Bất đẳng thức cuối Vậy a3 + b3 + ab ≥ DÊu '' = '' xảy a = b = Bài : Chứng minh bất đẳng thức : a3 + b3  a + b  ≥   2 Đề tài : Rèn luyện kỹ CM Bất đẳng thức cho häc sinh THCS Trong ®ã : a > , b > Gi¶i : Víi a > , b > => a + b > a3 + b3  a + b  ≥    Ta cã : a +b  a + b  a + b    a − ab + b ≥         a +b a − ab + b ≥     ( ) 2 4a2 - 4ab + 4b2 ≥ a2 + 2ab + b2 3(a2 - 2ab + b2 ) ≥ 3(a - b)2 ≥ BÊt đẳng thức => a3 + b3 a + b  ≥    DÊu '' = '' x¶y a = b Bµi : Víi a > , b > Chứng minh bất đẳng thức : a − a b ≥ b− b a Gi¶i : Dïng phép biến đổi tơng đơng : a a b  (  [(    ≥ b− b a a a + b b ) − ab ( a + b ) ] ≥0 a ) + ( b ) − ab ( a + b ) ≥ 3 ( a + b )(a − ab + b) − ab ( a + b ) ≥ ( a + b )( a − ab + b) ≥ ( a + b )( a b ) Bất đẳng thức cuối ; suy : a − a b ≥ b− b a Phơng pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuéc - KiÕn thøc : Dïng c¸c bÊt đẳng thức quen thuộc nh : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để biến đổi chứng minh , Một số hệ từ bất đẳng thức : x2 + y2 ≥ 2xy Víi a, b > , C¸c vÝ dơ : a b + ≥2 b a §Ị tài : Rèn luyện kỹ CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS Bài : Giả sử a, b, c số dơng , chứng minh rằng: a b c + + >2 b+c c+a a+b Gi¶i ¸p dơng B§T Cauchy , ta cã : a + (b + c) a 2a ≥ b+c a +b+c  ≥ a (b + c ) T¬ng tù ta thu đợc : b 2b c+a a+b+c c 2c a+b a+b+c , Dấu ba BĐT đồng thời xảy , cã : a = b + c , b = c + a , c = a + b nªn a + b + c = ( tr¸i víi giả thiết a, b, c số dơng ) Tõ ®ã suy : a b c + + >2 b+c c+a a+b Bµi 2: Cho x , y số thực thoả mÃn : x2 + y2 = x − y + y − x Chøng minh r»ng : 3x + 4y ≤ Gi¶i : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có : 1 (x2 + y2)2 = ( x − y + y − x )2 ( x ≤ ; y ≤ ) 2 2 ≤ (x + y )(1 - y + - x ) => x + y2 ≤ Ta l¹i cã : (3x + 4y)2 ≤ (32 + 42)(x2 + y2) ≤ 25 => 3x + 4y ≤ 2 Đẳng thức xảy Điều kiện :  2 x + y =  x > 0, y >  x y  3=4   x =  y =  5 ≤x≤ 2 Bµi 3: Cho a, b, c ≥ ; a + b + c = Chøng minh r»ng : a, a + b + b + c + c + a ≤ b, a +1 + b +1 + c +1 < 3,5 Giải a, áp dụng bất dẳng thức Bunhiac«pxki víi bé sè ta cã : ( a +b + b +c + c +a 1) ≤(1 +1 +1)( a +b ) +( b +c ) +(   => => ( a +b + b +c + c + a ) ≤ 3.(2a + 2b + ac) = a +b + b +c + c +a ≤ c +a ) Đề tài : Rèn luyện kỹ CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS DÊu '' = '' x¶y : a = b = c = b, ¸p dụng bất đẳng thức Côsi , ta có : (a + 1) + a = +1 2 b b +1 ≤ +1 ; a +1 ≤ T¬ng tù : c +1 ≤ c +1 Céng tõng vế bất đẳng thức ta đợc : a +1 + b +1 + c +1 ≤ a+b+c + = 3,5 Dấu đẳng thức xảy a = b = c =0 trái với giả thiÕt : a + b + c = VËy : a +1 + b +1 + c +1 < 3,5 Bài : Cho số dơng a , b , c tho¶ m·n : a + b + c = Chøng minh r»ng : 1 + + ≥9 a b c Gi¶i : a b + >0 , a , b > b a 1 1 1 1 Ta cã : a + b + c = ( a + b + c ) = ( a + b + c ) (a a a b b c c =1 + b + c + a + + c + a + b + a b b c c a = + (b + a) + (c + b) + (a + c ) ≥ 1 => a + b + c ≥ DÊu ''='' x¶y : a = b = c = Ta cã : + b + c) 3+2+2+2=9 Bµi 1 + ≥ x y x+y a, Cho x , y > Chøng minh r»ng : b, Cho tam gi¸c ABC cã chu vi 2p = a + b + c (a, b , c độ dài cạnh cđa tam gi¸c ) Chøng minh r»ng : 1 1 1 + + ≥2 ( + + ) p − a p −b p −c a b c Giải a, áp dụng bất đẳng thức Côsi ta cã : x + y ≥2 1 + x y => (x + y)( => 1 + x y ≥ 1 + x y x+y ) xy xy Đề tài : Rèn luyện kỹ CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS b, Ta cã : p - a = b+c−a >0 T¬ng tù : p - b > ; p - c > ; ¸p dơng kết câu a , ta đợc ; 1 4 + ≥ = p − a p − b ( p − a ) + ( p − b) c 1 + ≥ p −b p −c a 1 + ≥ p −a p −c b 1 1 1 2( + + ) ≥ 4( + + ) p −a p −c p −c a b c T¬ng tù : => => đIều phải chứng minh Dấu '' = '' x¶y : p - a = p - b = p - c  a = b = c Khi tam giác ABC tam giác Phơng pháp ; Dùng tính chất bất đẳng thức : - Kiến thức : Dùng tính chất đà đợc học để vận dụng vào giải tập Các ví dụ : Bài : Cho số x , y thoả m·n ®iỊu kiƯn : x + y = Chøng minh r»ng : x4 + y4 ≥ Gi¶i Theo tính chất bắc cầu ta có : (x2 - y2) ≥  x4 + y4 ≥ 2x2y2  2(x4 + y4) ≥ (x2 + y2)2 (1) Ta cã : (x - y)2 ≥  x2 + y2 ≥ 2xy  2(x2 + y2 ) ≥(x +y)2 2(x2 + y2 ) ≥ V× : x + y =  x2 + y2 ≥ (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã : x4 + y4 ≥ DÊu '' = '' x¶y x = y = Bµi 2: Cho < a, b, c, d < Chøng minh r»ng : (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > - a - b - c - d Gi¶i : Ta cã : (1 - a)(1 - b) = - a - b + ab Do a, b > nªn ab > => (1 - a)(1 - b) > - a - b Do c < nªn - c > => (1 - a)(1 - b)(1 - c) > (1 - a - b)(1 - c) Đề tài : Rèn luyện kỹ CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS  (1 - a)(1 - b)(1 - c) > - a - b - c + ac + bc Do a, b, c, d > nªn - d > ; ac + bc > ; ad + bd + cd > =>(1 - a)(1 - b)(1 - c) > - a - b - c => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > (1 - a - b - c)(1 - d) => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > - a - b - c - d + ad + bd + cd => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > - a - b - c - d Bµi : Cho < a, b, c < Chøng minh r»ng : 2a3 + 2b3 + 2c3 < + a2b + b2c + c2a Gi¶i : Do a, b < => a3 < a2 < a < ; b3 < b2 < b < ; ta cã : (1 - a2)(1 - b) > => + a2b > a2 + b => + a2b > a3 + b3 hay a3 + b3 < + a2b T¬ng tù : b3 + c3 < + b2c ; c3 + a3 < + c2a => 2a3 + 2b3 + 2c3 < + a2b + b2c + c2a Phơng pháp : Chứng minh ph¶n chøng - KiÕn thøc : Gi¶ sư ph¶i chứng minh bất đẳng thức , ta hÃy giả sử bất dẳng thức sai , sau vận dụng kiến thức đà biết giả thiết đề để suy điều vô lý Điều vô lý trái với giả thiết , điều trái nhợc , từ suy đẳng thức cần chứng minh Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức : + Dùng mệnh đề đảo + Phủ định suy điều trái với giả thiết + Phủ định suy trái với đIều + Phủ định suy hai đIều tràI ngợc + Phủ định suy kết luận Các ví dụ : Bài : Cho < a,b,c,d 3b(1 - c) > 8c(1 - d) > 32d(1 - a) > Gi¶i: 10 Đề tài : Rèn luyện kỹ CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS Đặt : a = x2 − y2 (1 + x )(1 + y ) => ab = vµ b = 1− x2 y2 (1 + x )(1 + y ) ( x − y )(1 − x y ) (1 + x ) (1 + y ) Ta cã dƠ thÊy víi mäi a, b th× : - 1 (a − b) ≤ ab ≤ ( a + b) 4 2 Mµ : (a - b)2 = 1 −   x + 1   (a + b) = Suy : - ≤   1 −  y +1  ab ≤ Bµi : Cho a, b, c > ; a + b + c ≤ Chøng minh r»ng : 1 + + ≥9 a + 2bc b + 2ca c + 2ab Gi¶i : §Ỉt : a2 + 2bc = x ; b2 + 2ca = y ; c2 + 2ab = z Khi ®ã : x + y + z = a2 + 2bc + b2 + 2ca + c2 + 2ab = (a + b + c)2 Bài toán trở thµnh : Cho x, y, z > , x + y + z ≤ Cøng minh r»ng : 1 + + ≥9 x y z Ta chứng minh đợc : (x + y + z)( 1 + + ) ≥9 x y z Theo bất đẳng thức Côsi Mà : x + y + z ≤ nªn suy 1 + + x y z 7.Phơng pháp 7: Dùng phép quy nạp toán học - Kiến thức : Để chứng minh bất đẳng thức với n > phơng pháp quy nạp toán học , ta tiến hành : + Kiểm tra bất đẳng thøc ®óng víi n = (n = n0) + Giả sử bất đẳng thức với n = k > (k > n0) + Chứng minh bất đẳng thøc ®óng víi n = k + + KÕt luận bất đẳng thức với n > (n > n0) - VÝ dơ : Bµi : 13 Đề tài : Rèn luyện kỹ CM Bất đẳng thøc cho häc sinh THCS Chøng minh r»ng víi mäi số nguyên dơng n 2n > 2n + (*) Gi¶i : + Víi n = , ta cã : 2n = 23 = ; 2n + = 2.3 + = ; > Vậy đẳng thức (*) với n = + Giả sử (*) với n = k (k ∈ N ; k ≥ 3) , tøc lµ : 2k > 2k + ta ph¶i chøng minh : 2k+1 > 2(k + 1) + hay : 2k+1 > 2k + (**) + ThËt vËy : 2k+1 = 2.2k , mµ 2k > 2k + ( theo giả thiết quy nạp ) ®ã : 2k +1 > 2(2k + 1) = (2k + 3) +(2k - 1) > 2k + ( V× : 2k - > 0) VËy (**) ®óng víi mäi k ≥ + KÕt ln : 2n > 2n + víi mäi sè nguyªn dơng n Bài : ( Tơng tự ) Tìm số nguyên dơng n cho 2n > 5n Bµi : Chøng minh r»ng : 2n −1 ≤ 2n 3n +1 (*) (n lµ sè nguyên dơng ) Giải : + Với n = , ta cã : VT = VP = VËy (*) ®óng víi n = + Giả sử (*) với n = k ta cã : 2k −1 ≤ 2k 3k +1 Ta cần chứng minh (*) với n = k + , tøc lµ : cần chứng 2k +1 2k −1 2k +1 2(k +1) ≤ 3k +1 2(k +1) 2k 2k +1 minh : 3k +1 2(k +1) ≤ 3(k +1) +1 dùng phép biến đổi tơng đơng , ta có : (2k + 1)2(3k + 4) ≤ (3k + 1)4(k +1)2  12k3 + 28k2 + 19k + ≤ 12k3 + 28k2 + 20k +4 k ≥0 => (**) ®óng víi mäi k ≥ VËy (*) dóng víi số nguyên dơng n Ngoài có số phơng pháp khác để chứng minh bất đẳng thức nh : Phơng pháp làm trội , dùng bất đẳng thức tam giác , tam thức bậc hai ta phải vào đặc thù bàI toán mà sử dụng phơng 14 Đề tài : Rèn luyện kỹ CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS pháp cho phù hợp Trong phạm vi nhỏ đề tàI không hệ thống phơng pháp Phần iii : ứng dụng bất đẳng thức I- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị - Kiến thức : Nếu f(x) m f(x) có giá trị nhỏ m Nếu f(x) M f(x) có giá trị lớn M Ta thờng hay áp dụng bất đẳng thức thông dụng nh : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Kiểm tra trờng hợp xảy dấu đẳng thức để tìm cực trị Tìm cực trị biểu thức có dạng đa thức , ta hay sử dụng phơng pháp biến đổi tơng đơng , đổi biến số , số bất đẳng thức Tìm cực trị biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối , ta vận dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối A + B ≥ A +B Chó ý : X¶y dÊu '' = '' AB ≥ A ≥0 DÊu ''= '' x¶y A = Ví dụ : Bài : Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc : B = a3 + b3 + ab ; Cho biết a b thoả mÃn : a + b = Gi¶i B = (a + b)(a2 - ab + b2) + ab = a2 - ab + b2 + ab = a2 + b2 Ta cã : 2(a2 + b2) ≥ (a + b)2 = => a2 + b2 ≥ VËy B = a = b = 2 Bài 2: a, Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc : A = (x2 + x)(x2 + x - 4) b, Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc : B = - x2 - y2 + xy + 2x +2y Gi¶i a, A = (x2 + x)(x2 + x - 4) Đặt : t = x2 + x - => A = (t - 2)(t + 2) = t2 - ≥ - DÊu b»ng x¶y : t =  x2 + x - = (x - 2)(x + 2) =  x = -2 ; x = 15 Đề tài : Rèn luyện kỹ CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS => A = - x = -2 ; x = ; b, Tơng tự Bài : Tìm giá trị nhỏ biểu thức a, C = x −3 + x −1 b, D = x + x +3 + x + x −6 c, E = x −1 + x −2 + x + x Giải : a, áp dơng B§T : A + B ≥ A +B DÊu '' = ''x¶y AB ≥ => C = x −3 +1 −2 x ≥ x −3 +1 −2 x = −2 =2 2 ≤x≤ 2 DÊu '' = '' x¶y (2x - 3)(1 - 2x) ≥  ≤x≤ 2 VËy minC = b, T¬ng tù : minD = : -3 ≤ x ≤ c, minE = : ≤ x ≤ Bµi : Cho a < b < c < d , t×m : b c Minf(x) = x −a + x − + x − + x −d Híng dÉn : t¬ng tù : minf(x) = d + c - b - a b ≤ x ≤ c Bµi : Cho ba số dơng x , y , z thoả mÃn : Tìm giá trị lớn tích : P = xyz Giải : 1+x (1 - Tơng tự : 1+ y 1+ y )+(1- ≥2 1+z ≥2 Bµi : )= y 1+ y + + z 1+z 1+ y ≥2 + ≥ 1+ z yz (1 + y )(1 + z ) zx (1 + x )(1 + z ) xy (1 + x)(1 + y ) Tõ ®ã suy : P = xyz ≤ MaxP = 1+z 1+x x = y = z = Cho sè d¬ng a, b, c th¶o m·n : a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : F = 1 (a + ) + (b + ) + (c + ) a b c Gi¶i: Ta cã : F = (a2 + b2 + c2) + ( 1 + + 2)+6 a b c 16 Đề tài : Rèn luyện kỹ CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki , ta cã : (a.1 + b.1 + c.2)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) => a2 + b2 + c2 ≥ 1 1 1 + + ) ≤ 3( + + ) a b c a b c 1 1 1 1 kh¸c : a + b + c = ( a + b + c ).1 = ( a + b + c )(a + b + c) a b b c c a = + (b +a ) + (c +b ) + (a + c ) ≥ + + + 1 => a + b + c ≥ 1 => ( a + b + c ) ≥ 81 T¬ng tù : MỈt ( => ( =9 1 + + ) ≥ 27 a b c F≥ + 27 + = 33 = Dấu '' = '' xảy : a = b = c = Vậy MinF = 33 : a = b = c Bài : Cho G = yz x −1 + zx y − + xy z − xyz Tìm giá trị lớn G : Giải : Tập xác định : x ≥ ; y ≥ ; z ≥ Ta cã : G = x −1 x y −2 y + x −1 ≤ Theo BĐT Cơsi ta có : T¬ng tù : => G ≤ y −2 ≤ y 2 + ; z −3 z x −1 + => x −1 ≤ x z −3 ≤ z 1 + + 2 2 VËy MaxG = 1 + + 2 2 đạt đợc x = ; y = ; z = Bài a, Tìm giá trị nhỏ H = x x −1 víi x > b Tìm giá trị lớn K = x x HD : áp dụng bất đẳng thức Côsi làm tơng tự nh : II - Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình 17 Đề tài : Rèn luyện kỹ CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS - Kiến thức : Nhờ vào tính chất bất đẳng thức , phơng pháp chứng minh bất đẳng thức , ta biÕn ®ỉi hai vÕ ( VT , VP ) phơng trình sau suy luận để nghiệm phơng trình Nếu VT = VP giá trị ẩn ( thoả mÃn TXĐ) => phơng trình có nghiệm Nếu VT > VP VT < VP giá trị ẩn => phơng trình vô nghiệm - Các ví dụ : Bài : Giải phơng trình : 13 x + x +1 = 16x Giải: Điều kiện : x (*) Cách : áp dụng bất đẳng thức Côsi ta cã : 13 x −1 + x +1 = 13.2 x −1 ≤ 13( x - + + 3.2 x +1 ) + 3(x + + ) = 16x DÊu '' = '' x¶y   x −1 =   x +1 =  x= thoả mÃn (*) Phơng trình (1) cã nghiƯm  dÊu '' = '' ë (2) x¶y VËy (1) cã nghiÖm x = Bài 2: a, Tìm giá trị lớn L = x −3 + − x b Giải phơng trình : x + x - x2 + 4x - = (*) Giải : a Tóm tắt : ( x −3 + − x )2 ≤ 2(2x - + - 2x) =  x −3 + − x ≤ => MaxL = x = b TX§ : ≤x≤ 2 (*)  x −3 + − x = x2 - 4x + VP = (x - 2)2 + ≥ , dÊu '' = '' x¶y x = => víi x = ( tho¶ m·n TXĐ ) VT = VP = => phơng trình (*) có nghiệm x = 18 Đề tài : Rèn luyện kỹ CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS Bài : Giải phơng tr×nh : − x + x + = x2 - 6x + 13 Giải : TXĐ : -2 ≤ x ≤ VP = (x - 3)2 + ≥ DÊu '' = '' x¶y x = VT2 = ( − x + x + 1)2 ≤ (6 - x + x + 2)(1 + 1) = 16 => VT ≤ , dÊu '' = '' x¶y − x = x +  x = => giá trị x để VT = VP => Phơng trình vô nghiệm Bài : Giải phơng trình : x −12 x +16 + y − y +13 = HD : 3x −12 x +16 ≥ ; y − y +13 ≥ => VT ≥ 2 DÊu '' = '' x¶y : x − =  y − =  x =  y = => phơng trình có nghiệm : x = ; y = III - Dïng bÊt đẳng thức để giải hệ phơng trình : - Kiến thức : Dùng bất đẳng thức để biến đổi phơng trình hệ , suy luận kết luận nghiÖm Lu ý : Mét sè tÝnh chÊt : a, a2 + b2 ≥ 2ab b a + c < ; c > => a < b c a >1 b nÕu a > b > - Các ví dụ : Bài : Giải hệ phơng trình : x3 + y y + =  2  x + x y − 2y = 3 (1)  x = - - 2(y - 1)  x ≤ -  x ≤ - (*) 2y (2)  x2 ≤ + y ≤ ( v× + y2 ≥ 2y)  -1 ≤ x ≤ (**) Tõ (*) vµ (**) => x = -1 Thay x = -1 vµo (2) ta cã : y = => Hệ phơng trình có nghiệm : x = -1 ; y = - KiÕn thøc : Biến đổi phơng trình hệ , sau so sánh với phơng trình lại , lu ý dùng bất đẳng thức quen thuộc Bài : Giải hệ phơng trình : 19 Đề tài : Rèn luyện kỹ CM Bất đẳng thức cho häc sinh THCS  x+ y + z =1  4  x + y + z = xyz Giải : áp dụng : BĐT : A2 + B2 ≥ 2AB dÊu '' = '' x¶y A = B Ta cã : x4 + y4 ≥ 2x2y2 ; y4 + z4 ≥ 2y2z2 ; z4 + x4 ≥ 2z2x2 => x4 + y4 + z4 x2y2 + y2z2 + z2x2 (*) Mắt khác : x2y2 + y2z2 ≥ 2x2yz y2z2 + z2x2 ≥ 2xy2z x2y2 + z2x2 ≥ 2xyz2 => 2(x2y2 + y2z2 + z2x2 ) ≥ 2xyz(x + y + z) = 2xyz => x2y2 + y2z2 + z2x2 ≥ xyz (**) Tõ (*) vµ (**) => x4 + y4 + z4 ≥ xyz DÊu '' = '' x¶y : x = y = z mµ x + y + z = nªn : x = y = z = Vậy hệ phơng trình có nghiệm : x = y = z = C¸ch 2: ¸p dụng BĐT Côsi ; - Kiến thức : Dùng phơng pháp Bài : Giải hệ phơng trình x + y + z = 14  ( + + )( x + y + z ) =  2x 3y 6z  (víi x, y, z > 0) Gi¶i : áp dụng : Nếu a, b > : + + )(3 x + y + z ) = 36 x y z x y x z y z  ( y + x ) + 3( z + x ) + 2( z + y ) = 22 x y kh¸c : x, y, z > nên ( y + x ) ≥ 12 (2)  MỈt a b + ≥2 b a ( 3( ( x z + ) ≥6 z x ; 2( z y + ) ≥4 y z x y x z y z + ) + 3( + ) + 2( + ) ≥ 22 y x z x z y DÊu '' = '' x¶y x = y = z , thay vào (1) ta đợc : x + x2 + x3 = 14 (x - 2)(x2 + 3x + 7) = x - = x = Vậy hệ phơng trình có nghiệm nhÊt : x = y = z = 20 Đề tài : Rèn luyện kỹ CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS * Ngoài có số ứng dụng khác bất đẳng thức , đòi hỏi học sinh phải linh hoạt sáng tạo giải , học sinh phải nắm đợc kiến thức bất đẳng thức vận dụng đợc Ví dụ : Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình nghiệm nguyên Bài : Tìm nghiệm nguyên dơng phơng tr×nh : 1 + + x y z =2 Giải : Không tính tổng quát , ta gi¶ sư x ≥ y ≥ z , ta cã : 2= 1 + + x y z ≤ z => 2z ≤ , mµ z nguyên dơng Vậy z = Thay z = vào phơng trình ta đợc : 1 + =1 x y Theo gi¶ sư , x ≥ y , nªn = 1 + x y ≤ y Y nguyên dơng nên y = y = Víi y = kh«ng thÝch hỵp Víi y = ta cã : x = VËy (2 ; ; 1) lµ mét nghiệm phơng trình Hoán vị số , ta đợc nghiệm phơng trình : (2 ; ; 1) ; (2 ; ; 2) ; (1 ; ; 2) Thùc nghiƯm s ph¹m Bài vận dụng Bất đẳng thức để giải phơng trình A Mục tiêu - Giới thiệu hớng dẫn học sinh nội dung kiến thức giải phơng trình nhờ vận dụng kiến thức bất đẳng thức Bunhiacôpxki tính chất bất đẳng thức - Hình thành kỹ giải phơng trình nhờ vận dụng kiến thức bất đẳng thức thông qua việc chữa tập đợc đa sở toán chứng minh bất đẳng thức , kết suy từ bất đẳng thức quen thuộc hay tính chất bất đẳng thức - Học sinh nắm đợc ph]ơng pháp giải , nhận dạng đợc dạng tập biết vận dụng vào giải tập tơng tự 21 Đề tài : Rèn luyện kỹ CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS - học sinh đợc rèn cách trình bày lời giải , lập luận chặt chẽ xác , phát huy tính tích cực sáng tạo học sinh B Chuẩn bị : C Các hoạt động dạy học 1, ổn định lớp 2, Kiểm tra cũ HS1: Tìm Min M = x2 - 6x + 13 HS2: T×m Max cđa N = x −3 + − x HS3: BÊt đẳng thức Côsi ; Bunhiacôpxki ? Dấu đẳng thức xảy ? GV: Chữa HS1: M = x2 - 6x + + = (x - 3)2 + ≥ => Min M = x = HS2 : Vận dụng BĐT Bunhiacôpxki ta cã : ( x −3 + − x 1)2 ≤ (1 + 1)(2x - + - 2x) = => x −3 + − x ≤ => Max N = 2x - = - 2x x = HS3 : Viết BĐT 3, Bài : a, Đặt vấn đề : Định nghĩa phơng trình ẩn x ? cách giải ? HS : Có dạng A(x) = B(x) , A(x) , B(x) biểu thức biến x Cách giải : Tìm ĐKXĐ (nếu có) Tìm tất ác giá trị biến thoả mÃn ĐKXĐ nghiệm phơng trình ®· cho GV : NÕu ta cã A(x) ≥ a ; B(x) a , phơng trình A(x) = B(x) cã nghoiƯm nµo ? HS : Khi A(x) = B(x) = a ( xảy trờng hợp dấu ) GV : Đặt vấn đề vào B, Bài giảng : 22 Đề tài : Rèn luyện kỹ CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS Hoạt động thày trò Nội dung Hoạt động 1: Dạng 1: GV: yêu cầu HS giải tập Gợi ý: ? Nhận xét vế trái (1) HS : VT Vậy phơng trình (1) có nghiệm ? 1, Bài 1: Giải phơng trình : a, x − + − x = (1) b, x −1 + x =10 (2) Giải GV : yêu cầu hs làm câu b Hs trình bày lời giải VT 2; x¶y '' = '  x = VËy 91) cã nghiƯm x = b, §k : ≤ x ≤ (3 x −1 + − x )2 ≤ (9+ 16)(x - + x) = 25 = 100 => VT ≤ 10 a, §k : ≤x≤ 2 61 25 61 VËy (2) cã nghiÖm x = 25 DÊu '' = '' x¶y x = 23 Đề tài : Rèn luyện kỹ CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS Hoạt động 2: Vận dụng hớng dẫn HS Bài 2: Giải PT biến đổi GV: Yêu cầu hs nhận dạng pt HS : biến đổi suy - VT ≤ - VP ≥ ? VËy PT cã nghiƯm kh«ng ? cã nghiƯm nµo ? HS : PT cã nghiƯm VT = VP = HS: trình bày lời giải GV : Yêu cầu HS làm tập ? Em hÃy nêu cách giải phơng trình GV gọi ý : Em có nhận xét VT phơng trình HS : Chứng minh đợc VT 16x => tìm nghiệm PT GV : NhËn xÐt HS hoµn thµnh bµi tËp vµo vë 2x − + − 2x − x2 + 4x − =  2x − + − 2x = x2 − 4x + HD : VT ≤ DÊu '' = '' x¶y x = VP ≥ DÊu '' = '' x¶y x = Vậy phơng trình có nghiệm x=2 Bài : Giải phơng trình : 13 x + x +1 = 16x §iỊu kiƯn : x ≥ (*) Cách : áp dụng bất đẳng thức Côsi ta cã : 13 x −1 + x +1 = 13.2 x −1 + 3.2 ≤ 13( x - + x +1 ) + 3(x + + ) = 16x 4 DÊu '' = '' x¶y   x −1 =  x= tho¶ m·n  x +1 =  PT (1) cã nghiƯm  dÊu '' = '' ë (2) x¶y VËy (1) cã nghiÖm x = 24 Đề tài : Rèn luyện kỹ CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS Hoạt động 3: Dạng GV : Lu ý A ≥ ; A2 ≥ Xảy dấu '' = '' ? HS : dÊu '' = '' x¶y A = Gv: yêu cầu hs tìm L ? áh trình bày lời giải GV : hớng dẫn HS t×m GTNN cđa x −10 x + ? => đpcm GV đề xuất toán ; ? Nêu đặc điểm biểu thức ? HS rót nhËn xÐt : VT ≥ ? Tìm x để VT = VP Bài a, Tìm cña L = 3x + x +12 b, Chøng minh r»ng : x + x +12 + x −10 x + ≥ gi¶i: a, Ta cã : 3(x + 1)2 + ≥ => L = 3x + x +12 ≥ X¶y dÊu '' = '' x = -1 VËy L = x = -1 b, T¬ng tù ; x −10 x + ≥ VËy : 3x + x +12 + x −10 x + Bài : Giải PT x + x +12 + x −10 x + = HD : x + x +12 ≥3 dÊu '' = '' x¶y x - x −10 x + ≥ dÊu '' = '' xảy x = Vậy PT vô nghiệm Hoạt động : Vận dụng GV : yêu cầu HS giải phơng trình HS lên bảng trình bày lời giải HS dới lớp làm vào BT Bài : GPT x + x + + x +10 x + 14 = − x − x Gi¶i; x + x + = 3( x +1) + ≥ X¶y dÊu '' = '' x = -1 x +10 x +14 = 5( x +1) + ≥ X¶y dÊu '' = '' x = -1 VËy PT cã nghiƯm : x = -1 Ho¹t động Củng cố ? Khái quát cách giải PT A(x) = B(x) A(x) ≥ m x¶y dÊu '' = '' x = a B(x) ≤ m x¶y dÊu '' = '' x = b => PT cã nghiÖm x = a nÕu a = b NÕu a # b => PT v« nghiƯm 4, Híng dẫn học nhà : Xem lại cách giải tập đà chữa lớp Vận dụng tốt kiến thức đà học để giải tập Bài tập nhà : Bài 1: Giải PT : a, 3x −12 x + + b, x − x + + y − y +13 = x − x +14 = −2 x + x + 3 25 Đề tài : Rèn luyện kỹ CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS D, Tỉng kÕt - Rót kinh nghiƯm PhÇn kÕt ln BÊt đẳng thức kiến thức khó , có nhiều phơng pháp giải , có nhiều ứng dụng việc giải dạng toán , toán bất đẳng thức lại đa dạng phong phú , thông thờng lời giải mẫu Vì để giúp học 26 Đề tài : Rèn luyện kỹ CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS sinh học tốt kiến thức bất đẳng thức vận dụng đợc số kiến thức cần thiết , số phơng pháp suy nghĩ cần thiết môn toán Việc hệ thống lại phơng pháp chứng minh , ví dụ tập minh hoạ kèm theo , kiến thức lu ý , gỵi ý häc sinh , sÏ gióp cho học sinh hiểu đợc rộng sâu phơng pháp giải , số tập vận dụng ®a nh»m ®Ĩ cđng cè kiÕn thøc vỊ bÊt đẳng thức phần đinhj hớng cho học sinh biết cách lựa chọn phơng pháp để giải đợc tập vận dụng Rèn luyện khả t , khả phân tích , tổng hợp , phát huy tính tích cực trí thông minh học sinh Đối với học sinh mà khả nhận thức hạn chế , việc hệ thống lại tính chất , bất đẳng thức thông dụng , phơng pháp giải toán vận dụng giúp cho học sinh hiểu đợc công việc cần thiết giải toán bất đẳng thức , nắm đợc cách trình bày cho dạng toán , tập dần cách phân tích đề để biết cách lựa chọn hớng , kiến thức vận dụng kiến thức phù hợp , nâng dần hiểu biết kiến thức bất đẳng thức Vì kinh nghiệm học tập , giảng dạy nghiên cứu nhiều hạn chế , nên đề tài không tránh khỏi thiếu xót , có vấn đề nội dung đặt cha , việc trình bày đề tài cha tốt , nên mong nhận đợc quan tâm , bảo đóng góp ý kiến giúp đỡ từ phía thấy cô giáo , bạn đồng nghiệp , em học sinh , để việc nghiên cứu kiến thức bất đẳng thức ngày tốt , sâu , để áp dụng vào giảng dạy có hiệu tốt , để giúp em học sinh ngày giỏi Tôi xin trân thành cảm ơn ! Hải Dơng , Ngày 14 tháng năm 2006 Tài liệu tham khảo 1.Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ Số 340 tháng 10 năm 2005 - NXBGD Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ Số 341 tháng 11 năm 2005 - NXBGD Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ Số 342 tháng 12 năm 2005 - NXBGD 27 ... Dùng phép biến đổi tơng đơng - Kiến thức : Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức bất đẳng thức đà đợc chứng minh - Một số bất đẳng thức thờng dùng :  (A ± B)2 = A2... + a2b + b2c + c2a Ph¬ng pháp : Chứng minh phản chứng - Kiến thức : Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức , ta hÃy giả sử bất dẳng thức sai , sau vận dụng kiến thức đà biết giả thiết đề để suy... kiến thức bất đẳng thức Bunhiacôpxki tính chất bất đẳng thức - Hình thành kỹ giải phơng trình nhờ vận dụng kiến thức bất đẳng thức thông qua việc chữa tập đợc đa sở toán chứng minh bất đẳng thức