Bài 2: Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa về tổng các bình phương luôn không âm. Bài 3: Cách làm tương tự bài 3[r]
(1)MỘT SỐ PP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CHO THCS
1) Định nghĩa bất đẳng thức + a nhỏ b , kí hiệu a < b + a lớn b , kí hiệu a > b ,
+ a nhỏ b , kí hiệu a b, + a lớn b , kí hiệu a b , 2) Một số tính chất bất đẳng thức:
a) Nếu (tính chất bắc cầu) b) Nếu a>b c a+c>b+c
Tức là: Khi cộng vào vế bất đẳng thức với số bất đẳng thức khơng đổi chiều
c) Nếu a>b+c a-c>b
Tức là: Ta chuyển số hạng bất đẳng thức từ vế sang vế phải đổi dấu số hạng
d) Nếu a>b c>d a+c>b+d
Tức là: Nếu cộng vế với vế bất đẳng thức chiều ta bất đẳng thức chiều
Chú ý: Không cộng vế với vế bất đẳng thức ngược chiều e) Nếu a>b c a-c>b-d
Tức là: Nếu trừ vế với vế bất đẳng thức ngược chiều ta đượcmột bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức bị trừ
(2)f) Nếu a>b c>0 ac>bc Nếu a>b c<0 ac Tức là:
Nhân vế bất đẳng thức với cung số dương thfbất đẳng thức không đổi chiều
Nhân vế bất đẳng thức với số âm bất đẳng thức đổi chiều
g) Nếu a>b>0 c>d>0 ac>bd
Tức là: Nếu ta nhân vế với vế hai bất đẳng thức chiều có vế dương ta bất đẳng thức cung chiều
Chú ý: Không nhân vế với vế hai bất đẳng thức ngược chiều
h) Nếu
Tức là: Nếu nhân vế bất đẳng thức dương phép lấy nghịch đảo dổi chiều bất đẳng thức
k) Nếu a>b>0 n nguyên dương Nếu a>b n nguyên dưong 1 Phương pháp sử dụng định nghĩa
Để chứng minh (hoặc ) ta chứng minh (hoặc )
- Lưu ý : A2 với A ; dấu '' = '' xảy A =
- Ví dụ :
(3)
Dấu “ = “ xảy a=b Giải:
Với a,b không âm Dấu “ = “ xảy a=b 2 Phương pháp biến đổi tương đương
- Để chứng minh ta biến đổi tương đương
bất đẳng thức cuối bất đẳng thức hiển nhiên bất đẳng thức đơn giản bất đẳng thức
- Một số đẳng thức thường dùng : (A+B)2=A2+2AB+B2
(A-B)2=A2-2AB+B2
(A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC
(A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3
(A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3
Ví dụ:
Chứng minh
Giải
(4)
3 Phương pháp quy nạp toán học
- Kiến thức : Để chứng minh bất đẳng thức với n > 1 phương pháp quy nạp toán học , ta tiến hành : + Kiểm tra bất đẳng thức với n = (n = n0)
+ Giả sử bất đẳng thức với n = k > (k > n0)
+ Chứng minh bất đẳng thức với n = k + + Kết luận bất đẳng thức với n > (n > n0)
Chú ý: Khi chứng minh bất đẳng thức có n số (n N) Thì ta nên chú ý sử dụng phương pháp quy nạp toán học
- Ví dụ :
Chứng minh bất đẳng thức Côsi trường hợp tổng quát Với
Giải:
Dùng phương pháp quy nạp: + Với n =
+ Với n = k cần chứng minh
(5)4 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cô-sy:
Với số a,b không âm ta có: Dấu "=" xảy a=b Chứng minh:
Dấu "=" xảy a=b
Dạng tổng quát bất đẳng thức Cô-sy (Cauchy):
Cho n số tự nhiên
Dấu "=" xảy
Ví dụ:Cho a,b,c >0 chứng minh rằng: Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cơ-sy cho số dương ta có:
(1)
(2)
Nhân vế (1) (2) ta Dấu "=" xảy a=b=c Cách khác:
(6)Phương pháp sử dụng Bất đẳng thức Bunhacơpski Cho a, b, c số thực
hoặc viết
Dấu "=" xảy Tổng quát:
Dấu "=" xảy
Ví dụ: Cho Chứng minh rằng:
Giải:
6 Phương pháp phản chứng.
- Kiến thức : Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức , ta giả sử bất đẳng thức sai , sau vận dụng kiến thức biết giả thiết đề để suy điều vô lý
Điều vô lý trái với giả thiết , điều trái nhược , từ suy đẳng thức cần chứng minh - Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức :
+ Dùng mệnh đề đảo
(7)+ Phủ định suy trái với đIều
+ Phủ định suy hai điều trái ngược + Phủ định suy kết luận
Ví dụ: Chứng minh khơng có số a,b,c dương thỏa mãn bất đẳng thức:
Giải:
Giả sử tồn số dương thỏa mãn bất đẳng thức
Cộng theo vế bất đẳng thức ta được:
Mà theo bất đẳng thức Cơ-sy
Điều mâu thuẫn với (1) nên không tồn số a,b,c dương thỏa mãn bất đẳng thức
7 Phương pháp làm trội, làm giảm.
Dùng tính chất BĐT để đưa vế BĐT cần chứng minh dạng để tính tổng hữu hạn tích hữu hạn
(8)Giải:
Với số tự nhiên k>1 ta có:
Thay k = 2,3,4 n cộng vế bất đẳng thức ta được:
8 Phương pháp dùng miền giá trị hàm số:
Để chứng minh b < f(x) < a với x ta đặt y = f(x) <=> y - f(x) = có nghiệm
<=> b < f(x) < a Từ suy đpcm Ví dụ: Chứng minh rằng:
Giải: Đặt (*)
(x;y) thỏa mãn (*) phương trình: có nghiệm
có nghiệm Với y= x =
Với y khác
(9)Nếu Nếu
Nếu d >
Ví dụ: Cho a,b,c > chứng minh rằng:
Giải: Ta có:
Cộng vế bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh 10 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối. a/
b/
c/
d/ dấu = A.B >0
(10)Giải: Ta có:
BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN Bài 1: Cho hai số thực.
Chứng minh :
Bài 2: Cho ba số thực Chứng minh :
Bài 3: Cho số thực
Cmr :
Bài 4: Cho số thực dương có tổng Chứng minh rằng:
Bài 5: Cho Chứng minh : Bài 6: Cho Chứng minh :
Bài 7: Cho hai số thực không âm a,b Chứng minh:
Bài 8: Cho Chứng minh:
Bài 9: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh rằng:
Bài 10: Cho Chứng minh:
(11)Bài 12: Cho ba số thực dương Cmr :
Bài 13: Cho a,b,c > Cmr :
Híng dÉn gi¶i
Bài 1: Dùng phương pháp biến đổi tương đương, ý khơng dùng bất đẳng thức Cosi không cho a, b không âm
Bài 2: Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa tổng bình phương ln khơng âm
Bài 3: Cách làm tương tự 3.
Bài 4: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski
Bài : Biến đổi tương đương tạo thành tích số khơng âm. Bài : Biến đổi tương đương
Biến đổi tạo thành biểu thức không âm
Bài : Áp dụng bất đẳng thức Cosi phát xong :
Bài 8: Tương tự 7
(12)Chú ý sử dụng kĩ thuật tách hạng tử:
(p nửa chu vi ) Bài 10:Biến đổi
lại áp dụng xong
Bài 11: Áp dụng bất đẳng thức cosi lần cho số.
Bài 12: Cộng hai vế BĐT với BĐT cần chứng minh trở thành
Áp dụng bất đẳng thức 11 xong ! Bài 13 : BĐT