100 bài bất đẳng thức

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT.. “Vì chất lượng thật trong giáo dục”.[r]

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT “Vì chất lượng thật giáo dục” 100 BÀI BẤT ĐẲNG THỨC Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh: a b c    bc ca ab 2 Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x  y  z  xy yz zx Chứng minh :   3 z x y Cho x, y, z >0 thoả x  y  z  Chứng minh:    36 x y z Cho x, y, z là các số thực dương Chứng minh: xyz  ( x  y  z )( y  z  x )( z  x  y ) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1   1  Chứng minh :  a    b    c     b  c  a  Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 1 Chứng minh :    a (b  c) b (c  a ) c (a  b) Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: xyz  x  y  z  xyz Chứng minh : x  y  z  Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) a2+b2+1 ab+a+b b) a2+b2+c2+d2+e2 a(b+c+d+e) c) a3+b3  ab(a+b) d) a4+b4 a3b+ab3 Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) (a+b+c)2  3(ab+bc+ca) b) a2(1+b2)+b2(1+c2)+c2(1+a2) 6abc 10 a) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b=2 Chứng minh rằng: a4+b4 a3+b3 b) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b+c=3 Chứng minh rằng: a4+b4+c4 a3+b3+ c3 583 -727 -TRẦN CAO VÂN - ĐÀ NẴNG*ĐT: 759 389 -3 711 165 thanhdat.edu.vn - - GV: Nguyễn Văn Xê Lop12.net TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT “Vì chất lượng thật giáo dục” 11.Cho a,b,c laø caùc soá döông, Chứng minh rằng: a b c 1   2 ab bc ac 12 Cho số dương a,b, c Chứng minh : a b c d 1    2 abc bcd cda dab 13 Chứng minh với a,b,c > thì: bc ac ab a)   abc a b c ab bc ca abc b)    ab bc ca 3 a b c c)    ab  bc  ca b c a 14.Chứng minh với a,b,c > thì: a b2 a b a)    b a b a 2 a b c2 b)    a  b  c b c a a2 b2 c2 abc c)    bc ca ab 15 Cho x, y, z  và xyz  Chứng minh: x3 y3 z3    (1  y )(1  z ) (1  z )(1  x) (1  x)(1  y ) 16 Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa ab  bc  cd  da  Chứng minh: a3 b3 c3 d3     bcd cd a abd abc 17 Cho ba số dương a, b, c Chứng minh: 1 27    a (a  b) b(b  c) c(c  a ) 2(a  b  c  d ) 18 Cho ba số dương x, y, z thỏa x  y  z  Chứng minh: xy yz zx   3 z x y 583 -727 -TRẦN CAO VÂN - ĐÀ NẴNG*ĐT: 759 389 -3 711 165 thanhdat.edu.vn - - GV: Nguyễn Văn Xê Lop12.net TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT “Vì chất lượng thật giáo dục” 19 Cho các số dương x, y, x thỏa xyz = Chứng minh: xy yz zx   1 x5  xy  y y  yz  z z  zx  x5 20 Cho a, b, c  Chứng minh: 1 1  4   4  4 4 4 a  b  c  abcd b  c  d  abcd c  d  a  abcd d  a  b  abcd abcd 21 Cho x, y, z là các số dương Chứng minh:  x  y  z 2( x  y  z ) 1  y  1  z 1  x    xyz     x3 y z    x yz 22 Cho ba số dương x ,y, z Chứng minh: yz zx zx 23.Cho ba số dương a, b, c Chứng minh a  b  c  2(ab  ac) 24.Cho ba số dương a, b, c thỏa a + b + c = Chứng minh: a b c    2 2 1 b 1 c 1 a 25 Chøng minh r»ng : a  b2  a  b  a)   ;   a  b2  c2  a  b  c   b)  3   26 Chứng minh m,n,p,q ta có m + n + p + q +1 m(n + p + q + 1) 27 Cho a, b, c, d,e lµ c¸c sè thùc, Chøng minh r»ng b2 a) a   ab b) a  b   ab  a  b c) a  b  c2  d  e2  a  b  c  d  e       28 Chøng minh r»ng: a10  b10 a  b  a  b8 a  b  583 -727 -TRẦN CAO VÂN - ĐÀ NẴNG*ĐT: 759 389 -3 711 165 thanhdat.edu.vn - - GV: Nguyễn Văn Xê Lop12.net TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT “Vì chất lượng thật giáo dục” x  y2 29 Cho x.y =1 vµ x.y = Chøng minh 2 xy 30 Cho a, b ,c lµ c¸c sè kh«ng ©m chøng minh r»ng (a+b)(b+c)(c+a)  8abc 31 Cho a>b>c>0 vµ a  b  c2  Chøng minh r»ng: a3 b3 c3    bc ac ab 32 Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1 Chøng minh r»ng: a  b  c  d  a  b  c   b  c  d   d  c  a   10 33 Cho sè a,b,c,d bÊt kú chøng minh r»ng: (a  c)  (b  d)  a  b  c  d 34 Cho <a,b,c <1 Chøng minh r»ng: 2a  2b3  2c3   a 2b  b 2c  c2a 35 Cho a,b,c,d > Chøng minh r»ng a b c d 1    2 abc bcd cda dab 36 Cho a c a ab  cd c < vµ b,d > Chøng minh r»ng: <  b d b b2  d d 37 Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng 1 1      n 1 n  nn 38 Chøng minh r»ng: 1 1    2 n   n 1 1 ( Víi n lµ sè nguyªn dương) 39 Cho a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c,chøng minh r»ng: a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) 40 Cho a,b,c > vµ a+b+c <1 Chøng minh r»ng 1   9 a  2bc b  2ac c2  2ab (1) 583 -727 -TRẦN CAO VÂN - ĐÀ NẴNG*ĐT: 759 389 -3 711 165 thanhdat.edu.vn - - GV: Nguyễn Văn Xê Lop12.net TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT 41 Chøng minh r»ng 1 1    2 n 12 22 n2 “Vì chất lượng thật giáo dục” ( n  N ; n  ) 42 Cho n  N vµ a+b> n a n  bn ab Chøng minh r»ng  (1)     a2  b2+c2> ab + bc + ac 43 Cho abc = vµ a  36 Chøng minh r»ng: 44 Chøng minh r»ng a) x  y  z   2x.(xy  x  z  1) b) a  5b  4ab  2a  6b   c) a  2b  2ab  2a  4b   45 Cho x > y vµ xy =1 Chøng minh r»ng  x  y2  x  y  2 8 46 Cho xy  Chøng minh r»ng 1    x  y  xy 47 Cho a , b, c lµ c¸c sè thùc vµ a + b +c =1 Chøng minh r»ng a  b  c2  48 Cho < a, b,c <1 Chøng minh r»ng: 2a  2b3  2c3   a 2b  b 2c  c2a 49 Cho a ,b ,c ,d > Chøng minh r»ng: ab bc cd d a 2    3 abc bcd cd a d ab 50 Cho a ,b,c lµ sè ®o ba c¹nh tam gi¸c Chøng minh r»ng: a b c 1   2 bc ca ab 51.Chøng minh: 583 -727 -TRẦN CAO VÂN - ĐÀ NẴNG*ĐT: 759 389 -3 711 165 thanhdat.edu.vn - - GV: Nguyễn Văn Xê Lop12.net TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT “Vì chất lượng thật giáo dục” 1 1     1.3 3.5 (2n  1).(2n  1) 1 b)     2 1.2 1.2.3 1.2.3 n a) 52.Chứng minh rằng: bc ca ab    a  b  c a, b, c  a b c 53.Chứng minh rằng: a b2 c2 b c a      b2 c2 a a b c abc  54 Cho tam giác ∆ABC, a,b,c là số đo ba cạnh tam giác CMR: a)  p  a   p  b   p  c   abc ; b)    2      p  a p  b p  c  a b c  55 Cho ∆ ABC, a, b, c là số đo ba cạnh tam giác Chứng minh rằng:  b  c  a  c  a  b  a  b  c   abc 56 Cho a>0, b>0 Chứng minh: 57.Chứng minh rằng: a b    a  b b 1 1 a c2 a2 b2 abc    ab bc ca a, b, c  58 Cho x, y, z  (0;1) và xy  yz  zx  Chứng minh: x y z 3    2 2 1 x 1 y 1 z 59 Cho ∆ABC Chứng minh rằng: a2 b2 c2    abc b  c  a c  a b a b c 60.Cho ∆ ABC Chứng minh : ( b + c – a ).( c + a – b ).( a + b – c ) ≤ abc 61 Cho ∆ABC Chứng minh :  p  a   p  b   p  c  p  p  a   p  b  p  c 62 Chứng minh a, b, c > va abc = thì: 1   1 2a 2b 2c 583 -727 -TRẦN CAO VÂN - ĐÀ NẴNG*ĐT: 759 389 -3 711 165 thanhdat.edu.vn - - GV: Nguyễn Văn Xê Lop12.net TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT “Vì chất lượng thật giáo dục” 63 Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh a b3 c    a  b2  c2 b c a 64.Cho a>0, b>0, c>0 4 3 Chứng minh: a2  b2  c  a  b  c b c a b c a 65 Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh: 1 1 1      a b3 c a 2b b c c a 66.Cho a>0, b>0, c>0 a b c 1 Chứng minh:      b b c a b c 67.Cho a>0, b>0, c>0 a b2 c2 a b c Chứng minh:      b c a b c a 68.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh: a b2 c2 1      b5 c a a b3 c 69.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh: a b c 1      b2 c2 a a b c 70.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh: 1 2(a  b3  c ) 2  a  b  c        a b2 c2  abc   71.Cho a,b,c là cạnh tam giác Chứng minh 4 b  c  a c  a  b a  b  c  f    ab  bc  ca a(a  b  c) b(b  c  a) c(c  a  b) 72.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh: a  b3  c  ab  bc  ca 73.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh: a  b  c  ab3  bc  ca 74.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh: a  b5  c  a 3b  b3c  c 3a 583 -727 -TRẦN CAO VÂN - ĐÀ NẴNG*ĐT: 759 389 -3 711 165 thanhdat.edu.vn - - GV: Nguyễn Văn Xê Lop12.net TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT “Vì chất lượng thật giáo dục” 75.Cho a>0, b>0, c>0 Cho n,k là các số nguyên dương Chứng minh: a nk  b nk  c nk  a n b k  b n c k  c n a k 76.Cho a>0, b>0 4 Chứng minh: a  b   a  b    77.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh: a  b2  c2  a  b  c    3   n n n 78.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh: a  b  c   a  b  c  3   n 79 Cho a, b, c là ba số dương Chứng minh a  b  c3 a  b b  c c  a     2abc c  ab a  bc b  ac 80 Cho x, y, z là số thực dương thỏa mãn xyz=1 Chứng minh rằng: 1   1 x  y 1 y  z 1 z  x 1 81 Cho x, y, z laø ba soá thoûa x + y + z = Chứng minh raèng :  4x   y   4z  82 Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: ab  bc  ca  2abc  27 83 Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 5-x + 5-y +5-z = Chứng minh rằng: 25x 25y 25z   25x  5y  z 5y  5z  x 5z  5x  y  5x  5y  5z 84 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng: 4c 4a b   3 2a  b b  2c c  a 85 Cho a,b,c là ba số thực dương Chứng minh: a  1 1  b3  c       a b c  3bc ca ab     2 a b c  86 Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a b b c c a   3 ab  c bc  a ca  b 583 -727 -TRẦN CAO VÂN - ĐÀ NẴNG*ĐT: 759 389 -3 711 165 thanhdat.edu.vn - - GV: Nguyễn Văn Xê Lop12.net TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT “Vì chất lượng thật giáo dục” 87 Cho các số thực dương x, y, z Chứng minh rằng: x5 y z    x3  y  z y z x 88 Chứng minh với số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  , ta có: a  2a  a b5  2b3  b c5  2c3  c    b2  c2 c2  a2 a  b2 89 Cho a, b, c là c¸c số thực dương thoả m·n abc = Chøng minh r»ng : 1    a (b  c) b (c  a ) c (a  b) 90 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = a3 b3 c3    Chứng minh rằng: b 3 c 3 a 3 91 Cho x, y, z > Chứng minh rằng: y x z 1  2  2 2 2 x y y z z x x y z 92 Cho a, b,c là các số không âm Chứng minh a3 b3 c3   1 a  (b  c)3 b  (c  a ) c  ( a  b)3 93 Cho các số dương a, b, c : ab  bc  ca  Chứng minh rằng: 1 1     a (b  c)  b (c  a )  c (a  b) abc 94 Cho các số thực dương a,b,c thay đổi luôn thoả mãn : a+b+c=1 a  b2 b2  c2 c2  a Chứng minh :    bc ca ab 95 Cho số dương a,b,c thoả mãn: ab + bc + ca = abc Chứng minh: 1 1    a(a  1) b(b  1) c(c  1) 96 Cho x, y, z > Chứng minh rằng: y x z 1      x3  y y  z z  x x y z 583 -727 -TRẦN CAO VÂN - ĐÀ NẴNG*ĐT: 759 389 -3 711 165 thanhdat.edu.vn - - GV: Nguyễn Văn Xê Lop12.net TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT “Vì chất lượng thật giáo dục” 97.Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: a b c   1 3 8c  8a  8b  98 Cho x , y , z lµ ba sè thùc tháa m·n : 2-x + 2-y +2-z = 1.Chøng minh r»ng : 4x 4y 4z   x  y  z y  2z x 2z  x  y  x  2y  2z 99 Cho a, b, c là số dương thoả mãn a + b + c = 10a 3b 2009 Chøng minh r»ng    3b  2009c 2009c  10a 10a  3b 100 Cho ba số dương x, y, z Chứng minh rằng: 1 36    2 x y z  x y  y z  x2 z CHÚC CÁC EM THÀNH ĐẠT ! 583 -727 -TRẦN CAO VÂN - ĐÀ NẴNG*ĐT: 759 389 -3 711 165 thanhdat.edu.vn - 10 - GV: Nguyễn Văn Xê Lop12.net