100 bài bất đẳng thức có lời giải chi tiết

- Biên soạn theo cấu trúc câu hỏi trong đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng của Bộ GD&ĐT.. Nguyễn Trường Giang – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.. Ngô Thị Lý – Khoa CNTT – T

Trang 1

Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!

TUYỂN TẬP 200 BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC

CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT NĂM 2015

- Tài liệu được soạn theo nhu cầu của các bạn học sinh khối trường THPT (đặc biệt là khối 12)

- Biên soạn theo cấu trúc câu hỏi trong đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng của

Bộ GD&ĐT

- Tài liệu do tập thể tác giả biên soạn:

1 Cao Văn Tú – CN.Mảng Toán – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên (Chủ biên)

2 Cô Trần Thị Ngọc Loan – CLB Gia Sư Thái Nguyên(Đồng chủ biên)

3 Thầy Vũ Khắc Mạnh – CLB Gia sư Bắc Giang (Tư vấn)

4 Nguyễn Thị Kiều Trang – SV Khoa Toán – Trường ĐHSP Thái Nguyên

5 Nguyễn Trường Giang – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái

Nguyên

6 Lý Thị Thanh Nga – SVNC – Khoa Toán – Trường ĐH SP Thái Nguyên

7 Ngô Thị Lý – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên

- Tài liệu được lưu hành nội bộ - Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức

- Nếu chưa được sự đồng ý của ban Biên soạn mà tự động post tài liệu thì đều được coi là vi phạm nội quy của nhóm

- Tài liệu đã được bổ sung và chỉnh lý lần thứ 2

Tuy nhóm Biên soạn đã cố gắng hết sức nhưng cũng không thể tránh khỏi sự

Trang 2

Giải

 Áp dụng 1 1 1( 1)

4

x y  x y

 ta có ngay điều phải chứng minh

 Phát triển: Áp dụng (2) cho 3 số a+b, b+c, c+a ta được:

Trang 3

tan 2 tan 2 tan 2 1

1 tan tan 1 tan tan 1 tan tan 4.tan tan tan

yz  xyz

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z hay ABCđều

Bài 5: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện:

x  y z 0, x 1 0, y 1 0, z 4 0 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Trang 4

x y z

Trang 5

Suy ra điều phải chứng minh

Bài 8: Với x, y, z, t là các số dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Vậy MinA = 0 khi x = y = z = t

Bài 9: Cho x, y, z là ba số dương chứng minh rằng: 1 1 1 1 1  

9

x y z  x y z

  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y z

Trang 6

  Suy ra điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c

a b c

b  c  a   

Trang 7

Bài 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

Trang 8

Dấu bằng xảy ra khi

Trang 9

Trang 10

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x    y z 1

Bài 17: Cho 3 số thực dương x, y, z > 0 thoả: x y z  3 Tìm GTNN của biểu thức:

Trang 11

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1điều phải chứng minh

Tổng quát: Ta có bài toán sau: với x x1, , ,2 x nn  2  là số dương và x x1 .2 x n 1 Chứng minh rằng: 1 2

Trang 12

suy ra điều phải chứng minh

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 3

Trang 13

2 2

P dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c Hay x x  y y  z z  x=y=z=1

Bài 22: Cho a, b, c lµ c¸c sè d-¬ng Chøng minh r»ng:

b c b a

Trang 14

92

9)11

1)(

(

)(

2

99

11

c a c

b c b

a b

a

c b a a c

c b a c

b

c b

a

b a a c c b c b

a

c b a b

a a c c b b a a c

Trang 15

Trang 16

KL: Khi dấu = xảy ra

Bài 29: Cho a,b,c >0 Chứng minh rằng:

Trang 17

Bài 32: Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a b c  3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trang 18

Bài 34: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2 Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức P abc  4(3 3 3)15a b c

cca2 2  ( )( bc2 ab)c ab) (3) Dấu ‘=’ xảy ra   a b c

Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên các vế của (1), (2), (3) đều dương Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta có : a b ca ( bc)b ca)c ab) (*)

Trang 19

4 (abc)  1a c 2a c 2 (ab cc aa)  3  3 9b c 8 (ab cc a)  3 (**)

Áp dụng (*) vào (**) cho ta 3 3 3

4 (abc a)   1 5 3b c (  8 )  3  8Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2

Trang 20

Trang 21

2 2

a+b

ab −

4a+b =

(a+b)2−4abab(a+b) =

(a−b)2ab(a+b) 0

 VT  VP Bất đẳng thức được chứng minh

Dấu “=” xảy ra  a = b

Trang 22

Bài 42: Chứng minh rằng: |a| + |b|  |a + b| a, b

Trang 23

Cộng vế với vế hai bất đẳng thức (1) và (2) ta có:

2(a2 + b2)  1  a2 + b21

2

Trang 24

Lại từ (2)  2ab  a2 + b21

2 ab 1

4 − ab  − 1

4 Vậy a3 + b3 = a2 − ab + b2 1

Trang 25

Điều này là vô lí vì x2 0 với mọi x  R

Do đó giả sử sai Vậy 2 2 2    

2 Giả sử mệnh đề cũng đúng với n = k (k  N, k  3) Khi đó 2k > 2k + 1

Ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là

2k+1 > 2(k + 1) + 1 Thật vậy, 2k+1 = 2.2k > 2.(2k + 1) (theo giả thiết quy nạp)

 2k+1 > 4k + 2 > 2k + 3 = 2(k + 1) + 1 (vì k  3)

Vậy mệnh đề đúng với mọi k  3

3 Kết luận: 2n > 2n + 1 với mọi n  N, n  3

Trang 26

Ta thấy các hạng tử của S đều có dạng 1

k2 với k là số tự nhiên từ 2  n Xét

Trang 27

Giải

Ta cã : ( 1 +

a

1) ( 1 +

b

1)  9 ( 1 )

1

b

 - 1 ab

1)  0



) 1 )(

1

2

ab a

a ab

1

2

ab b

b ab

1 (

) (

2

ab a

a b a

1 (

) (

2

ab b

b a b

) a (1 - a b 1 ) (

2 2

1 )(

1 (

) )(

(

2 2

2

ab b

a

b a b ab a a b

1 )(

1 (

) 1 )(

1 )(

1 (

) 1 ( ) (

2 2

2

ab b

a

ab a b

Trang 28

Bài 55: Cho a , b , c , d , e lµ c¸c sè thùc Chøng minh r»ng :

 4a2 + 4b2 + 4c2 + 4d2 + 4e2 - 4ab - 4ac - 4ad - 4ae  0

(a2 - 4ab + 4b2) + ( a2 - 4ac + 4c2) + (a2 - 4ad + 4d2) + (a2 - 4ae + 4e2)  0

3 2

)

(

0 4

3 4 2 2

)

(

0 ) (

)

(

0 ) )(

(

0 ) ( )

(

0

2 2 2

2 2

2

3 3

3 4 3

a b

a

b b

b a a

b

a

b ab a

b

a

b a

b

a

b a b b

a

a b b b

a

Trang 29

Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức cú lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!

(*) đúng với mọi số thực a, b tuỳ ý nên:

Trang 30

Bài 58: Cho a, b, c là các số thực lớn hơn hay bằng 1 chứng minh rằng:

Trang 31

=

2

1 (x y)2 (xz)2 (yz)2 0đúng với mọi x;y;zR

Vì (x-y)2 0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y

(x-z)2 0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z

(y-z)2 0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y

Trang 32

Vậy x2 + y2 + z2  2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;zR

Dấu bằng xảy ra khi x+y=z

2 2

c) Hãy tổng quát bài toán

Giải

a) Ta xét hiệu

2 2

=  

4

2 4

Dấu bằng xảy ra khi a=b

b)Ta xét hiệu

2 2

1 2 2

2 2

a n

a a

Trang 33

4 4

4

2 2

0 2

m q m p m n m

m

m q

m p

m n

Bài 63: Cho a, b, c, d,e lµ c¸c sè thùc chøng minh r»ng

a) a b ab

4

2 2

Trang 34

Dấu bằng xảy ra khi a=b=1

c) a2 b2 c2 d2 e2 abcde

 4 a2 b2 c2 d2 e2  4abcde  a2 4ab 4b2  a2  4ac 4c2  a2 4ad 4d2  a2 4ac 4c2 0

 a 2b 2  a 2c 2 a 2d 2 a 2c2  0

Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh

Bài 64: Chứng minh rằng trong ba bất đẳng thức sau ít nhất có một bất đẳng thức đúng :

a2 + b2 

2

) (bc 2

b2 + c2 

2

) (ca 2

c2 + a2 

2

) (ab 2

(1)

b2 + c2 <

2

) (ca 2

(2)

c2 + a2 <

2

) (ab 2

(3) Cộng vế với vế (1) , (2) ,(3) ta đ-ợc :

a2+ b2 + b2 + c2 + a2 + c2 <

2

) ( ) ( ) (bc 2  ca 2  ab 2

Trang 35

Bài 65: Tìm số nguyên dương n và các số nguyên dương a1 = a2 = = an thoả các điều kiện :

2 2

212121

x y x y z y z x z

Trang 36

2

2 2

2

2 1 1 ( vì x 0)1

x

Vậy hệ có hai họ nghiệm (x, y, z) = {(0; 0; 0) ; (1; 1; 1)}

Bài 67: Cho số nguyên n > 1 Giải hệ phương trình:

2

   Tương tự : xi 1 với mọi i

Cộng n phương trình của hệ theo từng vế ta được:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = = xn = 1

Bài 68: Cho  ABC CMR:

Trang 37

Trang 38

Trang 39

2 2 2

Dấu “ = ” xảy ra  ABC đều : a = b = c

Bài 76: Cho tam giác ABC với a,b,c lần lượt là số đo 3 cạnh của tam giác.CMR

Trang 40

Dấu “ = ” xảy ra cho cả a) và b) khi và chỉ khi  đều : a = b = c

( p là nữa chu vi của ABC:

Trang 41

1 1 1.1

3

1 1 1.1

3

1 1 1.1

Trang 42

Phân tích và tìm tòi lời giải:

Do S là biểu thức đối xứng với a,b,c nên Max S thường xảy ra điều kiện : , , 0

3

3 3

9 4

2 2

3 3

3

2 2

3 3

3

2 2

3 3

Trang 43

ôsi ôsi ôsi

1.1

Nguyên nhân sai lầm

Dấu “ = ” xảy ra  a + b = b + c = c + a = 1  a + b + c = 2 trái với giả thiết

Phân tích và tìm tòi lời giải:

Do vai trò của a, b, c trong các biểu thức là như nhau do đó điểm của BĐT sẽ là

1

3

a b c   từ đó ta dự đoán Max S = 6  a + b = b + c = c + a = 2

3  hằng số cần nhân thêm là 2

3 Vậy lời giải đúng là :

Trang 44

Bài này chúng ta hoàn toàn có thể chia cả 2 vế cho ab, sau đó áp dụng phương pháp đánh giá từ TBN sang TBC như phần trước đã trình bày, tuy nhiên ở đây ta áp dụng một

phương pháp mới : phương pháp nhân thêm hằng số

Ta có :      

ôsi

ôsi 1

Trang 45

Phân tích và tìm tòi lời giải

Để tìm MinS ta cần chú ý S là một biểu thức đối xứng với a,b,c,d > 0 do đó MinS nếu có thường đạt tại điểm rơi tự do là “ là a = b = c = d > 0.( nói là điểm rơi tự do vì a,b,c,d không mang một giá trị cụ thể) Vậy ta cho trước a = b = c = d dự đoán

Trang 46

8

Phân tích và tìm tòi lời giải:

Do S là một biểu thức đối xứng với a,b,c nên dự đoán Min S đạt tại điểm rơi

1 2

a b c   

Trang 47

Phân tích và tìm tòi lời giải

Trang 48

Do S là một biểu thức đối xứng với a,b,c nên dự đoán Min S đạt tại điểm rơi

1 2

Bài 87: Cho a  2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S a 12

Nguyên nhân sai lầm:

Mặc dù chọn điểm rơi a = 2 vàà MinS = 9

4 là đáp số đúng nhưng cách giải trên đã mắc sai lầm trong việc đánh giá mẫu số: Nếu a  2 thì 2 2 2

4

8 a  8.2 đánh giá sai

Trang 49

Để thực hiện lời giải đúng ta cần phải kết hợp với kĩ thuật tách nghịch đảo, phải biến đổi S sao cho sau khi sử dụng BĐT Côsi sẽ khử hết biến số a ở mẫu số

Ta chọn điểm rơi: ta phải tách hạng tử a hoặc hạng tử 1

a để sao cho khi áp dụng BĐT Côsi

dấu “ = ” xảy ra khi a = 2 Có các hình thức tách sau:

a

a a

Chẳng hạn ta chọn sơ đồ điểm rơi (1):

( sơ đồ điểm rơi (2),(3),(4) học sinh tự làm)

Trang 50

Giải

Nhận xét : dưới mẫu số b(a-b) ta nhận thấy b + ( a – b ) = a Chuyển đổi tất cả biểu thức

sang biến a là 1 điều mong muốn vì việc xử lí với một biến sẽ đơn giản hơn Biến tích thành tổng là một mặt mạnh của BĐT Côsi Do đó :

Ta có đánh giá về mẫu số như sau:     2

Vì hạng tử đầu chỉ có a cần phải thêm bớt để tách thành các hạng tử sau khi sử

dụng BĐT sẽ rút gọn cho các thừa số dưới mẫu Tuy nhiên dưới mẫu có dạng

   2

1

a b b  (thừa số thứ nhất là một đa thức bậc nhất b, thừa số thứ hai là một tam thức bậc hai của b) do đó ta có thể tách hạng tử a thành tổng các hạng tử là các thừa số của mẫu

Trang 51

Trang 52

Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Bài toán tổng quát 3

n

CMR x x x x n

Trang 53

Trang 54

1 2

1

2

16 2

16 16

1 4

4

16

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16

1 4 4 4

16

1

4 4

4

dfcm b a c c a b c

b

a

b a c c a b c b a abcc

abbc abc

a

c c b a c b b a c b a a c

b a

Trang 55

)(

(

0 2

0

2

2 2

2 1 1 2 2

2 2 1 2 2

2 2 1

2 2

2

dfcm b

a b

a b a b b

b a a

a

C AB AB

C C B

A

C C A

C A

n n n

Định dạng
Số trang	56
Dung lượng	1,79 MB