Phương pháp tiếp tuyến giải bất đẳng thức

CLB Toán THPT Lê Lợi SỬ DỤNG TIẾP TUYẾN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CLB Hướng tới kỳ thi HSG tới, Chuyên đề thú vị giúp bạn HS có thêm phương pháp chứng minh bất đẳng thức I ĐẶT VẤN ĐỀ Trước vào chuyên đề, bạn thử xem lời giải toán sau Bài toán mở đầu Cho x , y hai số thực dương thỏa mãn x + y = Chứng minh rằng: x + y + 1 + ≥5 x y (1) Giải ≥ −3x + (*) x (2x − 1)2 ≥ 0, ∀x ∈ (0;1) Thật vậy, (*) ⇔ 4x + − ≥ ⇔ x x Ta chứng minh: x + Do (*) với ∀x ∈ (0;1) dấu “=” xảy ⇔ x = Vậy ta có: y + 1 ≥ −3y + (**) dấu “=” xảy ⇔ y = y Từ (*) (**), ta có 1 + ≥ −3(x + y ) + = x y Dấu “=” xảy ⇔ x = y = (đ.p.c.m) Lời bình Thoạt nhìn ta cảm thấy lời giải thật độc đáo, nhiên câu hỏi đặt người lại cảm thấy lời giải chưa hay thiếu tính tự nhiên Hai bất đẳng thức (*) (**) xuất phát từ đâu, hay có thủ thuật đó? Để trả lời cho câu hỏi tìm hiểu, sưu tầm, nghiên cứu đưa đến phương pháp “Sử dụng Tiếp Tuyến để tìm lời giải chứng minh bất đẳng thức” Tuy nhiên, là phương pháp chứng minh bất đẳng thức phương pháp liên quan đến hàm số có đạo hàm Dĩ nhiên phương pháp BĐT mà đưa chuyên đề có nhiều cách giải khác Vì lực nhiều hạn chế nên chuyên đề có sai sót định mong nhận thông cảm góp ý để chuyên đề tốt (1) ⇔ x + y + II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Nhận xét a Nếu y = ax + b tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x ) điểm A(x ; y ) (A không điểm uốn đồ thị hay nói cách khác f ''(x ) ≠ ), tồn khoảng D chứa điểm x cho f (x ) ≥ ax + b, ∀x ∈ D f (x ) ≤ ax + b, ∀x ∈ D Đẳng thức xảy x = x b Nếu y = ax + b tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x ) điểm A(x ; y ) ta phân tích f (x ) − (ax + b) = (x − x )k g(x ), k ≥ GV Phan Chiến Thắng CLB Toán THPT Lê Lợi Bây ta vận dụng nhận xét để chứng minh số bất đẳng thức Các toán vận dụng Bài toán (Trở lại toán mở đầu) Cho x , y hai số thực dương thỏa mãn x + y = Chứng minh rằng: x + y + 1 + ≥5 x y (1) Nhận xét BĐT có dạng 1 (x + ) + (y + ) ≥ ⇔ f (x ) + f (y ) ≥ x y Đẳng thức xảy x = y = Trong f (t ) = t + , t ∈ (0;1) t Ta có tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f (t ) điểm có hoành độ t = là: 1 y = f '( )(x − ) + = −3x + 2 Ta hy vọng có đánh giá: f (t ) ≥ −3t + 4, ∀t ∈ (0;1) Thật vậy, f (t ) − (−3t + 4) = t + (2t − 1)2 + 3t − = ≥ 0, ∀t ∈ (0;1) t t Vậy ta có lời giải sau: Giải Với điều kiện toán x , y ∈ (0,1) Ta có: 1 (2x − 1)2 − (−3x + 4) = 4x + − = ≥ 0, ∀x ∈ (0;1) ⇒ x + ≥ −3x + 4, ∀x ∈ (0;1) x x x x Tương tự y + ≥ −3y + 4, ∀y ∈ (0;1) y 1 Cộng hai bất đẳng thức lại ta có: x + y + + ≥ −3(x + y ) + = (đ.p.c.m) x y Chú ý Vì y = −3t + tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (t ) điểm có hoành độ t = nên ta có phân tích f (t ) − (−3t + 4) = (2t − 1)k g(t ), k ≥ 2, g( ) ≠ x+ Bài toán (Vô địch Toán Ba Lan 1996) a b c Cho a,b, c ≥ − a + b + c = CMR: + + ≤ + a + b + c 10 GV Phan Chiến Thắng CLB Toán THPT Lê Lợi BĐT có dạng f (a ) + f (b) + f (c) ≤ , 10 x f (x ) = , x ∈ [- ; +∞) Tiếp tuyến với đồ thị y = f (x ) điểm x = có dạng: 1+x 36x + y= Vậy ta có lời giải sau: 50 Giải 36a + a (3a − 1)2 (4a + 3) − = ≥ 0, ∀a ≥ − 2 50 1+a 50(1 + a ) a 36a + 3 ⇒ ≤ , ∀a ≥ − 50 1+a a b c 36(a + b + c ) + 9 + + ≤ = (đ.p.c.m) Vậy 2 50 10 1+a 1+b 1+c Lời bình Đây toán hay tương đối khó, thông thường BĐT với ba biến đối xứng với biến không âm Từ lời giải ta thấy điều kiện toán chặt chẽ cần thiết Nhận xét Dấu đẳng thức xảy ⇔ a = b = c = Bài toán (Vô địch Toán Nga 2002) Cho a,b, c > a + b + c = Cmr: a + b + c ≥ ab + bc + ca (1) Nhận xét Mới đầu nhìn vào ta thấy BĐT chưa có dạng f (a1 ) + f (a2 ) + f (an ) ≥ m f (a1 ) + f (a2 ) + f (an ) ≤ m với (i = 1, , n ) thỏa điều kiện Tuy nhiên BĐT ta biến đổi lại sau: (1) ⇔ a + a + b + b + c + c ≥ ⇔ f (a ) + f (b) + f (c ) ≥ Đẳng thức xảy a = b = c = Trong f (x ) = x + x , x ∈ (0;3) Ta có tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f (x ) điểm có hoành độ x = y = 3x Ta có f (x ) − 3x = x + x − 3x = ( x − 1)2 (x + x ) ≥ 0, ∀x ∈ (0; 3) Vậy ta có lời giải sau: Giải Với điều kiện a,b, c ∈ (0; 3) (1) ⇔ a + a + b + b + c + c ≥ Ta có: a + a − 3a = ( a − 1)2 (a + a ) ≥ 0, ∀a ∈ (0; 3) ⇒ a + a ≥ 3a Tương tự b + b ≥ 3b, c + c ≥ 3c(b, c ∈ (0; 3)) Vậy a + a + b + b + c + c ≥ 3(a + b + c) = (đ.p.c.m) Bài toán Cho a,b, c > 0.Cmr : a b c + + ≥ (1) (b + c)2 (a + c)2 (a + b)2 4(a + b + c) GV Phan Chiến Thắng CLB Toán THPT Lê Lợi Giải Ta thấy BĐT cần chứng minh nên giả sử a + b + c = mà không làm tính tổng quát toán a b c 9 Vì vậy, (1) ⇔ + + ≥ ⇔ f (a ) + f (b ) + f (c) ≥ 2 4 (1 − a ) (1 − b) (1 − c) Trong đó: f (x ) = x , x ∈ (0;1) dấu đẳng thức xảy k.v.c.k a = b = c = (1 − x ) 18x − là: y = 18x − (3x − 1)2 (3 − 2x ) 18x − Lại có: f (x ) − = ≥ 0, ∀x ∈ (0;1) ⇒ f (x ) ≥ 4 4(1 − x ) Tiếp tuyến hàm số y = f (x ) điểm có hoành độ x = Vậy: f (a ) + f (b) + f (c) ≥ 18(a + b + c) − 9 = (đ.p.c.m) 4 III BÀI TẬP ÁP DỤNG 1 Bài Cho a,b, c > a + b + c = Cmr: ( + + ) − (a + b + c ) ≥ a b c 1 1 16 Bài Cho a,b, c, d > a + b + c + d = 2.Cmr: + + + ≥ 2 2 + 3a + 3b + 3c + 3d 1 Bài Cho a,b, c > a + b + c = Cmr: + + ≤1 a +b +c b +a +c c +a +b ––––––––––––––––––––––––––––––––––– GV Phan Chiến Thắng