Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 20 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
20
Dung lượng
1,13 MB
Nội dung
Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! TUYỂN TẬP 200 BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT NĂM 2015 - Tài liệu soạn theo nhu cầu bạn học sinh khối trường THPT (đặc biệt khối 12) - Biên soạn theo cấu trúc câu hỏi đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng Bộ GD&ĐT - Tài liệu tập thể tác giả biên soạn: Cao Văn Tú – CN.Mảng Toán – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên (Chủ biên) Cô Trần Thị Ngọc Loan – CLB Gia Sư Thái Nguyên(Đồng chủ biên) Thầy Vũ Khắc Mạnh – CLB Gia sư Bắc Giang (Tư vấn) Nguyễn Thị Kiều Trang – SV Khoa Toán – Trường ĐHSP Thái Nguyên Nguyễn Trường Giang – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Lý Thị Thanh Nga – SVNC – Khoa Toán – Trường ĐH SP Thái Nguyên Ngô Thị Lý – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên - Tài liệu lưu hành nội - Nghiêm cấm chép hình thức - Nếu chưa đồng ý ban Biên soạn mà tự động post tài liệu coi vi phạm nội quy nhóm - Tài liệu bổ sung chỉnh lý lần thứ Tuy nhóm Biên soạn cố gắng tránh khỏi sai xót định Rất mong bạn phản hồi chỗ sai xót địa email: caotua5lg3@gmail.com ! Xin chân thành cám ơn!!! Chúc bạn học tập ôn thi thật tốt!!! Thái Nguyên, tháng 07 năm 2014 Trưởng nhóm Biên soạn Cao Văn Tú Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Bài 1: Chứng minh với a, b, c dương: 1 1 1 (5) a 2b c b 2c a c 2a b a 3b b 3c c 3a Giải 1 1 ( ) ta có: x y x y 1 a 3b b 2c a (a 3b) (b 2c a) a 2b c 1 b 3c c 2a b (b 3c) (c 2a b) b 2c a 1 c 3a a 2b c (c 3a) (a 2b c) c 2a b Cộng vế với vế bất đẳng thức rút gọn ta có bất đẳng thức (5) a 3b b 2c a Đẳng thức xảy khi: b 3c c 2a b a b c c 3a a 2b c Vận dụng bất đẳng thức Bài 2: Cho ba số dương a, b, c, chứng minh: 1 1 1 ( ) ab bc ca a b c Đẳng thức xảy a = b = c (2) Giải 1 1 ( ) ta có điều phải chứng minh x y x y Phát triển: Áp dụng (2) cho số a+b, b+c, c+a ta được: 1 1 1 ( ) a 2b c b 2c a c 2a b a b b c c a Kết hợp (2) (3) ta có: Áp dụng Bài 3: Với a, b, c số dương: 1 1 1 ( ) a 2b c b 2c a c 2a b a b c Chủ biên: Cao Văn Tú (3) (4) Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Đẳng thức xảy a = b = c Giải 1 Với a, b, c số dương thỏa mãn Chứng minh rằng: a b c 1 1 1 ( ) a 2b c b 2c a c 2a b a b c 1 ►Thực chất từ (4) thêm giả thiết: a b c Bài 4: Hãy xác định dạng tam giác ABC góc thỏa mãn đẳng thức sau: C B C C A A B A B C tan tan tan tan tan tan 4.tan tan tan 2 2 2 2 tan A tan B tan Giải A B C , y tan , z tan x, y, z dương xy + yz + zx=1 2 x y z Hệ thức trở thành: yz zx xy xyz Ta có: x y z yz zx xy x y z ( xy yz ) ( zx yz ) ( xy zx) ( yz zx) ( xy yz ) ( zx xy ) Đặt x tan 1 x x 1 y y 1 z z xy yz zx yz xy zx yz zx xy yz zx xy 1 x z x y y z 1 xy yz zx xy yz zx yz xy zx x y z xyz xyz Đẳng thức xảy khi: x = y = z hay ABC Bài 5: Cho x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện: x y z 0, x 1 0, y 1 0, z Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: Q x y z x 1 y 1 z Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Giải Đặt a x 0, b y 0, c z a 1 b 1 c 1 4 Ta có: a b c Q 3 a b c a b c Theo bất đẳng thức (1) ta có: 1 4 16 ( ) a b c ab c abc Q 3 3 a b a b x y Đẳng thức xảy khi: a b c a b c c z 1 Vậy: MaxQ đạt x y z 1 Bài 6: Chứng minh : 2x x6 y 2y 2z 1 y6 z z x4 x4 y z Với x, y, z số dương Dấu xảy ? Giải x 1 1 x2 4x x y x6 y x6 y x6 y Tương tự ta có: 1 4y 1 4z ; 4 4 y z y z z x z x Cộng vế bất đẳng thức ta có bất đẳng thức cần chứng minh Dấu xảy x = y = z = Bài 7: Cho số thực dương a, b c thoả: ab bc ca abc Chứng minh rằng: a4 b4 b4 c4 c4 a 1 ab a3 b3 bc b3 c3 ca c3 a3 Giải Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Ta có: ab bc ca abc Lưu hành nội bộ! 1 1 1 Đặt x ; y ; z x+y+z=1 a b c a b c Khi ta có: 1 x y4 y3 x 6 x y 3 3 3 3 x y ab a b x x y y x y x3 y3 x2 y 1 xy x3 y3 2 y2 x 3 4 x y x y x2 y x y 2 2 x y x2 y x x2 y y x y x y x y a b4 Tương tự ta có: x4 y b4 c yz c4 a4 zx ; 3 3 2 bc b c ca c a Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta có: a4 b4 b4 c4 c4 a x y z 3 3 3 ab a b bc b c ca c a Suy điều phải chứng minh Bài 8: Với x, y, z, t số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A x t t y y z z x t y y z z x xt Giải Ta có: x t ty yz zx A( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ty yz zx xt x y t z y x z t ( x y) ( t z ) y z xt4 t y y z z x xt t y z x 4 4( x y z t ) ( x y) (t z ) 4 40 x y z t x y z t z y z t Vậy MinA = x = y = z = t Bài 9: Cho x, y, z ba số dương chứng minh rằng: 1 1 ( ) 6 x yz x y z Dấu xảy x y z Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương ta có: x y + z xyz ; 1 1 1 3 x y z x y z xyz 1 1 1 1 Từ đó: ( x y z ) x y z 9 x y z x y z Đẳng thức xảy x y z Bài 10: Cho ba số a, b, c x, y, z ba số thực dương ta có: a b2 c a b c (Bất đẳng thức sơ-vac) x y z x yz a b c Dấu xảy x y z Giải Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski ta có: a 2 b 2 c 2 a b2 c x y z x y z y z x x y z 2 a b c Từ suy điều phải chứng minh a b2 c a b c với a, b, c số thực dương Bài 11: Chứng minh rằng: b c a Giải Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có: a b2 c a b c a b c Suy điều phải chứng minh b c a abc a b c abc Dấu xảy b c a Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 6 a b c b3 c3 c3 a3 a3 b3 Trong a, b, c số thực dương thỏa mãn: a b c Bài 12: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B Giải Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có: a3 b3 c3 a6 b6 c6 a b3 c B 3 3 3 Mặt khác theo bất đẳng b c c a a b a b3 c 2 thức Bunhiacovski ta có: a b c 3 a b2 c 3 aa a bb b cc c 3 3 3 3 9 a b c a b c 9 a b c a b c Vậy B 18 Bài 13: Cho số thực dương x, y, z, t thỏa mãn xyzt=1 Chứng minh : 1 1 x yz zt ty y xz zt tx z yt xt xy t yz zx xy Giải 1 1 Đặt x ; y ; z ; t= , theo ta có abcd = a b c d 1 a2 ; tương tự ta có : 1 bcd x3 yz zt ty a3 bc dc bd b2 c2 d2 ; ; y xz zt tx a c d z yt xt xy a b d t yz zx xy a b c Cộng vế bất đẳng thức ta có: 1 1 3 x yz zt ty y xz zt tx z yt xt xy t yz zx xy a2 b2 c2 d2 a b c d b c d a c d a b d a b c 3 a b c d a b c d 4 abcd 3 (Mở rộng tự nhiên bất đẳng thức (7) cho bốn số) Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 a b c d Dấu xảy a b c d b c d a c d a b d a b c Bài 14: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B a8 b2 c Lưu hành nội bộ! b8 a2 c2 b c8 a2 Trong a, b, c số thực dương thỏa điều kiện ab bc ca Giải Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có: B b a8 c b8 a b4 2 a c b a b a b c c 2a b b c a c 2 4 a b c a c b c8 2 2 2 2 c2 4 2 2 a2 2 Xét biểu thức a 2b2 b2c2 a 2c Theo bất đẳng thức Bunhiacovski ta có : a2b2 b2c2 a 2c2 a b4 c Do đó: B a b4 c 2 a b4 c a b4 c a b c a 4 a b c 4 4 4 b4 c Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacovski ab bc ca a b4 c 2 2 Bài 15: Cho x,y, z > thoả: x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: y3 x3 z3 2x y 5z y 3z 5x 2z 3x y Giải Các số x, y, z có vai trò bình đẳng Dự đoán dấu xảy chúng Giải: Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có : Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 3 4 x y z x y z4 x y 5z y 3z 5x z 3x y x2 3xy 5xz y yz yx z 3xz yz x2 y z 2 x2 y z xy yz zx x2 y z x2 y z 2 x2 y z x2 y z x2 y z 10 x2 y2 z2 30 Dấu xảy khi: x2 y2 z2 x2 3xy 5xz y yz yx z 3xz yz x yz x y z 2 x y z Bài 16: Cho a, b, c > thoả: a.b.c = Chứng minh rằng: a3 b c 2 3 3 b c a c a b Giải Nhận xét: -Các số x, y, z có vai trò bình đẳng Dự đoán dấu xảy chúng 1 x y z - Để đơn giản biểu thức ta đặt a ; b ; c 1 Đặt a ; b ; c Theo giả thiết ta có: xyz = x y z 2x2 ; tương tự ta có: Ta có a b c 1 y z x3 y z 2 2z 2 y2 ; b3 a c x z c3 b a 1 y x y3 x z z3 y x Do Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có : 2 2 x2 y 2 z a b c b2 c a c a b y z x z y x 2 x y z 2 x y z xyz 2 x y z Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Dấu xảy x y z Bài 17: Cho số thực dương x, y, z > thoả: x y z Tìm GTNN biểu thức: y2 x2 z2 A= x yz y zx z xy Giải Áp dụng bất đẳng thức (6) ta có : x y z y2 x2 z2 Ta có x yz y zx z xy x y z yz zx xy yz zx xy x y z x y z y2 x y z x2 z2 Do 2 x yz y zx z xy x y z x y z x y z Dấu xảy x y z x y z 1 x y z x yz y zx z xy Bài 18: Với x, y, z số dương x y.z x y z Chứng minh rằng: x yz y zx z xy (1) Giải Đặt a x , b y,c z Bài toán trở thành: a, b, c số dương a.b.c a2 b2 c2 (2) 2 2 a bc b ac c ab Chứng minh rằng: Áp dụng bất đẳng thức ta có a2 b2 c2 a b c a bc b ac c ab a bc b ac c ab Bình phương hai vế bất đẳng thức: 2 Chủ biên: Cao Văn Tú 2 10 3 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! a b c a b c VT (3) 2 a bc b2 ac c ab a bc b ac c ab 4 a b c a b c 2 3(a b c ab bc ac) a b c 2 ab bc ac a b c a b c 3 2 ( Vì ab bc ac 3 abc ) Đặt t a b c t ( a b c 3 abc ) t2 3t 15 t 3 3.9 15 t 3 2 3(t 3) 12 12 t 12 12 t VT (5') VT (4') 2 Dấu xảy x = y = z = điều phải chứng minh Ta có: Tổng quát: Ta có toán sau: với x1 , x2 , , xn n 2 số dương x1.x2 xn Chứng minh rằng: x1 x1 x2 x3 xn x2 x2 x3 x4 xn xn xn x1.x2 xn1 n Bài 19: Chứng minh a, b, c số thực dương thỏa mãn abc ab bc ca 1 a 2b 3c b 2c 3a c 2a 3b 16 Giải Từ abc ab bc ca suy 1 1 a b c 1 x ; y ; z x y z Áp dụng bất đẳng thức (6) ta có : a b c 36 x y 3z a 2b 3c x y z x y 3z a 2b 3c 36 đặt Tương tự ta có: y z 3x z 2x y ; ; b 2c 3a 36 c 2a 3b 36 Chủ biên: Cao Văn Tú 11 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Cộng ba bất đẳng thức ta có: 6 x y z 1 a 2b 3c b 2c 3a c 2a 3b 36 16 Cách 1 1 1 1 3 a 2b 3c a c b c b c a c b c b c a b c Tương tự ta có: 2: 1 1 1 1 2 ; b 2c 3a a c a c b a a c a c b a a b c 1 1 1 13 2 c 2a 3b b c b a b a b c a b b a b c a cộng vế với vế ta có: 1 1 6 6 a 2b 3c b 2c 3a c 2a 3b 36 a b c 16 suy điều phải chứng minh dấu xảy a = b = c = x y z Bài 20: Cho x, y, z Chứng minh rằng: P x y z x2 y z 10 Giải x2 y2 z2 P x 1 y 1 z 1 1 x 1 y 1 z x3 y3 z3 1 2 1 x 1 y 1 z x2 y z x4 y4 z4 1 1 3 x x y y z z x y z x3 y z Đặt t x2 y z từ điều kiện t Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki Côsi ta có: x3 y z x y z x y z xy yz zx 3xyz t x2 y z 2 x y z 1 x y z t t 3 2 2 Chủ biên: Cao Văn Tú 12 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 P 1 2t 1 2t t t 3t t 3 ( t )(57t 9) 9 P 3t 10t 10 10 3t 3t Lưu hành nội bộ! 3t 10t 9 3t 10t 10 10 Dấu xảy x = y = z = đpcm Bài 21: Cho x, y, z số thực dương thay đổi thoả mãn điều kiện: xyz = Tìm x2 y z y2 z x z2 x y GTNN biểu thức: P = y y 2z z z z 2x x x x y y Giải x2 y z y2 z x z2 x y z 2 xy y 2 xz P y y z z z z x x x x y y y y 2z z z z 2x x x x y y x 2 yz 2y y 2x x 2z z y y 2z z z z 2x x x x y y Đặt a x x ; b y y ; c z z ; Ta có 2a b c 2a 2b 2c 2a 2b2 2c P b 2c c 2a a 2b a b 2c b c 2a c a 2b ab bc ca a b2 c 2ab 2bc 2ca ab bc ca a b2 c ab bc ca a b2 c ab bc ca 2ab 2bc 2ca ab bc ca Mặt khác ta có a2 b2 c2 ab bc ca Nên ta có: P dấu xảy a b c Hay x x y y z z x=y=z=1 Bài 22: Cho a, b, c lµ c¸c sè d-¬ng Chøng minh r»ng: a b c bc ca ab Chủ biên: Cao Văn Tú 13 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Giải Ta cã: 1 9 b c c a a b b c c a a b 2(a b c) 1 (a b c)( ) bc ca ab abc abc abc a b c bc ca ab bc ca ab (§pcm) Bài 23: Cho a,b,c>0 a b c Tìm giá trị nhỏ S a2 1 b2 c 2 b c a Giải S a2 1 b2 c 2 b c a (12 42 )(a 1 1 ) (1.a )2 a (a ) b b b b 17 Tương tự b2 1 1 (b ); c (c ) c c a a 17 17 Do đó: 4 36 (a b c ) (a b c ) a b c a bc 17 17 S 17 135 (a b c 4(a b c) ) 4(a b c) 17 Bài 24: Cho x,y,z ba số thực dương x y z Chứng minh x2 1 y z 82 y z x Giải Chủ biên: Cao Văn Tú 14 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 1 1 (1.x )2 (12 92 )( x ) x (x ) y y y y 82 1 1 ( y ); z (z ) z z x x 82 82 9 81 S (x y z ) (x y z ) x y z x yz 82 82 TT : y 80 ( x y z ) 82 x y z x y z 82 a 2b c Bài 25: Cho a,b,c>0 a 2b 3c 20 Tìm giá trị nhỏ S a b c Giải Dự đoán a=2,b=3,c=4 12 18 16 12 18 16 a 2b 3c 3a 2b c a b c a b c 20 3.2.2 2.2.3 2.4 52 S 13 4S 4a 4b 4c 1 Tìm giá trị lớn x y z 1 P 2x y z x y z x y 2z Bài 26: Cho x,y,z> Giải Ta có 1 1 1 1 4 16 1 1 1 ; x y x y y z yz x y y z x y y z x 2y z x y z 16 x y z TT : 1 2 1 1 1 2 ; x y z 16 x y z x y z 16 x y z 4 4 S 1 16 x y z Bài 26: Cho x,y,z>0 x+y+z =6 Chứng minh 8x 8y 8z 4x1 4y1 4z1 Giải Chủ biên: Cao Văn Tú 15 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Dự đoán x=y=z = 8x.8x 64x 4x nên : Lưu hành nội bộ! 8x 8x 82 3 8x.8x.82 12.4x ; y y 82 3 y.8 y.82 12.4 y ; 8z 8z 82 3 8z.8z.82 12.4z 8x y 8z 3 8x.8 y.8z 3 82.82.82 192 Cộng kết => đpcm Bài 27: Cho x,y,z>0 xyz = Hãy chứng minh rằng: x3 y y3 z z x3 3 xy yz zx Giải x3 y xy x y x3 y xyz xy x y xy x y z 3xy xyz 3xy x3 y 3xy yz y3 z ; xy xy xy yz yz 1 S 3 3 xy yz zx x2 y z z x3 3zx ; yz zx zx zx 3 Bài 28: Cho x, y hai số thực không âm thay đổi Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P x y 1 xy 1 x 2 1 y 2 Giải x y xy x y 1 xy x y 1 xy 1 P P 2 2 1 x 1 y 1 x 1 y x y xy 2 4 Khi cho x=0 y= P = -1/4 Khi cho x=1 y = P = 1/4 KL: Khi dấu = xảy a b3 c ab bc ca Bài 29: Cho a,b,c >0 Chứng minh rằng: b c a Giải Chủ biên: Cao Văn Tú 16 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Cách 1: Lưu hành nội bộ! a b c a b c (a b c ) ab bc ac ab bc ac b c a ab bc ca ab bc ac ab bc ac 3 4 2 2 3 a3 b c Cách 2: ab 2a ; bc 2b ; ca 2a b c a a b3 c 2(a b2 c ) ab bc ac ab bc ac b c a Bài 30: Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn x+2y+3z =18 Chứng minh y 3z 3z x x y 51 1 x 1 y 3z Giải y 3z 3z x x y 1 x 1 y 3z y 3z 3z x x 2y 1 1 1 1 x 1 y 3z 1 x y 3z 3 24 x y 3z x y 3z 51 24 21 Bài 31: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: ( x y 1)2 xy y x A (Với x; y số thực dương) xy y x ( x y 1)2 Giải Đặt ( x y 1) a; a A a Có xy y x a Aa 8a a a 10 10 ( ) A a 9 a 9 a 3 3 Bài 32: Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn: a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức ab bc ca P a b2 c a b b 2c c a Chủ biên: Cao Văn Tú 17 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Giải 2 2 2 3(a + b + c ) = (a + b + c)(a + b + c ) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2 Mà a3 + ab2 2a2b ;b3 + bc2 2b2c;c3 + ca2 2c2a Suy 3(a2 + b2 + c2) 3(a2b + b2c + c2a) > ab bc ca (a b c ) 2 2 2 Suy P a b c Pa b c a b2 c 2(a2 b2 c2 ) t = a2 + b2 + c2, với t 9t t t 3 P Suy P t 2t 2t 2 2 a=b=c=1 Bài 33: Cho số dương a,b,c thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: a2 1 97 b2 c b c a Giải 81 9 1.a b 1 16 a b2 a b2 a 4b ; 97 9 b2 b ; c2 c c 4c a 97 97 4a cộng vế lại Bài 34: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi Tìm giá trị nhỏ 3 ( abc )1 a b c biểu thức P Giải 2 a ( b c )( a b c ) ( a b c ) b ( c ab )( c a ) ( b c a ) Có a (1) , b (2) 2 c ca ( bc )( a b ) ( c a b ) (3) Dấu ‘=’ xảy abc Do a,b,c độ dài cạnh tam giác nên vế (1), (2), (3) dương Nhân vế b c ( a b c ) ( b c a ) ( c a b ) với vế (1), (2), (3) ta có : a (*) a b c ( a ) ( b ) ( c ) Từ abc2 nên (*) 2 ( a b ca ) ( b b c c a ) 90 a b c a b c ( a b b c c a ) a b c ( a b b c c a ) (*) 3 3 b c () a b c () a b c ( a b b c c a ) a b c ( a b b c c a ) a b c Ta có a Chủ biên: Cao Văn Tú 18 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 3 ( a b c ) a b c a b c ( a b b c c a ) a b c ( a b b c c a ) Từ (**) 3 ( a b c ) a b c ( ) Áp dụng (*) vào (**) cho ta Dấu “=” xảy abc3 Từ giá trị nhỏ P đạt abc3 Bài 35: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi Chứng minh a3 b3 c3 3abc Giải *P a3 b3 c3 3abc Ta có a3 b3 c3 3abc (a b c)(a b2 c ab bc ac) a3 b3 c3 3abc (a b2 c ab bc ac) (1) có abc (a b c)(a b c)(a b c) (1 2a)(1 2b)(1 2c) 2 1 4(ab bc ca) 8abc 6abc ab bc ca (2) 3 (1)and(2) a3 b3 c3 3abc a b2 c ab bc ca 3 mà ab bc ca a b2 c 2 P1 a b2 c 1 1 1 1 1 2 a b c a b c P 6 *P a3 b3 c3 3abc abc (a b c)(a b c)(a b c) (1 2a)(1 2b)(1 2c) 1 4(ab bc ca) 8abc ab bc ca) 2abc (3) P a3 b3 c3 3abc (a b c)(a b2 c ab bc ac) 6abc a b2 c2 ab bc ac 6abc a b c ab bc ca 6abc 1 ab bc ca 2abc 4 Chủ biên: Cao Văn Tú 19 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Bài 36: Lưu hành nội bộ! Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 Chứng minh rằng: x y z xy yz zx xyz Giải Chứng minh xyz x y z x y z x y z (6 x)(6 y)(6 z) 216 72( x y z) 24( xy yz zx) 8xyz xyz 24 ( xy yz zx) (1) mà x y z x y z 2xy yz 2xz x y z xy yz xz 36 3xy yz 3xz (2) Nên xyz x y z xy yz xz 24 ( xy yz zx)+ 36 3xy yz 3xz xyz x y z xy yz xz 12 ( xy yz zx) mà x y z 3( xy yz zx) x y z 36 xyz x y z xy yz xz 12 12 3 2 2 Bài 37: Cho a 1342; b 1342 Chứng minh a2 b2 ab 2013 a b Dấu đẳng thức xảy nào? Giải Ta sử dụng ba kết sau: a 13422 b 13422 0; a 1342b 1342 0; a 1342 b 1342 Thật vậy: (1) a 13422 b 13422 a2 b2 2.1342 a b 2.13422 (2) a 1342b 1342 ab 1342a 1342b 13422 a b2 2.1342 a b 2.13422 ab 1342a 1342b 13422 a b2 ab 3.1342 a b 3.13422 2.2013 a b 3.13422 2013 a b 2013 a b 2.2013.1342 2013 a b 2013 a b 1342 1342 2013 a b Bài 38: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A x 1 x 3 x 1 x 3 4 Chủ biên: Cao Văn Tú 2 20 Email: caotua5lg3@gmail.com [...]... ; Ta có 2 a b c 2a 2b 2c 2a 2 2b2 2c 2 P b 2c c 2a a 2b a b 2c b c 2a c a 2b 3 ab bc ca 2 2 a 2 b2 c 2 2ab 2bc 2ca 3 ab bc ca 2 a 2 b2 c 2 3 ab bc ca 2 a 2 b2 c 2 3 ab bc ca 2 2ab 2bc 2ca 3 ab bc ca 4 3 Mặt khác ta có a2 b2 c2 ab bc ca Nên ta có: P 2 dấu bằng... (a 2 b 2 c 2 ) 2 2 2 2 2 2 Suy ra P a b c 2 Pa b c a b2 c 2 2(a2 b2 c2 ) t = a2 + b2 + c2, với t 3 9t t 9 t 1 3 1 3 4 P 4 Suy ra P t 2t 2 2t 2 2 2 2 a=b=c=1 Bài 33: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a b c 2 Chứng minh rằng: a2 1 1 1 97 b2 2 c 2 2 2 b c a 2 Giải 2 9 1 2 81 2 1 1 4 9 2 1.a 4 b 1 16 a b2... 12 12 8 3 3 9 2 2 2 2 Bài 37: Cho a 13 42; b 13 42 Chứng minh rằng a2 b2 ab 20 13 a b Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Giải Ta sẽ sử dụng ba kết quả sau: a 13 42 2 b 13 42 2 0; a 13 42 b 13 42 0; a 13 42 b 13 42 0 Thật vậy: (1) a 13 42 2 b 13 42 2 0 a2 b2 2. 13 42 a b 2. 13 422 0 (2) a 13 42 b 13 42 0 ab 1342a 1342b 13 422 0 a 2. .. bc ca P a 2 b2 c 2 2 a b b 2c c 2 a Chủ biên: Cao Văn Tú 17 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 20 15 Lưu hành nội bộ! Giải 2 2 2 2 2 2 3(a + b + c ) = (a + b + c)(a + b + c ) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2 Mà a3 + ab2 2a2b ;b3 + bc2 2b2c;c3 + ca2 2c2a Suy ra 3(a2 + b2 + c2) 3(a2b + b2c + c2a) > 0 ab bc... 2 b2 2. 13 42 a b 2. 13 422 ab 1342a 1342b 13 422 0 a 2 b2 ab 3.13 42 a b 3.13 422 2. 2013 a b 3.13 422 20 13 a b 20 13 a b 2. 2013.13 42 20 13 a b 20 13 a b 13 42 13 42 20 13 a b Bài 38: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x 1 x 3 6 x 1 x 3 4 4 Chủ biên: Cao Văn Tú 2 2 20 Email: caotua5lg3@gmail.com ... đpcm 3 Bài 21 : Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện: xyz = 1 Tìm x2 y z y2 z x z2 x y GTNN của biểu thức: P = y y 2z z z z 2x x x x 2 y y Giải x2 y z y2 z x z2 x y z 2 2 xy y 2 2 xz P y y 2 z z z z 2 x x x x 2 y y y y 2z z z z 2x x x x 2 y y x 2 2 yz 2y y 2x x 2z z y y 2z z z z 2x x x x 2 y y Đặt... z (6 2 x)(6 2 y)(6 2 z) 21 6 72( x y z) 24 ( xy yz zx) 8xyz 8 xyz 24 ( xy yz zx) (1) 3 mà x y z 9 x 2 y 2 z 2 2xy 2 yz 2xz 9 2 x 2 y 2 z 2 xy yz xz 36 3xy 3 yz 3xz (2) 8 Nên xyz x 2 y 2 z 2 xy yz xz 24 ( xy yz zx)+ 36 3xy 3 yz 3xz 3 1 2 xyz x 2 y 2 z 2 xy yz xz 12 ( xy yz... 2 17 Bài 24 : Cho x,y,z là ba số thực dương và x y z 1 Chứng minh rằng x2 1 1 1 y 2 2 z 2 2 82 2 y z x Giải Chủ biên: Cao Văn Tú 14 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 20 15 Lưu hành nội bộ! 1 1 1 1 9 (1.x 9 )2 ( 12 92 )( x 2 2 ) x 2 2 (x ) y y y y 82 1 1 9 1 1 9 ( y ); z 2 2 (z ) 2 z z x x 82 82. .. abc 9 a b c 3 bc ca ab 2 bc ca ab 2 (§pcm) 3 Bài 23 : Cho a,b,c>0 và a b c Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 S a2 1 1 1 b2 2 c 2 2 2 b c a Giải S a2 1 1 1 b2 2 c 2 2 2 b c a ( 12 42 )(a 2 1 1 1 1 4 ) (1.a 4 )2 a 2 2 (a ) 2 b b b b 17 Tương tự b2 1 1 4 1 1 4 (b ); c 2 2 (c ) 2 c c a a 17 17 Do đó: 1 4 4 4 1 36 (a b c ) ... x2 y 2 z 2 3 1 2 2 2 x y z 1 x y z 3 t t 2 3 3 2 2 3 2 2 2 Chủ biên: Cao Văn Tú 12 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 20 15 P 1 2t 2 1 2t 2 t t 3t 1 t 2 3 3 1 ( t )(57t 9) 9 9 P 3 2 3t 10t 3 10 10 1 3t 3t Lưu hành nội bộ! 3t 10t 3 9 9 2 3t 10t 3 10 10 2 Dấu