Tuyển tập 100 bài tập bất đẳng thức có lời giải chi tiết

Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! TUYỂN TẬP 200 BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT NĂM 2015 - Tài liệu soạn theo nhu cầu bạn học sinh khối trường THPT (đặc biệt khối 12) - Biên soạn theo cấu trúc câu hỏi đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng Bộ GD&ĐT - Tài liệu tập thể tác giả biên soạn: Cao Văn Tú – CN.Mảng Toán – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên (Chủ biên) Cô Trần Thị Ngọc Loan – CLB Gia Sư Thái Nguyên(Đồng chủ biên) Thầy Vũ Khắc Mạnh – CLB Gia sư Bắc Giang (Tư vấn) Nguyễn Thị Kiều Trang – SV Khoa Toán – Trường ĐHSP Thái Nguyên Nguyễn Trường Giang – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Lý Thị Thanh Nga – SVNC – Khoa Toán – Trường ĐH SP Thái Nguyên Ngô Thị Lý – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên - Tài liệu lưu hành nội - Nghiêm cấm chép hình thức - Nếu chưa đồng ý ban Biên soạn mà tự động post tài liệu coi vi phạm nội quy nhóm - Tài liệu bổ sung chỉnh lý lần thứ Tuy nhóm Biên soạn cố gắng tránh khỏi sai xót định Rất mong bạn phản hồi chỗ sai xót địa email: caotua5lg3@gmail.com ! Xin chân thành cám ơn!!! Chúc bạn học tập ôn thi thật tốt!!! Thái Nguyên, tháng 07 năm 2014 Trưởng nhóm Biên soạn Cao Văn Tú Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Bài 1: Chứng minh với a, b, c dương: 1 1 1      (5) a  2b  c b  2c  a c  2a  b a  3b b  3c c  3a Giải 1 1  (  ) ta có: x y x y 1    a  3b b  2c  a (a  3b)  (b  2c  a) a  2b  c 1    b  3c c  2a  b (b  3c)  (c  2a  b) b  2c  a 1    c  3a a  2b  c (c  3a)  (a  2b  c) c  2a  b Cộng vế với vế bất đẳng thức rút gọn ta có bất đẳng thức (5) a  3b  b  2c  a  Đẳng thức xảy khi: b  3c  c  2a  b  a  b  c c  3a  a  2b  c  Vận dụng bất đẳng thức Bài 2: Cho ba số dương a, b, c, chứng minh: 1 1 1    (   ) ab bc ca a b c Đẳng thức xảy a = b = c (2) Giải 1 1  (  ) ta có điều phải chứng minh x y x y  Phát triển: Áp dụng (2) cho số a+b, b+c, c+a ta được: 1 1 1    (   ) a  2b  c b  2c  a c  2a  b a  b b  c c  a  Kết hợp (2) (3) ta có:  Áp dụng Bài 3: Với a, b, c số dương: 1 1 1    (   ) a  2b  c b  2c  a c  2a  b a b c Chủ biên: Cao Văn Tú (3) (4) Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Đẳng thức xảy a = b = c Giải 1 Với a, b, c số dương thỏa mãn    Chứng minh rằng: a b c 1 1 1    (   ) a  2b  c b  2c  a c  2a  b a b c 1 ►Thực chất từ (4) thêm giả thiết:    a b c Bài 4: Hãy xác định dạng tam giác ABC góc ln thỏa mãn đẳng thức sau: C    B C C A A B A B C  tan tan  tan tan  tan tan 4.tan tan tan 2 2 2 2 tan A tan B tan Giải A B C , y  tan , z  tan x, y, z dương xy + yz + zx=1 2 x y z    Hệ thức trở thành:  yz  zx  xy xyz Ta có: x y z     yz  zx  xy x y z     ( xy  yz )  ( zx  yz ) ( xy  zx)  ( yz  zx) ( xy  yz )  ( zx  xy ) Đặt x  tan 1 x x  1 y y  1 z z             xy  yz zx  yz   xy  zx yz  zx   xy  yz zx  xy  1 x z x y y  z   1  xy  yz  zx            xy  yz zx  yz xy  zx   x y z  xyz xyz Đẳng thức xảy khi: x = y = z hay ABC Bài 5: Cho x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện: x  y  z  0, x 1  0, y 1  0, z   Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: Q x y z   x 1 y 1 z  Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Giải Đặt a  x   0, b  y   0, c  z   a 1 b 1 c  1 4 Ta có: a  b  c  Q     3    a b c a b c Theo bất đẳng thức (1) ta có: 1 4 16 (  )     a b c ab c abc  Q  3  3 a  b   a  b  x  y  Đẳng thức xảy khi:    a  b  c a  b  c    c   z  1  Vậy: MaxQ  đạt  x  y    z  1 Bài 6: Chứng minh : 2x x6  y  2y 2z 1     y6  z z  x4 x4 y z Với x, y, z số dương Dấu xảy ? Giải x  1  1 x2 4x      x y x6 y x6  y x6  y Tương tự ta có: 1 4y 1 4z   ;   4 4 y z y z z x z x Cộng vế bất đẳng thức ta có bất đẳng thức cần chứng minh Dấu xảy x = y = z = Bài 7: Cho số thực dương a, b c thoả: ab  bc  ca  abc Chứng minh rằng: a4  b4 b4  c4 c4  a   1 ab a3  b3 bc b3  c3 ca c3  a3       Giải Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Ta có: ab  bc  ca  abc  Lưu hành nội bộ! 1 1 1    Đặt x  ; y  ; z   x+y+z=1 a b c a b c Khi ta có: 1  x y4    y3 x 6 x y      3 3 3 3   x y ab a  b x x y y x y x3  y3 x2  y 1    xy  x3 y3  2  y2 x 3 4 x y x y x2  y x  y       2 2 x  y x2  y x x2  y y x y  x  y x  y a  b4      Tương tự ta có: x4  y             b4  c yz c4  a4 zx  ;  3 3 2 bc b  c  ca  c  a  Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta có: a4  b4 b4  c4 c4  a    x  y  z  3 3 3 ab a  b bc b  c ca c  a       Suy điều phải chứng minh Bài 8: Với x, y, z, t số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A x t t  y y  z z  x    t  y y  z z  x xt Giải Ta có: x t ty yz zx A(  1)  (  1)  (  1)  (  1)   ty yz zx xt   x y t  z y  x z t        ( x  y)    ( t  z )   y z xt4 t  y y z z  x xt t  y z  x     4 4( x  y  z  t )  ( x  y)  (t  z ) 4 40 x y z t x y z t z  y z t Vậy MinA = x = y = z = t  Bài 9: Cho x, y, z ba số dương chứng minh rằng: 1 1  (   )  6 x yz x y z Dấu xảy x  y  z Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương ta có: x  y + z  xyz ; 1 1 1   3  x y z x y z xyz 1 1 1 1  Từ đó: ( x  y  z )            x  y  z 9 x y z  x y z Đẳng thức xảy x  y  z Bài 10: Cho ba số a, b, c x, y, z ba số thực dương ta có: a b2 c  a  b  c       (Bất đẳng thức sơ-vac) x y z x yz a b c Dấu xảy   x y z Giải Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski ta có:   a 2  b 2  c 2   a b2 c           x  y  z       x   y   z    y z  x    x    y    z   2  a  b  c Từ suy điều phải chứng minh a b2 c    a  b  c với a, b, c số thực dương Bài 11: Chứng minh rằng: b c a Giải Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có: a b2 c  a  b  c      a  b  c Suy điều phải chứng minh b c a abc a b c   abc Dấu xảy b c a Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 6 a b c   b3  c3 c3  a3 a3  b3 Trong a, b, c số thực dương thỏa mãn: a  b  c  Bài 12: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B  Giải Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có: a3  b3  c3   a6 b6 c6 a  b3  c B 3  3  3   Mặt khác theo bất đẳng b  c c  a a  b  a  b3  c  2 thức Bunhiacovski ta có:   a  b  c   3 a  b2  c   3    aa a  bb b  cc c   3 3 3 3  9 a  b  c  a  b  c   9 a  b  c   a  b  c   Vậy B  18 Bài 13: Cho số thực dương x, y, z, t thỏa mãn xyzt=1 Chứng minh : 1 1     x  yz  zt  ty  y  xz  zt  tx  z  yt  xt  xy  t  yz  zx  xy  Giải 1 1 Đặt x  ; y  ; z  ; t= , theo ta có abcd = a b c d 1 a2 ; tương tự ta có :   1  bcd x3  yz  zt  ty     a3  bc dc bd  b2 c2 d2  ;  ;  y  xz  zt  tx  a  c  d z  yt  xt  xy  a  b  d t  yz  zx  xy  a  b  c Cộng vế bất đẳng thức ta có: 1 1    3 x  yz  zt  ty  y  xz  zt  tx  z  yt  xt  xy  t  yz  zx  xy  a2 b2 c2 d2 a  b  c  d       b  c  d a  c  d a  b  d a  b  c 3 a  b  c  d  a  b  c  d 4 abcd   3 (Mở rộng tự nhiên bất đẳng thức (7) cho bốn số)  Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 a  b  c  d  Dấu xảy   a b c d     b  c  d a  c  d a  b  d a  b  c Bài 14: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B  a8  b2  c   Lưu hành nội bộ! b8  a2  c2   b c8  a2  Trong a, b, c số thực dương thỏa điều kiện ab  bc  ca  Giải Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có: B b a8 c b8   a  b4 2      a  c  b  a  b a  b  c   c   2a b  b c  a c  2 4 a  b  c     a  c   b c8 2 2 2 2  c2 4 2 2  a2  2 Xét biểu thức a 2b2  b2c2  a 2c Theo bất đẳng thức Bunhiacovski ta có : a2b2  b2c2  a 2c2  a  b4  c Do đó: B a  b4  c  2  a  b4  c    a  b4  c a  b  c   a   4 a  b  c  4 4 4  b4  c Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacovski   ab  bc  ca   a  b4  c 2 2 Bài 15: Cho x,y, z > thoả: x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: y3 x3 z3   2x  y  5z y  3z  5x 2z  3x  y Giải Các số x, y, z có vai trò bình đẳng Dự đốn dấu xảy chúng Giải: Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có : Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 3 4 x y z x y z4      x  y  5z y  3z  5x z  3x  y x2  3xy  5xz y  yz  yx z  3xz  yz    x2  y  z   2 x2  y  z   xy  yz  zx   x2  y  z     x2  y  z    2 x2  y  z  x2  y  z   x2  y  z   10 x2  y2  z2  30 Dấu xảy khi:  x2 y2 z2     x2  3xy  5xz y  yz  yx z  3xz  yz  x yz x  y  z  2 x  y  z    Bài 16: Cho a, b, c > thoả: a.b.c = Chứng minh rằng:  a3  b  c  2  3 3 b c  a  c a  b Giải Nhận xét: -Các số x, y, z có vai trò bình đẳng Dự đoán dấu xảy chúng 1 x y z - Để đơn giản biểu thức ta đặt a  ; b  ; c  1 Đặt a  ; b  ; c  Theo giả thiết ta có: xyz = x y z 2x2 ; tương tự ta có: Ta có   a b  c   1  y  z  x3  y z  2 2z 2 y2 ;     b3  a  c     x  z c3 b  a   1  y  x  y3  x z  z3  y x  Do Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có : 2 2 x2 y 2 z       a  b  c  b2  c  a  c  a  b  y  z x  z y  x 2 x  y  z  2 x  y  z    xyz  2 x  y  z  Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Dấu xảy x  y  z  Bài 17: Cho số thực dương x, y, z > thoả: x  y  z  Tìm GTNN biểu thức: y2 x2 z2   A= x  yz y  zx z  xy Giải Áp dụng bất đẳng thức (6) ta có :  x  y  z y2 x2 z2    Ta có x  yz y  zx z  xy x  y  z  yz  zx  xy yz  zx  xy  x  y  z  x  y  z y2 x y z x2 z2      Do 2 x  yz y  zx z  xy x  y  z  x  y  z   x  y  z   Dấu xảy  x  y  z  x  y  z 1  x y z     x  yz y  zx z  xy Bài 18: Với x, y, z số dương x y.z  x y z Chứng minh rằng:    x  yz y  zx z  xy (1) Giải Đặt a  x , b  y,c  z Bài toán trở thành: a, b, c số dương a.b.c  a2 b2 c2    (2) 2 2 a  bc b  ac c  ab Chứng minh rằng: Áp dụng bất đẳng thức ta có a2  b2  c2  a  b  c a  bc b  ac c  ab a  bc  b  ac  c  ab Bình phương hai vế bất đẳng thức: 2 Chủ biên: Cao Văn Tú 2 10 3 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Phân tích tìm tòi lời giải: a, b, c  Do S biểu thức đối xứng với a,b,c nên Max S thường xảy điều kiện :   a  b  c   a  b   2  a  b  c   b  c  Vậy số cần nhân thêm là: 3 3   c  a   22 a  b  3 a  b  33  Ta có lời giải:  22 b  c  3 b  c  33    a  b  23  23 b  c   23  23 22  c  a  3  c  a   33 2 c  a   3   a bc    18 4 S  a b  bc  c  a    a  b   Vậy Max S = 18 Dấu “ = ” xảy  b  c   a  b  c  3   c  a   a, b, c  Bài 80: Cho   a  b  c  Tìm giá trị lớn nhất: S  a  b  b  c  c  a Giải Sai lầm thường gặp: Chủ biên: Cao Văn Tú 42 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!  Côsi  a  b    a  b   a  b     Côsi  b  c   2 a  b  c    a b  bc  c  a    b  c   b  c   2   Côsi  c  a    c  a   c  a    Nguyên nhân sai lầm Dấu “ = ” xảy  a + b = b + c = c + a =  a + b + c = trái với giả thiết Phân tích tìm tòi lời giải: Do vai trò a, b, c biểu thức điểm BĐT a  b  c  từ ta dự đốn Max S =  a + b = b + c = c + a =  số cần 3 nhân thêm Vậy lời giải :    a b      bc      ca    Côsi  a  b  3 Côsi b  c   3 Côsi  c  a   3  a  b  2 b  c   2 c  a  2 2 a  b  c    3    a b  bc  c  a  2 Bài toán cho đầu theo u cầu sau học sinh có định hướng tốt hơn: Cho  a, b, c  Chứng minh rằng: S  a  b  b  c  c  a    a  b  c  Tuy nhiên nắm kỹ thuật điểm rơi việc viết đầu theo hướng giải Bài 81: Chứng minh rằng: a b 1  b  a 1  ab a, b  Giải Chủ biên: Cao Văn Tú 43 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Bài hồn tồn chia vế cho ab, sau áp dụng phương pháp đánh giá từ TBN sang TBC phần trước trình bày, nhiên ta áp dụng phương pháp : phương pháp nhân thêm số Ta có :  a b 1  a b 1    b  a 1  b  a 1 b 1 1 ab  2 Côsi  a 1 1  ab  b 2  a b 1  b  a 1     b 1  Dấu “ = ” xảy    a 1    a Côsi  ab ab +  ab 2 b     a  Bài 82: CMR 1 abc  1 a  1 b 1 c  a, b, c  (1) Giải Ta có biến đổi sau, (1) tương đương: 1.1.1  abc  1 a  1 b 1 c   1.1.1 abc 3 1 1 a 1 b 1 c 1 a  1 b 1 c  Theo BĐT Cơsi ta có: 1 1  1 a b c   a 1 b 1 c 1 VT               1 a 1 b 1 c  1 a 1 b 1 c  1 a 1 b 1 c  Dấu “ = ” xảy  a = b = c > Ta có tốn tổng qt 1: bn  n  a1  b1  a2  b2   an  bn  CMR: n a1a2 .an  n bb   , bi  i  1, n  a  c  Bài 83: CMR c  a  c   c b  c   ab    b  c  Giải Ta có (1) tương đương với: c b  c  c  a  c  1 ab ab Theo BĐT Côsi ta có: Chủ biên: Cao Văn Tú 44 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! c b  c   c  a  c    c b  c    a b  c  a  c           1(đpcm) ab ab 2b a   a b   a b    Bài 84: Cho a, b, c, d > Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a b c d b c  d c  d  a a b  d a b c S        bc  d c  d  a a b d a bc a b c d Giải Sai lầm thường gặp  a bcd  2  b  c  d a   b cd a   2 b c  d  a  c a b d  2 a  b  d  c   d a bc  2  d a  b  c a bcd 2 bcd a b cd a 2 cd a b  S  2+2+2+2=8 c a b d 2 a b d c d a bc 2 a bc d Sai lầm thường gặp Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho số: S  88 a b c d bc  d c  d  a a b d a b c 8 bc  d c  d  a a b d a b c a b c d Nguyên nhân sai lầm: a  b  c  d  b cd a Min S =    a + b + c + d = 3(a + b + c + d)  =  vơ lí c  d  a  b d  a  b  c  Phân tích tìm tòi lời giải Để tìm MinS ta cần ý S biểu thức đối xứng với a,b,c,d > MinS có thường đạt điểm rơi tự “ a = b = c = d > 0.( nói điểm rơi a,b,c,d khơng mang giá trị cụ thể) Vậy ta cho trước a = b = c = d dự đoán 40 Min S  12  Từ suy đánh giá BĐT phận phải có điều kiện dấu 3 xảy tập điều kiện dự đoán: a = b = c = d > Ta có sơ đồ điểm rơi : Cho a = b = c = d > ta có: Chủ biên: Cao Văn Tú 45 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! a b c d   b  c  d  c  d  a  a  b  d  a  b  c  3        b  c  d c  d  a a  b  d a  b  c       a b c d  Cách 1: Sử dụng BĐT Cơsi ta có :  a bcd  bcd    9a  a,b,c,d 9a S   a,b,c,d  b  c  d  88 a b c d b c  d c  d  a a b  d a b c b  c  d c  d  a a  b  d a  b  c 9a 9b 9c 9d 8 b c d c d a a b d a b c                9 a a a b b b c c c d d d  b c d c d a a b d a b c  8 8 40   12.12     12  a a a b b b c c c d d d  Với a = b = c = d > Min S = 40/3 a, b, c   Bài 85: Cho  Tìm GTNN a  b  c   S  a2  12  b2  12  c2  12 b c a Giải Sai lầm thường gặp: S  33 a2  12 b2  12 c2  12  36  a2  12 . b2  12 . c2  12  b c a       b  c  a  b  c  a   36  a2 12 . b2 12 . c2 12   36   MinS = Nguyên nhân sai lầm: MinS =  a  b  c      a  b  c   (trái với giả thiết) a b c Phân tích tìm tòi lời giải: Do S biểu thức đối xứng với a,b,c nên dự đoán Min S đạt điểm rơi a b c  Chủ biên: Cao Văn Tú 46 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015  2 a  b  c     16         4 2  a b  c  Lưu hành nội bộ! Lời giải S  a2  1 1 1    b2     c2    2 2 16b 16b 16c 16c 16a 16a2 16  1717 a2 16 1 1 1  1717 b2  1717 c2 2 16b 16b 16c 16c 16a 16a2 16  1717   16 16  a2 b2 c2 a b c  17 17 17 17 17  17  17  17      168 b16 1616 b32 1616 c32 1616 a32 168 c16 168 a16    17 33 17  16 a 17 b 17 c  a 17  1717 5  16 16 16 16 b 16 c 16 a  16 a b c 2.17 2a2b2c    17 15  2a  2b  2c       17 Dấu “ = ” xảy a  b  c   Min S = 17 2 17 a, b, c   Bài 86: Cho  Tìm giá trị nhỏ biểu thức a  b  c    S  a bc    a b c Giải Sai lầm thường gặp: S  a  b  c     66 a.b.c   Min S = a b c a b c Nguyên nhân sai lầm : Min S =  a  b  c      a  b  c   trái với gải thiết a b c Phân tích tìm tòi lời giải Chủ biên: Cao Văn Tú 47 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Do S biểu thức đối xứng với a,b,c nên dự đoán Min S đạt điểm rơi a b c  Sơ đồ điểm rơi: a  b  c   a  b  c       2  a  b  c     4  Hoặc ta có sơ đồ điểm rơi sau : a b c     a   b   c   1     a b c   2   4     4 2  Vậy ta có cách giải theo sơ đồ sau:   S   4a  4b  4c      3 a  b  c   66 4a.4b.4c  3 a  b  c  a b c abc  15 15  12   Với a  b  c  MinS = 2 2 Bài 87: Cho a  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S  a  a2 Giải Sơ đồ chọn điểm rơi: a   a =    1 1  a2     =  Sai lầm thường gặp   S  a  12   a  12   7a  a 12  7a   7a   7.2     MinS = 8a a 8 a  8a 8.2 4 Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù chọn điểm rơi a = vàà MinS = đáp số cách giải mắc sai lầm việc đánh giá mẫu số: Nếu a  Chủ biên: Cao Văn Tú 48   đánh giá sai 8a 8.2 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Để thực lời giải ta cần phải kết hợp với kĩ thuật tách nghịch đảo, phải biến đổi S cho sau sử dụng BĐT Côsi khử hết biến số a mẫu số Lời giải đúng: S  a    a  a    6a Côsi 33 a a  6a   6a   6.2  8 a2 8 a2  8 a2  Với a = Min S = Bài 88: Cho a  Tìm giá trị nhỏ (GTNN) S  a  a Giải Sai lầm thường gặp học sinh: S  a   a =2 a a Dấu “ = ” xảy  a   a =  vơ lí giả thiết a  a Cách làm Ta chọn điểm rơi: ta phải tách hạng tử a hạng tử để cho áp dụng BĐT Côsi a dấu “ = ” xảy a = Có hình thức tách sau:  1   a;    a   1   a;  a     a, a         a;    a    a;    a  (1) Chẳng hạn ta chọn sơ đồ điểm rơi (1): ( sơ đồ điểm rơi (2),(3),(4) học sinh tự làm) (2) 1  a     1   a (3) (4) 1    = a 3a  a  3a   3.2  a 4a 4 Vậy ta có : S    Dấu “ = ” xảy  a = Bài 89: CMR : 2a 1  4b(a  b) Chủ biên: Cao Văn Tú  a    a 1  b 49 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Giải Nhận xét : mẫu số b(a-b) ta nhận thấy b + ( a – b ) = a Chuyển đổi tất biểu thức sang biến a điều mong muốn việc xử lí với biến đơn giản Biến tích thành tổng mặt mạnh BĐT Cơsi Do :   b Ta có đánh giá mẫu số sau: 4.b a  b  4.    a  b   a    a2 Côsi 2a3 1 a3  a3 1 2a  1 Côsi 33 a.a     a  a  Vậy: 4b(a  b) a a a2 a2 b  a  b Dấu “ = ” xảy    a   a2  Bài 90: CMR: a a    b   3  a b0  a  b b 1 (1) Giải Vì hạng tử đầu có a cần phải thêm bớt để tách thành hạng tử sau sử dụng BĐT rút gọn cho thừa số mẫu Tuy nhiên mẫu có dạng  a  b b 12 (thừa số thứ đa thức bậc b, thừa số thứ hai tam thức bậc hai b) ta tách hạng tử a thành tổng hạng tử thừa số mẫu Vậy ta có :  a  b  b 1 = (a - b)( b + 1)( b + 1)  ta phân tích a thành hai cách sau:   2a +2 = 2(a - b) + ( b + 1) + ( b + 1) hc a +1 = a  b  b 1  b 1 2 Từ ta có (1) tương đương : VT + = a 1 b 1  b 1   a  b    2  a  b b 1b 1 a  b b 1  4.4  a  b b 1 b 1   đpcm 2  a  b b 1b 1 Côsi Chủ biên: Cao Văn Tú 50 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Bài 91: CMR: a  Lưu hành nội bộ!  a  b  b  a  b Giải Ta có nhận xét : b + a – b = a không phụ thuộc vào biến b hạng tử đầu a phân tích sau : a Cơsi  b  a b   3 b. a  b  a  b    b  a  b b  a  b b a  b   Dấu “ = ” xảy  b  a  b  a2   a 1 Bài 92: CMR:  a = b = b  a  b a  R Giải Ta có : Cơsi a2    a 1 1  a2 1  1 2  a 1 2 a 1 a 1 a 1 a 1  a 1   a  Dấu “ = ” xảy  a2 1  a 1 1  a bc  Bài 93: CMR: 1     2      1 a 1 b 1 c     1 abc   abc 3 a, b, c  Giải     1  a    b a  b  c Ta có: 1    3        1 c      1 a  1 b 1 c  Côsi    (1) Ta có: 1 a  1 b 1 c   1 ab  bc  ca  a  b  c  abc  Côsi      1 33 a2b2c2  33 abc  abc   abc  Ta có: 1 abc  Cơsi     (2)   abc     abc (3) Dấu “ = ” (1) xảy  1+a = 1+b = 1+c  a = b = c Dấu “ = ” (2) xảy  ab = bc = ca a = b = c  a = b= c Dấu “ = ” (3) xảy  abc =1  abc = Chủ biên: Cao Văn Tú 51 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Bài toán tổng quát Cho x1, x2, x3, , xn  CMR:  x 1   n                 n3 x2   xn    1 x1 1 x2  1 xn   1 n x1x2 xn  2n x1x2 xn  n    a, b, c, d  Bài 94: Cho:  1 1 1 a  1 b  1 c  1 d   CMR : abcd  81 Giải Từ giả thuyết suy ra:       b c d Côsi bcd  1     =    33      1 a  1 b   1 c   1 d  1 b 1 c 1 d 1 b 1 c 1 d  Vậy:  bcd 3 0  1 b 1 c  1 d 1  a  cda  1  b  3  c  d  a      abcd    81  1 a  1 b 1 c  1 d 1 a  1 b 1 c  1 d dca    1  c 1 d 1 c 1 a    abc  3 0 1  d  a  b  c                         81 Bài toán tổng quát 1: abcd   x1, x2 , x3 , , xn   Cho:  1 1 1 x  1 x  1 x   1 x  n 1 n  CMR : x1x2 x3 xn   n 1 n Bài 95: Chứng minh rằng: 3a3 + 7b3  9ab2  a, b  Giải Chủ biên: Cao Văn Tú 52 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Ta có: 3a3 + 7b3  3a3 + 6b3 = 3a3 + 3b3 + 3b Bài 96: Chứng minh rằng:  Lưu hành nội bộ! Côsi  33 33 a3b6 = 9ab2  a  b  64ab(a  b)2  a,b  Giải     a  b   a  b    a  b  ab     64ab(a  b)  2  a  b ab   24.22.ab. a  b    CôSi Bài 97: Chứng minh rằng:  a2  b2 b2  c2  c2  a2   8a2b2c2 a, b, c Giải Sai lầm thường gặp Sử dụng:  x, y x2 - 2xy + y2 = ( x- y)2   x2 + y2  2xy Do đó: a  b2  2ab  2 2 2 2 2 b  c  2bc  a  b b  c c  a  8a b c a, b, c (Sai) c2  a  2ca      2  2  Ví dụ: 3  5  24 = 2.3.4  (-2)(-5).3 = 30 ( Sai ) 4   Lời giải đúng: Sử dụng BĐT Côsi : x2 + y2  x2 y = 2|xy| ta có: a2  b2  ab    2 b  c  bc    2 c  a  ca  a  b2 b2  c2 c2  a2   8| a2b2c2|  8a2b2c2 a, b, c (đúng) Bài 98 : Chứng minh x, y, z ba số dương 1 ( x  y  z )(   )  Khi xảy đẳng thức ? x y z Giải Vì x, y, z ba số dương nên x  y  z  3 xyz ( đẳng thức xảy x = y = z ) Chủ biên: Cao Văn Tú 53 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 1 1 1    33 ( đẳng thức xảy   ) x y z x y z xyz x y z Do ( x  y  z)(   )  xyz 3 Lưu hành nội bộ!  xyz x  y  z Đẳng thức xảy :  1 x  y  z  Vậy đẳng thức xảy x = y = z Bài 99: Cho a, b, c > CMR: 1 1 1      4a 4b 4c 2a  b  c 2b  c  a 2c a b Gii Aáp bất đẳng thức cô si VT   4   1 1   1 1   1 1                    16  a b c  16  a a b c   a b b c   a b c c  1 4  1 16 16 16           4 16  a.abc abbc abcc  16  2a  b  c 2b  a  c 2c  a  b  1   (dfcm) 2a  b  c 2b  a  c 2c  a  b Bài 100: Cho hai bé n sè: (a1, a2, , an) vµ (b1, b2, ,bn) Chøng minh: (a12 + a22 + an2).(b12 + b22 + + bn2)  (a1b1 + a2b2 + + anbn)2 (*) Gii 2 2 Đặt A = a1 + a2 + an ; B = b1 + b2 + + bn2 ; C = a1b1 + a2b2 + + anbn (*) A.B  C2 a) XÐt A = a12 + a22 + an2 =0 a1 = a2 = = an = (*) = (®óng) XÐt B = b12 + b22 + + bn2 = b1 = b2 = =bn = (*) = (đúng) A Ta có: B  b) XÐt  (a1x - b1)2  a12x2 - 2a1b1x + b12  (a2x - b2)2  a22x2 - 2a2b2x + b22  (anx - bn)2  an2x2 - 2anbnx + bn2 Cộng n bất đẳng thức với ta đ-ợc: (a12 + a22 + + an2)x2 – 2(a1b1 + a2b2 + + anbn)x + b12 + b22 + + bn2  Chủ biên: Cao Văn Tú 54 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Ax2 – 2Cx + B  (**) C2 C  A  2C  B   C  2C  AB   AB  C C Thay x = (**) A A A 2  (a1  a   a n2 )(b12  b22   bn2 )  a1b1  a2 b2   an bn  (dfcm) Chủ biên: Cao Văn Tú 55 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! - Tài liệu tập thể tác giả biên soạn: Cao Văn Tú – CN.Mảng Toán – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên (Chủ biên) Cô Trần Thị Ngọc Loan – CLB Gia Sư Thái Nguyên(Đồng chủ biên) 10.Thầy Vũ Khắc Mạnh – CLB Gia sư Bắc Giang (Tư vấn) 11.Nguyễn Thị Kiều Trang – SV Khoa Toán – Trường ĐHSP Thái Nguyên 12.Nguyễn Trường Giang – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên 13.Lý Thị Thanh Nga – SVNC – Khoa Toán – Trường ĐH SP Thái Nguyên 14.Ngô Thị Lý – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên - Tài liệu lưu hành nội - Nghiêm cấm chép hình thức - Nếu chưa đồng ý ban Biên soạn mà tự động post tài liệu coi vi phạm nội quy nhóm - Tài liệu bổ sung chỉnh lý lần thứ Tuy nhóm Biên soạn cố gắng khơng thể tránh khỏi sai xót định Rất mong bạn phản hồi chỗ sai xót địa email: caotua5lg3@gmail.com ! Xin chân thành cám ơn!!! Chúc bạn học tập ôn thi thật tốt!!! Thái Nguyên, tháng 07 năm 2014 Trưởng nhóm Biên soạn Cao Văn Tú Chủ biên: Cao Văn Tú 56 Email: caotua5lg3@gmail.com ... y, z có vai trò bình đẳng Dự đốn dấu xảy chúng Giải: Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có : Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm... )(1  ab) (2) Bất đẳng thức ( ) với ab Do bất đẳng thức ( ) đ-ợc chứng minh Ch biên: Cao Văn Tú 27 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu... caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! (*) ®óng víi mäi sè thùc a, b t ý nªn: a4  b4  a3b  b3a (®fcm) Bài 57: Chứng minh bất đẳng thức sau: