Bài tập bất đẳng thức có lời giải (phần 1)-Trần Phương

Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph B T ng B t đ ng th c Cô - si NG TH C CÔ-SI (PH N 01) ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: TR N PH NG Các t p tài li u đ c biên so n kèm theo gi ng B t đ ng th c Cô - si (Ph n 01) thu c khóa h c B i d ng h c sinh gi i Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng t i website Hocmai.vn giúp b n ki m tra, c ng c l i ki n th c đ c giáo viên truy n đ t gi ng B t đ ng th c Cô - si (Ph n 01) s d ng hi u qu , b n c n h c tr c gi ng sau làm đ y đ t p tài li u   a    b  Ch ng minh r ng: 1    1    21 a , b  b a   HD     a  a   b  b  a , b  0, 1      , 1       b   b   a   a     a  b  VT    2  b   a        a        a  b 2 1      2   b  a b    c  Ch ng minh r ng:             31 a , b, c  b c a    HD V i m i a, b, c>0 ta có:   a   a      b    b                             b  b   a b c a b c  1   c    c    VT   3 b    3 c    3 a   3  3 b   3 c   3 a                       c   c      a    a       a,b,c  Cho  abc  1 Ch ng minh r ng: a  b2  c3  V i a, b, c>0 abc=1 ta có: 11 HD 1 11 a  b2  c3   6a  3b2  2c3  11 Ta có VT  a  a  a  a  a  a  b  b  b  c  c  116 a 6b 6c  11 (đpcm) a , b, c  Cho  abc  Ch ng minh r ng: (2 + a)(2 + b)(1 + c)  32 HD V i a, b, c > abc=1 ta có: VT=(2 + a)(2 + b)(1 + c) =  2b  2a  ab  4c  2bc  2ac  abc Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng B t đ ng th c Cô - si  VT   2b  2a  4c  ab  2bc  2ac   6 2b.2a 4c.ab.2bc.2ac   6 26.a 3b3c  32 Ch ng minh r ng: 8a  8b  8c  2a  2b  2c a  b  c  HD t  x,  y,  z  x, y, z  a b c  a  log x, b  log y, c  log z  a  b  c   log  xyz    xyz  Nh v y toán tr thành ch ng minh x3  y3  z3  x  y  z x, y, z  | xyz  Ta có x         y3    z3    3x  y  3z =>x +y3 +z3   x  y  z    x  y  z  2.3 xyz   x  y  z a , b, c  Cho  a b c  Ch ng minh r ng: (a + b)(b + c)(c + a)  2(1 + a + b + c) HD (Các b n t gi i) Cho a, b > Ch ng minh r ng: a2 b2  8 b 1 a 1  a  1  2a    b  1  2b   a b   b 1 a 1 b 1 a 1 2 a,b,c  Cho  a  b  c  HD     1    Ch ng minh r ng: 1   1   1    64 a b c HD V i a, b, c > ta có      a  1 b  1 c  1 1  a 1  b 1  c   abc      abc  ab  ac  a  bc  b  c  ab  bc  ca  1 1     54  64 abc abc abc abc a,b,c  Cho  a  b  c      1    Ch ng minh r ng:           125 a b c (Các b n làm t ng t nh 8) 10 Cho a  b > 0; a  2; ab  Ch ng minh r ng: a  b  HD + Xét b   a  b  v i m i a, b th a mãn u ki n đ + Xét b    a   a  b  a  => PCM Hocmai.vn – Ngôi tr 2a  1  a 2    a   1     a a  a ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng B t đ ng th c Cô - si 11 Cho a > b > c > ; a  3; ab  ; abc  Ch ng minh r ng: a  b  c  (Các b n ch ng minh t ng t nh 10) 12 Ch ng minh r ng: 4a b   a  b2  a b2   a, b  b2 a HD VT  2a b a b a b a b    33 3 4 2 2 2a b 2a b 2a b a b 2 4 a,b,c  13 Cho  ab  bc  ca  4 Ch ng minh r ng: a3 b3 c3    bc ca a b HD V i a, b, c > ta có a3 ab  ac a b3 ba  bc b c3 ca  cb c   ;   ;   bc a c a b  VT  ab  bc  ac a  b  c  2  VT  a  b2  c2 1   2 1 a 14 Cho a,b, c > Ch ng minh r ng: a  b  c   (abc  1)   1 a c b     b c  c b a HD V i a, b, c > ta có 1 a c b 1 1 a c b (abc  1)         bc  ca  ab       a b c c b a a b c c b a  2a  2b  2c  1    a  b  c  3 abc   a bc6 a b c abc 1  3bc ca a b    15 Cho a,b,c > Ch ng minh r ng:  a  b3  c3         a đ c 12  a3 a a  4 t b b b c  2 a b c  HD V i a, b, c > ta có 11 b ng v n t nh v y cho a b3 b3 c c , , , , ta đ c a c a b3 c B T ph c ng v v i v ta a a b3 b3 c c a a b b c c       3       b c a c a b b c a c a b   VT  VP  VP 3 a a b b c c  co 'VP          2 b c a c a b  VT  VP  PCM Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng B t đ ng th c Cô - si 16 Cho a1 , a , , a n  for  n Ch ng minh r ng: a12  a a a  a a1 a  a n a1 a  a1 a    n 1  n n a1 (a  a ) a (a  a1 ) a n 1 (a n  a1 ) a n (a1  a ) HD V i a1 , a , , a n  ta có a12  a a a  a a1 a  a n a1 a  a1a    n 1  n a1 (a  a ) a (a  a1 ) a n 1 (a n  a1 ) a n (a1  a )    a n2 a a3 a12 a1a      a1 (a  a ) a n (a1  a ) a1 (a  a ) a n (a1  a )  a1   a n 2  a1a  a a   a n a1   2a1a   2a a      a1 (a  a ) a n (a1  a )  n n  n 2 a1  a  a3  a  a5  17 Cho a1 , a , a3 , a , a5 > Ch ng minh r ng: a1a 2a3a 4a5   a1  a a1  a  a3  a  a5  5 a1a a a a    a1a a a a  a1  a   a  a3   a3  a   a  a5   a5  a1  20 HD   a  a3   a3  a   a  a5   a  a1  20  a1  a  a  a  a    a1a  a a  a a  a a  a a1 20   a1  a  a  a  a   10 a1a a a a   a1  a  a  a  a     a1a  a a  a 3a  a a  a a1  a1  a  a  a  a  a1a  a a  a 3a  a a  a a1  10 a1a a 3a a Luôn v i m i a1 , a , a3 , a , a5 > => PCM Giáo viên : Tr n Ph Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : ng Hocmai.vn - Trang | - 