TUYỂN TẬP 200 BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT NĂM 2015 Tài liệu được soạn theo nhu cầu của các bạn học sinh khối trường THPT (đặc biệt là khối 12). Biên soạn theo cấu trúc câu hỏi trong đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng của Bộ GDĐT. Tài liệu do tập thể tác giả biên soạn: 1. Cao Văn Tú – CN.Mảng Toán – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTTTT Thái Nguyên (Chủ biên) 2. Cô Trần Thị Ngọc Loan – CLB Gia Sư Thái Nguyên(Đồng chủ biên). 3. Thầy Vũ Khắc Mạnh – CLB Gia sư Bắc Giang (Tư vấn). 4. Nguyễn Thị Kiều Trang – SV Khoa Toán – Trường ĐHSP Thái Nguyên. 5. Nguyễn Trường Giang – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTTTT Thái Nguyên. 6. Lý Thị Thanh Nga – SVNC – Khoa Toán – Trường ĐH SP Thái Nguyên. 7. Ngô Thị Lý – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTTTT Thái Nguyên. Tài liệu được lưu hành nội bộ Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. Nếu chưa được sự đồng ý của ban Biên soạn mà tự động post tài liệu thì đều được coi là vi phạm nội quy của nhóm. Tài liệu đã được bổ sung và chỉnh lý lần thứ 2. Tuy nhóm Biên soạn đã cố gắng hết sức nhưng cũng không thể tránh khỏi sự sai xót nhất định. Rất mong các bạn có thể phản hồi những chỗ sai xót về địa chỉ email: caotua5lg3gmail.com Xin chân thành cám ơn Chúc các bạn học tập và ôn thi thật tốt Thái Nguyên, tháng 07 năm 2014 Trưởng nhóm Biên soạn Cao Văn Tú
Trang 1Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
TUYỂN TẬP 200 BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT NĂM 2015
- Tài liệu được soạn theo nhu cầu của các bạn học sinh khối trường THPT (đặc biệt là khối 12)
- Biên soạn theo cấu trúc câu hỏi trong đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng của
Bộ GD&ĐT
- Tài liệu do tập thể tác giả biên soạn:
1 Cao Văn Tú – CN.Mảng Toán – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên (Chủ biên)
2 Cô Trần Thị Ngọc Loan – CLB Gia Sư Thái Nguyên(Đồng chủ biên)
3 Thầy Vũ Khắc Mạnh – CLB Gia sư Bắc Giang (Tư vấn)
4 Nguyễn Thị Kiều Trang – SV Khoa Toán – Trường ĐHSP Thái Nguyên
5 Nguyễn Trường Giang – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái
Nguyên
6 Lý Thị Thanh Nga – SVNC – Khoa Toán – Trường ĐH SP Thái Nguyên
7 Ngô Thị Lý – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên
- Tài liệu được lưu hành nội bộ - Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức
- Nếu chưa được sự đồng ý của ban Biên soạn mà tự động post tài liệu thì đều được coi là vi phạm nội quy của nhóm
- Tài liệu đã được bổ sung và chỉnh lý lần thứ 2
Tuy nhóm Biên soạn đã cố gắng hết sức nhưng cũng không thể tránh khỏi sự
Trang 2Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
Giải
Áp dụng 1 1 1( 1)
4
x y x y
ta có ngay điều phải chứng minh
Phát triển: Áp dụng (2) cho 3 số a+b, b+c, c+a ta được:
Trang 3Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
tan 2 tan 2 tan 2 1
1 tan tan 1 tan tan 1 tan tan 4.tan tan tan
yz xyz
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z hay ABCđều
Bài 5: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện:
x y z 0, x 1 0, y 1 0, z 4 0 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Trang 4Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
x y z
Trang 5Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
Suy ra điều phải chứng minh
Bài 8: Với x, y, z, t là các số dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Vậy MinA = 0 khi x = y = z = t
Bài 9: Cho x, y, z là ba số dương chứng minh rằng: 1 1 1 1 1
9
x y z x y z
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y z
Trang 6Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
Suy ra điều phải chứng minh
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c
a b c
b c a
Trang 7Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
Bài 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
Trang 8Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
Dấu bằng xảy ra khi
Trang 9Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
Trang 10Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y z 1
Bài 17: Cho 3 số thực dương x, y, z > 0 thoả: x y z 3 Tìm GTNN của biểu thức:
Trang 11Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1điều phải chứng minh
Tổng quát: Ta có bài toán sau: với x x1, , ,2 x nn 2 là số dương và x x1 .2 x n 1 Chứng minh rằng: 1 2
Trang 12Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
suy ra điều phải chứng minh
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 3
Trang 13Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
2 2
P dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c Hay x x y y z z x=y=z=1
Bài 22: Cho a, b, c lµ c¸c sè d-¬ng Chøng minh r»ng:
b c b a
Trang 14Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
92
9)11
1)(
(
)(
2
99
11
c a c
b c b
a b
a
c b a a c
c b a c
b
c b
a
b a a c c b c b
a
c b a b
a a c c b b a a c
Trang 15Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
Trang 16Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
KL: Khi dấu = xảy ra
Bài 29: Cho a,b,c >0 Chứng minh rằng:
Trang 17Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
Bài 32: Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a b c 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Trang 18Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
Bài 34: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2 Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức P abc 4(3 3 3)15a b c
cca2 2 ( )( bc2 ab)c ab) (3) Dấu ‘=’ xảy ra a b c
Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên các vế của (1), (2), (3) đều dương Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta có : a b ca ( bc)b ca)c ab) (*)
Trang 19Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
4 (abc) 1a c 2a c 2 (ab cc aa) 3 3 9b c 8 (ab cc a) 3 (**)
Áp dụng (*) vào (**) cho ta 3 3 3
4 (abc a) 1 5 3b c ( 8 ) 3 8Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2
Trang 20Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
Trang 21Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
2 2
a+b
ab −
4a+b =
(a+b)2−4abab(a+b) =
(a−b)2ab(a+b) 0
VT VP Bất đẳng thức được chứng minh
Dấu “=” xảy ra a = b
Trang 22Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
Bài 42: Chứng minh rằng: |a| + |b| |a + b| a, b
Trang 23Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
Cộng vế với vế hai bất đẳng thức (1) và (2) ta có:
2(a2 + b2) 1 a2 + b21
2
Trang 24Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
Lại từ (2) 2ab a2 + b21
2 ab 1
4 − ab − 1
4 Vậy a3 + b3 = a2 − ab + b2 1
Trang 25Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
Điều này là vô lí vì x2 0 với mọi x R
Do đó giả sử sai Vậy 2 2 2
2 Giả sử mệnh đề cũng đúng với n = k (k N, k 3) Khi đó 2k > 2k + 1
Ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là
2k+1 > 2(k + 1) + 1 Thật vậy, 2k+1 = 2.2k > 2.(2k + 1) (theo giả thiết quy nạp)
2k+1 > 4k + 2 > 2k + 3 = 2(k + 1) + 1 (vì k 3)
Vậy mệnh đề đúng với mọi k 3
3 Kết luận: 2n > 2n + 1 với mọi n N, n 3
Trang 26Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
Ta thấy các hạng tử của S đều có dạng 1
k2 với k là số tự nhiên từ 2 n Xét
Trang 27Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
Giải
Ta cã : ( 1 +
a
1) ( 1 +
b
1) 9 ( 1 )
1
b
- 1 ab
1) 0
) 1 )(
1
2
ab a
a ab
1
2
ab b
b ab
1 (
) (
2
ab a
a b a
1 (
) (
2
ab b
b a b
) a (1 - a b 1 ) (
2 2
2 2
1 )(
1 (
) )(
(
2 2
2 2
2
ab b
a
b a b ab a a b
1 )(
1 (
) 1 )(
1 )(
1 (
) 1 ( ) (
2 2
2
ab b
a
ab a b
Trang 28Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
Bài 55: Cho a , b , c , d , e lµ c¸c sè thùc Chøng minh r»ng :
4a2 + 4b2 + 4c2 + 4d2 + 4e2 - 4ab - 4ac - 4ad - 4ae 0
(a2 - 4ab + 4b2) + ( a2 - 4ac + 4c2) + (a2 - 4ad + 4d2) + (a2 - 4ae + 4e2) 0
3 2
)
(
0 4
3 4 2 2
)
(
0 ) (
)
(
0 ) )(
(
0 ) ( )
(
0
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2
3 3
3 3
3 4 3
a b
a
b b
b a a
b
a
b ab a
b
a
b a
b
a
b a b b
a
a
a b b b
a
a
Trang 29Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức cú lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
(*) đúng với mọi số thực a, b tuỳ ý nên:
Trang 30Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
Bài 58: Cho a, b, c là các số thực lớn hơn hay bằng 1 chứng minh rằng:
Trang 31Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức cú lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
=
2
1 (x y)2 (xz)2 (yz)2 0đúng với mọi x;y;zR
Vì (x-y)2 0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y
(x-z)2 0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z
(y-z)2 0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y
Trang 32Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức cú lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
Vậy x2 + y2 + z2 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;zR
Dấu bằng xảy ra khi x+y=z
2 2
c) Hãy tổng quát bài toán
Giải
a) Ta xét hiệu
2 2
=
4
2 4
Dấu bằng xảy ra khi a=b
b)Ta xét hiệu
2 2
2 2
2 2
1 2 2
2 2
a n
a a
Trang 33Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
4 4
4
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
0 2
0 2
0 2
m q m p m n m
m
m q
m p
m n
Bài 63: Cho a, b, c, d,e lµ c¸c sè thùc chøng minh r»ng
a) a b ab
4
2 2
Trang 34Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức cú lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
Dấu bằng xảy ra khi a=b=1
c) a2 b2 c2 d2 e2 abcde
4 a2 b2 c2 d2 e2 4abcde a2 4ab 4b2 a2 4ac 4c2 a2 4ad 4d2 a2 4ac 4c2 0
a 2b 2 a 2c 2 a 2d 2 a 2c2 0
Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Bài 64: Chứng minh rằng trong ba bất đẳng thức sau ít nhất có một bất đẳng thức đúng :
a2 + b2
2
) (bc 2
b2 + c2
2
) (ca 2
c2 + a2
2
) (ab 2
(1)
b2 + c2 <
2
) (ca 2
(2)
c2 + a2 <
2
) (ab 2
(3) Cộng vế với vế (1) , (2) ,(3) ta đ-ợc :
a2+ b2 + b2 + c2 + a2 + c2 <
2
) ( ) ( ) (bc 2 ca 2 ab 2
Trang 35Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
Bài 65: Tìm số nguyên dương n và các số nguyên dương a1 = a2 = = an thoả các điều kiện :
2 2
212121
x y x y z y z x z
Trang 36Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
2
2 2
2
2 1 1 ( vì x 0)1
x
Vậy hệ có hai họ nghiệm (x, y, z) = {(0; 0; 0) ; (1; 1; 1)}
Bài 67: Cho số nguyên n > 1 Giải hệ phương trình:
2
2
Tương tự : xi 1 với mọi i
Cộng n phương trình của hệ theo từng vế ta được:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = = xn = 1
Bài 68: Cho ABC CMR:
Trang 37Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
Trang 38Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
Trang 39Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
2 2 2
Dấu “ = ” xảy ra ABC đều : a = b = c
Bài 76: Cho tam giác ABC với a,b,c lần lượt là số đo 3 cạnh của tam giác.CMR
Trang 40Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
Dấu “ = ” xảy ra cho cả a) và b) khi và chỉ khi đều : a = b = c
( p là nữa chu vi của ABC:
Trang 41Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
1 1 1.1
3
1 1 1.1
3
1 1 1.1
Trang 42Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
Phân tích và tìm tòi lời giải:
Do S là biểu thức đối xứng với a,b,c nên Max S thường xảy ra điều kiện : , , 0
3
3
3 3
9 4
9 4
9 4
2 2
3 3
3
2 2
3 3
3
2 2
3 3
Trang 43Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
ôsi ôsi ôsi
1.1
1.1
Nguyên nhân sai lầm
Dấu “ = ” xảy ra a + b = b + c = c + a = 1 a + b + c = 2 trái với giả thiết
Phân tích và tìm tòi lời giải:
Do vai trò của a, b, c trong các biểu thức là như nhau do đó điểm của BĐT sẽ là
1
3
a b c từ đó ta dự đoán Max S = 6 a + b = b + c = c + a = 2
3 hằng số cần nhân thêm là 2
3 Vậy lời giải đúng là :
Trang 44Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
Bài này chúng ta hoàn toàn có thể chia cả 2 vế cho ab, sau đó áp dụng phương pháp đánh giá từ TBN sang TBC như phần trước đã trình bày, tuy nhiên ở đây ta áp dụng một
phương pháp mới : phương pháp nhân thêm hằng số
Ta có :
ôsi
ôsi 1
Trang 45Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
Phân tích và tìm tòi lời giải
Để tìm MinS ta cần chú ý S là một biểu thức đối xứng với a,b,c,d > 0 do đó MinS nếu có thường đạt tại điểm rơi tự do là “ là a = b = c = d > 0.( nói là điểm rơi tự do vì a,b,c,d không mang một giá trị cụ thể) Vậy ta cho trước a = b = c = d dự đoán
Trang 46Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
8
Phân tích và tìm tòi lời giải:
Do S là một biểu thức đối xứng với a,b,c nên dự đoán Min S đạt tại điểm rơi
1 2
a b c
Trang 47
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
Phân tích và tìm tòi lời giải
Trang 48Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
Do S là một biểu thức đối xứng với a,b,c nên dự đoán Min S đạt tại điểm rơi
1 2
Bài 87: Cho a 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S a 12
Nguyên nhân sai lầm:
Mặc dù chọn điểm rơi a = 2 vàà MinS = 9
4 là đáp số đúng nhưng cách giải trên đã mắc sai lầm trong việc đánh giá mẫu số: Nếu a 2 thì 2 2 2
4
8 a 8.2 đánh giá sai
Trang 49Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
Để thực hiện lời giải đúng ta cần phải kết hợp với kĩ thuật tách nghịch đảo, phải biến đổi S sao cho sau khi sử dụng BĐT Côsi sẽ khử hết biến số a ở mẫu số
Ta chọn điểm rơi: ta phải tách hạng tử a hoặc hạng tử 1
a để sao cho khi áp dụng BĐT Côsi
dấu “ = ” xảy ra khi a = 2 Có các hình thức tách sau:
a
a
a a
Chẳng hạn ta chọn sơ đồ điểm rơi (1):
( sơ đồ điểm rơi (2),(3),(4) học sinh tự làm)
Trang 50Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
Giải
Nhận xét : dưới mẫu số b(a-b) ta nhận thấy b + ( a – b ) = a Chuyển đổi tất cả biểu thức
sang biến a là 1 điều mong muốn vì việc xử lí với một biến sẽ đơn giản hơn Biến tích thành tổng là một mặt mạnh của BĐT Côsi Do đó :
Ta có đánh giá về mẫu số như sau: 2
Vì hạng tử đầu chỉ có a cần phải thêm bớt để tách thành các hạng tử sau khi sử
dụng BĐT sẽ rút gọn cho các thừa số dưới mẫu Tuy nhiên dưới mẫu có dạng
2
1
a b b (thừa số thứ nhất là một đa thức bậc nhất b, thừa số thứ hai là một tam thức bậc hai của b) do đó ta có thể tách hạng tử a thành tổng các hạng tử là các thừa số của mẫu
Trang 51Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
Trang 52Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Bài toán tổng quát 3
n
n
CMR x x x x n
Trang 53Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
Trang 54Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
1 2
1 2
1
2
16 2
16 2
16 16
1 4
4
4
16
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16
1 4 4 4
16
1
4 4
4
dfcm b a c c a b c
b
a
b a c c a b c b a abcc
abbc abc
a
c c b a c b b a c b a a c
b a
Trang 55Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
)(
(
0 2
0
2
2 2
2 1 1 2 2
2 2 1 2 2
2 2 1
2 2
2 2
2
dfcm b
a b
a b a b b
b a a
a
C AB AB
C C B
A
C C A
C A
n n n