100 BÀI BẤT ĐẲNG THỨC docx

100 BÀI BẤT ĐẲNG THỨC 1. Cho a,b,c là các số thực dương .Chứng minh: 3 2       a b c b c c a a b 2. Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: 2 2 2 3    x y z . Chứng minh : 3    xy yz zx z x y 3. Cho x, y, z >0 thoả 1 x y z    . Chứng minh: 1 4 9 36    x y z 4. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh: ( )( )( )        xyz x y z y z x z x y 5. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 . Chứng minh : 1 1 1 1 1 1 1                    a b c b c a 6. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 . Chứng minh : 3 3 3 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 2      a b c b c a c a b 7. Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: 2     xyz x y z . Chứng minh : 3 2    x y z xyz 8. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) a 2 +b 2 +1 ab+a+b b) a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +e 2  a(b+c+d+e) c) a 3 +b 3  ab(a+b) d) a 4 +b 4  a 3 b+ab 3 9. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) (a+b+c) 2  3(ab+bc+ca) b) a 2 (1+b 2 )+b 2 (1+c 2 )+c 2 (1+a 2 ) 6abc 10. a) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b=2 . Chứng minh rằng: a 4 +b 4  a 3 +b 3 b) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b+c=3 . Chứng minh rằng: a 4 +b 4 +c 4  a 3 +b 3 + c 3 11.Cho a,b,c là các số dương, Chứng minh rằng: a b c 1 2 a b b c a c        12. Cho 4 số dương a,b, c . Chứng minh : a b c d 1 2 a b c b c d c d a d a b              13. Chứng minh rằng với a,b,c > 0 thì: a) bc ac ab a b c a b c      b) ab bc ca a b c a b b c c a 2         c) 3 3 3 a b c ab bc ca b c a      14.Chứng minh rằng với a,b,c > 0 thì: a) 2 2 2 2 a b a b b a b a    b) 2 2 2 a b c a b c b c a      c) 2 2 2 a b c a b c b c c a a b 2         15. Cho , , 0 x y z  và 1 xyz  . Chứng minh: 3 3 3 3 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4          x y z y z z x x y 16. Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa 1     ab bc cd da . Chứng minh: 3 3 3 3 1 3             a b c d b c d c d a a b d a b c 17. Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh: 2 1 1 1 27 ( ) ( ) ( ) 2( )          a a b b b c c c a a b c d 18. Cho ba số dương x, y, z thỏa 2 2 2 3.    x y z Chứng minh: 3    xy yz zx z x y 19. Cho các số dương x, y, x thỏa xyz = 1. Chứng minh: 5 5 5 5 5 5 1          xy yz zx x xy y y yz z z zx x 20. Cho , , 0.  a b c Chứng minh: 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1                 a b c abcd b c d abcd c d a abcd d a b abcd abcd 21. Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh: 3 2( ) 1 1 1 2                       x y z x y z y z x xyz 22. Cho ba số dương x ,y, z . Chứng minh: 3 3 3      x y z x y z yz zx zx 23.Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh 2 2 2 2( )     a b c ab ac 24.Cho ba số dương a, b, c thỏa a + b + c = 3. Chứng minh: 2 2 2 3 2 1 1 1       a b c b c a . 25. Chøng minh r»ng : a) 2 2 2 a b a b 2 2          ; b) 2 2 2 2 a b c a b c 3 3            26. Chøng minh m,n,p,q ta ®Òu cã m 2 + n 2 + p 2 + q 2 +1 m(n + p + q + 1) 27. Cho a, b, c, d,e lµ c¸c sè thùc, Chøng minh r»ng a) 2 2 b a ab 4   b) 2 2 a b 1 ab a b      c)   2 2 2 2 2 a b c d e a b c d e         28. Chøng minh r»ng:         10 10 2 2 8 8 4 4 a b a b a b a b      29. Cho x.y =1 vµ x.y = 1. Chøng minh 2 2 x y x y    2 2 30. Cho a, b ,c lµ c¸c sè kh«ng ©m chøng minh r»ng (a+b)(b+c)(c+a)  8abc 31. Cho a>b>c>0 vµ 2 2 2 a b c 1    . Chøng minh r»ng: 3 3 3 1 2       a b c b c a c a b 32. Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1 .Chøng minh r»ng:       2 2 2 2 a b c d a b c b c d d c a 10           33. Cho 4 sè a,b,c,d bÊt kú chøng minh r»ng: 2 2 2 2 2 2 (a c) (b d) a b c d        34. Cho 0 <a,b,c <1 . Chøng minh r»ng: 3 3 3 2 2 2 2a 2b 2c 3 a b b c c a       35. Cho a,b,c,d > 0 .Chøng minh r»ng a b c d 1 2 a b c b c d c d a d a b              36. Cho a b < c d vµ b,d > 0 . Chøng minh r»ng: a b < 2 2 ab cd c d b d    37. Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng 1 1 1 1 3 2 n 1 n 2 n n 4         38. Chøng minh r»ng:   1 1 1 1 2 n 1 1 2 3 n        ( Víi n lµ sè nguyªn dương) 39. Cho a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c,chøng minh r»ng: a, a 2 +b 2 +c 2 < 2(ab+bc+ac) b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) 40. Cho a,b,c > 0 vµ a+b+c <1 Chøng minh r»ng 2 2 2 1 1 1 9 a 2bc b 2ac c 2ab       (1) 41. Chøng minh r»ng 2 2 2 1 1 1 1 2 n 1 2 n      ( 1;    nNn ) 42 . Cho Nn  vµ a+b> 0 Chøng minh r»ng n a b 2         n n a b 2  (1) 43. Cho abc = 1 vµ 3 a 36  . Chøng minh r»ng: 2 a 3  b 2 +c 2 > ab + bc + ac 44. Chøng minh r»ng a) 4 4 2 2 x y z 1 2x.(xy x z 1)        b) 2 2 a 5b 4ab 2a 6b 3 0       c) 2 2 a 2b 2ab 2a 4b 2 0       45. Cho x > y vµ xy =1 .Chøng minh r»ng     2 2 2 2 x y 8 x y    46. Cho xy  1 .Chøng minh r»ng 2 2 1 1 2 1 xy 1 x 1 y      47. Cho a , b, c lµ c¸c sè thùc vµ a + b +c =1 Chøng minh r»ng 2 2 2 1 a b c 3    48. Cho 0 < a, b,c <1 .Chøng minh r»ng: 3 3 3 2 2 2 2a 2b 2c 3 a b b c c a       49. Cho a ,b ,c ,d > 0 .Chøng minh r»ng: 2 3                  a b b c c d d a a b c b c d c d a d a b 50. Cho a ,b,c lµ sè ®o ba c¹nh tam gi¸c Chøng minh r»ng: 1 2        a b c b c c a a b 51.Chøng minh: a) 1 1 1 1 1.3 3.5 (2 1).(2 1) 2      n n b) 1 1 1 1 2 1.2 1.2.3 1.2.3      n 52.Chứng minh rằng: , , 0        bc ca ab a b c a b c a b c 53.Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 0        a b c b c a abc b c a a b c 54. Cho tam giác ∆ABC, a,b,c là số đo ba cạnh của tam giác. CMR: a)       1 8 p a p b p c abc     ; b) 1 1 1 1 1 1 2 p a p c a c p b b                 55. Cho ∆ ABC, a, b, c là số đo ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:       b c a c a b a b c abc        56. Cho a>0, b>0. Chứng minh: 1 3 1 1 2       a b a b b a 57.Chứng minh rằng: 2 2 2 , , 0 2           c a b a b c a b c a b b c c a 58. Cho , , (0;1) x y z  và 1 xy yz zx    . Chứng minh: 2 2 2 3 3 2 1 1 1       x y z x y z 59. Cho ∆ABC. Chứng minh rằng: 2 2 2 a b c a b c b c a c a b a b c            60.Cho ∆ ABC. Chứng minh : ( b + c – a ).( c + a – b ).( a + b – c ) ≤ abc 61. Cho ∆ABC. Chứng minh :             2 2 2 1 1 1 p p a p b p c p a p c p b          62. Chứng minh rằng nếu a, b, c > 0 va abc = 1 thì: 1 1 1 1 2 2 2 a b c       63. Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh 3 3 3 2 2 2      a b c a b c b c a 64.Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh: 4 4 4 3 3 3 2 2 2      a b c a b c b c a b c a 65. Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh: 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1      a b c a b b c c a 66.Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh: 4 4 4 3 3 3 1 1 1      a b c b b c a b c 67. Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh: 2 2 2 5 5 5 4 4 4      a b c a b c b c a b c a 68.Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh: 2 2 2 5 5 5 3 3 3 1 1 1 a b c b c a a b c      69.Cho a>0, b>0, c>0. Chng minh: 2 2 2 1 1 1 a b c b c a a b c 70.Cho a>0, b>0, c>0. Chng minh: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2( ) 3 a b c a b c a b c abc 71.Cho a,b,c l 3 cnh ca 1 tam giỏc. Chng minh 4 4 4 ( ) ( ) ( ) b c a c a b a b c f ab bc ca a a b c b b c a c c a b 72.Cho a>0, b>0, c>0. Chng minh: 3 3 3 2 2 2 a b c ab bc ca 73.Cho a>0, b>0, c>0. Chng minh: 4 4 4 3 3 3 a b c ab bc ca 74.Cho a>0, b>0, c>0. Chng minh: 5 5 5 3 2 3 2 3 2 a b c a b b c c a 75.Cho a>0, b>0, c>0. Cho n,k l cỏc s nguyờn dng. Chng minh: n k n k n k n k n k n k a b c a b b c c a 76.Cho a>0, b>0. Chng minh: 4 4 4 2 2 a b a b 77.Cho a>0, b>0, c>0. Chng minh: 2 2 2 2 3 3 a b c a b c 78.Cho a>0, b>0, c>0. Chng minh: 3 3 n n n n a b c a b c 79. Cho a, b, c l ba s dng. Chng minh rng 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b b c c a 9 2abc 2 c ab a bc b ac 80. Cho x, y, z là 3 số thực dơng thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 x y y z z x 81. Cho x, y, z laứ ba soỏ thoỷa x + y + z = 0. Chng minh raống : 3 4 3 4 3 4 6 x y z 82. Cho a, b, c l cỏc s thc khụng õm tha món 1 a b c . Chng minh rng: 7 2 27    ab bc ca abc . 83. Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 5 -x + 5 -y +5 -z = 1 .Chứng minh rằng:         25 25 25 25 5 5 5 5 5 x y z x y z y z x z x y    5 5 5 4 x y z 84. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 4 4 3 2 2 c a b a b b c c a       85. Cho a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh:   3 3 3 3 3 3 1 1 1 3 2                       b c c a a b a b c a b c a b c 86. Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 3          a b b c c a a b c bc a ca b 87. Cho các số thực dương , , x y z . Chứng minh rằng: 5 5 5 3 3 3 2 2 2      x y z x y z y z x . 88. Chứng minh rằng với mọi số thực dương , , a b c thỏa mãn 2 2 2 1 a b c    , ta có: 5 3 5 3 5 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3             a a a b b b c c c b c c a a b . 89. Cho a, b, c là c¸c số thực dương thoả m·n abc = 1. Chøng minh r»ng : 3 3 3 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 2 a b c b c a c a b       90. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng: 3 3 3 2 2 2 3 3 3 3 4 a b c b c a       . 91. Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng: 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 y x z x y y z z x x y z         92. Cho a, b,c là các số không âm. Chứng minh rằng 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 ( ) ( ) ( )          a b c a b c b c a c a b 93. Cho các số dương , , : 3.    a b c ab bc ca Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 1 . 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )          a b c b c a c a b abc 94. Cho các số thực dơng a,b,c thay đổi luôn thoả mãn : a+b+c=1. Chng minh rng : 2 2 2 2 2 2 2. a b b c c a b c c a a b 95. Cho 3 s dng a,b,c tho món: ab + bc + ca = abc. Chng minh: 1 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) 2 a a b b c c 96. Cho x, y, z > 0. Chng minh rng: 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 y x z x y y z z x x y z 97.Cho ba s thc dng a, b, c tha món abc = 1. Chng minh rng: 3 3 3 1 8 1 8 1 8 1 a b c c a b 98. Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 2 -x + 2 -y +2 -z = 1.Chứng minh rằng : 4 4 4 2 2 2 2 2 2 x y z x y z y z x z x y 2 2 2 4 x y z 99. Cho a, b, c là những số dơng thoả mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng 10a 3b 2009 3 3b 2009c 2009c 10a 10a 3b 2 100. Cho ba s dng , , x y z . Chng minh rng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 36 9 x y z x y y z x z . Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) a 2 +b 2 +1 ab+a+b b) a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +e 2  a(b+c+d+e) c) a 3 +b 3  ab(a+b) d) a 4 +b 4  a 3 b+ab 3 9. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a). 100 BÀI BẤT ĐẲNG THỨC 1. Cho a,b,c là các số thực dương .Chứng minh: 3 2       a b c b c c a. thoả mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng 10a 3b 2009 3 3b 2009c 2009c 10a 10a 3b 2 100. Cho ba s dng , , x y z . Chng minh rng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 36 9 x y z x y y z x z