ÁP DỤNG TÍNH đơn điệu của hàm số để CHỨNG MINH bất ĐẲNG THỨC và tìm GIÁ TRỊ lớn NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT của BIỂU THỨC đại số

D¬ng Quang Hng – Lª M¹nh Hïng Trêng THCS & THPT Hai Bµ Trng phÇn A : më ®Çu I. lý do chän ®Ò tµi : Nhµ to¸n häc lçi l¹c RENE DESCARTES ®· tõng nãi : ”To¸n häc lµ c¸nh cöa vµ lµ ch×a kho¸ ®Ó ®i vµo c¸c ngµnh khoa häc kh¸c “. Trong ch¬ng tr×nh to¸n THPT , kiÕn thøc vÒ phÇn bÊt ®¼ng thøc vµ gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ mét phÇn rÊt quan träng. Tuy nhiªn trong nhiÒu bµi to¸n khi sö dông c¸c ph¬ng ph¸p : sö dông c¸c bÊt ®¼ng thøc cæ ®iÓn, ph¬ng ph¸p ®¸nh gi¸, ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc, ph¬ng ph¸p lîng gi¸c,…..®«i khi gÆp nhiÒu khã kh¨n. V× vËy, khi d¹y ®Õn phÇn kiÕn thøc ” tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè” t«i nhËn thÊy ¸p dông kiÕn thøc nµy vµo sÏ gi¶i quyÕt ®îc mét líp c¸c bµi to¸n vÒ bÊt ®¼ng thøc hoÆc gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc ®¹i sè vµ cho ta mét lêi gi¶i ng¾n gän h¬n. XuÊt ph¸t tõ thùc tiÔn c«ng t¸c «n thi §¹i häc kÕt hîp víi sù tham kh¶o ý kiÕn cña c¸c ®ång nghiÖp nhãm chóng t«i x©y dùng chuyªn ®Ò “¸p dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc vµ t×m gi¸ trÞ lín nhÊt , gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc ®¹i sè “. Víi ph¬ng ph¸p nµy chóng t«i hi väng sÏ cã t¸c dông trong viÖc rÌn luyÖn t duy To¸n häc vµ lµ nguån tµi liÖu kh«ng nhá gióp c¸c em häc sinh luyÖn tËp n©ng cao kiÕn thøc phôc vô cho kú thi §¹i häc. II. Môc ®Ých nghiªn cøu: - Trang bÞ cho häc sinh vÒ mét ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc vµ t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc ®¹i sè mang l¹i hiÖu qu¶ râ nÐt. - Båi dìng cho häc sinh vÒ ph¬ng ph¸p, kü n¨ng gi¶i to¸n. Qua ®ã häc sinh n©ng cao kh¶ n¨ng t duy, s¸ng t¹o vµ h×nh thµnh nhiÒu c¸ch gi¶i kh¸c nhau. III. §èi tîng nghiªn cøu: - C¸c d¹ng to¸n chøng minh bÊt ®¼ng thøc vµ t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt n»m trong ch¬ng tr×nh to¸n phæ th«ng . - Ph©n lo¹i c¸c d¹ng to¸n thêng gÆp vµ ph¬ng ph¸p gi¶i mçi d¹ng. IV. ph¬ng ph¸p nghiªn cøu: -Tham kh¶o s¸ch, b¸o, tµi liÖu. - Thùc tiÔn gi¶ng d¹y. V. §èi tîng häc sinh : - Häc sinh líp 12 VI.dù kiÕn sè tiÕt gi¶ng d¹y : 8 tiÕt Chuyªn ®Ò : ¸p dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè dÓ chøng minh bÊt ®¼ng thøc vµ t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc ®¹i sè. -1- Trêng THCS & THPT Hai Bµ Trng D¬ng Quang Hng – Lª M¹nh Hïng PhÇn B : néi dung I. Lý thuyÕt I.1. §Þnh nghÜa gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè: Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trªn tËp D. +) Sè M ®îc gäi lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè y = f(x) trªn tËp D nÕu: ∀x ∈ D : f(x) ≤ M  ∃x 0 ∈ D : f(x 0 ) = M f(x) KÝ hiÖu M = max D +) Sè m ®îc gäi lµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè y = f(x) trªn tËp D nÕu: ∀x ∈ D : f(x) ≥ m  ∃x 0 ∈ D : f(x 0 ) = m f(x) KÝ hiÖu m = min D f(x), min f(x) cã thÓ kh«ng tån t¹i. +) Chó ý: max D D I.2.Gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè trªn mét ®o¹n. Bµi to¸n : Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [ a; b ] vµ chØ cã mét sè h÷u h¹n f(x) vµ min f(x) . ®iÓm tíi h¹n trªn ®o¹n ®ã. H·y t×m max [ a; b ] [ a; b ] C¸ch gi¶i. -T×m c¸c ®iÓm tíi h¹n x1, x2, …, xn cña f(x) trªn ®o¹n [ a; b ] . -TÝnh f(a), f(x1), f(x2), …, f(xn), f(b). Chuyªn ®Ò : ¸p dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè dÓ chøng minh bÊt ®¼ng thøc vµ t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc ®¹i sè. -2- D¬ng Quang Hng – Lª M¹nh Hïng Trêng THCS & THPT Hai Bµ Trng - T×m sè lín nhÊt M vµ sè nhá nhÊt m trong c¸c sè f(a), f(x1), f(x2), …, f(xn), f(b). f(x) ; Khi ®ã: M = max [ a; b ] . m = min f(x) . [ a; b ] Chó ý: NÕu hµm sè y=f(x) kh«ng cã ®iÓm tíi h¹n nµo trªn ®o¹n [ a; b ] th× f’(x) gi÷ nguyªn dÊu trªn ®o¹n ®ã, tøc lµ f(x) hoÆc ®ång biÕn, hoÆcnghÞch biÕn. f(x) = f(a) . f(x) = f ( b ) vµ min +) f(x) ®ång biÕn trªn ®o¹n [ a; b ] th× : max [ a; b ] [ a; b ] f(x) = f(b) . f(x) = f ( a ) vµ min +) f(x) nghÞch biÕn trªn ®o¹n [ a; b ] th× : max [ a; b ] [ a; b ] I.3.Gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè trªn mét kho¶ng. f(x) , min f(x) . Bµi to¸n : Cho hµm sè y =f(x) liªn tôc trªn kho¶ng (a; b). T×m max ( a; b ) ( a; b ) C¸ch gi¶i : - LËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè y = f(x) trªn kho¶ng (a; b) råi dùa vµo b¶ng biÕn thiªn ta suy ra ®îc gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè. - NÕu trªn kho¶ng (a; b) hµm sè f(x) cã mét cùc trÞ duy nhÊt lµ cùc ®¹i (hoÆc cùc tiÓu) th× gi¸ trÞ cùc ®¹i ®ã lµ gi¸ trÞ lín nhÊt (hoÆc gi¸ trÞ cùc tiÓu ®ã lµ gi¸ trÞ nhá nhÊt) cña hµm sè ®· cho trªn (a; b). II.C¸c d¹ng bµi tËp: C¸c d¹ng ®îc ph©n chia tõ ®¬n gi¶n ®Õn phøc t¹p. II.1 .D¹ng 1 : §èi víi mét líp c¸c bÊt ®¼ng thøc một biÕn. §¹o hµm mét lÇn sau ®ã sö dông b¶ng biÕn thiªn ta cã ngay kÕt qu¶. Bµi to¸n 1 : §Ò thi tuyÓn sinh §¹i häc khèi B “ n¨m 2004 2 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè : y = ln x trªn ®o¹n 1;e3  . x (2 − ln x)ln x x2 Tõ ®ã ta cã b¶ng biÕn thiªn sau : Lêi gi¶i : Ta cã: y ' = Chuyªn ®Ò : ¸p dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè dÓ chøng minh bÊt ®¼ng thøc vµ t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc ®¹i sè. -3- Trêng THCS & THPT Hai Bµ Trng D¬ng Quang Hng – Lª M¹nh Hïng x 1 lnx 0 2-lnx y' 0 e2 + e3 + + 0 _ + 0 _ y VËy : Max y = y(e 2 ) = 3 1;e    4 e2 khi x = e2 ,  9 Min y = Min y(1);y(e 3 ) = M in 0; 3  = 0 khi x = 1. 3 1;e   e    Bµi to¸n 2 : §Ò thi tuyÓn sinh §¹i häc khèi D “ n¨m 2003 { } T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè : y = Lêi gi¶i : Ta cã: y' = (x x +1 x2 + 1 trªn ®o¹n [ −1;2 ] . 1− x 2 +1 ) x2 + 1 Tõ ®ã ta cã b¶ng biÕn thiªn sau : x y' -1 2 1 + 0 _ y VËy : Max y = y(1) = 2 [ −1;2] khi x = 1,  3  Min y = Min { y( −1);y(2)} = M in 0;  = 0 khi x =-1. [ −1;2] 5  Bµi to¸n 3 : §Ò thi tuyÓn sinh §¹i häc khèi B “ n¨m 2003 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè : y = x + 4 − x 2 trªn ®o¹n [ −2;2 ] . Chuyªn ®Ò : ¸p dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè dÓ chøng minh bÊt ®¼ng thøc vµ t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc ®¹i sè. -4- Trêng THCS & THPT Hai Bµ Trng D¬ng Quang Hng – Lª M¹nh Hïng 4 − x2 − x , 4 − x2 − x y' = 0 ⇔ =0⇔x= 2 4 − x2 4 − x2 . Tõ ®ã ta cã b¶ng biÕn thiªn sau : Lêi gi¶i :Ta cã: y ' = -2 x 0 y' 2 2 + _ 0 y Max y = y( 2) = 2 2 VËy : khi x = [ −2;2] 2, Min y = Min { y( −2);y(2)} = M in { 2; −2} = −2 [ −2;2] khi x =-2. Bµi to¸n 4 : §Ò thi Häc sinh giái to¸n 12- n¨m 2009 5 − 4a − 1 + a 5 − 4a + 2 1 + a + 6 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc : P = trong ®ã a lµ tham sè thùc vµ -1 ≤ a ≤ Lêi gi¶i : XÐt hµm sè P(a) = 5 . 4  5 5 − 4a − 1 + a trªn -1;  .  4 5 − 4a + 2 1 + a + 6 ( ) ( 2 1   − − ÷ 5 − 4a + 2 1 + a + 6 − 5 − 4a 2 1 + a   P '(a) = ( = − ) 2 1   5 − 4a − 1 + a  − + ÷ 5 − 4a 1+ a   5 − 4a + 2 1 + a + 6 ) 2 6 1 + a + 12 3 5 − 4a + 6 − 5 − 4a 2 1 + a < 0, ∀a ∈  −1; 5   4÷ 5 − 4a + 2 1 + a + 6    5 Suy ra hµm sè P(a) lu«n nghÞch biÕn trªn -1;   4 Max P(a) = P(−1) =  5 -1; 4    1 khi a = −1 ; 3 5 1 5 Min P(a) = P( ) = − khi a =  5 4 6 4 -1;   4 Chuyªn ®Ò : ¸p dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè dÓ chøng minh bÊt ®¼ng thøc vµ t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc ®¹i sè. -5- D¬ng Quang Hng – Lª M¹nh Hïng Trêng THCS & THPT Hai Bµ Trng Bµi tËp tù luyÖn: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè : trªn ®o¹n [ 3; 6 ] a/ y = x − 1 + 9 − x (§Ò thi tuyÓn sinh Häc ViÖn Quan HÖ Quèc TÕ “ 2001) b/ y = x − 2 + 4 − x c/ y = 3 1 − x + 3 1 + x d/ y = 3x + 10 − x 2 e/ y = (3 − x) x 2 + 1 trªn ®o¹n [ 0; 2 ] II.2. D¹ng 2 : §èi víi mét líp c¸c bÊt ®¼ng thøc nhiÒu biÕn, ta cã thÓ quy vÒ bÊt ®¼ng thøc mét biÕn. Dùa vµo ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n ta rót biÕn nµy theo biÕn kia råi thay vµo bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh hay biÓu thøc ®¹i sè cÇn t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt. Trong ph¬ng ph¸p nµy ta cÇn chó ý : +) Rót biÕn nµo theo biÕn nµo ®Ó bµi to¸n ®îc thuËn lîi. +) T×m ®iÒu kiÖn cho biÕn cßn l¹i dùa vµo ®iÒu kiÖn cña gi¶ thiÕt. Bµi to¸n 1 : Cho x, y lµ c¸c sè kh«ng ©m tho¶ m·n x + y = 1 .T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A = x y + y +1 x +1 Lêi gi¶i : Tõ gi¶ thiÕt ta suy ra : y = 1- x . Do x,y ≥ 0; x + y = 1 nªn 0 ≤ x ≤ 1 Khi ®ã : A = f(x) = x 1− x + 2 − x x +1 Kh¶o s¸t hµm sè f(x) trªn [ 0;1] , ta cã : f '(x) = 2 ( 2 − x) 2 − 2 ( x + 1) 2 = 6 ( 2x − 1) ( 2 − x ) ( x + 1) 2 2 1 2 Ta cã b¶ng biÕn thiªn : f '(x) = 0 ⇔ x = Chuyªn ®Ò : ¸p dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè dÓ chøng minh bÊt ®¼ng thøc vµ t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc ®¹i sè. -6- Trêng THCS & THPT Hai Bµ Trng D¬ng Quang Hng – Lª M¹nh Hïng 1 2 0 x _ f'(x) 0 1 + f(x) 1 2 Tõ ®ã ta cã : M in A = f( ) = ; MaxA = f(0) = f(1) = 1 2 3 Bµi to¸n 2 : §Ò thi tuyÓn sinh §¹i häc khèi D “ n¨m 2009 Cho x,y ≥ 0 vµ x + y = 1 .T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc : ( )( ) S = 4x 2 + 3y 4y 2 + 3x + 25xy Lêi gi¶i : Tõ x + y = 1 ⇒ y = 1 − x Suy ra : S = 16x 4 − 32x 3 + 18x 2 − 2x + 12 XÐt hµm sè: f(x) = 16x 4 − 32x 3 + 18x 2 − 2x + 12 víi x ∈ [ 0;1] f '(x) = 64x 3 − 96x 2 + 36x − 2 1  x =  2  2+ 3  f '(x) = 0 ⇔  x = 4  2− 3  x =  4  Tõ ®ã suy ra ®îc :   2− 3 2+ 3 x =  x =   191 4 4 hoÆc  khi  MinS = 16 y = 2 + 3 y = 2 − 3   4 4 MaxS = 25 khi 2 x=y= 1 2 Bµi to¸n 3: Cho x,y,z ∈ [ 0;2 ] . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc : Chuyªn ®Ò : ¸p dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè dÓ chøng minh bÊt ®¼ng thøc vµ t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc ®¹i sè. -7- D¬ng Quang Hng – Lª M¹nh Hïng Trêng THCS & THPT Hai Bµ Trng A = 2(x + y + z) − (xy + yz + zx) Lêi gi¶i : Ta cã nhËn xÐt sau: +) Cè ®Þnh y, z th× A chØ phô thuéc vµo mét biÕn x. +) BiÓu thøc A cã thÓ viÕt l¹i nh sau : A = f(x) = (2 − y − z)x + 2(y + z) − yz +) Hµm sè y=f(x) lµ hµm h»ng hoÆc hµm sè bËc nhÊt theo biÕn x vµ x ∈ [ 0;2 ] f(0) = 4 − yz ≤ 4, do y,z ∈ [ 0;2 ] f(2) = 2 ( y + z ) − yz = 4 − ( 2 − y ) ( 2 − z ) ≤ 4, do y, z ∈ [ 0;2 ] f(x) = max { f(0);f(2)} ≤ 4 Suy ra Max [ 0;2] Ta nhËn thÊy khi x=0, y=0, z=2 th× A=4 VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña A b»ng 2. Bµi to¸n 4: Cho x, y, z là ba số thực dương có tổng bằng 3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3( x 2 + y 2 + z 2 ) − 2 xyz . Lêi gi¶i : Ta có: P = 3 ( x + y + z ) 2 − 2( xy + yz + zx )  − 2 xyz = 3[ 9 − 2( xy + yz + zx) ] − 2 xyz = 27 − 6 x( y + z ) − 2 yz ( x + 3) ( y + z)2 ≥ 27 − 6 x(3 − x) − ( x + 3) 2 1 = (− x3 + 15 x 2 − 27 x + 27) 2 Xét hàm số f ( x) = − x 3 + 15 x 2 − 27 x + 27 , x =1 f , ( x) = −3 x 2 + 30 x − 27 = 0 ⇔  x = 9 x y’ −∞ 0 + 1 0 14 3 với 0 0 1 Do  nên 1 = x + y ≥ 2 xy ⇒ 0 < xy ≤ . 4 x + y = 1 1 2 Đặt t = ( xy ) , điều kiện của t là 0 < t ≤ 16 1 Khi đó biểu thức P = f ( t ) = 2 + t + t 2 t −1  1 f ' ( t ) = 2 ; ta thấy f ' ( t ) < 0 với mọi t ∈  0;  , t  16   1 suy ra hàm số f(t) nghịch biến trên nửa khoảng  0;   16  1  1  289 Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là: min P = min1 f ( t ) = f  ÷ = . t∈(0; ]  16  16 16 Bµi to¸n 2 : §Ò thi tuyÓn sinh §¹i häc khèi D “ n¨m 2009 Cho x,y ≥ 0 vµ x + y = 1 .T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc : ( )( ) S = 4x 2 + 3y 4y 2 + 3x + 25xy ( + 12 ( x + y ) ( x )( ) ( ) Lêi gi¶i : Ta cã : S = 4x 2 + 3y 4y 2 + 3x + 25xy = 16x 2 y 2 + 12 x 3 + y 3 + 34xy = 16x 2 y 2 2 ) − xy + y 2 + 34xy 2 = 16x 2 y 2 + 12 ( x + y ) ( x + y ) − 3xy  + 34xy   = 16x 2 y 2 − 2xy + 12 Chuyªn ®Ò : ¸p dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè dÓ chøng minh bÊt ®¼ng thøc vµ t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc ®¹i sè. - 10 - D¬ng Quang Hng – Lª M¹nh Hïng Trêng THCS & THPT Hai Bµ Trng 2 1 §Æt t = xy, 0 ≤ xy ≤ ( x + y ) = 1 nªn 0 ≤ t ≤ 4 4 4 XÐt hµm sè f(t) = 16t 2 − 2t + 12 , víi 0 ≤ t ≤ 1 ; 4 f '(t) = 32t − 2 Tõ ®ã ta cã b¶ng biÕn thiªn sau : 0 t 1 1 16 4 _ f'(t) 0 + f(t) 1 191 M inf(t) = f( ) = Tõ ®ã suy ra :  1  16 16 0;  4   1    25  25 Max f(t) = Max f(0);f( )  = Max 12;  =  1 4  2 2    0;   4   2− 3 2+ 3 x = x =   191 4 4 khi  hoÆc  MinS = 16 y = 2 + 3 y = 2 − 3   4 4 25 1 khi x = y = 2 2 Bµi to¸n 3 : §Ò thi tuyÓn sinh §¹i häc khèi B “ n¨m 2009 MaxS = ( ) ( ) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A = 3 x 4 + y 4 + x 2 y 2 − 2 x 2 + y 2 + 1 víi x, y lµ c¸c sè tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : ( x + y ) + 4xy ≥ 2 3 Lêi gi¶i : Dùa vµo bÊt ®¼ng thøc hiÓn nhiªn : ( x + y ) ≥ 4xy 2 Suy ra: ( x + y ) + ( x + y ) ≥ ( x + y ) + 4xy ≥ 2 3 2 3 ⇔ ( x + y) + ( x + y) − 2 ≥ 0 3 2 Chuyªn ®Ò : ¸p dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè dÓ chøng minh bÊt ®¼ng thøc vµ t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc ®¹i sè. - 11 - D¬ng Quang Hng – Lª M¹nh Hïng 2 ⇔ ( x + y ) − 1 ( x + y ) + ( x + y ) + 2  ≥ 0   Mµ x + y 2 2 1 7  (do ( x + y ) + ( x + y ) + 2 = ( x + y ) +  + > 0) 2 4  2 ⇔ x + y ≥1 2 Trêng THCS & THPT Hai Bµ Trng ( x + y) ≥ 2 2 Ta biÕn ®æi A nh sau : ( ) nªn x 2 + y 2 ≥ ( 1 2 ) A = 3 x 4 + y 4 + x 2y 2 − 2 x 2 + y 2 + 1 = 3 2 x + y2 2 ( §Æt f(t) = ) 2 + 3 4 9 x + y 4 − 2 x2 + y2 + 1 ≥ x2 + y2 2 4 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) − 2 x2 + y2 + 1 9 2 1 t − 2t + 1 víi t ≥ 4 2 9 f '(t) = t − 2 2 Tõ ®ã ta cã b¶ng biÕn thiªn sau : t 4 1 9 2 +∞ f'(t) + f(t) VËy 1 9 9 M inf(t) = f( ) = . Tõ ®ã suy ra A ≥ 1  2 16 16  2 ;+∞ ÷   Ta còng dÔ thÊy khi x = y = 1 9 th× A = 2 16 9 1 khi x = y = 16 2 Bµi to¸n 4 : §Ò thi tuyÓn sinh Cao ®¼ng khèi A,B“ n¨m 2008 Tãm l¹i, M in A = Cho x, y lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n : x 2 + y 2 = 2 . ( ) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc : P = 2 x 3 + y 3 − 3xy Lêi gi¶i : Chuyªn ®Ò : ¸p dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè dÓ chøng minh bÊt ®¼ng thøc vµ t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc ®¹i sè. - 12 - Trêng THCS & THPT Hai Bµ Trng D¬ng Quang Hng – Lª M¹nh Hïng 2 x + y −2 ( ) Ta cã : xy = 2 ( ) Khi ®ã : P = 2 ( x + y ) x 2 − xy + y 2 − 3xy = 2 ( x + y ) ( 2 − xy ) − 3xy 2 2  x + y) − 2  x + y) − 2 ( ( ÷− 3 = 2( x + y)  2 −  ÷ 2 2   ( ) Ta cã nhËn xÐt : ( x + y ) ≤ 2 x 2 + y 2 = 4 ⇒ −2 ≤ x + y ≤ 2 2 §Æt t = x + y ⇒ −2 ≤ t ≤ 2  t2 − 2  t2 − 2 3 P = 2t  2 − = − t 3 − t 2 + 6t + 3 ÷− 3 2  2 2  3 Tõ ®ã ta xÐt hµm sè : f(t) = −t 3 − t 2 + 6t + 3 víi −2 ≤ t ≤ 2 2 f '(t) = −3t 2 − 3t + 6 B¶ng biÕn thiªn : 1 -2 t f'(t) + 0 2 _ f(t) Tõ ®ã suy ra : Max f(t) = f(1) = [ −2;2] 13 2 Min f(t) = Min { f( −2);f(2)} = Min { −7;1} = −7 [ −2;2] Chuyªn ®Ò : ¸p dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè dÓ chøng minh bÊt ®¼ng thøc vµ t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc ®¹i sè. - 13 - Trêng THCS & THPT Hai Bµ Trng D¬ng Quang Hng – Lª M¹nh Hïng  1−  x = 2    1+ y =   x 2 + y 2 = 2 2 13  khi ⇔ MaxP =   2 x + y = 1 1+  x = 2    1−  y = 2   3 3 3 3 x 2 + y 2 = 2 ⇔ x = y = −1 MinP = −7 khi  x + y = − 2  Bµi to¸n 5 : §Ò thi tuyÓn sinh §¹i häc khèi D “ n¨m 2013 Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy ≤ y − 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P = x+ y x 2 − xy + 3 y 2 − x − 2y 6( x + y ) . Lêi gi¶i : 2 1 1 1 1 x 1 1 Từ giả thiết ta có: xy ≤ y − 1 ⇔ ≤ − 2 = −  − ÷ + ≤ y y y  y 2 4 4 x +1 y x −2 x+ y x − 2y y P= − = − 2 x  x 2 − xy + 3 y 2 6( x + y ) x x 6  + 1÷ − + 3  y÷ y y    x 1 Đặt t = , điều kiện 0 < t ≤ y 4 t −2 t 2 − t + 3 6(t + 1) t +1 t −2 1 − Xét f ( t ) = 2 với 0 < t ≤ 4 t − t + 3 6(t + 1) −3t + 7 1 f ′(t ) = − 2 3 2 ( t + 1) 2 t2 − t + 3 P= t +1 ( − ) Chuyªn ®Ò : ¸p dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè dÓ chøng minh bÊt ®¼ng thøc vµ t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc ®¹i sè. - 14 - D¬ng Quang Hng – Lª M¹nh Hïng Trêng THCS & THPT Hai Bµ Trng −3t + 7 8 5 1 1  1 ∀t ∈  0;  : ≥ , < 2 27 2  4  2 ( t 2 − t + 3) 3 2 ( t + 1)  1 ⇒ f '(t ) > 0 ∀t ∈  0;  ⇒ f đồng biến trên  4 Vậy Pmax =  1  1  7 + 10 5  0;  ⇒ f (t ) ≤ f  ÷ = 30  4 4 1 7 + 10 5 khi x = , y = 2 2 30 Bµi tËp tù luyÖn : 2 2 2 Bµi 1: Cho các số thực không âm x, y,z thoả mãn x + y + z = 3 . 5 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = xy + yz + zx + . x+y+z (x Bµi 2: Cho x,y ∈ R và x, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 3 + y3 ) − ( x2 + y2 ) ( x − 1)( y − 1) Bµi 3: Cho x,y,z thoả mãn là các số thực: x 2 − xy + y 2 = 1 . x4 + y4 +1 Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của biểu thức P = 2 x + y2 +1 Bµi 4: Cho x, y là các số thực thỏa mãn x 2 + y 2 − xy = 1 . Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của biểu thức F = x 6 + y 6 − 2 x 2 y 2 − xy Bµi 5: §Ò thi tuyÓn sinh §¹i häc khèi B “ n¨m 2013 Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P= 4 a 2 + b2 + c 2 + 4 − 9 . ( a + b) (a + 2c )(b + 2c) II.4 . D¹ng 4 : §èi víi mét líp c¸c bÊt ®¼ng thøc nhiÒu biÕn kh¸c, nhng ta nhËn thÊy c¸c biÕn cã thÓ xö lý ®îc mét c¸ch riªng lÎ ta còng thêng t×m c¸ch ph©n ly c¸c biÕn vµ ®a ra mét hµm ®Æc trng ®Ó kh¶o s¸t. - §èi víi d¹ng nµy th× tuú vµo cÊu tróc cña bµi to¸n mµ ta cã c¸ch ph©n ly c¸c biÕn. Bµi to¸n 1: Chøng minh r»ng : a b < b a , ∀a > b ≥ e Chuyªn ®Ò : ¸p dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè dÓ chøng minh bÊt ®¼ng thøc vµ t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc ®¹i sè. - 15 - Trêng THCS & THPT Hai Bµ Trng D¬ng Quang Hng – Lª M¹nh Hïng Lêi gi¶i : a b < b a ⇔ ln a b < ln b a ⇔ b ln a < a ln b ⇔ XÐt hµm sè f(x) = ln a ln b < a b ln x 1 − ln x , ∀x ≥ e . Ta cã : f '(x) = ≤ 0, ∀x ≥ e x x2 ln a ln b < ⇔ a b < ba a b Bµi to¸n 2: ( §Ò thi tuyÓn sinh Cao ®¼ng khèi A, B “ 2009 ) ⇒ f(x) gi¶m trªn [ e;+∞ ) ⇒ f(a) < f(b) ⇔ Cho 0< a< b< 1 . Chøng minh r»ng : a 2 ln b − b 2 ln a > ln a − ln b Lêi gi¶i : ( ) ( ) Ta cã : a 2 ln b − b 2 ln a > ln a − ln b ⇔ a 2 + 1 ln b > b 2 + 1 ln a ⇔ XÐt hµm sè f(t) = ln b ln a > 2 2 b +1 a +1 ln t , víi 0 < t 0 VËy hµm sè f(x) lµ hµm nghÞch biÕn trªn ( 0;+∞ ) V× a ≥ b > 0 nªn ta cã : f(a) ≤ f(b) . Tõ ®ã suy ra ®iÒu cÇn ph¶i chøng minh. Bµi to¸n 4: ( §Ò thi tuyÓn sinh §¹i häc khèi B “ 2007 ) Cho x, y, z >0. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : x 1  y 1  z 1  P = x  + ÷+ y  + ÷+ z  + ÷  2 zx   2 xy   2 yz  Lêi gi¶i : x2 y2 z 2 x2 + y 2 + z 2 Ta cã : P = + + + 2 2 2 xyz ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si , ta cã : x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx vµ ®¼ng thøc x¶y ra khi x = y = z. Tõ ®ã, ta cã : P ≥ x 2 y 2 z 2 xy + yz + zx  x 2 1   y 2 1   z 2 1  + + + =  + ÷ +  + ÷+  + ÷ 2 2 2 xyz  2 x  2 y  2 z 2 XÐt hµm sè : f(t) = t + 1 víi t >0 2 t f '(t) = t − 1 t2 t f'(t) 1 0 _ 0 + f(t) Chuyªn ®Ò : ¸p dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè dÓ chøng minh bÊt ®¼ng thøc vµ t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc ®¹i sè. - 17 - D¬ng Quang Hng – Lª M¹nh Hïng Trêng THCS & THPT Hai Bµ Trng 2 3 x 1 3 y2 1 3 z2 1 3 VËy min f(t) = f ( 1) = suy ra : + ≥ ; + ≥ ; + ≥ ( 0;+∞ ) 2 2 x 2 2 y 2 2 z 2 Céng bÊt ®¼ng thøc cïng vÕ ta ®îc : P ≥ VËy MinP = 9 ®¼ng thøc x¶y ra khi x = y= z = 1. 2 9 khi x = y= z = 1. 2 Bµi to¸n 5: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 . a 5 − 2a 3 + a b 5 − 2b 3 + b c 5 − 2c 3 + c 2 3 Chứng minh rằng + + ≤ b2 + c2 c2 + a2 a 2 + b2 3 Lêi gi¶i : Do a, b, c > 0 và a 2 + b 2 + c 2 = 1 nên a, b, c ∈ ( 0;1) 5 3 Ta có a − 2 a + a = 2 2 b +c ( ) 2 2 a a −1 1− a 2 ( 3 = −a + a ) ( ) ( ) Bất đẳng thức trở thành − a 3 + a + −b3 + b + −c 3 + c ≤ 2 3 3 3 2 3 Xét hàm số f ( x ) = − x + x x ∈ ( 0;1) . Ta có: Max f ( x ) = ( 0;1) 9 ( ⇒ f ( a) + f ( b) + f ( c) ≤ ) 2 3 3 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c= 1 3 Bµi tËp tù luyÖn: Bµi 1 Cho x,y ∈ ( 0;1) , x ≠ y .Chøng minh r»ng : 1  y x  ln − ln >4 y − x  1 − y 1− x ÷  Bµi 2 : Cho a,b,c > 0 vµ a 2 + b 2 + c2 = 1 chøng minh r»ng a b c 3. 3 + + ≥ b2 + c2 c2 + a 2 a 2 + b2 2 Bµi 3 : Cho a + b + c = 1 .Chøng minh r»ng : a 2 + 1 + b 2 + 1 + c2 + 1 ≥ 10 Chuyªn ®Ò : ¸p dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè dÓ chøng minh bÊt ®¼ng thøc vµ t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc ®¹i sè. - 18 - Trêng THCS & THPT Hai Bµ Trng D¬ng Quang Hng – Lª M¹nh Hïng II.5. Mét sè bµi to¸n ®Æc s¾c : Bµi to¸n 1 : §Ò thi tuyÓn sinh §¹i häc khèi B “ 2011 ( ) Cho a, b lµ c¸c sè thùc d¬ng tho¶ m·n 2 a 2 + b 2 + ab = ( a + b ) ( ab + 2 ) .  a3 b3   a 2 b2  P = 4  3 + 3 ÷− 9  2 + 2 ÷ a  b a  b T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : Lêi gi¶i : ( ) Theo gi¶ thiÕt ta cã : 2 a 2 + b 2 + ab = ( a + b ) ( ab + 2 ) 2 2 a b 1 1 a b ⇔ 2  + ÷+ 1 =  + ÷( ab + 2 ) ⇔ 2  + ÷+ 1 = a + + b + b a b a a b b a ¸p dông bÊt ®¼ng thøc c«si ta cã : a +  a 2 2 b + b + ≥ 2 2  + ÷ b a a÷  b   a a b Suy ra : 2  + ÷+ 1 ≥ 2 2  +  b a b    b ÷ a÷  §Æt : t = a b + ,t≥2 b a Khi ®ã ta cã : 2t + 1 ≥ 2 2 t + 2 ⇔ 4t 2 − 4t − 15 ≥ 0 ⇔ ( 2t − 5 ) ( 2t + 3 ) ≥ 0 ⇔ t ≥ 5 2  a3 b3   a 2 b 2  P = 4  3 + 3 ÷− 9  2 + 2 ÷ = 4 t 3 − 3t − 9 t 2 − 2 = 4t 3 − 9t 2 − 12t + 18 a  b a  b ( ) ( XÐt hµm sè: f(t) = 4t 3 − 9t 2 − 12t + 18, ∀t ≥ ) 5 2 f '(t) = 12t 2 − 18t − 12 = 6(2t + 1) ( t − 2 ) > 0, ∀t ≥ 5 2 5  Hµm sè f(t) ®ång biÕn trªn  ; +∞ ÷ 2  5 23 5 = f( ) = − Suy ra : Minf(t) khi t = . 5  2 4  ;+∞ ÷ 2 2  Chuyªn ®Ò : ¸p dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè dÓ chøng minh bÊt ®¼ng thøc vµ t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc ®¹i sè. - 19 - Trêng THCS & THPT Hai Bµ Trng D¬ng Quang Hng – Lª M¹nh Hïng  a = 1  23 b = 2 Tõ ®ã ta cã : MinP = − khi   a = 2 4   b = 1 Bµi to¸n 2 : §Ò thi tuyÓn sinh §¹i häc khèi A “ 2011 Cho x, y, z lµ ba sè thùc thuéc ®o¹n [ 1;4 ] vµ x ≥ y,x ≥ z . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt P= cña biÓu thøc : x y z + + 2x + 3y y + z z + x Lêi gi¶i : Ta cã : P= 1 2+3  y a = x   z §Æt  b = y   x c = y  y x + 1 1+ z y + 1 1+ x y abc = 1 1  khi ®ã :  ≤ a ≤ 1 4 1 ≤ c ≤ 4 Ta ®îc : P = 1 1 1 bc 1 1 + + = + + 2 + 3a 1 + b 1 + c 2bc + 3 1 + b 1 + c Ta cã : bc = 1 x 1 1 2 = ≥ 1 nªn + ≥ ®¼ng thøc x¶y ra khi a y 1 + b 1 + c 1 + bc Do ®ã : P ≥ bc 2 + 2bc + 3 1 + bc Ta l¹i ®Æt t = bc , v× 1 ≤ bc = Ta ®îc : P ≥  bc = 1 b = c  x ≤ 4 nªn 1 ≤ t ≤ 2 y t2 2 + 2t 2 + 3 1 + t Chuyªn ®Ò : ¸p dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè dÓ chøng minh bÊt ®¼ng thøc vµ t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc ®¹i sè. - 20 - Trêng THCS & THPT Hai Bµ Trng D¬ng Quang Hng – Lª M¹nh Hïng 2 2 §Æt : f(t) = t + , t ∈ [ 1;2 ] 2 2t + 3 1 + t f '(t) = −8t 4 + 6t 2 ( t − 2 ) + 6(t − 3) ( 2t 2 ) 2 + 3 (1 + t) 2 < 0, ∀ t ∈ [ 1;2 ] Suy ra hµm sè f(t) nghÞch biÕn trªn [ 1;2 ] Do ®ã: P ≥ f(t) ≥ f(2) = 34 33 34 khi t = bc = 2 vµ b = c t¬ng øng víi x = 4; y = 1; z = 2. 33 Bµi to¸n 3 : Cho x, y, z lµ ba sè d¬ng tho¶ m·n x + y + z ≤ 1 . Chøng minh r»ng : VËy : min P = x2 + 1 1 1 + y 2 + 2 + z 2 + 2 ≥ 82 2 x y z Lêi gi¶i : V× x, y, z lµ ba sè d¬ng tho¶ m·n x + y + z ≤ 1 nªn x,y,z ∈ (0;1) . XÐt hµm sè f(t) = t 2 + 1 + 40 82 t, ∀t ∈ (0;1). t2 41 Ta cã : f '(t) = t4 − 1 t2 t4 + 1 + 40 82 1 = 0 ⇔ t = ∈ (0;1) 41 3 1 t f'(t) 0 1 3 _ 0 + f(t) Tõ b¶ng biÕn thiªn, suy ra f(t) ≥ 27 82 , ∀t ∈ (0;1) 41 1 40 82 27 82 ≥− t+ , ∀t ∈ (0;1). 2 t 41 41 Thay t lÇn lît bëi x, y, z råi céng theo vÕ bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu, suy ra : Tõ ®ã ta suy ra : t2 + Chuyªn ®Ò : ¸p dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè dÓ chøng minh bÊt ®¼ng thøc vµ t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc ®¹i sè. - 21 - D¬ng Quang Hng – Lª M¹nh Hïng Trêng THCS & THPT Hai Bµ Trng 1 1 1 40 82 81 82 x2 + 2 + y2 + 2 + z2 + 2 ≥ − ≥ 82 ( x + y + z) + x y z 41 41 (§iÒu ph¶i chøng minh ) Bµi to¸n 4 : §Ò thi tuyÓn sinh §¹i häc khèi A “ 2013 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện (a + c)(b + c) = 4c 2 . 32a 3 32b3 a 2 + b2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = + − (b + 3c)3 (a + 3c)3 c Lêi gi¶i :  a  b  Giả thiết ⇔  + 1÷ + 1÷ = 4  c  c  b a Đặt x = ; y = thì (x + 1)(y + 1) = 4 ⇔ S + P = 3 ; P = 3 – S c c 3  x   y  3  2 2 P = 32  ÷ + ÷ − x + y  y + 3   x + 3   3 3  S + 3S − 2 P  S  x y  2 2 − + ≥ 8 ÷ − x + y = 8  2  y +3 x+3  3S + P + 9  2 3 3 3  S 2 + 3S − 2(3 − S )   S 2 + 5S − 6  S S S  S −1  8 = 8 8 − =  =  = ÷− ÷−  2 2 2  2   2 S + 12   3S + (3 − S ) + 9  S ( S − 1)3 − ,S ≥ 2 2 P’ = 3 (S – 1)2 – 1 > 0, ∀S ≥ 2 ⇒ P min = P (2) = 1 – 2 2 Dấu “=” xảy ra chẳng hạn khi x = y = 1. Bµi to¸n 5 : (USA, 2003) Cho x, y, z lµ ba sè d¬ng. Chøng minh r»ng : ( 2x + y + z ) + ( 2y + z + x ) + ( 2z + x + y ) ≤ 8 2 2 2 2x 2 + ( y + z ) 2y 2 + ( z + x ) 2z 2 + ( x + y ) 2 2 2 Lêi gi¶i : Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta cã thÓ gi¶ sö : x + y + z = 3 th× x + y + z = 3 Khi ®ã bÊt ®¼ng thøc sÏ t¬ng ®¬ng víi : x 2 + 6x + 9 y 2 + 6y + 9 z 2 + 6z + 9 + + ≤8 3x 2 − 6x + 9 3y 2 − 6y + 9 3z 2 − 6z + 9 Chuyªn ®Ò : ¸p dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè dÓ chøng minh bÊt ®¼ng thøc vµ t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc ®¹i sè. - 22 - D¬ng Quang Hng – Lª M¹nh Hïng Trêng THCS & THPT Hai Bµ Trng 2 2 2 x + 6x + 9 y + 6y + 9 z + 6z + 9 ⇔ 2 + + ≤ 24 x − 2x + 3 y 2 − 2y + 3 z 2 − 2z + 3 2 XÐt hµm sè f(t) = t + 6t + 9 − 4t − 4 , ∀t ∈ ( 0;3 ) t 2 − 2t + 3 f '(t) = −8t 2 − 12t + 36 ( t 2 − 2t + 3 ) 2  t = 1 ∈ ( 0;3 ) −4 =0⇔   t = 0 ∉ ( 0;3 ) Ta cã b¶ng biÕn thiªn : t 1 0 f'(t) + 3 _ 0 f(t) 2 Tõ b¶ng biÕn thiªn ta suy ra : f(t) ≤ f(1) = 0 ⇔ t + 6t + 9 ≤ 4t + 4 t 2 − 2t + 3 Thay t lÇn lît bëi x, y, z råi céng theo vÕ bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu ta suy ra : x 2 + 6x + 9 y 2 + 6y + 9 z 2 + 6z + 9 + + ≤ 4(x + y + z) + 12 = 24 x 2 − 2x + 3 y 2 − 2y + 3 z 2 − 2z + 3 (§iÒu ph¶i chøng minh) Bµi to¸n 6 : §Ò thi tuyÓn sinh §¹i häc khèi A “ 2012 Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x +y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3 x − y + 3 y − z + 3 z − x − 6 x 2 + 6 y 2 + 6 z 2 . Lêi gi¶i : Ta cã : x + y + z = 0 nên z = -(x + y) và có 2 số không âm hoặc không dương. Do tính chất đối xứng ta có thể giả sử xy ≥ 0 Ta có P = 3 x − y + 3 2 y + x + 3 2 x + y − 12( x 2 + y 2 + xy ) ⇔ P =3 x− y +3 2 y+x +3 2x+ y − 12[( x + y ) − xy ] ≥ 3 2 2 y + x + 2 x+ y x− y + 2.3 2 − 12[( x + y ) 2 − xy ] Chuyªn ®Ò : ¸p dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè dÓ chøng minh bÊt ®¼ng thøc vµ t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc ®¹i sè. - 23 - Trêng THCS & THPT Hai Bµ Trng D¬ng Quang Hng – Lª M¹nh Hïng ≥ 3 x − y + 2.3 3 x+ y 2 −2 3 x+ y . Đặt t = x + y ≥ 0 , xét f(t) = 2.( 3)3t − 2 3t f’(t) = 2.3( 3)3t .ln 3 − 2 3 = 2 3( 3.( 3) 3t ln 3 − 1) > 0 ⇒ f đồng biến trên [0; +∞) ⇒ f(t) ≥ f(0) = 2 Mà 3 x − y ≥ 30 = 1. Vậy P ≥ 30 + 2 = 3, dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z = 0. Vậy min P = 3. Bµi to¸n 7 : §Ò thi tuyÓn sinh §¹i häc khèi D “ 2012 Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4) 2 + (y – 4)2 + 2xy ≤ 32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2). Lêi gi¶i : * ( x − 4) 2 + ( y − 4) 2 + 2 xy ≤ 32 ⇔ ( x + y )2 − 8( x + y ) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x + y ≤ 8 3 ( x − y ) 2 ≥ 0 ⇔ ( x + y ) 2 ≥ 4 xy ⇒ − 6 xy ≥ − ( x + y ) 2 2 (1) (2) A = x 3 + y 3 + 3( xy − 1)( x + y − 2) = ( x + y )3 − 6 xy − 3( x + y ) + 6 3 3 2 Từ (2) => A ≥ ( x + y ) − ( x + y ) − 3( x + y ) + 6 2 3 2 3 * Đặt t = x + y với ( 0 ≤ t ≤ 8 ), xét f(t) = t − t − 3t + 6 ⇒ f’(t) = 3t 2 − 3t − 3 2 f’(t) = 0 ⇔ t 2 − t − 1 = 0 ⇔ t = Ta có : f(0) = 6, f(8) = 398, f( Vậy giá trị nhỏ nhất của f(t) = 1+ 5 > 0 ( nhận); t = 2 1− 5 < 0 ( loại); 2 1+ 5 17 − 5 5 )= 4 2 1+ 5 17 − 5 5 xảy ra khi t = 4 2 17 − 5 5 1+ 5 A ≥ f(t) ≥ . Dấu bằng xảy ra khi x = y và x + y = 2 4 Chuyªn ®Ò : ¸p dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè dÓ chøng minh bÊt ®¼ng thøc vµ t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc ®¹i sè. - 24 - Trêng THCS & THPT Hai Bµ Trng 1+ 5 17 − 5 5 Vậy giái trị nhỏ nhất của A = khi x = y = 4 4 D¬ng Quang Hng – Lª M¹nh Hïng PhÇn C - kÕt luËn : KiÕn thøc ®îc tr×nh bµy trong ®Ò tµi đ· được gi¶ng d¹y cho c¸c em häc sinh líp luyÖn thi §¹i häc. Kết quả thu được rất khả quan, c¸c em học tập một c¸ch say mª hứng thó. Với chuyªn ®Ò này người thầy phải biết vận dụng s¸ng tạo phương ph¸p, lu«n lu«n kh«ng ngừng t×m tßi, tham khảo c¸c tài liệu, tham khảo đồng nghiệp, x©u chuỗi chóng lại và cho học sinh c¸c bài tập định hướng để c¸c em học tập, t×m hiểu. Tuy vËy, do nhiÒu nguyªn nh©n kh¸c nhau, chñ quan vµ kh¸ch quan nªn ®Ò tµi kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt, h¹n chÕ nhÊt ®Þnh. RÊt mong nhËn ®îc sù gãp ý cña ®éc gi¶ để đề tài ngày hoàn thiện hơn, cã ứng dụng rộng r·i trong qu¸ tr×nh giảng dạy và bồi dưỡng học sinh. Phóc Yªn, th¸ng 02 n¨m 2014 Nhóm tác giả 1. D¬ng Quang Hng 2. Lª M¹nh Hïng Chuyªn ®Ò : ¸p dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè dÓ chøng minh bÊt ®¼ng thøc vµ t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc ®¹i sè. - 25 - D¬ng Quang Hng – Lª M¹nh Hïng Trêng THCS & THPT Hai Bµ Trng Tµi liÖu tham kh¶o [1] To¸n häc vµ tuæi trÎ Sè 408 (Th¸ng 6/2011), Sè 409 (Th¸ng 7/2011). [2] C¸c ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc – TrÇn TuÊn Anh. [3] S¸ng t¹o BÊt ®¼ng thøc – Ph¹m Kim Hïng. [4] TuyÓn chän theo chuyªn ®Ò chuÈn bÞ cho kú thi tèt nghiÖp THPT vµ thi vµo §H – C§ (Tñ s¸ch TO¸N HäC Vµ TuæI TRÎ –TËp 1 - Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc ViÖt Nam). [5] C¸c ®Ò thi tuyÓn sinh §¹i Häc vµ Cao §¼ng. [6] Tµi liÖu trªn m¹ng. Chuyªn ®Ò : ¸p dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè dÓ chøng minh bÊt ®¼ng thøc vµ t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc ®¹i sè. - 26 - [...]... = y = 16 2 Bài toán 4 : Đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A,B năm 2008 Tóm lại, M in A = Cho x, y là các số thực thoả mãn : x 2 + y 2 = 2 ( ) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : P = 2 x 3 + y 3 3xy Lời giải : Chuyên đề : áp dụng tính đơn điệu của hàm số dể chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số - 12 - Trờng THCS & THPT Hai Bà Trng Dơng Quang... Mạnh Hùng Chuyên đề : áp dụng tính đơn điệu của hàm số dể chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số - 25 - Dơng Quang Hng Lê Mạnh Hùng Trờng THCS & THPT Hai Bà Trng Tài liệu tham khảo [1] Toán học và tuổi trẻ Số 408 (Tháng 6/2011), Số 409 (Tháng 7/2011) [2] Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Trần Tuấn Anh [3] Sáng tạo Bất đẳng thức Phạm Kim Hùng [4]... x,y ( 0;1) , x y Chứng minh rằng : 1 y x ln ln >4 y x 1 y 1 x ữ Bài 2 : Cho a,b,c > 0 và a 2 + b 2 + c2 = 1 chứng minh rằng a b c 3 3 + + b2 + c2 c2 + a 2 a 2 + b2 2 Bài 3 : Cho a + b + c = 1 Chứng minh rằng : a 2 + 1 + b 2 + 1 + c2 + 1 10 Chuyên đề : áp dụng tính đơn điệu của hàm số dể chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số - 18 - Trờng THCS... ( ) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : A = 3 x 4 + y 4 + x 2 y 2 2 x 2 + y 2 + 1 với x, y là các số thoả mãn điều kiện : ( x + y ) + 4xy 2 3 Lời giải : Dựa vào bất đẳng thức hiển nhiên : ( x + y ) 4xy 2 Suy ra: ( x + y ) + ( x + y ) ( x + y ) + 4xy 2 3 2 3 ( x + y) + ( x + y) 2 0 3 2 Chuyên đề : áp dụng tính đơn điệu của hàm số dể chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, ... chọn theo chuyên đề chuẩn bị cho kỳ thi tốt nghiệp THPT và thi vào ĐH CĐ (Tủ sách TOáN HọC Và TuổI TRẻ Tập 1 - Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam) [5] Các đề thi tuyển sinh Đại Học và Cao Đẳng [6] Tài liệu trên mạng Chuyên đề : áp dụng tính đơn điệu của hàm số dể chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số - 26 - ... theo vế bất đẳng thức cùng chiều, suy ra : Từ đó ta suy ra : t2 + Chuyên đề : áp dụng tính đơn điệu của hàm số dể chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số - 21 - Dơng Quang Hng Lê Mạnh Hùng Trờng THCS & THPT Hai Bà Trng 1 1 1 40 82 81 82 x2 + 2 + y2 + 2 + z2 + 2 82 ( x + y + z) + x y z 41 41 (Điều phải chứng minh ) Bài toán 4 : Đề thi tuyển sinh Đại học... ) b b a b b (do a,b > 0) Chuyên đề : áp dụng tính đơn điệu của hàm số dể chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số - 16 - Trờng THCS & THPT Hai Bà Trng Dơng Quang Hng Lê Mạnh Hùng ln 1 + 4 x Xét hàm số f(x) = với x >0 x ( f '(x) = ) ( ) ( (1+ 4 ) 4 x ln 4 x 1 + 4 x ln 1 + 4 x x2 x ) < 0 , x > 0 Vậy hàm số f(x) là hàm nghịch biến trên ( 0;+ ) Vì a b >... 2 Xét hàm số : f(t) = t + 1 với t >0 2 t f '(t) = t 1 t2 t f'(t) 1 0 _ 0 + f(t) Chuyên đề : áp dụng tính đơn điệu của hàm số dể chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số - 17 - Dơng Quang Hng Lê Mạnh Hùng Trờng THCS & THPT Hai Bà Trng 2 3 x 1 3 y2 1 3 z2 1 3 Vậy min f(t) = f ( 1) = suy ra : + ; + ; + ( 0;+ ) 2 2 x 2 2 y 2 2 z 2 Cộng bất đẳng thức cùng... toán mà ta có cách phân ly các biến Bài toán 1: Chứng minh rằng : a b < b a , a > b e Chuyên đề : áp dụng tính đơn điệu của hàm số dể chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số - 15 - Trờng THCS & THPT Hai Bà Trng Dơng Quang Hng Lê Mạnh Hùng Lời giải : a b < b a ln a b < ln b a b ln a < a ln b Xét hàm số f(x) = ln a ln b < a b ln x 1 ln x , x e Ta... 2 5 Hàm số f(t) đồng biến trên ; + ữ 2 5 23 5 = f( ) = Suy ra : Minf(t) khi t = 5 2 4 ;+ ữ 2 2 Chuyên đề : áp dụng tính đơn điệu của hàm số dể chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số - 19 - Trờng THCS & THPT Hai Bà Trng Dơng Quang Hng Lê Mạnh Hùng a = 1 23 b = 2 Từ đó ta có : MinP = khi a = 2 4 b = 1 Bài toán 2 : Đề thi tuyển sinh Đại học ... sinh Đại học khối B năm 2003 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số : y = x + x đoạn [ 2;2 ] Chuyên đề : áp dụng tính đơn điệu hàm số dể chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức. .. 3: Cho x,y,z [ 0;2 ] Tìm giá trị lớn biểu thức : Chuyên đề : áp dụng tính đơn điệu hàm số dể chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số -7- Dơng Quang Hng ... Cho x [ 0;1] ,y [ 0;2 ] Tìm giá trị nhỏ biểu thức : Chuyên đề : áp dụng tính đơn điệu hàm số dể chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số -9- Trờng THCS & THPT