Một số phương pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số

http://laisac.page.tl BNGLNGGICHểAIS Biểu thức đại số Biểu thức lượng giác t­¬ng tù + x2 + tg2t 4x3 - 3x 2x2 - x  1 - x 2  4cos3t - 3cost 2cos2t - 2 tgt  1 - tg 2 t  1  cos 2 t  4cos3t - 3cost = cos3t 2cos2t - = cos2t  2 tgt  = tg2t  1 - tg 2 t  x  1 + x 2  2 tgt  1 + tg 2 t  2 tgt  = sin2t  1 + tg 2 t  x + y  1 - xy  tga + tg b 1 - tg a tg b tga + tg b = tg(a+b) 1 - tg a tg b 1  - 1  cos 2 a  1  - 1  = tg2a cos  a x2 - Công thức lượng giác 1+tg2t = số phương pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số I Dạng 1: Sử dụng hệ thức sin2a + cos2a = 1) Phương pháp: ỡx =sina a) Nếu thấy x2 + y2 = đặt với a ẻ [0, 2p] ợ y= cosa ỡx = a sin a b) NÕu thÊy x + y2 = a2 (a > 0) đặt với a ẻ [0, 2p] ợ y= acosa Các ví dụ minh hoạ: VD1: Cho sè a, b, c, d tho¶ m·n: a2 + b2 = c2 + d2 = Chøng minh r»ng: -  £ S = a(c+d) + b(c-d) Ê Giải: ỡa =sinu ỡc =sinv Đặt ị S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv) ợb= cosu ợd= cos v  Þ S = (sinucosv+cosusinv) - (cosucosv - sinusinv) = sin(u+v) - cos(u+v) 112 pù é Û  S = 2sinờ(u+ v)- ỳ ẻ[- 2, 2]ị - 2Ê S= a(c+ d ) + b ( c - d ) £ 2 (®pcm) 4 û ë 2  2  1  æ 1  ö 25  æ VD2: Cho a + b = Chứng minh rằng: ỗ a2 + ữ + ỗ b2 + ữ a ứ ố b ứ ố 2 Giải: Đặt a = cosa vµ b = sina víi £ a £ 2p Thế vào biểu thức vế trái biến đổi. 2  2  2  1  ỉ 2  1  ỉ 2  1  ỉ 2  1  ỉ 2  + sin a + ỗ a + ữ + ỗ b + ữ = ỗ cos a + ữ ç ÷ a  ø è b  ø è cos 2  a ø è sin 2  a ø è = cos4a + sin4a +  2  1  1  cos 4  a + sin 4  a 4  4  + + 4  = cos  a + sin  a + + 4  cos 4 a sin 4  a cos 4  a. sin 4  a ổ = cos4 a + sin4 a ỗ1+ + 4  4  4  ÷ è cos  a. sin  a ø ( )  1  ỉ = cos 2 a + sin 2  a - 2cos2 a sin2a ỗ1+ + 4 ÷ è cos  a. sin  a ø [( ) ]  16  17 25 ổ ửổ ổ 1ử = ỗ1- sin2 2a ữỗ1+ (đpcm) ữ + ỗ1- ữ(1+ 16)+ 4 = + 4 = 4  2  2  è 2  øè sin  2a ứ ố 2ứ Bây ta đẩy toán lên mức độ cao bước để xuất hiÖn a2+b2=1 VD3: Cho a2 + b2 - 2a - 4b + = Chøng minh r»ng: A =  a 2 - b 2  + 2  3 ab - 2 ( 1 + 2  3 ) a + ( 4 - 3)b+ 3- Ê Giải: Biến đổi ®iỊu kiƯn: a2 + b2 - 2a - 4b + = 0Û (a-1)2 + (b-2)2 = ìa - 1 = sin a ỡa= 1+ sina Đặt ịớ ị A= sin2 a - cos 2  a + 2  3 sin a cos a ỵb - 2 = cos a îb = 2 + cos a A  = sin 2 a - cos 2 a = 2  3  1  p sin 2 a - cos 2 a = 2 sin( 2 a - ) £ 2  (®pcm) 2  2  6  VD4: Cho a, b tho¶ m·n :  5a + 12b + 7 = 13 Chøng minh r»ng: a2 + b2 + 2(b-a) ³ - Giải: Biến đổi bất đẳng thức: a2 + b2 + 2(b-a) ³ - Û (a-1)2 + (b + 1)2 ³ ìa - 1 = R sin a ìa = R sin a + 1  §Ỉt í víi R ³ Û  í Û ( a - 1 ) 2  + ( b + 1 ) 2  = R 2  ỵb + 1 = R cos a ỵb = R cos a - 1  212 Ta cã:  5a + 12 b + 7  = 13 Û 5 ( R sin a + 1 ) + 12 ( R cos a - 1 ) + 7  = 13  5  12  5  ỉ Û  5R sin a + 12 R cos a = 13 1= R sina + cosa = Rsinỗ a + arccos  ÷ £ R  13  13  13 ø è Tõ ®ã Þ (a-1)2 + (b+1)2 = R2 ³ Û a2 + b2 + 2(b - a) ³ - (đpcm) II Dạng 2: Sử dụng tập giá trị | sina |Ê |cosa |Ê 1 Phương pháp: é é p pù ê x = sin a khi  a Ỵ ê - ; 2 ú ë û ê êë x = cos a a Ỵ [ 0; p ] a) Nếu thấy |x| Ê đặt ộ é p pù ê x = m sin a khi  a Ỵ ê - ; 2 ú b) NÕu thÊy |x| Ê m ( m 0) đặt ë û êë x = m cos a a ẻ [ 0p ] Các ví dụ minh hoạ: VD1: Chøng minh r»ng: (1+x)p + (1-x)p £ 2p " |x| Ê ; " P Giải: Đặt x = cosa với a ẻ [0, p], (1 + x)p + (1 - x)p = (1+cosa)p + (1-cosa)p p  p  ỉ a a ổ ổ ổ = ỗ cos2 ữ + ỗ 2sin2 ữ = 2pỗ cos2p + sin2p ữ Ê 2pỗ cos 2  + sin 2  ÷ = 2 p  2 ø è 2 ø 2  2 ø 2  2 ø è è è (®pcm) VD2: Chøng minh r»ng:  3 - 2 £ A = 2  3 a + 2 a 1- a Ê 3+ Giải: Từ đk - a2 |a| Ê nên Đặt a = cosa víi £ a £ p Þ  1- a 2  = sina Khi ®ã ta cã: A= 2  3 a 2 + 2 a  1 - a 2  = 2  3 cos 2  a + 2 cos a sin a = 3 ( 1 + cos 2 a ) + sin 2 a é 3  ù 1  pử ổ =2ờ cos2a+ sin2aỳ + 3= 2sinỗ 2a + ữ + 3ị - 2Ê A Ê 3+ 2(đpcm) 2  3 ø è ë 2  û VD3: Chøng minh r»ng: 1 + 1 - a 2 [ (1 + a) 3  ] - (1 - a )3  £ 2  2 + 2 - 2 a 2  (1 ) Gi¶i: Từ đk |a| Ê nên 312 a a Đặt a=cosa với aẻ[0,p] ị 1-a = 2sin 1+ a  = 2 cos  ; 1 - a 2 = sin a 2  2  a a a aù a a é (1)Û  1 + 2 sin  cos  2  2 êcos 3 - sin 3  ú £ 2  2 + 2  2 sin  cos  2  2  2  2 û 2  2  ë a öæ a a öæ a a a aö a a ổ a ỗ sin + cos ữỗ cos - sin ữỗ cos2 + sin cos + sin2 ữ Ê 1+ sin  cos  2  2 øè 2  2 øè 2  2  2  2 ø 2  2  è a a ưỉ a a a ổ ỗ sin + cos ữỗ cos - sin ÷ = cos 2 - sin 2  = cos a £ 1  ®óng Þ (®pcm) 2  2 øè 2  2 ø 2  2  è ) ( ( )  VD4: Chøng minh r»ng: S = 4  (1 - a )3  - a 3  + 3 a - 1- a Ê Giải: Từ đk |a| Ê nên: Đặt a = cosa với a ẻ [0, p] ị - a2 = sina Khi biến ®æi S ta cã: S= 4 (sin 3 a - cos 3 a ) + 3 (cos a - sin a )  = ( 3 sin a - 4 sin 3  a ) + ( 4 cos 3  a - 3 cos a )  pư ỉ =  sin 3 a + cos3a = 2sinỗ 3a + ữ Ê ị (đpcm) 4 ø è ( )  VD5: Chøng minh r»ng A = a 1 - b + b 1 - a 2  + 3 ab - (1 - a 2 )(1 - b 2 ) £ 2  Gi¶i: Tõ ®iỊu kiƯn: - a2 ³ ; - b2 ³ Û |a| £ ; |b| Ê nên ộ p pự Đặt a = sina, b = sin b víi a, b Ỵ ê-  ; ú ë 2 û Khi ®ã A =  sin a cos b + cos a sin b - 3 cos( a + b) = 1  3  pù é =  sin(a + b) - 3 cos( a + b)  = 2  sin( a + b) cos( a + b)  = 2 sin ê( a + b) - ú £ 2  2  2  3 û ë (®pcm) VD6: Chøng minh r»ng: A = |4a3 - 24a2 + 45a - 26| Ê "a ẻ [1; 3] Giải: Do a ẻ [1, 3] nên |a-2| Ê nên ta đặt a - = cosa Û a = + cosa Ta cã: A =  4 (2 + cosa)3 - 24 (2 + cosa)2  + 45 (2 + cosa) - 26 = 4 cos3 a - 3 cosa = cos3 a £ 1  (®pcm) VD7: Chøng minh r»ng: A =  2a - a 2  - 3a + £ " aẻ[0, 2] 412 Giải: Do a ẻ [0, 2] nên |a-1| Ê nên ta đặt a - = cosa víi a Ỵ [0, p] Ta cã: A= 2 ( 1 + cos a ) - (1 - cos a ) - 3 (1 + cos a ) + 3  = 1 - cos 2  a - 3 cos a ỉ 1  3  pư ổ = sin a - 3cosa = 2ỗỗ sina cosa ữữ = 2sinỗ a + ữ Ê (đpcm) 3 ø è è 2  ø p 1  1  2  Û tg  a = 1  ( a  ¹ + kp) cos2 a cos2a III Dạng 3: Sử dụng công thức: 1+tg2a = 1) Phương pháp: a) Nếu |x| toán có chứa biểu thức x2 - đặt x = ộ pử ộ 3p với aẻ ờ0 ữ ẩ p, ữ cosa 2 ø ë 2  ø b) NÕu |x| ³ m hc toán có chứa biểu thức x - m2 đặt x = m ộ pử ộ 3p với aẻ ờ0 ữ ẩ p, ữ cosa 2ứ ứ Các ví dụ minh hoạ: VD1: Chøng minh r»ng A =  a 2  - + 3  £ " a  ³ 1  a Gi¶i: Do |a| nên : Đặt a = A = ộ pử ộ 3p với aẻ ờ0 ữ ẩ p, ữ ị cosa 2ứ ø a 2 - 1 = tg 2 a = tg a Khi ®ã: a 2 - 1 + 3  pư ỉ = ( tg a + 3 ) cos a = sina + 3cosa = 2sinỗ a + ữ Ê (®pcm) a  3 ø è - 12  a 2  - 1  VD2: Chøng minh r»ng: - £ A =  £ 9  " a ³ 1  a 2  Gi¶i: Do |a| ³ nên: Đặt a = 512 ộ pử ộ 3p với aẻ ờ0 ữ ẩ p, ữ Þ cos a  ë 2 ø ë 2  ø a 2 - 1 = tg 2 a = tg a Khi ®ã: 5 -12  a 2 -1  5( 1 + cos 2 a)  = (5-12tga)cos2a = 5cos2a-12sinacosa= - 6 sin 2 a 2  2  a  13 ỉ 5  12  5  ư 5  13  ỉ = + ỗ cos2a - sin2a ữ = + cosỗ 2a + arccos  ÷ 2  2  è 13  13  13 ø ø 2  2  è A =  13  5  13  æ 5  5  13  Þ - =  + ( -1 ) £ A= + cosỗ 2a + arccos ữ Ê + 1= 9  (®pcm) 2  2  2  2  è 13 ø 2  2  VD3: Chøng minh r»ng: A =  a 2 - 1 + b 2  - 1  £ 1  " a ; b ³ 1  ab Giải: Do |a| 1; |b| nên Đặt a = 1 ộ pử ộ 3p ;b= với aẻ ờ0 ữ ẩ p, ữ Khi ®ã ta cã: cos a  cos b  ë 2 ø ë 2  ø A =  ( tg a + tg b) cos a cos b = sin a cos b + sin b cos a = sin( a + b)  £ 1 (®pcm) VD4: Chøng minh r»ng: a +  a  a 2 - 1  ³ 2  2  " a > 1  Gi¶i: Do |a| > nên: Đặt a = a+ a a 1 ổ pử với aẻ ỗ ữ Þ =   = Khi ®ã: 2  cos a  è 2 ø a  - 1  cos a tg  a sin a 1  1  1  1  2  2  + ³ 2 .    = ³ 2  2  (®pcm) cos  a sin  a cos  a sin  a sin  2  a a  - 1  = VD5: Chøng minh r»ng  y  x 2 - 1 + 4  y 2  - 1 + 3 £ xy  26  " x ; y ³ 1  Giải: Bất đẳng thức x2 - + x Do |x|; |y| nên Đặt x = 1ổỗ 4  y 2  - 1  3 ư÷ + £ 26  (1 ) xỗ y yữ ố ứ 1 ổ pử ; y= với a, bẻ ỗ 0, ữ cos a cosb è 2 ø Khi ®ã: (1) Û S = sina + cosa(4sinb + 3cosb) £  26 Ta cã: S £ sina + cosa ( 4 2 + 3 2 )(sin 2 b + cos 2 b)  = sin a + 5 cos a £  (12 + 52 )(sin a + cos 2 a ) = 26 ị (đpcm) 612 IV Dạng 4: Sư dơng c«ng thøc 1+ tg2a = cos 2  a  Phương pháp: ổ p pử a) Nếu x ẻ R toán chứa (1+x2) đặt x = tga với a ẻ ỗ - , ữ ố 2ứ ổ p pử b) Nếu x ẻ R toán chứa (x 2+m2) đặt x = mtga với a ẻ ỗ - , ữ ố 2ứ Các ví dụ minh hoạ: VD1: Chứng minh rằng: S =  3 x 1 + x - 4 x 3  2  3  £ 1  (1 + x ) Gi¶i: 1  ỉ p pử Đặt x = tga với a ẻ ỗ - , ữ ị 1+ x2 = , biến ®æi S ta cã: cos a è 2 ø S = |3tga.cosa - 4tg3a.cos3a| = |3sina - 4sin3a| = |sin3a| Ê (đpcm) + 8a2 + 12a4 VD2: Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức A =  ( 1 + 2 a 2 ) 2  Gi¶i: + 4 tg 2 a + 3 tg 4 a ộ p pự Đặt a = tga với a Πê- , ú th× ta cã: A =  ( 1 + tg 2 a ) 2  ë 2 û = cos 4  a + 4 sin 2  a cos 2  a + 3 sin 4  a = 3 (sin 2  a + cos 2  a ) 2  - 2 sin 2  a cos 2  a 2  2  2  (cos  a + sin  a )  sin 2 2 a 5  1  sin 2  2 a 0  = -  Þ = 3 - £ A = 3 £ 2 - = 3  2  2  2  2  2  p Víi a = Þ a = MaxA = ; Với a = ị a =  th× MinA =  2  2  VD3: Chøng minh r»ng:  ( a + b )( 1 - ab )  1  £ " a, b ẻ R (1+ a2 )(1+ b2) Giải: Đặt a = tga, b = tgb Khi ®ã (a + b )(1 - ab ) (tga + tgb)(1 - tgatgb) = (1 + a 2 )(1 + b 2 ) (1 + tg 2 a )(1 + tg 2 b) sin( a + b)  cos a. cos b - sin a. sin b = cos 2 a cos 2 b.    cos a. cos b cos a. cos b 712 1  sin[2 (a + b)]  £ (®pcm) 2  2  | a - b |  | b - c |  | c - a |  VD4: Chøng minh r»ng:  + ³ "a , b , c  ( 1 + a 2 )( 1 + b 2 )  ( 1 + b 2 )( 1 + c 2 )  ( 1 + c 2 )( 1 + a 2 )  = sin(a + b) cos(a + b) = Giải: Đặt a = tga, b = tgb, c = tgg Khi bất đẳng thức | tg a - tg b |  | tg b - tg g |  | tg g - tg a |  Û  + ³ ( 1 + tg 2 a )( 1 + tg 2 b )  ( 1 + tg 2 b)( 1 + tg 2 g )  ( 1 + tg 2 g )( 1 + tg 2 a )  sin( a - b)  sin( b - g )  sin( g - a )  Û cos a cos b.  + cos b cos g.  ³ cos g cos a.  cos a. cos b cos b. cos g cos g. cos a Û |sin(a-b)|+|sin(b-g)| ³ |sin(g-a)| BiÕn ®ỉi biĨu thøc vÕ ph¶i ta cã: |sin(g-a)|= |sin[(a-b)+(b-g)]| = |sin(a-b)cos(b-g)+sin(b-g)cos(a-b)| £ |sin(a-b)cos(b-g)|+|sin(b-g)cos(a-b)|=|sin(a-b)||cos(b-g)|+|sin(b-g)||cos(a-b)| £ |sin(a-b)|.1 + |sin(b-g)|.1 = |sin(a-b)| + |sin(b-g)| Þ (®pcm) VD5: Chøng minh r»ng:  ab + cd  £ ( a + c )( b + d )  ( 1 )  "a , b , c , d > 0  Gi¶i: ab cd  (1) Û  + £ 1 Û ( a + c )( b + d )  ( a + c )( b + d )  cd  ab  + £ 1  c ưỉ b ư ỉ ỉ c ưỉ b ư ç1 + ÷ç1 + ÷ ç1 + ÷ç1 + ÷ è a øè d ø è aứố dứ c d ổ pử Đặt tg2a= , tg2b= với a,b ẻ ỗ 0, ữ ị Biến đổi bất đẳng thức a b ố 2ứ (1+ tg 2a)( 1 + tg 2 b)  + tg 2 a. tg 2 b ( 1 + tg 2 a)( 1 + tg 2 b)  = cos 2 a cos 2 b + sin 2 a sin 2 b £ 1  Û cosa cosb + sina sinb = cos(a-b) Ê ị (đpcm) Dấu x¶y Û cos(a-b) = Û a=b Û  c d  = a  b  6 a + 4 | a 2 - 1 |  VD6: T×m giá trị lớn nhỏ biểu thức A =  a 2  + 1  Gi¶i: 812 a a a a 6 tg  + 4 | tg 2 - 1 |  2 tg  tg 2  - a 2 + 4. 2 Đặt a = tg  Khi ®ã A =  = 3 .  a a a tg 2  + 1  1 + tg 2  tg 2  + 1  2  2  2  A = 3sin a + |cosa| ³ sina + 4.0 = 3sina ³ 3.(-1) = -3 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta cã: A2 = (3sina + |cosa|)2 £ (32 + 42)(sin2a + cos2a) = 25 Þ A £ Víi sina = Û a = th× MinA = - ; víi  sin a | cos a |  = MaxA = V Dạng 5: Đổi biến số đưa bất đẳng thức tam giác 1) Phương pháp: p ỡ ỡx; y; z >0 ùABCẻ (0 ) a) NÕu í th× $ DABC : í 2  2  2  ỵx + y + z + 2 xyz = 1  ïỵx = cos A ; y = cos B ; z = cos C  p ì ìx ; y; z > ùABCẻ (0 ) b) Nếu $DABC :ớ 2  ỵx + y + z = xyz ïỵx = tgA ; y = tgBz= tgC p ộỡ ờùABCẻ (02) ờớ ỡx y,z>0 ờùợx= cotgAy= cotgBz= cotgC c) Nếu $DABC :ờ ABCẻ ( 0 ; p)  ỵxy + yz + zx = 1  êìï êí A  B  C  êëïỵx = tg  2  ; y = tg  2 ; z = tg  2  Các ví dụ minh hoạ: VD1: Cho x, y, z > vµ zy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ biểu thức S =  1  1  + + - 3 ( x + y + z )  x  y  z  Gi¶i: a b g ỉ p ư Tõ < x, y, z < nên đặt x = tg  ; y = tg  ; z = tg  với a, b, g ẻ ỗ 0, ữ 2 è 2 ø a b b g g a Do xy + yz + zx = nªn tg  tg  + tg  tg  + tg  tg  = 2 2 2 912 a ỉ b  gư tg ỗ tg + tg ữ ố 2 ø b g tg + tg  b g 2  = tgổỗ b + g ửữ = cotga = -  tg tg  Û  2  2  2  1 - tg b tg g tg a è 2  2 ø 2  2  2  b g p a a+b+ g p ỉ b  g ổp aử tgỗ + ữ = tgỗ + ữ Û + = - Û = Û a+b+ g = p 2  2  2  2  2  2  è 2 ø è 2  2 ø S =  a b g æ a  b gö 1  1  + + - 3 ( x + y + z)= cotg + cotg + cotg -3 ỗ tg + tg  + tg  ÷ 2 è 2  x  y  z  2  2 ø a  ỉ b bư ỉ g gử ổ a b gử ổ S = ỗ cot g - tg ữ + ỗ cot g - tg ữ + ỗ cot g - tg ữ - 2ỗ tg + tg + tg ữ 2ứ ố 2  2 ø è 2  2 ø è 2  2  2 ø è b gử ổ a S = 2(cotga+cotgb+cotgg) - 2ỗ tg + tg + tg ÷ 2  2 ø è 2  g a b S = (cotga+cotgb-2tg  ) + (cotgb+cotgg-2tg  ) +(cotga+cotgb-2tg  ) 2 §Ĩ ý r»ng: cotga + cotgb = sin( a + b) sin g 2 sin g = = sin a sin b 2 sin a sin b cos( a - b) - cos(a + b) g g 4 sin  cos  2 sin g 2 sin g 2  2  = 2 tg  g Þ cot g a + cot g b - 2 tg g ³ 0  ³  = = g 1 - cos( a + b)  1 + cos g 2  2  2 cos 2 2  T ®ã suy S ³ Víi x = y = z =  VD2: Cho < x, y, z < MinS = x  y  z  4 xyz  + + = 2  2  2  1 - x  1 - y  1 - z  ( 1 - x  ) ( 1 - y2)(1- z2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = x2 + y2 + z2 Gi¶i: a b g Do < x, y, z < nªn ®Ỉt x = tg  ; y = tg  ; z = tg  víi a, b, g Ỵ 2 Khi tga = ổ pử ỗ 0, ữ ố 2 ø x  y  2z  ; tgb =  ; tgg = đẳng thức giả thiết 2 1 - x  1 - y  1 - z 2  x  2z  y  8 xyz  Û  +  +  =  Û tga+tgb+tgg = tga.tgb.tgg 2  2  2  1 - x  1 - y  1 - z  ( 1 - x  ) ( 1 - y 2 )( 1 - z 2 )  1012 10 Û tga + tgb = - tgg(1-tga.tgb) Û tga + tg b = - tgg Û tg(a+b) = tg(-g) 1 - tg a. tg b ỉ p ư Do a, b, g ẻ ỗ 0, ữ nên a + b = p - g Û a + b + g = p Khi ®ã ta cã: è 2 ø a b b g g a tg  tg  + tg  tg  + tg  tg  = Û xy + yz + zx = Mặt khác: 2 2 2 (x2 + y2 + z2) - (xy + yz + zx) =  ( x - y ) 2 + ( y - z ) 2  + ( z - x ) 2  ³ 0  2  [ ]  Þ S = x2 + y2 + z2 ³ xy + yz + zx = Víi x = y = z =  th× MinS = 3  ìx , y , z  > 0  x y  z  9  VD3: Cho í Chøng minh r»ng: S =  + + £ x + yz  y + zx  z + xy  ợx+ y+ z= Giải: Đặt yz a xz b xy g ỉ p ư = tg  ;  = tg  ; = tg với a, b, g ẻ ỗ 0, ÷ x  2  y  2  z  2  è 2 ø Do  yz zx  zx  xy  xy  yz    + +     =x+y+z=1 x  y  y  z  z  x  a b b g g a nªn tg  tg  + tg  tg  + tg  tg  = 2 2 2 a b g p a æ p  a ö æ b  g ö æ b  g ö Û tg ỗ + ữ = cotg tg ỗ + ữ = tg ỗ - ữ + = - 2 2 è 2 ø è 2 ø è 2 ø Û a + b + g p = Û a +b+ g = p 2  S =  ỉ 2 y  ỉ 2 z  ù 3  x y z 1ộổ 2x + + = ờỗỗ - 1ữữ + ỗỗ - 1ữữ + ỗỗ - 1ữữ ỳ + x + yz  y + zx  z + xy  2 ëè x + yz  ø è y + zx  ø è z + xy  ø û ổ yz 1- zx xyử ỗ 1ữ 1 ổ x- yz y- zx z- xyử 1ỗ y x z ữ + = ỗỗ + + ữữ + = + + 2 è x - yz  y + zx  z + xyứ 2ỗ 1+ yz 1+ zx 1+ xyữ ç x  y  z  ÷ø è 3  =  (cos + cosb + cosg) +  = [(cos a + cosb).1 - (cosa cosb - sin a + sin b)] + 2  2  2  2  1112 11 £ 1 é 1  1  2  ù 3  3  3  9  2  ( )  (cos  a + cos  b + 1  )  + (sin  a + sin  b )  cos  a cos  b úû + 2 = 4 + 2 = 4  (®pcm) 2 êë 2  2  Bài Tập Đề Nghị Bµi 1: Cho a2 + b2 = CMR: | 20a3 - 15a + 36b - 48b3| £ 13 Bµi 2: Cho (a-2)2 + (b-1)2 = CMR: 2a + b £ 10 ìa; b ³ 0  Bµi 3: Cho í CMR: a4 + b4 ³ a3 + b3 ỵa + b = 2  1ửổ 1ửổ 1ử ổ 1ửổ 1ửổ 1ử ổ CMR: ỗ a - ữỗ b- ữỗ c- ữ ỗ a- ữỗ b- ữỗ c- ữ bứố cứố aứ ố aứố b øè c ø è Bµi 4: Cho a; b ; c ³ ìx ; y ; z > 0  Bµi 5: Cho í 2  2  îx  + y  + z  + 2 xyz = 1  a) xyz £  8  b) xy + yz + zx £  c) x2 + y2 + z2 ³  4  4  d) xy + yz + zx £ 2xyz +  e)  CMR: 2  - x  1 - y  1 - z  + + ³ 3  1 + x  1 + y  1 + z  Bµi 6: CMR:  1  1 + a 2 + 1  1 + b 2  £ 2  " a, b Ỵ (0, 1] 1 + ab  Bµi 7: CMR: (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ³ (ab + bc + ca) " a, b, c > ìx , y , z > 0  x  y  z  3  3  Bµi 8: Cho  í CMR :  + + ³ 2  2  2  1 - x  1 - y  1 - z  ỵxy + yz + zx = 1  ìx , y , z > 0  x  y  z  3  Bµi 9: Cho  í CMR :  + + £ ỵx + y + z = xyz  1 + x 2 1 + y 2  1 + z 2  2  ìx, y , z > 0  1  1  1  2 x  2 y  2 z  CMR  :  + + + + Bài 10: Cho ợxy+ yz+ zx=1 1 + x 2  1 + y 2  1 + z 2  1 + x 2  1 + y 2  1 + z 2  1212 12 ... a = th× MinA = - ; víi  sin a | cos a |  = th× MaxA = 3  V Dạng 5: Đổi biến số đưa bất đẳng thức tam giác 1) Phương pháp: p ỡ ỡx; y; z > 0  ïA ; B ; C Ỵ ( 0 ;  ) a) NÕu í $DABC :ớ 2 ợx + y + z... 3: Sử dụng công thức: 1+tg2a = 1) Phương pháp: a) Nếu |x| toán có chứa biểu thức x2 - đặt x = ộ pử ộ 3p với aẻ ờ0 ữ ẩ ê p,  ÷ cos a  ë 2 ø ë 2  ø b) Nếu |x| m toán có chứa biểu thức x - m2 đặt... thức 1+ tg2a = cos2 a Phương pháp: ổ p pử a) Nếu x ẻ R toán chứa (1+x2) đặt x = tga với a ẻ ỗ -  , ÷ è 2 ø ỉ p pư b) Nếu x ẻ R toán chứa (x 2+m2) đặt x = mtga với a ẻ ỗ - , ữ ố 2ứ Các ví dụ minh