Thế vào biểu thức vế trái rồi biến đổi... Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức..
Trang 1http://laisac.page.tl
BẢNG LƯỢNG GIÁC HểA ĐẠI SỐ
Biểu thức đại số Biểu thức lượng giác
tương tự Công thức lượng giác
t cos
1
2
4x 3 - 3x 4cos 3 t - 3cost 4cos 3 t - 3cost = cos3t 2x 2 - 1 2cos 2 t - 1 2cos 2 t - 1 = cos2t
2
x
1
x
2
tgt
2
2
tgt
2
2
- = tg2t
2
x
1
x
2
tgt
2
2
tgt
2
2
+ = sin2t
xy
1
y
x
-
+
b
a
-
b +
a
tg
tg
1
tg
tg
b
a
-
b +
a
tg
tg
1
tg
tg
= tg(a+b)
cos
1
2 -
1
2 -
a = tg
2
a
một số phương pháp lượng giác để chứng minh
bất đẳng thức đại số
I Dạng 1 : Sử dụng hệ thức sin 2 a + cos 2 a = 1
1) Phương pháp:
a) Nếu thấy x 2 + y 2 = 1 thì đặt
ợ
ớ
ỡ
a
=
a
= cos
y
sin
x
với a ẻ [0, 2p]
b) Nếu thấy x 2 + y 2 = a 2 (a > 0) thì đặt
ợ
ớ
ỡ
a
=
a
= cos
a
y
sin
a
x
với a ẻ [0, 2p]
2 Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Cho 4 số a, b, c, d thoả mãn: a 2 + b 2 = c 2 + d 2 = 1
Chứng minh rằng: - 2 Ê S = a(c+d) + b(c-d) Ê 2
Giải:
Đặt
ợ
ớ
ỡ
=
=
u cos
b
u sin
a
và
ợ
ớ
ỡ
=
=
v cos
d
v sin
c
ị S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv)
Trang 2Û [ 2 , 2 ] 2 S a ( c d ) b ( c d ) 2
4 )
v
u ( sin
2
S = ờ ộ + - p ỳ ự ẻ - ị - Ê = + + - Ê (đpcm)
VD2: Cho a 2 + b 2 = 1 Chứng minh rằng:
2
25
b
1
b
a
1
a
2
2
2
2
2
2
³
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ + +
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+ Giải:
Đặt a = cosa và b = sina với 0 Ê a Ê 2p Thế vào biểu thức vế trái rồi biến đổi.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
sin
1 sin
cos
1 cos
b
1
b
a
1
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
a +
a +
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
a +
a
=
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ + +
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+
= cos 4
a + sin 4
sin cos
sin cos
sin cos
4 sin
1 cos
1
4
4
4
4
4
4
4
a
a
a +
a +
a +
a
= +
a
+
a
sin cos
1
1 sin
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
a
a +
a +
a
sin cos
1
1 sin cos
2 sin
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
a
a +
a
a
-
a +
a
=
2
25
4
2
17
4 )
16
1 (
2
1
1
4
2 sin
16
1
2 sin
2
1
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
-
³ +
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
a +
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
a
Bây giờ ta đẩy bài toán lên mức độ cao hơn một bước nữa để xuất hiện a 2 +b 2 =1
VD3: Cho a 2 + b 2 - 2a - 4b + 4 = 0 Chứng minh rằng:
A = a 2 - b 2 + 2 3 ab - 2 ( 1 + 2 3 ) a + ( 4 - 2 3 ) b + 4 3 - 3 Ê 2
Giải:
Biến đổi điều kiện: a 2 + b 2 - 2a - 4b + 4 = 0Û (a-1) 2 + (b-2) 2 = 1
ợ
ớ
ỡ
a +
=
a +
=
ị
ợ
ớ
ỡ
a
=
-
a
=
-
cos sin
3
2 cos
sin
A cos
2
b
sin
1
a cos
2
b
sin
1
6
2 sin(
2
2 cos
2
1
2 sin
2
3
2
2 cos
2
sin
VD4: Cho a, b thoả mãn : 5a + 12b + 7 = 13
Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + 2(b-a) ³ - 1
Giải:
Biến đổi bất đẳng thức: a 2 + b 2 + 2(b-a) ³ - 1 Û (a-1) 2 + (b + 1) 2 ³ 1
Đặt
ợ
ớ
ỡ
a
=
+
a
=
-
cos
R
1
b
sin
R
1
a
với R ³ 0 Û ( a 1 ) 2 ( b 1 ) 2 R 2
1 cos
R
b
1 sin
R
a
= + +
-
Û
ợ
ớ
ỡ
-
a
=
+
a
=
Trang 3Ta có: 5 a + 12 b + 7 = 13 Û 5 ( R sin a + 1 ) + 12 ( R cos a - 1 ) + 7 = 13
13
5 arccos sin
R cos
13
12 sin
13
5
R
1
13 cos
R
12 sin
R
ứ
ử
ỗ
ố
ổ +
a
=
a +
a
=
Û
=
a +
a
Từ đó ị (a-1) 2 + (b+1) 2 = R 2
³ 1 Û a 2 + b 2 + 2(b - a) ³ - 1 (đpcm)
II Dạng 2 : Sử dụng tập giá trị | sin a | Ê 1 ; | cos a | Ê 1
1 Phương pháp:
a) Nếu thấy |x| Ê 1 thì đặt
[ ]
2 2
p p
ờ
ở
b) Nếu thấy |x| Ê m ( m ³ 0 ) thì đặt
[ ]
2 2
p p
ờ
ở
2 Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chứng minh rằng: (1+x) p + (1-x) p
Ê 2 p
" |x| Ê 1 ; " P ³ 1
Giải:
Đặt x = cosa với a ẻ [0, p], khi đó (1 + x) p + (1 - x) p = (1+cosa) p + (1-cosa) p
p
2
p
2
2
2
sin
2 cos
2
2
sin
2 cos
2
2 sin
2
2
cos
ứ
ử
ỗ
ố
+
a
Ê
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
+
a
=
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
+
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
(đpcm)
VD2: Chứng minh rằng: 3 - 2 Ê A = 2 3 a 2 + 2 a 1 - a 2 Ê 3 + 2
Giải:
Từ đk 1 - a 2
³ 0 Û |a| Ê 1 nên
Đặt a = cosa với 0 Ê a Ê p ị 1 - a 2 = sina Khi đó ta có:
A= 2 3 a 2 + 2 a 1 - a 2 = 2 3 cos 2 a + 2 cos a sin a = 3 ( 1 + cos 2 a ) + sin 2 a
3
2 sin
2
3
2 sin
2
1
2
cos
2
3
ứ
ử
ỗ
ố
+
a
= +
ỳ
ỷ
ự
ờ
ở
ộ
a +
VD3: Chứng minh rằng: 1 + 1 - a 2 [ ( 1 + a ) 3 - ( 1 - a ) 3 ] Ê 2 2 + 2 - 2 a 2 ( 1 )
Giải:
Từ đk |a| Ê 1 nên
Trang 4Đặt a=cosa với aẻ[0,p] ị - = a + = a ; 1 - a = sin a
2 cos
2
a
1
;
2 sin
2
a
(1)Û
2
cos
2 sin
2
2
2
2
2
sin
2 cos
2
2
2
cos
2 sin
2
1 + a a ờ ộ 3 a - 3 a ỳ ự Ê + a a
Û
2
cos
2 sin
1
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
cos
2
ứ
ử
ỗ
ố
+
a
a +
a
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
-
a
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
+
a
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
cos
2
ứ
ử
ỗ
ố
-
a
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
+
a
đúng ị (đpcm)
VD4: Chứng minh rằng: S = 4 ( ( 1 - a 2 ) 3 - a 3 ) ( + 3 a - 1 - a 2 ) Ê 2
Giải:
Từ đk |a| Ê 1 nên:
Đặt a = cosa với a ẻ [0, p] ị 1 - a 2 = sina Khi đó biến đổi S ta có:
S= 4 (sin 3 a - cos 3 a ) + 3 (cos a - sin a ) = ( 3 sin a - 4 sin 3 a ) + ( 4 cos 3 a - 3 cos a )
4
3 sin
2
3 cos
3
ứ
ử
ỗ
ố
+
a
=
a +
VD5: Chứng minh rằng A = a 1 - b 2 + b 1 - a 2 + 3 ( ab - ( 1 - a 2 )( 1 - b 2 ) ) Ê 2
Giải:
Từ điều kiện: 1 - a 2 ³ 0 ; 1 - b 2
³ 0 Û |a| Ê 1 ; |b| Ê 1 nên
Đặt a = sina, b = sin b với a, b ẻ
ỳ
ự
ờ
ộ p p
-
2
;
2 Khi đó A = sin a cos b + cos a sin b - 3 cos( a + b ) =
3 ) ( sin
2 ) cos(
2
3 ) sin(
2
1
2 ) cos(
3 )
sin( a + b - a + b = a + b - a + b = ờ ộ a + b - p ỳ ự Ê
(đpcm)
VD6: Chứng minh rằng: A = |4a 3 - 24a 2 + 45a - 26| Ê 1 "a ẻ [1; 3]
Giải:
Do a ẻ [1, 3] nên |a-2| Ê 1 nên ta đặt a - 2 = cosa Û a = 2 + cosa Ta có:
A = 4 ( 2 + cos a ) 3 - 24 ( 2 + cos a ) 2 + 45 ( 2 + cos a ) - 26 = 4 cos 3 a - 3 cos a = cos 3 a Ê 1
(đpcm)
VD7: Chứng minh rằng: A = 2
2a a- - 3a+ 3 Ê 2 " ẻa [0, 2]
Trang 5Giải:
Do a ẻ [0, 2] nên |a-1| Ê 1 nên ta đặt a - 1 = cosa với a ẻ [0, p] Ta có:
A = 2 ( 1 + cos a ) - ( 1 - cos a ) 2 - 3 ( 1 + cos a ) + 3 = 1 - cos 2 a - 3 cos a
3 sin
2 cos
2
3 sin
2
1
2 cos
3
ứ
ử
ỗ
ố
ổ p +
a
=
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
a
-
a
=
a
-
III Dạng 3 : Sử dụng công thức: 1+tg 2a = 1
cos
1
tg cos
1
2
2
a
=
a
Û
p
ạ
a
2
1) Phương pháp:
a) Nếu |x| ³ 1 hoặc bài toán có chứa biểu thức x 2 - 1
thì đặt x =
a cos
1
ứ
ử
ờ
ộ p
p
ẩ
ữ
ứ
ử
ờ
ộ p
2
3 ,
2
;
0 b) Nếu |x| ³ m hoặc bài toán có chứa biểu thức x - 2 m 2
thì đặt x =
a cos
m
ứ
ử
ờ
ộ p
p
ẩ
ữ
ứ
ử
ờ
ộ p
2
3 ,
2
;
0
2 Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chứng minh rằng A =
2
a
a
a
- +
Giải:
Do |a| ³ 1 nên :
Đặt a =
a
cos
1
ứ
ử
ờ
ộ p
p
ẩ
ữ
ứ
ử
ờ
ộ p
2
3 ,
2
;
0 ị a 2 - 1 = tg 2 a = tg a Khi đó:
3 sin
2 cos
3 sin
cos )
3
tg (
a
3
1
a 2
Ê
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ p +
a
=
a +
a
=
a +
a
= +
-
(đpcm)
VD2: Chứng minh rằng: - 4 Ê A = 2
2
a
1
a
12
5 - -
Ê 9 "a ³ 1
Giải:
Do |a| ³ 1 nên:
Đặt a =
a
cos
1
ứ
ử
ờ
ộ p
p
ẩ
ữ
ứ
ử
ờ
ộ p
2
3 ,
2
;
0 ị a 2 - 1 = tg 2 a = tg a Khi đó:
Trang 6A = 2
2
a
1
a
12
5 - -
= (5-12tga)cos 2
a = 5cos 2
a-12sinacosa= + a - 6 sin 2 a
2
)
2 cos
1 (
5
ứ
ử
ỗ
ố
ổ +
a +
=
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
a
-
a +
13
5 arccos
2 cos
2
13
2
5
2 sin
13
12
2 cos
13
5
2
13
2
5
2
13
2
5
13
5 arccos
2 cos
2
13
2
5
A )
1 (
2
13
2
5
= +
Ê
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ +
a +
=
Ê
-
VD3: Chứng minh rằng: A =
ab
1
b
1
a 2 - + 2 -
Ê 1 "a b ; ³ 1
Giải:
Do |a| ³ 1; |b| ³ 1 nên
Đặt a =
a cos
1
; b =
b cos
1
ứ
ử
ờ
ộ p
p
ẩ
ữ
ứ
ử
ờ
ộ p
2
3 ,
2
;
A = ( tg a + tg b ) cos a cos b = sin a cos b + sin b cos a = sin( a + b ) Ê 1 (đpcm)
VD4: Chứng minh rằng: a + 2 2
1
a
a
-
1
a
" >
Giải:
Do |a| > 1 nên:
Đặt a =
a
cos
1
với aẻ
a
=
a
a
=
-
ị
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ p
sin
1
tg
1 cos
1
1
a
a
2
;
0
2
2 sin
2
2 sin
1 cos
1
2 sin
1 cos
1
1
a
a
a
=
a
a
³
a
+
a
=
-
(đpcm)
VD5: Chứng minh rằng y x 2 - 1 + 4 y 2 - 1 + 3 Ê xy 26 " x y ; ³ 1
Giải:
y
y
y
x
x
x
1
26
3
1
4
1
2
Ê
ữ
ữ
ứ
ử
ỗ
ỗ
ố
ổ
+
- +
-
Do |x|; |y| ³ 1 nên Đặt x =
a cos
1
; y=
b cos
1 với a, bẻ ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ p
2 ,
0 Khi đó: (1) Û S = sina + cosa(4sinb + 3cosb) Ê 26
Ta có: S Ê sina + cosa ( 4 2 + 3 2 )(sin 2 b + cos 2 b ) = sin a + 5 cos a
Trang 7IV Dạng 4 : Sử dụng công thức 1+ tg 2 a =
a
2
cos
1
1 Phương pháp:
a) Nếu x ẻ R và bài toán chứa (1+x 2 ) thì đặt x = tga với a ẻ ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ p p
-
2
,
2
b) Nếu x ẻ R và bài toán chứa (x 2 +m 2 ) thì đặt x = mtga với a ẻ ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ p p
-
2
,
2
2 Các ví dụ minh hoạ:
1
4
1
3
3
2
3
+
-
x
x
x
Giải:
Đặt x = tga với a ẻ ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ p p
-
2
,
2 ị + x = cos a
1
1 2 , khi đó biến đổi S ta có:
S = |3tga.cosa - 4tg 3 a.cos 3
a| = |3sina - 4sin 3
a| = |sin3a| Ê 1 (đpcm)
VD2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = 2 2
4
2
)
a
2
1 (
a
12
a
8
3 +
+
+
Giải:
Đặt a 2 = tga với a ẻ ờ ộ - p p ỳ ự
2
2 , thì ta có: A = 2 2
4
2
)
tg
1 (
tg
3
tg
4
3
a +
a +
a +
a +
a
a +
a
a +
2
2
2
4
2
2
4
cos sin
2 ) cos (sin
3 )
sin (cos
sin
3 cos
sin
4
cos
3
2
0
2
2
2 sin
3
A
2
1
3
2
5
2
2
=
-
Ê
a
-
=
Ê
-
=
ị
a
Với a = 0 ị a = 0 thì MaxA = 3 ; Với a =
4
p
ị a =
2
1 thì MinA =
2
5
VD3: Chứng minh rằng:
2
1 )
b
1 )(
a
1 (
)
ab
1 )(
b
a (
2
+ +
- +
" a, b ẻ R Giải:
Đặt a = tga, b = tgb Khi đó
)
tg )(
tg (
)
tg
tg )(
tg
tg ( )
b )(
a (
)
ab )(
b
a (
b +
a +
b
a
-
b +
a
= + +
- +
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
b
a cos sin( ) . cos . cos sin . sin
cos 2 2
Trang 8= [ ]
2
1
2
2
1
Ê
b +
a
=
b +
a
b
+
a ) cos( ) sin ( )
)
a
1 )(
c
1 (
|
a
c
| )
c
1 )(
b
1 (
|
c
b
| )
b
1 )(
a
1 (
|
b
a
|
2
2
2
2
2
+ +
-
³ + +
- +
+ +
-
Giải:
Đặt a = tga, b = tgb, c = tgg Khi đó bất đẳng thức Û
Û
)
tg
1 )(
tg
1 (
|
tg
tg
| )
tg
1 )(
tg
1 (
|
tg
tg
| )
tg
1 )(
tg
1
(
|
tg
tg
|
2
2
2
2
2
2
a +
g +
a
-
g
³
g +
b +
g
-
b +
b +
a +
b
-
a
Û
a
g
a
-
g
a
g
³
g
b
g
-
b
g
b +
b
a
b
-
a
b
a
cos cos
) sin(
. cos cos cos
. cos
) sin(
. cos cos cos
. cos
) sin(
. cos
cos
Û |sin(a-b)|+|sin(b-g)| ³ |sin(g-a)| Biến đổi biểu thức vế phải ta có:
|sin(g-a)|= |sin[(a-b)+(b-g)]| = |sin(a-b)cos(b-g)+sin(b-g)cos(a-b)| Ê
|sin(a-b)cos(b-g)|+|sin(b-g)cos(a-b)|=|sin(a-b)||cos(b-g)|+|sin(b-g)||cos(a-b)|
Ê |sin(a-b)|.1 + |sin(b-g)|.1 = |sin(a-b)| + |sin(b-g)| ị (đpcm)
VD5: Chứng minh rằng: ab + cd Ê ( a + c )( b + d ) ( 1 ) " a , b , c , d > 0
Giải:
d
b
1
a
c
1
ab
cd
d
b
1
a
c
1
1
1 )
d
b )(
c
a (
cd )
d
b )(
c
a
(
ab
Ê
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ +
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ +
+
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ +
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ +
Û
Ê + +
+ + +
Đặt tg 2 a=
a
c
, tg 2 b=
b
d với a,b ẻ ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ p
2 ,
0 ị Biến đổi bất đẳng thức
)
tg
1 )(
tg
1 (
tg
tg )
tg
1 )(
tg
1
(
2
2
2
2
2
b +
a +
b
a +
b +
a
+
Û cosa cosb + sina sinb = cos(a-b) Ê 1 đúng ị (đpcm)
Dấu bằng xảy ra Û cos(a-b) = 1 Û a=b Û
b
d
a
c
=
VD6: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A =
1
a
|
1
a
|
4
a
6
2
2
+
-
+ Giải:
Trang 9Đặt a = tg
2
a
Khi đó A =
1
2
tg
1
2
tg
4
2
tg
1
2
tg
2
3
1
2
tg
|
1
2
tg
|
4
2
tg
6
2
2
2
2
2
+
a
-
a +
a +
a
= +
a
-
a +
a
A = 3sin a + 4 |cosa| ³ 3 sina + 4.0 = 3sina ³ 3.(-1) = -3
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:
A 2 = (3sina + 4 |cosa|) 2
Ê (3 2 + 4 2 )(sin 2
a + cos 2
a) = 25 ị A Ê 5
Với sina = 1 Û a = 1 thì MinA = - 3 ; với
4
| cos
|
3
=
a
thì MaxA = 5
V Dạng 5 : Đổi biến số đưa về bất đẳng thức tam giác
1) Phương pháp:
a) Nếu
ợ
ớ
ỡ
= +
+ +
>
1
2
0
2
2
2
xyz
z
y
x
z
;
y
;
x
thì
ù
ù
ớ
ỡ
=
=
=
p
ẻ
D
$
C cos
z
;
B cos
y
;
A cos
x
)
2
;
0 (
C
;
B
;
A : ABC
b) Nếu
ợ
ớ
ỡ
= + +
>
xyz
z
y
x
z
;
y
;
thì
ù
ù
ớ
ỡ
=
=
=
p
ẻ
D
$
tgC
z
; tgB
y
; tgA
x
)
2
;
0 (
C
;
B
;
A : ABC
c) Nếu
ợ
ớ
ỡ
= + +
>
1
zx
yz
xy
0
z ,
y
;
x
thì
ờ
ờ
ờ
ờ
ờ
ờ
ờ
ở
ộ
ù
ù
ớ
ỡ
=
=
=
p
ẻ
ù
ù
ớ
ỡ
=
=
=
p
ẻ
D
$
2
C
tg
z
;
2
B
tg
y
;
2
A
tg
x
)
;
0 (
C
;
B
;
A
gC cot
z
;
gB cot
y
;
gA cot
x
)
2
;
0 (
C
;
B
;
A
:
ABC
2 Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Cho x, y, z > 0 và zy + yz + zx = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
S = 3 ( x y z )
z
1
y
1
x
1
+ +
- +
+
Giải:
Từ 0 < x, y, z < 1 nên đặt x = tg
2
a
; y = tg
2
b
; z = tg
2
g với a, b, g ẻ ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ p
2 ,
0
Do xy + yz + zx = 1 nên tg
2
a
tg
2
b + tg
2
b
tg
2
g + tg
2
g
tg
2
a
= 1
Trang 10Û tg
2
a
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
+
b
2
tg
2
2
tg b tg
2
g
Û
2
g cot
2
2
tg
2
tg
1
2
tg
2
tg
1
2
tg
2
tg
a
=
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ g +
b
Û
a
=
g
b
-
g +
b
Û ữ Û b + g = p - a Û a + b + g = p Û a + b + g = p
ứ
ử
ỗ
ố
+
p
=
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ g
+
b
2
2
2
2
2
2
2
2
2
tg
S = 3 ( x y z )
z
1
y
1
x
1
+ +
- +
2
a + cotg
2
b + cotg
2
g
ứ
ử
ỗ
ố
+
b +
a
2
tg
2
tg
2
tg
ứ
ử
ỗ
ố
+
b +
a
-
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
-
g +
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
-
b +
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
-
a
2
2
2
2
2
2
2
2
2
g
cot
ứ
ử
ỗ
ố
+
b +
a
2
2
2
2 tg tg tg
S = (cotga+cotgb-2tg
2
g ) + (cotgb+cotgg-2tg
2
a ) +(cotga+cotgb-2tg
2
b )
Để ý rằng: cotga + cotgb =
) cos(
) cos(
sin sin
sin
sin sin
sin
) sin(
b +
a
-
b
-
a
g
=
b
a
g
=
b
a
b +
2
2
2
tg
2
g cot
g cot
2
tg
2
2 cos
2
2
cos
2 sin
4 cos
1
sin
2 ) cos(
1
sin
2
2
³
g
-
b +
a
ị
g
=
g
g
g
=
g +
g
=
b +
a
-
g
T đó suy ra S ³ 0 Với x = y = z =
3
1
thì MinS = 0
VD2: Cho 0 < x, y, z < 1 và
)
z
1 )(
y
1 (
x
1 (
xyz
4
z
1
z
y
1
y
x
1
x
2
2
2
2
2
2
-
-
-
=
-
+
-
+
- Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x 2 + y 2 + z 2
Giải:
Do 0 < x, y, z < 1 nên đặt x = tg
2
a
; y = tg
2
b
; z = tg
2
g với a, b, g ẻ ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ p
2 ,
0
Khi đó tga = 2
x
1
x
2
- ; tgb = 1 y 2
y
2
- ; tgg = 1 z 2
z
2
- và đẳng thức ở giả thiết
x
1
x
2
- + 1 y 2
y
2
- + 1 z 2
z
2
- = ( 1 x ( 1 y )( 1 z )
xyz
8
2
2
2
-
-
Trang 11Û tga + tgb = - tgg(1-tga.tgb) Û
b
a
-
b +
a
tg
tg
1
tg
tg
= - tgg Û tg(a+b) = tg(-g)
Do a, b, g ẻ ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ p
2 ,
0 nên a + b = p - g Û a + b + g = p Khi đó ta có:
tg
2
a
tg
2
b
+ tg
2
b
tg
2
g + tg
2
g
tg
2
a
= 1 Û xy + yz + zx = 1 Mặt khác:
(x 2 + y 2 + z 2 ) - (xy + yz + zx) =
2
1 [ ( x - y ) 2 + ( y - z ) 2 + ( z - x ) 2 ] ³ 0
ị S = x 2 + y 2 + z 2
³ xy + yz + zx = 1 Với x = y = z =
3
1
thì MinS = 1
VD3: Cho
ợ
ớ
ỡ
= + +
>
1
z
y
x
0
z ,
y ,
x
Chứng minh rằng: S =
4
9
xy
z
z
zx
y
y
yz
x
x
Ê +
+ +
+
+ Giải:
Đặt
2
tg
x
2
tg
y
= ;
2
tg
z
= với a, b, g ẻ ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ p
2 ,
0
Do
x
yz
z
xy
z
xy
y
zx
y
zx
.
x
yz
+
nên tg
2
a
tg
2
b
+ tg
2
b
tg
2
g + tg
2
g
tg
2
a
= 1
ứ
ử
ỗ
ố
ổ g
+
b
2
2 = cotg 2
a
ứ
ử
ỗ
ố
ổ g +
b
2
2 = tg ữ ứ
ử
ỗ
ố
ổ a
-
p
2
b +
2
g
=
2
p
-
2
a
Û a + b + g = p Û a + b + g = p
2
2
S =
2
3
1
xy
z
z
2
1
zx
y
y
2
1
yz
x
x
2
2
1
xy
z
z
zx
y
y
yz
x
x
+
ỳ
ỷ
ự
ờ
ở
ộ
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
- +
+
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
- +
+
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
- +
= +
+ +
+
+
=
2
3
z
xy
1
z
xy
1
y
zx
1
y
zx
1
x
yz
1
x
yz
1
2
1
2
3
xy
z
xy
z
zx
y
zx
y
yz
x
yz
x
2
1
+
ữ
ữ
ữ
ữ
ứ
ử
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ố
ổ
+
- + +
- + +
-
= +
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+
- + +
- +
-
-
=
2
1
(cos + cosb + cosg) +
2
3
2
3
1
2
1
+
b +
a
-
b
a
-
b +
a cos (cos cos sin sin ) cos
