Phương pháp chứng minh bất đẳng thức

1 Mu . cLu . c Mo . ’ d¯ ˆa ` u 2 Chu . o . ng 1. Phu . o . ng pha´p su . ’ du . ng tı´nh chˆat ha`m lˆo ` i (lo ˜ m) 5 1.1 Th´u . tu . . s˘a ´ pd¯u . o . . ccu ’ ada ˜ ybˆa ´ td¯˘a ’ ng th´u . c sinh bo . ’ i ha`m lˆo ` i (lo ˜ m) 5 1.2 Bˆa ´ td¯˘a ’ ng th´u . c Karamata 11 1.3 Gi´o . i thiˆe . umˆo . tsˆo ´ ha`m lˆo ` iva` ha`m lo ˜ m 19 1.3.1 Mˆo . tsˆo ´ ha`m lˆo ` i 19 1.3.1 Mˆo . tsˆo ´ ha`m lo ˜ m 19 1.4 Ba`i tˆa . p 20 Chu . o . ng 2 Phu . o . ng pha´p lu . . acho . n tham sˆo ´ 24 2.1 Ca´c da . ng toa´n ch´u . a tham sˆo ´ d¯ ˆo . clˆa . p 25 2.1.1 Tham sˆo ´ chı ’ thuˆo . cmˆo . tvˆe ´ cu ’ abˆa ´ td¯˘a ’ ng th´u . c 25 2.1.2 Tham sˆo ´ co´ trong hai vˆe ´ cu ’ abˆa ´ td¯˘a ’ ng th´u . c 30 2.2 Ca´c da . ng toa´n ch´u . a tham phu . thuˆo . cva`o tham sˆo ´ kha´c 36 2.3 Ba`i tˆa . p 42 Chu . o . ng 3 Phu . o . ng pha´p su . ’ du . ng tı´nh chˆa ´ tcu ’ a ha`m d¯o . nd¯iˆe . u 45 3.1 Ha`m d¯o . nd¯iˆe . u 45 3.2 Tı´nh d¯o . nd¯iˆe . ucu ’ a ha`m ca´c d¯a . ilu . o . . ng trung bı`nh . . . . . . . . 49 3.2.1 Ca´c d¯a . ilu . o . . ng trung bı`nh 50 3.2.2 Ca´c d¯a . ilu . o . . ng trung bı`nh suy rˆo . ng 50 3.3 Tı´nh d¯o . nd¯iˆe . ucu ’ a ha`m ca´c d¯a th´u . cd¯ˆo ´ ix´u . ng so . cˆa ´ p 55 Chu . o . ng 4 Phu . o . ng pha´p hı`nh ho . c 62 4.1 Hı`nh ho . c ho´a ca´c d¯a . ilu . o . . ng trung bı`nh 62 4.2 Mˆo . tsˆo ´ phu . o . ng pha´p kha´c 65 4.1 Ba`i tˆa . p 72 Kˆe ´ t luˆa . ncu ’ a luˆa . n v˘an 73 Ta`i liˆe . u tham kha ’ o 74 2 Mo . ’ d¯ ˆa ` u Bˆa ´ td¯˘a ’ ng th´u . c (BD - T) la` mˆo . t trong nh˜u . ng nˆo . i dung quan tro . ng trong chu . o . ng trı`nh toa´n phˆo ’ thˆong, no´ v`u . a la` d¯ˆo ´ itu . o . . ng d¯ˆe ’ nghiˆen c´u . u ma` cu ˜ ng v`u . a la` mˆo . t cˆong cu . d¯ ˘a ´ clu . . c, v´o . inh˜u . ng ´u . ng du . ng trong nhiˆe ` ulı ˜ nh vu . . c kha´c nhau cu ’ a toa´n ho . c. Trong ca´c d¯ˆe ` thi cho . nho . c sinh gio ’ i toa´n o . ’ ca´c cˆa ´ p, nh˜u . ng ba`i toa´n vˆe ` ch´u . ng minh BD - Tthu . `o . ng xuˆa ´ thiˆe . nnhu . mˆo . tda . ng toa´n kha´ quen thuˆo . c, nhu . ng d¯ˆe ’ tı`m ra l`o . i gia ’ i khˆong pha ’ i la` mˆo . tviˆe . cdˆe ˜ da`ng. Ly´ thuyˆe ´ tBD - Td¯a ˜ d¯ u . o . . c kha´ nhiˆe ` u ta`i liˆe . ud¯ˆe ` cˆa . pva` ca´c ba`i tˆa . pvˆe ` BD - Tcu ˜ ng kha´ phong phu´, d¯a da . ng, trong d¯o´ ca´c phu . o . ng pha´p ch´u . ng minh BD - T la` phˆa ` nnˆo . i dung quan tro . ng thu . `o . ng g˘a . p trong nhiˆe ` u ta`i liˆe . u. Mˆo . t trong nh˜u . ng phu . o . ng pha´p ch´u . ng minh BD - T ho˘a . c sa´ng ta . o ra nh˜u . ng BD - T m´o . ila`viˆe . c la`m ch˘a . tBD - T. Gia ’ su . ’ ta co´ (ho˘a . ccˆa ` nch´u . ng minh) BD - T A<B(tu . o . ng tu . . v´o . iBD - T A>B, A≤ B, A ≥ B). Nˆe ´ u tı`m d¯u . o . . cbiˆe ’ uth´u . c C sao cho A<C<B, thı` ta no´i r˘a ` ng BD - T th ´u . nhˆa ´ td¯a ˜ d¯ u . o . . c la`m ch˘a . t (nghiˆem ng˘a . t) bo . ’ iBD - Tth´u . hai va`hiˆe ’ n nhiˆen, BD - T th ´u . nhˆa ´ td¯u . o . . c suy ra t`u . BD - Tth´u . hai. Viˆe . cch´u . ng minh d¯u . o . . cBD - Tth´u . hai cho ta mˆo . tca´chch´u . ng minh BD - Tth´u . nhˆa ´ tva`d¯ˆo ` ng th`o . i sa´ng ta . o ra nh˜u . ng BD - Tm´o . i. Do d¯o´, viˆe . c tı`m ra ca´c phu . o . ng pha´p d¯ˆe ’ la`m ch˘a . tBD - Tla`rˆa ´ t co´ y´ nghı ˜ a. D - o´cu ˜ ng la` nˆo . i dung ma` luˆa . n v˘an na`y d¯ˆe ` cˆa . p. Luˆa . n v˘an da`y 74 trang, gˆo ` m ca´c phˆa ` nmu . clu . c, Mo . ’ d¯ ˆa ` u,4chu . o . ng nˆo . i dung, Kˆe ´ t luˆa . nva`Ta`i liˆe . u tham kha ’ o. Chu . o . ng 1: Phu . o . ng pha´p su . ’ du . ng tı´nh chˆa ´ tcu ’ a ha`m lˆo ` i (lo ˜ m) . D - ˆay la` phu . o . ng pha´p co . ba ’ nva` quan tro . ng nhˆa ´ td¯ˆe ’ la`m ch˘a . tBD - Tma`mˆo . tsˆo ´ ta`i liˆe . uhiˆe . n ha`nh cu ˜ ng d¯a ˜ d¯ ˆe ` cˆa . p, d¯˘a . cbiˆe . t la` ta`i liˆe . u [1]. Phˆa ` nd¯o´ng go´p cu ’ a luˆa . n v˘an, chu ’ yˆe ´ u la` viˆe . ccu . thˆe ’ ho´a ly´ thuyˆe ´ tcu ’ aphu . o . ng pha´p na`y b˘a ` ng nh˜u . ng vı´ du . va` ba`i tˆa . pcu . thˆe ’ , co´ thˆe ’ ta´ch riˆeng tha`nh nh˜u . ng ba`i tˆa . pvˆe ` BD - T kha´ phong phu´. Kha´ nhiˆe ` uBD - T quen thuˆo . c, la` tru . `o . ng ho . . p riˆeng cu ’ a ca´c BD - Td¯a ˜ d¯ u . o . . cta . orat`u . nh˜u . ng minh ho . a na`y. Trong phˆa ` n cuˆo ´ i chu . o . ng, luˆa . n v˘an cu ˜ ng d¯a ˜ d¯ u . a ra d¯u . o . . c kha´ 3 nhiˆe ` u ha`m lˆo ` i (lo ˜ m) d¯ˆe ’ ba . nd¯o . c co´ thˆe ’ a´p du . ng sa´ng ta . o ra nhiˆe ` uBD - T kha´c. Chu . o . ng 2: Phu . o . ng pha´p lu . . a cho . n tham sˆo ´ . Co´ thˆe ’ minh ho . ay´tu . o . ’ ng cu ’ aphu . o . ng pha´p na`y bo . ’ imˆo . t vı´ du . sau d¯ˆay: Gia ’ su . ’ a, b, c la` 3 sˆo ´ khˆong ˆam co´ tˆo ’ ng b˘a ` ng 3. Dˆe ˜ da`ng ch´u . ng minh d¯u . o . . cbˆa ´ td¯˘a ’ ng th´u . c √ a + √ b + √ c ≥ ab + bc + ca. Nhu . vˆa . y, v´o . i k ≥ 1 2 thı` BD - T sau d¯ˆay luˆon d¯u´ng a k + b k + c k ≥ ab + bc + ca. Mˆo . t cˆau ho ’ itu . . nhiˆen d¯u . o . . cd¯˘a . t ra, v´o . i k< 1 2 thı` khi na`o BD - T trˆen vˆa ˜ n d¯u´ng? Viˆe . c tı`m d¯u . o . . csˆo ´ k (k< 1 2 ) nho ’ nhˆa ´ t sao cho BD - T trˆen vˆa ˜ n d¯u´ng cho ta mˆo . t phu . o . ng pha´p d¯ˆe ’ la`m ch˘a . tBD - T. D - o´cu ˜ ng la` nˆo . i dung ma` luˆa . nv˘and¯ˆe ` cˆa . p trong chu . o . ng na`y, trong d¯o´ tham sˆo ´ k d¯ u . o . . cxe´to . ’ hai da . ng, la` tham sˆo ´ d¯ ˆo . clˆa . p ho˘a . c co`n phu . thuˆo . cva`o mˆo . t tham sˆo ´ kha´c. Chu . o . ng 3: Phu . o . ng pha´p su . ’ du . ng tı´nh chˆa ´ tcu ’ a ha`m d¯o . nd¯iˆe . u. Phu . o . ng pha´p na`y cu ˜ ng d¯a ˜ d¯ u . o . . cmˆo . tsˆo ´ ta`i liˆe . ud¯ˆe ` cˆa . p, d¯˘a . cbiˆe . t la` ta`i liˆe . u [1]. Phˆa ` nd¯o´ng go´p cu ’ a luˆa . nv˘ano . ’ chu . o . ng na`y chu ’ yˆe ´ u la` viˆe . chˆe . thˆo ´ ng ho´a mˆo . tsˆo ´ phu . o . ng pha´p s˘a ´ pth´u . tu . . ca´c d¯a . ilu . o . . ng trung bı`nh va`cu . thˆe ’ ho´a ly´ thuyˆe ´ tcu ’ a phu . o . ng pha´p b˘a ` ng nh˜u . ng vı´ du . va` ba`i tˆa . pcu . thˆe ’ . Kha´ nhiˆe ` uBD - Tm´o . id¯u . o . . c luˆa . n v˘an sa´ng ta´c, thˆong qua viˆe . c la`m ch˘a . tBD - Tb˘a ` ng ca´ch su . ’ du . ng phu . o . ng pha´p na`y. Chu . o . ng 4: Phu . o . ng pha´p hı`nh ho . c. Nˆo . i dung chu . o . ng na`y d¯ˆe ` cˆa . pd¯ˆe ´ nmˆo . tsˆo ´ phu . o . ng pha´p la`m ch˘a . tBD - Td¯a . isˆo ´ thˆong qua nh˜u . ng u . ´o . clu . o . . ng tru . . c quan t`u . hı`nh ho . c, v´o . inh˜u . ng vı´ du . minh ho . a kha´ cu . thˆe ’ . Luˆa . n v˘an d¯u . o . . c hoa`n tha`nh du . ´o . isu . . hu . ´o . ng dˆa ˜ n khoa ho . ccu ’ aTiˆe ´ nsy ˜ Tri . nh D - a`o Chiˆe ´ n - Ngu . `o . i Thˆa ` yrˆa ´ t nghiˆem kh˘a ´ cva`tˆa . n tˆam trong cˆong viˆe . c, ngu . `o . i Thˆa ` y khˆong chı ’ giu´p d¯˜o . , cung cˆa ´ p ta`i liˆe . u, go . . imo . ’ cho ta´c gia ’ nhiˆe ` uy´tu . o . ’ ng hay va` truyˆe ` nd¯a . t nhiˆe ` ukiˆe ´ nth´u . c quı´ ba´u, cu ˜ ng nhu . nh˜u . ng kinh nghiˆe . m nghiˆen c´u . u khoa ho . c ma` co`n chı ’ ba ’ o cho ta´c gia ’ trong ta´c phong la`m viˆe . c, thˆong ca ’ m, khuyˆe ´ n khı´ch d¯ ˆo . ng viˆen ta´c gia ’ vu . o . . t qua nh˜u . ng kho´ kh˘an trong chuyˆen mˆon va` cuˆo . csˆo ´ ng. Chı´nh vı` vˆa . y ma` ta´c gia ’ luˆon to ’ lo`ng biˆe ´ to . n chˆan tha`nh va`su . . kı´nh phu . c sˆau s˘a ´ cd¯ˆo ´ iv´o . i thˆa ` ygia´ohu . ´o . ng dˆa ˜ n-Tiˆe ´ nsy ˜ Tri . nh D - a`o Chiˆe ´ n. Nhˆan d¯ˆay, ta´c gia ’ cu ˜ ng xin ba`y to ’ lo`ng biˆe ´ to . n chˆan tha`nh d¯ˆe ´ n Ban Gia´m Hiˆe . u 4 tru . `o . ng D - a . iho . c Quy Nho . n, Pho`ng d¯a`o ta . oD - a . iho . cva` sau D - a . iho . c, khoa Toa´n, quı´ Thˆa ` y cˆo gia´o tru . . ctiˆe ´ p gia ’ ng da . yd¯a ˜ ta . omo . id¯iˆe ` ukiˆe . n thuˆa . nlo . . i trong th`o . i gian ta´c gia ’ tham gia kho´a ho . c. D - ˆo ` ng th`o . i ta´c gia ’ cu ˜ ng xin ba`y to ’ lo`ng biˆe ´ to . nd¯ˆe ´ n UBND Tı ’ nh Gia Lai, So . ’ Gia´o du . cva` d¯a`o ta . oTı ’ nh Gia Lai, Ban Gia´m Hiˆe . u tru . `o . ng THPT Ia Grai, d¯a ˜ d¯ ˆo . ng viˆen va`ta . omo . id¯iˆe ` ukiˆe . n thuˆa . nlo . . id¯ˆe ’ ta´c gia ’ co´ nhiˆe ` u th`o . i gian nghiˆen c´u . uva` hoa`n tha`nh d¯ˆe ` ta`i. Trong qua´ trı`nh hoa`n tha`nh luˆa . n v˘an na`y, ta´c gia ’ co`n nhˆa . nd¯u . o . . csu . . quan tˆam d¯ ˆo . ng viˆen cu ’ ame . ,vo . . , ca´c anh chi . em trong gia d¯ı`nh, ca´c ba . nd¯ˆo ` ng nghiˆe . p, ca´c anh chi . em trong l´o . p cao ho . c kho´a VII, VIII, IX cu ’ a tru . `o . ng D - a . iho . c Qui Nho . n. Ta´c gia ’ xin chˆan tha`nh ca ’ mo . ntˆa ´ tca ’ su . . quan tˆam va`d¯ˆo . ng viˆen d¯o´. D - ˆe ’ hoa`n tha`nh luˆa . n v˘an, ta´c gia ’ d¯ a ˜ rˆa ´ tcˆo ´ g˘a ´ ng tˆa . p trung nghiˆen c´u . u, song do ı´t nhiˆe ` uha . n chˆe ´ vˆe ` th`o . i gian, cu ˜ ng nhu . vˆe ` n˘ang lu . . cnˆen ch˘a ´ cch˘a ´ n trong luˆa . n v˘an co`n nhiˆe ` uvˆa ´ nd¯ˆe ` chu . ad¯ˆe ` cˆa . pd¯ˆe ´ nva` kho´ tra´nh kho ’ inh˜u . ng thiˆe ´ u so´t nhˆa ´ td¯i . nh. Ta´c gia ’ rˆa ´ t mong nhˆa . nd¯u . o . . csu . . chı ’ ba ’ ocu ’ a quı´ thˆa ` ycˆova`nh˜u . ng go´p y´ cu ’ aba . n d¯ o . cvˆe ` luˆa . n v˘an na`y. Quy Nho . n, tha´ng 02 n˘am 2008 Ta´c gia ’ 5 Chu . o . ng 1 Phu . o . ng ph´ap su . ˙’ du . ng t´ınh chˆa ´ t h`am lˆo ` i (l˜om) 1.1 Th´u . tu . . s˘a ´ pd¯u . o . . ccu ’ ada ˜ ybˆa ´ td¯˘a ’ ng th´u . c sinh bo . ’ i ha`m lˆo ` i (lo ˜ m) Tru . ´o . chˆe ´ t, v´o . i hai sˆo ´ thu . . c a ≥ b, ta su . ’ du . ng kı´ hiˆe . u I(a; b)d¯ˆe ’ ngˆa ` md¯i . nh mˆo . t trong bˆo ´ ntˆa . pho . . p(a; b), [a; b), (a; b]va`[a; b]. Trong [1], hai kˆe ´ t qua ’ sau d¯ˆay d¯a ˜ d¯ u . o . . cch´u . ng minh: D - i . nh ly´ 1.1.1. Gia ’ su . ’ cho tru . ´o . c ha`m sˆo ´ y = f (x) co´ f  (x) ≥ 0 (ha`m lˆo ` i) trˆen I(a; b) va` gia ’ su . ’ x 1 ,x 2 ∈ I(a; b) v´o . i x 1 <x 2 . Khi d¯o´, v´o . imo . ida ˜ ysˆo ´ t˘ang dˆa ` n {u k } trong  x 1 ; x 1 + x 2 2  : x 1 = u 0 <u 1 <u 2 < < u n < x 1 + x 2 2 (1.1) va` da ˜ ysˆo ´ gia ’ mdˆa ` n {v k } trong  x 1 + x 2 2 ; x 2  : x 1 + x 2 2 <v n <v n−1 < <v 1 <v 0 = x 2 (1.2) sao cho u j + v j = x 1 + x 2 , ∀j =0, 1, , n (1.3) ta d¯ˆe ` uco´ f(u 0 )+f(v 0 ) ≥ f (u 1 )+f(v 1 ) ≥ ≥ f (u n )+f(v n ). (1.4) No´i ca´ch kha´c: Da ˜ y  f(u j )+f(v j )  , j =0, 1, , n, la` mˆo . tda ˜ y gia ’ m. 6 D - i . nh ly´ 1.1.2. Gia ’ su . ’ cho tru . ´o . c ha`m sˆo ´ y = f (x) co´ f  (x)  0 (ha`m lo ˜ m) trˆen I(a; b) va` gia ’ su . ’ x 1 ,x 2 ∈ I(a; b) v´o . i x 1 <x 2 . Khi d¯o´, v´o . imo . ida ˜ ysˆo ´ t˘ang dˆa ` n {u k } trong  x 1 ; x 1 + x 2 2  : x 1 = u 0 <u 1 <u 2 < < u n < x 1 + x 2 2 va` da ˜ ysˆo ´ gia ’ mdˆa ` n {v k } trong  x 1 + x 2 2 ; x 2  : x 1 + x 2 2 <v n <v n−1 < <v 1 <v 0 = x 2 sao cho u j + v j = x 1 + x 2 , ∀j =0, 1, , n, ta d¯ˆe ` uco´ f(u 0 )+f(v 0 )  f (u 1 )+f(v 1 )   f (u n )+f(v n ). (1.5) No´i ca´ch kha´c: Da ˜ y  f(u j )+f(v j )  , j =0, 1, , n, la` mˆo . tda ˜ y t˘ang. Nhˆa . n xe´t r˘a ` ng, d¯ˆe ’ co´ d¯u . o . . cnh˜u . ng kˆe ´ t qua ’ t`u . D - i . nh lı´ 1.1.1 ho˘a . cD - i . nh lı´ 1.1.2, d¯ i ˆe ` u quan tro . ng tru . ´o . chˆe ´ t la` pha ’ i xˆay du . . ng trˆen I(a; b) hai da ˜ y {u k } va` {v k } thoa ’ ma ˜ nnh˜u . ng d¯iˆe ` ukiˆe . ncu ’ ad¯i . nh lı´. Sau d¯o´ la` viˆe . c tı`m nh˜u . ng ha`m sˆo ´ y = f(x)co´ f  (x) ≥ 0 ho˘a . c f  (x)  0 trˆen I(a; b)d¯ˆe ’ a´p du . ng. Du . ´o . i d¯ˆay la` mˆo . tva`i minh ho . a cho hai d¯i . nh lı´ trˆen, v´o . inh˜u . ng da ˜ ysˆo ´ va` ha`m sˆo ´ d¯ o . n gia ’ n nhˆa ´ t. Ba . nd¯o . c co´ thˆe ’ tı`m ra nh˜u . ng kˆe ´ t qua ’ kha´c, phong phu´ho . n. V´o . i hai sˆo ´ thu . . c cho tru . ´o . c x 1 <x 2 , hı`nh a ’ nh cu ’ aca´cd¯iˆe ’ m u j va` v j lˆa ` nlu . o . . t ”tiˆe ´ nd¯ˆe ` u” vˆe ` trung d¯iˆe ’ mcu ’ a d¯oa . n[x 1 x 2 ]la` x 1 + x 2 2 trˆen tru . csˆo ´ giu´p ta xˆay du . . ng d¯ u . o . . c hai da ˜ y {u k } va` {v k } thoa ’ ma ˜ nnh˜u . ng d¯iˆe ` ukiˆe . ncu ’ aD - i . nh lı´ 1.1.1 va`D - i . nh lı´ 1.1.2 nhu . sau: Vı´ du . 1.1. u 0 = x 1 ,u 1 = x 1 + x 2 − x 1 2.(n +1) , ,u n = x 1 + n x 2 − x 1 2(n +1) = (n +2)x 1 + nx 2 2(n +1) ; v 0 = x 2 ,v 1 = x 2 − x 2 − x 1 2.(n +1) , ,v n = x 2 − n x 2 − x 1 2(n +1) = nx 1 +(n +2)x 2 2(n +1) . Bˆay gi`o . , xe´t ha`m sˆo ´ f(x)=x 2 ; x ∈ R. Ta co´ f  (x)=2> 0; ∀x ∈ R. Do d¯o´, theo D - i . nh lı´ 1.1.1, ta co´ 7 Bˆa ´ td¯˘a ’ ng th´u . c 1.1. x 2 1 + x 2 2 ≥  (2n +1)x 1 + x 2 2(n +1)  2 +  x 1 +(2n +1)x 2 2(n +1)  2 ≥  2nx 1 +2x 2 2(n +1)  2 +  2x 1 +2nx 2 2(n +1)  2 ··· ≥  (n +2)x 1 + nx 2 2(n +1)  2 +  nx 1 +(n +2)x 2 2(n +1)  2 ≥  x 1 + x 2 2  2 ; ∀x 1 ,x 2 ∈ R. Tiˆe ´ ptu . c, nˆe ´ u xe´t ha`m sˆo ´ f(x)= 1 x ; x>0. Ta co´ f  (x)= 2 x 3 > 0; ∀x>0. Do d¯o´, theo D - i . nh lı´ 1.1.1, ta co´ Bˆa ´ td¯˘a ’ ng th´u . c 1.2. 1 x 1 + 1 x 2 ≥ 2(n +1) (2n +1)x 1 + x 2 + 2(n +1) x 1 +(2n +1)x 2 ≥ 2(n +1) 2nx 1 +2x 2 + 2(n +1) 2x 1 +2nx 2 ≥··· ≥ 2(n +1) (n +2)x 1 + nx 2 + 2(n +1) nx 1 +(n +2)x 2 ≥ 4 x 1 + x 2 ; ∀x 1 ,x 2 > 0,n≥ 1. Bˆay gi`o . , xe´t ha`m sˆo ´ f(x)= √ x; x>0. Ta co´ f  (x)=− 1 4x √ x > 0; ∀x>0. Do d¯o´, theo D - i . nh lı´ 1.1.1, ta co´ Bˆa ´ td¯˘a ’ ng th´u . c 1.3. √ x 1 + √ x 2   (2n +1)x 1 + x 2 2(n +1) +  x 1 +(2n + 1)3x 2 2(n +1)   2nx 1 +2x 2 2(n +1) +  2x 1 +2nx 2 2(n +1)  ···  (n +2)x 1 + nx 2 2(n +1) +  nx 1 +(n +2)x 2 2(n +1) ≤  x 1 + x 2 2 ; ∀x 1 ,x 2 > 0 n ≥ 1. Tiˆe ´ ptu . c, nˆe ´ u xe´t ha`m sˆo ´ f(x)= sinx 1+sinx ; x ∈ (0; π). Ta co´ f  (x)=− sinx +1+cos 2 x (1 + sinx) 3 < 0; ∀x ∈ (0; π). Do d¯o´, theo D - i . nh lı´ 1.1.1, ta co´ 8 Bˆa ´ td¯˘a ’ ng th´u . c 1.4. sinx 1 1+sinx 1 + sinx 2 1+sinx 2 ≤ sin (2n +1)x 1 + x 2 2(n +1) 1+sin (2n +1)x 1 + x 2 2(n +1) + sin x 1 +(2n +1)x 2 2(n +1) 1+sin x 1 +(2n +1)x 2 2(n +1)  ···  sin (n +2)x 1 + nx 2 2(n +1) 1+sin (n +2)x 1 + nx 2 2(n +1) + sin nx 1 +(n +2)x 2 2(n +1) 1+sin nx 1 +(n +2)x 2 2(n +1) ≤ 2 sin x 1 + x 2 2 1+sin x 1 + x 2 2 ; ∀x 1 ,x 2 ∈ (0; π),n≥ 1 Bˆay gi`o . , tro . ’ la . iv´o . iD - i . nh lı´ 1.1.1 va`D - i . nh lı´ 1.1.2. Co´ thˆe ’ ch´u . ng minh d¯u . o . . c r˘a ` ng kˆe ´ t qua ’ (1.4) va` (1.5) vˆa ˜ nd¯u´ngnˆe ´ u thay (1.3) bo . ’ imˆo . t gia ’ thiˆe ´ tma . nh ho . n. Ta co´ ca´c kˆe ´ t qua ’ sau d¯ˆay: D - i . nh ly´ 1.1.3. Gia ’ su . ’ cho tru . ´o . c ha`m sˆo ´ y = f (x) co´ f  (x) ≥ 0 (ha`m lˆo ` i) trˆen I(a; b) va` gia ’ su . ’ x 1 ,x 2 ∈ I(a; b) v´o . i x 1 <x 2 . Khi d¯o´, v´o . imo . ida ˜ ysˆo ´ t˘ang dˆa ` n {u k } trong  x 1 ; x 1 + x 2 2  : x 1 = u 0 <u 1 <u 2 < < u n < x 1 + x 2 2 va` da ˜ ysˆo ´ gia ’ mdˆa ` n {v k } trong  x 1 + x 2 2 ; x 2  : x 1 + x 2 2 <v n <v n−1 < <v 1 <v 0 = x 2 sao cho x 1 + x 2 = u 0 + v 0 ≥ u 1 + v 1 ≥···≥u n + v n , (1.6) ta d¯ˆe ` uco´ f(u 0 )+f(v 0 ) ≥ f (u 1 )+f(v 1 ) ≥···≥f(u n )+f(v n ). No´i ca´ch kha´c: Da ˜ y  f(u j )+f(v j )  , j =0, 1, ···,n, la` mˆo . tda ˜ y gia ’ m. Ch´u . ng minh. V´o . imˆo ˜ i j ∈{0, 1, ···,n},t`u . ca´c gia ’ thiˆe ´ t, ta co´ u j <u j+1 < u j+1 + v j+1 2  u 0 + v 0 2 = x 1 + x 2 2 <v j+1 <v j . 9 Bˆay gi`o . ,v´o . imˆo ˜ i j ∈{0, 1, , n},d¯˘a . t    u j+1 −u j =  j+1 v j − v j+1 = δ j+1 . Thˆe ´ thı` 0 < j+1  δ j+1 ; ∀j ∈{0, 1, , n}. Bˆay gi`o . ,v´o . imˆo ˜ i j ∈{0, 1, , n}, theo D - i . nh lı´ Lagrange, ta co´ f(u j+1 ) − f(u j )=f  (c j+1 )(u j+1 − u j )=f  (c j+1 ) j+1 ,v´o . i c j+1 ∈ (u j ; u j+1 ); f(v j ) − f(v j+1 )=f  (d j+1 )(v j −v j+1 )=f  (d j+1 )δ j+1 ,v´o . i d j+1 ∈ (v j+1 ; v j ). Ho . nn˜u . a, vı` c j+1 <d j+1 ; ∀j ∈{0, 1, , n} va` f  (x) ≥ 0, nˆen ta co´ f  (c j+1 )  f  (d j+1 ); ∀j ∈{0, 1, , n}. Do d¯o´, ta co´ f(u j+1 ) − f(u j )  f (v j ) − f(v j+1 ); ∀j ∈{0, 1, , n}, hay f(u j )+f(v j ) ≥ f(u j+1 )+f(v j+1 ); ∀j ∈{0, 1, , n}. Ta co´ d¯iˆe ` u pha ’ ich´u . ng minh. Tu . o . ng tu . . , ta co´ D - i . nh ly´ 1.1.4. Gia ’ su . ’ cho tru . ´o . c ha`m sˆo ´ y = f (x) co´ f  (x)  0 (ha`m lo ˜ m) trˆen I(a; b) va` gia ’ su . ’ x 1 ,x 2 ∈ I(a; b) v´o . i x 1 <x 2 . Khi d¯o´, v´o . imo . ida ˜ ysˆo ´ t˘ang dˆa ` n {u k } trong  x 1 ; x 1 + x 2 2  : x 1 = u 0 <u 1 <u 2 < ···<u n < x 1 + x 2 2 va` da ˜ ysˆo ´ gia ’ mdˆa ` n {v k } trong  x 1 + x 2 2 ; x 2  : x 1 + x 2 2 <v n <v n−1 < ···<v 1 <v 0 = x 2 sao cho x 1 + x 2 = u 0 + v 0 ≥ u 1 + v 1 ≥···≥u n + v n , ta d¯ˆe ` uco´ f(u 0 )+f(v 0 )  f (u 1 )+f(v 1 )  ··· f(u n )+f(v n ). No´i ca´ch kha´c: Da ˜ y  f(u j )+f(v j )  , j =0, 1, ···,n, la` mˆo . tda ˜ y t˘ang. 10 Bˆay gi`o . ,v´o . i hai sˆo ´ thu . . c cho tru . ´o . c x 1 <x 2 , hı`nh a ’ nh cu ’ a ca´c d¯iˆe ’ m u j va` v j lˆa ` n lu . o . . t ”tiˆe ´ nchˆa . mdˆa ` nd¯ˆe ` u” vˆe ` trung d¯iˆe ’ mcu ’ a d¯oa . n[x 1 x 2 ]la` x 1 + x 2 2 trˆen tru . csˆo ´ giu´p ta xˆay du . . ng d¯u . o . . c hai da ˜ y {u k } va` {v k } thoa ’ ma ˜ nnh˜u . ng d¯iˆe ` ukiˆe . ncu ’ aD - i . nh lı´ 1.1.3 va`D - i . nh lı´ 1.1.4 nhu . sau: Vı´ du . 1.2. u 0 = x 1 ,u 1 = x 1 + x 2 − x 1 2 2 , , u n = x 1 + x 2 − x 1 2 2 + ···+ x 2 − x 1 2 n+1 = (2 n+1 − 2 n +1)x 1 +(2 n −1)x 2 2 n+1 ; v 0 = x 2 ,v 1 = x 2 − x 2 − x 1 2 2 , ··· , v n = x 2 − x 2 − x 1 2 2 −···− x 2 − x 1 2 n+1 = (2 n − 1)x 1 +(2 n+1 − 2 n +1)x 2 2 n+1 . Ngoa`i ra, co´ thˆe ’ phˆo ´ iho . . p ca´c ca´ch ta . oda ˜ ynhu . trˆen, ta thu d¯u . o . . cca´cc˘a . pda ˜ y {u k } va` {v k } thoa ’ ma ˜ nnh˜u . ng d¯iˆe ` ukiˆe . ncu ’ aD - i . nh lı´ 1.1.3 va`D - i . nh lı´ 1.1.4, ch˘a ’ ng ha . n: Vı´ du . 1.3. u 0 = x 1 ,u 1 = x 1 + x 2 − x 1 2(n +1) − x 2 − x 1 2 2 (n +1) , ··· , u n = x 1 + n x 2 − x 1 2(n +1) −  x 2 −x 1 2 2 (n +1) + x 2 − x 1 2 3 (n +1) + ···+ x 2 − x 1 2 n+1 (n +1)  =  (n + 1)2 n+1 −(n −1)2 n −1  x 1 +  (n − 1)2 n +1  x 2 (n + 1)2 n+1 ; v 0 = x 2 ,v 1 = x 2 − x 2 − x 1 2(n +1) , ··· ,v n = x 2 − n x 2 − x 1 2(n +1) = nx 1 +(n +2)x 2 2(n +1) . Cuˆo ´ i cu`ng, v´o . iviˆe . ccho . n ca´c ha`m sˆo ´ y = f(x)co´f  (x) ≥ 0 ho˘a . c f  (x)  0 trˆen I(a; b), ta se ˜ thu d¯u . o . . c kha´ nhiˆe ` u vı´ du . phong phu´. D - ˆo ´ iv´o . i ca´c ha`m sˆo ´ lˆo ` i ho˘a . clo ˜ m, ngoa`i ca´c d¯i . nh lı´ nˆeu trˆen, ca´c da . ng cu ’ aBˆa ´ t d¯ ˘a ’ ng th´u . c Karamata co`n cho ta nh˜u . ng phu . o . ng pha´p la`m ch˘a . tbˆa ´ td¯˘a ’ ng th´u . crˆa ´ t hiˆe . u qua ’ . Sau d¯ˆay la` ca´c kˆe ´ t qua ’ cˆo ’ d¯ i ˆe ’ n, d¯a ˜ d¯ u . o . . c trı`nh ba`y trong [1], ma` ta co´ thˆe ’ mˆo ta ’ thˆong qua mˆo . tsˆo ´ vı´ du . . [...]... 2(a 2(a 9 ’ ´ ’ , bˆ t d ˘ng d o.c ch´.ng minh, d ang th´.c xay ra khi a ¯a ¯u u ¯˘ u ’ 2 .ng ´ vi tu o ng u ´ ´ ’ ˜ Bai toa n 2.3 1 Cac sˆ thu.c du.o.ng a, b, c thoa ma n a3 + b3 + c3 = 3 Xe bˆ t ` ´ ´ o ´t a ’ d ˘ ng th´.c ¯a u ab bc ca + + ≥ 3 c a b ’ ´ ’ (i) Ch´.ng minh bˆ t d ˘ ng th´.c khˆng thˆ luˆn d´ ng v´.i moi a, b, c u a ¯a u o e o ¯u o ng minh r˘ ng bˆ t d a ng th´.c se d´ ng nˆ u... u.o.c ch´.ng minh khi 2 ≥ k ≥ 1 Nˆ u k ≤ 1 thı ` ´ ¯ 3 (ab)k + (ba)k + (ca)k ≤ (ak + bk + ck )2 ≤ 3 ˜ u ´ ´ ’ e Con nˆ u k ≥ 2, v´.i gia thiˆ t a ≥ b ≥ c, ta se ch´.ng minh ` e o (ab)k + (bc)k + (ca)k ≤ (ab + ac)k , ’ ¯` ` e e e ` nhu.ng d iˆu nay hiˆ n nhiˆn vı V P ≥ (ab)k + (bc)k + ak−2 bc ≥ V T 9 Ngoai ra a(b + c) = a(3 − a) ≤ nˆn ` e 4 (ab)k + (bc)k + (ca)k ≤ 3 2 2k ´ e ´ T` cac ch´.ng minh trˆn... u ˜ ¯ˆ ´ ’ o.ng phap nay d o.c minh hoa bo.i cac bai toan sau ´ ´ ` ¯u tham sˆ Phu o ’ ´ ` ´ 31 ` ´ a o ` ´ o `y o ´ Bai toa n 2.5 (i) Ch´.ng minh r˘ ng v´.i a, b, c la cac sˆ thu.c tuy ´ ta luˆn co ` ´ u a4 + b4 + c4 + ab3 + bc3 + ca3 ≥ 2(a3b + b3 c + c3a) ´ ’ ’ ’ ˜ (ii) Gia su a, b, c la cac sˆ thu.c du.o.ng thoa ma n a2 + b2 + c2 + ab + ba + ca = 6 ` ´ o ng minh r˘ ng ` Ch´ u a a3 b + b3c... + + ≥ 2 2 2 (a + b) (a + c) (b + c) 4 5 ˜ u ’ ´ L`.i giai Cho c = 0 va a = b rut ra k ≤ Ta se ch´.ng minh d ay chı o ` ´ ¯ˆ ´nh la kˆ t ` e 2 5 ’ ˜ ` ¯ˆ u ´ ’ ´ ´ ’ o a ¯a u ¯u o qua tˆ t nhˆ t cua k Ro rang d e ch´.ng minh bˆ t d ˘ng th´.c d´ ng v´.i moi k ≤ a ’ 2 5 ’ ` ` ´ o ta chı cˆn ch´.ng minh bai toan trong tru.`.ng ho.p k = a u 2 21 2c2 + 5ab 2b2 + 5ac 2a2 + 5bc + + ≥ (a + b)2 (a + c)2... o Hu.´.ng dˆn: Xe ham sˆ f (x) = ex , x ∈ R ` u a Bai tˆp 1.9 Choa, b, c du.o.ng Ch´.ng minh r˘ ng ` a √ √ √ √ √ √ 3 3 3 ab + bc + ca ≤ a2b + b2c + c2 a √ √ √ 9 9 9 ≤ a8b2 + b8 c2 + c8 a2 ≤ · · · ˜ ´ Hu.´.ng dˆn: Xe ham sˆ f (x) = ex , x ∈ R o a ´t ` o 22 ` ’ u a Bai tˆp 1.10 Cho a, b, c khˆng nho ho.n 1 Ch´.ng minh r˘ ng: ` a o √ √ √ 3 3 2 3 2 b c a a2b bc c a √ √ √ + + ≤ + + 3 3 2 3 1+a 1+b 1+c... 1.11 Cho a, b, c khˆng nho ho.n 1 Ch´.ng minh r˘ ng v´.i α, β > 0 va ` a o u a o ` α + β = 1, ta co: ´ ˜ ´ o a ´t ` o Hu.´.ng dˆn: Xe ham sˆ f (x) = b c aα bβ bαcβ cα aβ a + + ≤ + + 1+a 1+b 1+c 1 + aαbβ 1 + bαcβ 1 + cα aβ 2 2 2 2 2 2 aα b2αβ cβ bα c2αβ aβ cα a2αβ bβ ≤ + + ≤ ··· 1 + aα2 b2αβ cβ 2 1 + bα2 c2αβ aβ 2 1 + cα2 a2αβ bβ 2 ex ;x ≥ 0 1 + ex ` ho.n 1 Ch´.ng minh r˘ ng u a √ √ √ 3 3 2 3 2 a2 b bc... c l´.n ho.n 1 Ch´.ng minh r˘ ng v´.i α, β > 0 va α + β = 1, ` a o ta co: ´ ˜ ´ o a ´t ` o Hu.´.ng dˆn: Xe ham sˆ f (x) = b c aα bβ bα cβ cαaβ a + + ≥ α β + α β + α β a−1 b−1 c−1 a b −1 b c −1 c a −1 2 2 2 2 2 2 bα c2αβ aβ cα a2αβ bβ aα b2αβ cβ + α2 2αβ β 2 + α2 2αβ β 2 ≥ ··· ≥ α2 2αβ β 2 a b c − 1 b c a − 1 c a b − 1 ex ;x > 0 ex − 1 ` a Bai tˆp 1.14 Cho a, b, c ∈ (0; 1) Ch´.ng minh r˘ ng: ` a u √... tˆp 1.15 Cho a, b, c ∈ (0; 1) Ch´.ng minh r˘ ng: ` a u a √ √ √ (1 − a)(1 − b)(1 − c) ≤ 1 − ab 1 − bc 1 − ca ≤ a + b − 2ab a+b b + c − 2bc b+c ˜ ´ Hu.´.ng dˆn: Xe ham sˆ f (x) = ln(1 − x) ; x ∈ (0; 1) o a ´t ` o c + a − 2ca c+a 24 Chu.o.ng 2 ´ a o Phu.o.ng ph´p lu.a chon tham sˆ ´ Tru.´.c hˆ t ta xe bai toan sau o e ´t ` ´ ’ ` ` ´ ´ a e ` o o a ´ o a ` ´ Ch´.ng minh r˘ ng nˆ u a, b, c la 3 sˆ khˆng... cˆn ch´.ng minh r˘ ng ¯o a u √ √ √ a2 + b2 + c2 + 2( a + b + c) ≥ 9 ´ ’ ’ Su dung bˆ t d ˘ng th´.c gi˜.a trung bı cˆng va trung bı nhˆn (thu.`.ng goi la u `nh o ` `nh a o a ¯a u ` ´ ´ ’ o ´ bˆ t d ˘ng th´.c AM-GM) cho 3 sˆ , ta co a ¯a u √ a + a ≥ 3a √ √ b2 + b + b ≥ 3b √ √ c2 + c + c ≥ 3c a2 + √ ´ ´ ’ e ¯u ¯ ` ` e a u Cˆng cac vˆ cua cac bˆ t d ˘ng th´.c trˆn, ta d o.c d iˆu cˆn ch´.ng minh o ´... o i Phu.o.ng phap nay d o.c minh hoa bo.i cac bai toan u ¯ ’ ´ ` ´ sau ` ´ ´ ´ ´ ´ ’ ’ a Bai toa n 2.1 Tı h˘ ng sˆ k tˆ t nhˆ t (nho nhˆ t) trong bˆ t d ˘ ng th´.c sau ` ´ `m a o o a a ¯a u ak + bk + ck ≥ ab + bc + ca, ´ trong d´ a, b, c la cac sˆ thu.c khˆng ˆm va a + b + c = 3 ¯o ` ´ o o a ` 1 ’ ` ´ ’ a o e ¯a u a ¯a u e o L`.i giai Theo phˆn gi´.i thiˆu ta d˜ ch´.ng minh bˆ t d ˘ng th´.c trˆn . phu . o . ng pha´p ch´u . ng minh BD - T la` phˆa ` nnˆo . i dung quan tro . ng thu . `o . ng g˘a . p trong nhiˆe ` u ta`i liˆe . u. Mˆo . t trong nh˜u . ng phu . o . ng pha´p ch´u . ng minh BD - T ho˘a . c. ´u . nhˆa ´ td¯u . o . . c suy ra t`u . BD - Tth´u . hai. Viˆe . cch´u . ng minh d¯u . o . . cBD - Tth´u . hai cho ta mˆo . tca´chch´u . ng minh BD - Tth´u . nhˆa ´ tva`d¯ˆo ` ng th`o . i sa´ng ta . o ra. thˆe ’ minh ho . ay´tu . o . ’ ng cu ’ aphu . o . ng pha´p na`y bo . ’ imˆo . t vı´ du . sau d¯ˆay: Gia ’ su . ’ a, b, c la` 3 sˆo ´ khˆong ˆam co´ tˆo ’ ng b˘a ` ng 3. Dˆe ˜ da`ng ch´u . ng minh