một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc thcs

21 449 1
một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc thcs

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS A. PHN M U I. Lý do chn ti: Mụn Toỏn cng nh nhng mụn hc khỏc, cú vai trũ quan trng trong vic gúp phn thc hin mc tiờu o to nhng con ngi, lm ch tri thc khoa hc v cụng ngh hin i, cú t duy sỏng tao, cú k nng thc hnh giic bit cỏc kin thc v phng phỏp toỏn hc l cụng c thit yu giỳp hc sinh hc tp tt cỏc mụn hc khỏc, giỳp hc sinh hot ng cú hiu qu trong mi lnh vc. t c mc tiờu trờn mi ngi tham gia cụng tỏc giỏo dc phi lm gỡ trong s nghip trng ngi? Mi gi lờn lp ca ngi giỏo viờn phi lm c nhng gỡ? Chun mc no cho phộp ta ỏnh giỏ hot ụng dy v hc c xem l cú hiu qu? Ngoi vic mi tit dy trờn lp ca giỏo viờn tht hp dn, lụi cun c hc sinh tham gia phỏt biu xõy dng bi thỡ iu quan trng hn c l giỏo viờn phi giỳp hc sinh ch ng tip thu kin thc, bit tỡm ra cho mỡnh phng phỏp hc tp, bin tri thc ca nhõn loi thnh tri thc cho bn thõn. Chớnh vỡ vy trong quỏ trỡnh dy hc ngi giỏo viờn phi giỳp hc sinh phỏt trin t duy logic, tng hp kin thc, hinh thnh cỏc phng phỏp lm cỏc dng bi tp khỏc nhau cho c ba phõn mụn: S hc, i s v hỡnh hc. Trong ú hai phõn mụn s hc v i s thng cú cỏc thut toỏn c th nờn cỏc em sm phõn dng v tỡm ra phng phỏp gii cho mi dng bi tp. Ngc li phõn mụn hỡnh hc cỏc em vn dng cỏc khỏi nim, nh lớ, tớnh cht vo lm bi tp nhng ớt em phõn c dng bi tp v phng phỏp gii cỏc dng bi tp ú. Hn th na hc sinh cũn khụng bit vn dng kin thc liờn phõn mụn vo gii cỏc dng bi tp khỏc nhau, nh vn dng kin thc phõn mụn hỡnh hc vo lm bi tp i s hoc ngc li, vn dng kin thc phõn mụn i s vo gii cỏc bi tp hỡnh hc. Do ú giỏo viờn phi l ngi dn ng cho hc sinh nhỡn thy c kin thc hỡnh hc v i s khụng phi l tng phn kin thc riờng bit m chỳng cú s b tr cho nhau, cỏc em thy c iu lớ thỳ khi hc mụn Toỏn, t ú cỏc em lnh hi kin thc mụn Toỏn ngy cng tt hn. C th, trong bi vit ny tụi xin nờu ra: Mt s phng phỏp chng minh bt ng thc hỡnh hc bc THCS trong ú cú mt s phng phỏp cú s dng kin thc i s vo gii bi tp hỡnh hc. II. i tng v phm vi nghiờn cu: 1. i tng nghiờn cu: Cỏc em hc sinh lp 7, 8, 9. Trong ú cú cỏc i tng hc sinh: Gii, khỏ, trung bỡnh, yu, kộm. 2. Phm vi nghiờn cu: Mt s phng phỏp chng minh bt ng thc hỡnh hc bc THCS III. Mc ớch v nhim v nghiờn cu: 1. Mc ớch nghiờn cu: . Hỡnh thnh cho hc sinh cú c mt s phng phỏp chng minh bt ng thc hỡnh hc bc THCS, cỏc em thỏo g c nhng khú khn khi gp dng toỏn ny. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 1 Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS . Giỳp cỏc em hiu c trong quỏ trỡnh hc cú th vn dng kin thc liờn phõn mụn gia i s v hỡnh hc gii bi tp toỏn. . Nõng cao cht lng dy v hc mụn toỏn v c bit l phõn mụn hỡnh hc. 2. Nhim v nghiờn cu: . Nghiờn cu v tỡnh hỡnh dy v hc mt s phng phỏp chng minh bt ng thc hỡnh hc cp THCS. . Tỡm hiu mc v kt qu t c khi thc thi ti. . Rỳt ra c nhng kinh nghim cú giỏ tr thit thc, phc v cho cụng vic dy v hc. IV. Gi thit khoa hc: Sau khi ỏp dng c mt s phng phỏp chng minh bt ng thc hỡnh hc bc THCS s nõng cao c cht lng dy v hc, thỏo g c nhng vng mc ca hc sinh khi gp dng toỏn ny. Giỳp cỏc em bit vn dng kin thc liờn phõn mụn gia i s v hỡnh hc, c bit l i tng hc sinh khỏ, gii phỏt trin t duy logic, tng hp kin thc, hỡnh thnh cỏc phng phỏp gii bi tp chng minh bt ng thc hỡnh hc v rốn luyn k nng lm cỏc dng bi tp ú. V. Phng phỏp nghiờn cu: . Nghiờn cu qua sỏch giỏo khoa v ti liu tham kho khỏc. . Nghiờn cu qua tỡnh hỡnh thc t trong quỏ trỡnh ging dy. . T rỳt ra t kinh nghim ging dy v úng gúp ca ng nghip. VI. úng gúp v mt khoa hc: . Hỡnh thnh cho ngi hc cỏc phng phỏp gii bi tp: Chng minh bt ng thc hỡnh hc v k nng gii cỏc bi tp dng ny. . Vn dng kin thc liờn phõn mụn gia i s v hỡnh hc trong gii bi tp toỏn. . Giỏo viờn cú c nhng kinh nghim cú giỏ tr thit thc trong cụng tỏc ging dy. . Ni dung ti ny cũn l c s, nn tng xõy dng cho hc sinh cỏc phng phỏp gii bi toỏn cc tr hỡnh hc. B. PHN NI DUNG. I. C s khoa hc: 1. C s lớ lun: lm cỏc bi tp dng chng minh bt ng thc hỡnh hc, trc ht mi giỏo viờn chỳng ta cn cho hc sinh nm vng cỏc kin thc c bn sau: . Vi ba im bt kỡ A, B, C ta cú: AB AC + CB. Du = xy ra khi v ch khi im C nm gia hai im A v B. .Trong mt tam giỏc gúc i din vi cnh ln hn l gúc ln hn. Cnh i din vi gúc ln hn l cnh ln hn . Trong tam giỏc vuụng, cnh huyn ln hn mi cnh gúc vuụng . Trong mt tam giỏc, gúc i din vi cnh nh nht l gúc nhn. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 2 Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS . Trong hai ng xiờn k t mt im n mt ng thng, ng no cú hỡnh chiu ln hn thỡ ln hn. Ngc li ng xiờn no ln hn thỡ cú hỡnh chiu ln hn. . Trong mt tam giỏc mi cnh nh hn tng hai cnh kia v ln hn hiu ca hai cnh ú . Trong mt ng trũn ng kớnh l dõy cung ln nht. . Trong hai dõy ca mt ng trũn: Dõy no ln hn thỡ dõy ú gn tõm hn, dõy no gn tõm hn thỡ dõy ú ln hn. . Vi mt tam giỏc ABC bt kỡ, ta cú: S ABC 1 2 AB.AC, S ABC 1 2 BC.BA, S ABC 1 2 CA.CB. . Cho A(x), B(x), f(x) cú min xỏc nh D R. Ta cú: [f(x)] 2 0, vi mi x D. T ú suy ra: A(x) = [f(x)] 2 + m m nu tn ti x = x 0 D sao cho [f(x)] 2 + m = m tc l [f(x 0 )] 2 = 0 thỡ m l giỏ tr nh nht ca A(x) v kớ hiu minA(x) = m x = x 0 . B(x) = M [f(x)] 2 M nu tn ti x = x 0 D sao cho M [f(x)] 2 = M tc l [f(x 0 )] 2 = 0 thỡ M l giỏ tr ln nht ca B(x) v kớ hiu maxB(x) = M x = x 0 . . Bt ng thc Cụ-si cho 2 s a, b khụng õm ta cú: 2 a b ab + . Du = xy ra khi v ch khi a = b. . Bt dng thc Bunhia- cụpxki: Vi bn s a 1 , a 2 , b 1 , b 2 bt kỡ ta cú: (a 1 .b 1 + a 2 .b 2 ) 2 (a 1 2 +a 2 2 )(b 1 2 +b 2 2 ) Du = xy ra 1 2 1 2 a a b b = Vi nhng kin thc nờu trờn, trong quỏ trỡnh dy chỳng ta phi giỳp cỏc em t xõy dng cỏc phng phỏp gii dng bi toỏn: Chng minh bt ng thc hỡnh hcv bit vn dng linh hot vo mi bi tp khỏc nhau, giỳp cỏc em vt qua nhng b tc, khú khn khi gp nhng dng toỏn nờu trờn. 2. C s thc tin: Trong quỏ trỡnh dy hc phõn mụn hỡnh hc lp 7, 8, 9 hc sinh khi gp dng bi tp: Chng minh bt ng thc hỡnh hc cỏc em thng khú cú nh hng cho mỡnh vn dng kin thc no gii bi toỏn ú, bi vỡ trong phn lớ thuyt sỏch giỏo khoa ch cú duy nht sỏch giỏo khoa toỏn 7 cú mt bi dựng thut ng: Bt ng thcú l bi : Quan h gia ba cnh trong mt tam giỏc. Bt ng thc tam giỏc. Chớnh vỡ th ch cú mt b phn hc sinh khỏ, gii bit vn dng bt ng thc tam giỏc gii bi toỏn: Chng minh bt ng thc hỡnh hc, ngoi ra cỏc em khụng tỡm c cho mỡnh phng phỏp no khỏc na. Do ú Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 3 Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS õy l dng bi tp khú cho cỏc em, c bit l nhng em cú hc lc t trung bỡnh tr xung. II. ỏnh giỏ thc trng: Tụi cho tin hnh kim tra kh nng tip thu kin thc ca hc sinh trờn mt s lp trc khi thc thi ti thỡ thu c kt qu sau: Điểm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9A (30 em) 3 4 4 9 5 3 1 1 0 0 8A (30 em) 4 3 4 8 6 3 2 0 0 0 7A (28 em) 3 3 4 9 5 3 1 0 0 0 u im: a s cỏc em u thuc bt ng thc tam giỏc. Nhc im: Ngoi tr hc sinh khỏ, gii cũn li s hc sinh cú hc lc t trung bỡnh tr xung ch thuc bt ng thc tam giỏc, nhng khụng vn dng ỳng bt ng thc tam giỏc khi gii bi toỏn chng minh bt ng thc hỡnh hc. Hn th na, phn ln cỏc em c ngh rng bt ng thc tam giỏc ỏp dng gii c cho tt c cỏc bi tp thuc dng toỏn nờu trờn, m cỏc em khụng tỡm c nhng phng phỏp no na gii cỏc bi tp khỏc nhau ca dng ú. Nguyờn nhõn: Trong chng trỡnh hỡnh hc THCS ch cú duy nht mt bi sỏch giỏo khoa toỏn 7 cú dựng thut ng: Bt ng thc ú l bi: Quan h gia ba cnh trong mt tam giỏc. Bt ng thc tam giỏc. Mt khỏc cỏc em khụng nm vng kin thc c bn(ó nờu phn c s lớ lun) v cỏc em khụng c th húa c lng kin thc ni dung chng trỡnh sỏch giỏo khoa THCS cp di dng ngụn ng hỡnh hc khỏc nhau, nhng lng kin thc ú ỏp dng rt tt trong vic gii bi tp chng minh bt ng thc hỡnh hc. Qua kt qu kho sỏt trờn ta thy rng, s lng hc sinh t im gii v khỏ rt thp, s cỏc em t im t trung bỡnh tr ch t trong khong 32% n 37%, cũn s cỏc em t im kộm rt nhiu. Vỡ vy trong quỏ trỡnh ging dy, tụi ó hỡnh thnh cho cỏc em hc sinh lp 7, 8, 9 nhiu phng phỏp gii dng bi tp: Chng minh bt ng thc hỡnh hc, giỳp cỏc em thỏo g nhng khú khn ca mỡnh. Tuy nhiờn trong bi vit ny tụi xin i sõu vo mt s phng phỏp hay s dng gii dng bi tp nờu trờn. c bit l cú ba phng phỏp s dng kin thc phõn mụn i s giỳp cỏc em hc sinh khỏ, gii vn dng gii nhng bi tp khú ca dng toỏn trờn. III. Mt s phng phỏp chng minh bt ng thc hỡnh hc bc THCS: 1.Phng phỏp th nht: Vn dng quan h gia ng xiờn v ng vuụng gúc: Trong cỏc ng xiờn v ng vuụng gúc k t mt im ngoi mt ng thngn ng thng ú, ng vuụng gúc l ng ngn nht. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 4 Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS Vớ d 1: Cho t giỏc ABCD. Chng minh rng S ABCD 1 2 AC.BD. Du = xy ra khi no? Gii: A B C O H D S COD 1 2 OC.OD. Du = xy ra khi C O D = 90 0 S DOA 1 2 OD.OA. Du = xy ra khi D O A = 90 0 => S ABCD 1 2 (OA.OB + OB.OC + OC.OD + OD.OA) = 1 2 AC.BD => S ABCD 1 2 .AC.BD Du = xy ra khi v ch khi AC BD ti O. Nhn xột: Trong bi tp trờn ta ó xột quan h gia ng xiờn AO v ng vuụng gúc AH t ú chng minh c din tớch mt tam giỏc luụn bộ hn hoc bng mt na tớch hai cnh bt kỡ trong tam giỏc ú. Vớ d 2: Cho ABC vuụng ti A, gi M l trung im ca AC. Gi E, F theo th t l chõn ng vuụng gúc k t A v C n ng thng BM. a. Chng minh rng AC > AE + CF. b. Chng minh rng AB < 1 2 ( BE + BF). Gii : a.Trong tam giỏc vuụng EAM, ta cú: AM > AE. (1) (h gia ng xiờn v ng vuụng gúc) Trong tam giỏc vuụng FCM, ta cú: CM > CF (2). (h gia ng xiờn v ng vuụng gúc) Cng v theo v (1) v (2) ta cú: AM + CM > AE + CF AC > AE + CF. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 5 Gi O l giao im hai ng chộo AC v BD. K AH BD ti H Ta cú: S ABCD = S AOB + S BOC + S COD + S DOA Ta cú AH OA (quan h gia ng xiờn v ng vuụng gúc) nờn: S AOB = 1 2 OB.AH 1 2 OB.OA Du = xy ra khi AO B = 90 0 Tng t ta cú: S BOC 1 2 OB.OC. Du = xy ra khi B O C = 90 0 F 2 1 E M C B A Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS b. Xột hai tam giỏc vuụng EAM v FCM, ta cú: AM = CM, vỡ M l trung im AC. 1 2 M M = ( i nh) do ú EAM FCM = ( cnh huyn gúc nhn), suy ra EM = FM. Trong tam giỏc vuụng ABM, ta cú: AB < BM (h gia ng xiờn v ng vuụng gúc) v vỡ BM = BE + EM nờn AB < BE + EM.(3) AB < BM (h gia ng xiờn v ng vuụng gúc) v vỡ BM = BF FM nờn AB < BF FM (4) Cng v theo v(3), (4) , ta c 2AB < BE + BF( vỡ EM = FM) AB< 1 2 (BE + BF). Nhn xột: Bi tp vớ d 2 tt c cỏc i tng hc sinh cỏc lp 7 u tham gia gii c, õy l bi tp khụng khú, s dng kin thc lp 7 gii bi toỏn. Vớ d 3: Cho ng trũn (O; R), AB l dõy cung(AB 2R). C l im chớnh gia ca cung AB, M l im trờn cung AB. ng thng OC ct dõy AB K. V MH AB, H AB.Chng minh rng MH CK. Gii: Do C l im chớnh gia AB nờn OC AB. Gi I l giao im ca OM v AB. Ta cú MH AB, I AB. => MH MI (h gia ng xiờn v ng vuụng gúc) Mt khỏc OK AB, I AB nờn OK OI (h gia ng xiờn v ng vuụng gúc) Mt khỏc ta cú: OM = OC = R. Do ú MH MI = OM OI OC OK = CK. Vy MH CK ( pcm) Du = xy ra M trựng C, khi ú H trựng K Nhn xột: Vớ d 3 l mt bi tp cho i tng hc sinh lp 9, c vn dng kin thc lp 7 gii. 2.Phng phỏp th hai: Võn dng quan h gia gúc v cnh i din trong mt tam giỏc: Trong mt tam giỏc: Gúc i din vi cnh ln hn l gúc ln hn. Cnh i din vi gúc ln hn l cnh ln hn. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 6 I K H C M B O A Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS Vớ d 4:Cho ABC cú tự. Gi M l trung im ca AC. Gi E, F th t l chõn ng vuụng gúc k t A v C n ng thng BM. Chng minh rng AB < 1 2 ( BE + BF) Gii Xột hai tam giỏc vuụng EAM v FCM, ta cú: AM = CM(vỡ M l trung im AC). 1 2 M M = ( i nh) Do ú EAM FCM = ( cnh huyn -gúc nhn) Suy ra EM = FM. Trong tam giỏc ABM cú tự nờn ta cú: AB < BM (quan h gia gúc v cnh i din trong mt tam giỏc ) AB < BE + EM (5) AB < BM AB < BF FM (6) Cng v theo v (5) v (6) ta c 2AB < BE + BF( vỡ EM = FM) AB< 1 2 (BE + BF). Nhn xột: vớ d 4 thay i s o ca gúc A so vi vớ d 2. V õy l mt bi tp ch yu dựng cho i tng hc sinh lp 7 Vớ d 5: Cho t giỏc ABCD cú AC = AD. Chng minh rng: BC < BD. Gii: Ta cú B D C A DC AC D B C D < = < ( do tia DB nm gia hai tia DA v DC, tia CA nm gia hai tia CB v CD v ACD cõn ti A) Xột BCD :Vỡ B D C B C D < nờn BC < BD (quan h gia gúc v cnh i din trong mt tam giỏc ) Nhn xột: Bi tp vớ d 5 c ỏp dng cho tt c cỏc i tng hc sinh lp 7, vỡ ú l mt bi tp d, vn dng kin thc lp 7 gii. 3. Phng phỏp th ba: Vn dng bt ng thc tam giỏc: Trong mt tam giỏc, mi cnh nh hn tng hai cnh kia v ln hn hiu hai cnh ú. Vớ d 6: Chng minh rng trong t giỏc li ABCD ta cú bt ng thc: Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 7 A D C B O B A C D F 2 1 E M C B A Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS AB + CD < AC + BD Gii: Gi O l giao im hai ng chộo. Ta cú: AC + BD = (AO + OC) + (BO + OD) =(AO + OB) + (OC + OD) > AB + CD (bt ng thc tam giỏc). Vy AC + BD > AB + CD.(pcm) Vớ d 7: Gi AB l mt dõy bt kỡ ca ng trũn (O; R). Chng minh rng AB 2R ( SGK Toỏn 9). Gii: R O A B R O A B Trng hp dõy AB l ng kớnh. Ta cú AB = 2R. Trng hp dõy AB khụng l ng kớnh: Xột ABO, ta cú AB < OA + OB= R + R = 2R( bt ng thc tam giỏc) Vy c hai trng hp ta luụn cú AB 2R Vớ d 8: Cho ABC v M l im nm gia B v C. a. Chng minh rng MA nh hn na chu vi tam giỏc ABC b. Trong trng hp M l trung im BC. Chng minh rng: MA < 1 2 (AB + AC). Gii: a. Ta ln lt xột: . Trong MAB , ta cú: MA < AB + BM (bt ng thc tam giỏc) (7) . Trong MAC , ta cú: MA < AC + CM. (bt ng thc tam giỏc) (8) Cng v theo v ( 7), (8) ta c: 2MA < AB + AC + BM + CM MA < 1 2 (AB + AC + BC) ( pcm). b. Trờn tia AM ly im K sao cho AM = KM. Xột hai tam giỏc AMC v KMB , ta cú: AM = KM Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 8 2 1 A B C D M K Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS 1 2 M M = ( i nh) CM = BM, vỡ M l trung im BC Do ú AMC = KMB suy ra BK = AC. Trong AKB , ta cú : AK < AB + BK (bt ng thc tam giỏc) 2MA < AB + AC MA < 1 2 (AB + AC). Vớ d 9: Cho ABC cú AB = c, AC = b, BC = a, trung tuyn AM = m a . Chng minh rng 2 2 a b c a b c m + + < < Gii: Xột ABM cú: AM > AB BM(bt ng thc tam giỏc) (9) Xột ACM cú: AM > AC MC (bt ng thc tam giỏc) (10) Cng v theo v (9) v (10), ta cú: 2AM > AB + AC BC => AM > 2 b c a+ hay m a > 2 b c a+ (*) Trờn tia i ca tia MA ly im D sao cho MD = MA => AMB = DMC (c g c) => AB = CD Xột ACD cú: AD < AC + CD = AC + AB(bt ng thc tam giỏc) =>2.AM < AC + AB hay m a < 2 b c+ (**) T (*) v (**) suy ra: 2 2 a b c a b c m + + < < (pcm) Nhn xột: C 4 vớ d 6, 7, 8,9 u vn dng kin thc lp 7 gii. Trong ú, vớ d 8 v 9 ch yu dnh cho i tng hc sinh cú hc lc t khỏ tr lờn. 4. Phng phỏp th t: Vn dng kin thc: Trong hai dõy ca mt ng trũn, dõy no ln hn thỡ dõy ú gn tõm hn, dõy no gn tõm hn thỡ dõy ú ln hn. Vớ d10: Cho ng trũn (O) v dõy AB khụng i qua tõm. Gi M l trung im ca AB. Qua M v dõy CD(khụng trựng vi AB). Chng minh rng: AB < CD. Gii: Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 9 A B C D M O H M D C B A Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS Do M l trung im ca AB nờn OM AB V OH CD. Xột OHM vuụng ti H cú OH < OM( cnh gúc vuụng bộ hn cnh huyn) =>AB < CD( vỡ dõy CD gn tõm hn dõy AB) Vớ d11: Cho ABC, O l giao im cỏc ng trung trc ca tam giỏc, D, E, F th t l trung im cỏc cnh AB, BC, AC. Cho bit ^ A > ^ B > ^ C . Chng minh rng OE < OF < OD.(SBT Toỏn 9 Tp 1) Gii: Do O l giao im 3 ng trung trc ca tam giỏc ABC nờn O l tõm ng trũn ngoi tip ABC. Theo bi ra ^ A > ^ B > ^ C nờn BC > AC > AB do ú OE < OF < OD (trong hai dõy ca mt ng trũn, dõy no ln hn thỡ dõy ú gn tõm hn, dõy no gn tõm hn thỡ dõy ú ln hn) Vớ d12: Cho ng trũn (O), hai dõy AB, CD ct nhau ti im M nm bờn trong ng trũn. Gi H v K theo th t l trung im ca AB, CD. Cho bit AB > CD, chng minh rng MH > MK. Gii: Do H, K ln lt l trung im ca AB, CD nờn MOH v MOK l cỏc tam giỏc vuụng cú chung cnh huyn OM nờn ta cú: MH 2 + OH 2 = MK 2 + OK 2 (= OM 2 ) (11) Ta cú AB > CD nờn OH < OK (trong hai dõy ca mt ng trũn, dõy no ln hn thỡ dõy ú gn tõm hn, dõy no gn tõm hn thỡ dõy ú ln hn) =>OH 2 < OK 2 (12) T (11) v (12) suy ra MH 2 > MK 2 => MH > MK (pcm) Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 10 C O F E D B A M K H O D C B A [...]... cỏc n v THCS trờn a bn tnh ta nhm nõng cao cht lng, hiu qu dy v hc mụn Toỏn ú l mt hot ng tớch cc trong vic i mi phng phỏp dy hc hin nay./ Tụi xin chõn thnh cm n! Ngày 25 tháng 3 năm 2014 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 19 Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 20 Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS Sáng... Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 17 Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS Bi 1: Chng minh rng nu mt tam giỏc cú hai cnh khụng bng nhau thỡ tng ca cnh ln hn v ng cao tng ng ln hn tng ca cnh nh v ng cao tng ng Bi 2: Cho hỡnh vuụng ABCD cú di ng chộo AC = 1 Trờn mi cnh AB, BC, CD, DA ln lt ly cỏc im M, N, P, Q bt kỡ to thnh t giỏc MNPQ li Chng minh rng: Chu vi t giỏc MNPQ... l, cú 6 em tham gia thi hc sinh gii huyn thỡ c 6 em u t im ti a khi gii bi tp chng minh bt ng thc hỡnh hc v c 6 em u t gii Trong ú cú 4 em c chn vo i d tuyn bi dng tham gia thi hc sinh gii tnh Kt qu ny Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 18 Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS mt ln na minh chng rng ti tụi thc hin ó mang li hiu qu rt thit thc C KT LUN V KIN NGH I Kt... BC, CA v AB ti P, Q, R Chng minh rng: OA OB OC + + 3 2 OP OQ OR Gii: A R Q O C B P Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 16 Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS t SBOC = x2, SCOA = y2, SAOB = z2 SABC = x2 + y2 + z2 Ta cú: AP S ABC x 2 + y 2 + z 2 AO y2 + z2 AO y 2 + z 2 OA = = +1 = 1+ = = 2 2 2 OP S BOC x OP x OP x OP y2 + z2 x (28) Chng minh tng t, ta cú: T (28), (29),... = x0 Vớ d 16: Cho tam giỏc ABC cú din tớch S Cỏc im D, E, F th t thuc cỏc A cnh AB, BC, CA sao cho AD = k.AB; BE = k.BC; CF = k.CA Chng minh rng SDEF S 4 D Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 B F 12 C E Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS Gii: Hai tam giỏc ACD v ACB cú ỏy AD = k.AB, cũn chiu cao ng vi cỏc ỏy AD, AB bng nhau, suy ra: SACD = k.SACB = k.S Hai tam giỏc ADC... AE = AH = CG = CF =5cm 7 Phng phỏp th by: Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 13 Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS Vn dng bt ng thc Cụ-si cho 2 s a, b khụng õm ta cú: a+b ab Du = xy ra khi v ch khi a = b 2 Vớ d 18: Cho ABC cú ba gúc nhn Gi H l trc tõm ca ABC K l chõn BC 2 ng cao v t A ca ABC Chng minh rng: KH.KA A 4 Gii: Xột AKB v CKH cú: A K B = C K H = 900... AB// CD 1 8 Vớ d 20: Cho t giỏc ABCD Chng minh rng : S ABCD ( AC + BD ) Du = 2 xy ra khi no? Gii: Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 14 Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS 1 2 p dng bt dng thc Cụ-si ta cú: AC+ BD 2 AC.BD Theo vớ d 1 ta ó chng minh c SABCD AC.BD A 2 AC+BD hay ữ AC.BD 2 2 1 AC+BD 1 2 =>SABCD ữ = 8 ( AC + BD ) 2 2 1 2 =>SABCD ( AC + BD ) (pcm)... Vi bn s a1, a2, b1, b2 bt kỡ ta cú: (a1.b1 + a2.b2)2 (a12+a22)(b12+b22) a a 1 2 Du = xy ra b = b 1 2 Vớ d 22: Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 15 Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS Cho t giỏc ABCD cú ng chộo AC = 2a, BD = 2b Chng minh rng mt trong cỏc cnh ca t giỏc khụng bộ hn a 2 + b2 B Gii: Gi O l giao im ca hai ng chộo AC v BD ^ ^ O A C Vỡ A O D + A O B = 1800.. .Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS Nhn xột: Cỏc vớ d trong phng phỏp 4 l cỏc bi tp d, c ỏp dng cho tt c cỏc em hc sinh lp 9 5 Phng phỏp th nm: Vn dng nh lớ: Trong cỏc dõy ca ng trũn thỡ ng kớnh l dõy ln nht Vớ d13: Cho tam giỏc ABC cú BD v CE l hai ng cao Chng minh rng: DE < BC.(Bi tp 10.SGK.Toỏn 9.Tp 1) A Gii: D E... 2013-2014 11 Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS MA + MB + MC = 2MA 2AM = 2.2R = 4R (trong cỏc dõy ca ng trũn thỡ ng kớnh l dõy ln nht) Vy MA + MB + MC 4R(pcm) Du = xy ra M trựng vi M, trong ú M l im chớnh gia cung BC nh Vớ d 15: Cho ng trũn (O) ng kớnh AB, cỏc dõy AC, AD im E bt kỡ nm trờn (O), v EF vuụng gúc vi AC( F AC); EG vuụng gúc vi AD(G AD) F C AB Chng minh rng FG . Chng minh bt ng thc hỡnh hc, ngoi ra cỏc em khụng tỡm c cho mỡnh phng phỏp no khỏc na. Do ú Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 3 Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS õy. gúc l ng ngn nht. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 4 Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS Vớ d 1: Cho t giỏc ABCD. Chng minh rng S ABCD 1 2 AC.BD. Du = xy ra khi. Chng minh rng trong t giỏc li ABCD ta cú bt ng thc: Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 7 A D C B O B A C D F 2 1 E M C B A Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS

Ngày đăng: 21/12/2014, 11:12

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan