SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT TĨNH GIA I SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TIẾP TUYẾN TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Người thực hiện: Ngô Quan
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TĨNH GIA I
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TIẾP TUYẾN TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Người thực hiện: Ngô Quang Giang
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn : Toán
Trang 2CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI
A Đặt vấn đề
B Giải quyết vấn đề
I) Cở sở lý luận
II) Giải pháp thực hiện
1) Các bài toán sử dụng trực tiếp hàm số
2) Khai thác dữ kiện từ đó tìm ra hàm số cần xét
3) Khai thác bất đẳng thức đã chứng minh thành các bất đẳngthức mới
Trang 3A ĐẶT VẤN ĐỀ I) Lời mở đầu
Mục tiêu hàng đầu của việc dạy học môn toán trung học phổ thông
là trang
bị những tri thức, phương pháp và phát triển tư duy, trí tuệ cho học sinh
Phần bất đẳng thức là chủ đề khá quan trọng trong việc phát triển
tư duy sáng tạo, tư duy biện chứng cho học sinh Đồng thời cũng thườnggặp trong các đề thi đại học và cao đẳng, đề thi học sinh giỏi hàng năm
Có rất nhiều phương pháp vận dụng chứng minh bất đẳng thức, cácphương pháp giải đa dạng, một số tài liệu đưa ra cách giải mang tính thủthuật, không tự nhiên làm cho học sinh không có cách nhìn bao quát vềchứng minh bất đẳng thức Sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã hướng dẫnhọc sinh sử dụng tính chất tiếp tuyến hợp lý từ đó vận dụng vào việcchứng minh bất đẳng thức Với kết quả được xây dựng một cách tự nhiên
và sắp xếp từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh có cách nhìn tổngquan hơn Mặt khác hướng dẫn học sinh biết kết hợp khai thác các kiếnthức đã học, các kiến thức liên quan tìm ra các bất đẳng thức mới Từ đóphát huy tính cực, chủ động, sáng tạo của học sinh trong việc lĩnh hội trithức và tạo niềm tin, hứng thú trong học tập môn Toán
Trang 4II) Thực trạng
a) Đối với giáo viên
Chủ đề bất đẳng tương đối khó mà số lượng tiết học trong sáchgiáo khoa đối với nội dung này ít Các giáo viên thường dạy theo kiểunêu các tính chất, các bất đẳng thức thông dụng sau đó ra các bài tập cótính chất ngẫu hứng, rồi học sinh giải hoặc giáo viên giải cho học sinhnghe Dẫn đến học sinh bế tắc trong con đường suy nghĩ và khó tìmđường lối giải quyết cho các bài tập khác
b) Đối với học sinh:
Chủ đề bất đẳng thức tương đối khó đối với mọi đối tượng họcsinh Sự nhận thức học sinh thể hiện khá rõ:
- Học sinh lúng túng không có định hướng khi gặp bài toán chứng minh bất đẳng thức
- Khả năng phân tích dữ kiện, tổng hợp các kiến thức liên quan đến bài toán còn hạn chế
- Chưa có kỹ năng vận dụng tính chất cơ bản của bất đẳng thức và các bất đẳng thức cổ điển để kiến tạo ra tri thức tổng hợp từ đó vận dụng vàogiải bài tập
- Từ các bất đẳng thức đã chứng minh chưa biết phân tích xây dựng thành các bài toán mới
Vì vậy để khắc phục các hạn chế trên của học sinh, giúp giáo viên
có định hướng tốt khi dạy phần bất đẳng thức đồng thời bồi dưỡng khả năng tư duy cho học sinh khá giỏi, qua đó nâng cao chất lượng mũi nhọn
Trang 5“ Rèn luyện kỹ năng sử dụng tính chất của tiếp tuyến trong chứng minh bất đẳng thức”
Trang 6- Đường thẳng y = ax + b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm A( ; )x y0 0
khi đó: f x( ) (ax b) ( x x 0 ) ( ); (k g x k 2,k N )
II Giải pháp thực hiện
1) Các bài toán sử dụng trực tiếp hàm số :
Để học sinh vận dụng thành thạo nội dung của phương pháp và tạoniềm tin lĩnh hội tri thức cho học sinh Tôi hướng dẫn học sinh xét cácbài toán đơn giản, các bài toán mà hàm số cần xét đã có sẵn
Bài 1: Cho ba số dương x, y, z thõa mãn: x+ y + z = 3 Chứng minh
Trang 7Bài 2: Cho ba số dương x, y, z thõa mãn: x+ y + z = 1 Chứng minh rằng:
Dấu bằng xảy ra khi : x = y =z =1
Bài 3: Cho ba số dương x, y, z thõa mãn: x+ y + z = 1 Chứng minh rằng:
Trang 82) Khai thác dữ kiện bài toán tìm hàm số cần xét
Trong phần này tôi đưa ra các bài toán mà chưa có sẵn hàm số cầnxét, mỗi bài
mở ra một hướng khai thác dữ kiện khác nhau để tìm ra hàm số cần xét,
từ đó phát huy khả năng sáng tạo của học sinh
Bài 1: Cho ba số dương x, y, z thõa mãn: x2 y2 z2 1 Chứng minh rằng:
Trang 9Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x =13 là:
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 13
Bài 2: Cho ba số dương x, y, z thõa mãn: x + y + z = 3.Chứng minh rằng:
Trang 10x y xy
x y xy
giá với biểu thức ẩn bậc nhất, nên phải kết hợp cả đánh giá và đặt ẩn phụ
để chuyển về bài toán với điều kiện bậc nhất
Trang 11 thì dẫn đến việc tínhtoán phức tạp, khi đó ta nghĩ đến việc đánh giá để tìm ra hàm số đơngiản hơn
Trang 12Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 2
Bài 5: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng:
Trang 13- Do đó đối với những bất đẳng thức dạng này ta có thể giả thiết thêm
Với mục tiêu giúp học sinh không chỉ dừng lại ở việc chứng minhmột bất đẳng thức, mà từ bất đẳng thức đã chứng minh khai thác tìm tòi
ra nhiều bất đẳng thức mới, qua đó phát triển tư duy sáng tạo cho họcsinh và nhu cầu khám phá tri thức mới
Trang 143.1) Khai thác bài toán 2(mục II.1):
Cho ba số dương x, y, z thõa mãn: x+ y + z = 1 Chứng minh rằng:
Trang 153 3
- Với cách làm trên thì căn bậc hai và bậc của x không ảnh hưởng trực
tiếp vào bài toán, từ đó ta có bài toán sau:
Bài toán 3: Cho ba số dương x, y, z thõa mãn: x + y + z =1 Chứng minh
Ta có thể tăng số biến lên n biến, từ đó ta có bài toán tổng quát:
Cho n số dương x x1 ; ; , x 2 n thõa mãn:x1 x2 x n 1 Chứng minh rằng:
(X Y Z ) 3(X Y Z ) 6 X Y Z 6
Trang 16Sử dụng tính chất tiếp tuyến ta chứng minh được:
6; (0; 6) 2
x
n
m x m x m x
3.2 Khai thác bài toán 3(mục II.1):
Bài toán 2: Cho ba số dương x, y, z thõa mãn: x+ y + z = 1 Chứng minh rằng:
1 x 1 y 1 z 10
Hướng 1 : Nếu tăng số biến lên n ta có bài toán
Cho n số dương x x1 ; ; , x 2 n thõa mãn:x1 x2 x n 1.Chứng minh rằng:
Trang 17a) Cho ba số dương a, b, c thõa mãn: a n b nc n 1 Chứng minh rằng:
Trang 18Hướng 3: Kết hợp với các bất đẳng thức cổ điển từ đó tạo ra các bất
Trang 19Cho ba số dương x,y,z thõa mãn: x + y + z =1 Chứng minh rằng:
Hướng 3.4: Sử dụng bất đẳng thức Côsi “ thuận - nghịch”
a) Vì dấu bằng xảy ra khi x y z 13 nên:
2 2
Trang 20Ta có bài toán :Cho ba số dương x,y,z thõa mãn: x + y + z =1 Chứng
2 1 b)
x xy y y yz z z xz z
Nhận xét :
Trang 21- Từ sự dẫn dắt trên học sinh có thể khai thác và tìm thêm nhiều bài toán mới
- Trên đây tôi hướng dẫn học sinh dựa trên mối liên hệ logic của toán học phát triển bài toán cụ thể thành các bài toán khác nhau,
từ đó rèn luyện học sinh đức tính luôn chủ động, tích cực trong việc tiếp thu tri thức Từ đó phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
4) Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho ba số dương x, y,z thõa mãn: x y z 1
a)Chứng minh rằng: 2 2 2
9 (1 ) (1 ) (1 ) 4
x y z
b) Phát triển bài toán trên thành các bài toán mới
Bài 2: Cho ba số dương x, y,z thõa mãn: x y z x y z
Trang 22- Sau khi giảng dạy tôi tiến hành kiểm tra khả năng tiếp thu của học sinh kết quả thu được như sau :
Qua thời gian nghiên cứu và vận dụng đề tài vào giảng dạy tôi rút ra một số nhận xét sau :
- Với cách dạy như trên tạo ra tâm thế hứng thú, sẵn sàng lĩnh hội trithức, khắc phục tính chủ quan hình thành tính độc lập chủ động củangười học
Trang 23- Giáo viên đã tạo được niềm tin cho học sinh khi đứng trước bàitoán về bất đẳng thức, đó là động lực thúc đẩy học sinh khám pháthêm các phần tương tự, các bài toán khó về bất đẳng thức
- Rèn luyện khả năng phân tích tổng hợp, tư duy trừu tượng hóa,khái quát hóa, phán đoán logic cho học sinh
2) Đề xuất
- Trong khuôn khổ một sáng kiến tôi chỉ đề xuất một vài hướng giảiquyết bài toán, vì vậy theo định hướng này giáo viên phải tiếp tục đàosâu nghiên cứu để xây dựng nhiều bài tập tương tự để dạy cho học sinhđạt kết quả cao
- Duy trì phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm hàng năm nhằm nângcao chất lượng dạy và học
- Các sáng kiến có chất lượng hàng năm nên được triển khai rộng rãi làm
tư liệu giảng dạy cho giáo viên
Người viết
Ngô Quang Giang