(Sáng kiến kinh nghiệm) sử DỤNG TÍNH CHẤT của TIẾP TUYẾN để CHỨNG MINH bất ĐẲNG THỨC

Sáng kiến kinh nghiệm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TĨNH GIA I SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TIẾP TUYẾN ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Người thực hiện: Nguyễn Thị Hiền Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn NĂM 2018 Nguyễn Thị THANH Hiền – HÓA Trường THPT Tĩnh Gia I Sáng kiến kinh nghiệm MỤC LỤC 1.LỜI MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2.NỘI DUNG SÁNG KIẾN 2.1 Cở sở lí luận 2.2 Thực trạng vấn đề 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Các toán sử dụng trực tiếp hàm số 2.3.2 Khai thác kiện tìm hàm số cần xét 2.3.3 Sử dụng bất đẳng thức tiếp tuyến 2.3.4 Khai thác bất đẳng thức chứng minh thành bất đẳng thức 2.4 Hiệu đạt KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Kiến nghị Nguyễn Thị Hiền – Trường THPT Tĩnh Gia I Sáng kiến kinh nghiệm LỜI MỞ ĐẦU Mục tiêu hàng đầu việc dạy học mơn tốn trung học phổ thơng trang bị tri thức, phương pháp phát triển tư duy, trí tuệ cho học sinh Phần bất đẳng thức quan trọng việc phát triển tư sáng tạo, tư biện chứng cho học sinh Sử dụng tính chất tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức phương pháp hiệu quả.Giúp học sinh có định hướng việc đánh giá biểu thức lớn hay nhỏ biểu thức bậc Mặt khác từ việc chứng minh toán cụ thể, kết hợp khai thác kiến thức học, kiến thức liên quan tìm bất đẳng thức Từ phát huy tính cực, chủ động, sáng tạo học sinh việc lĩnh hội tri thức tạo niềm tin, hứng thú học tập mơn Tốn 1.1 Lý chọn đề tài Chủ đề bất đẳng thức tương đối khó đối tượng học sinh Sự nhận thức học sinh thể rõ: - Học sinh lúng túng định hướng gặp tốn chứng minh bất đẳng - Khả phân tích kiện, tổng hợp kiến thức liên quan đến tốn cịn hạn chế - Chưa có kỹ vận dụng tính chất bất đẳng thức bất đẳng thức cổ điển để kiến tạo tri thức tổng hợp từ vận dụng vào giải tập - Chưa có kĩ vận dụng kiến thức học vào thực tế sống - Từ bất đẳng thức chứng minh chưa biết phân tích xây dựng thành tốn Vì để khắc phục hạn chế học sinh, bồi dưỡng khả tư cho học sinh giỏi, qua nâng cao chất lượng mũi nhọn cho nhà trường tơi chọn đề tài: Sử dụng tính chất tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức 1.2 Mục đích nghiên cứu - Từ bất đẳng thức cụ thể cần rèn luyện cho học sinh kỹ xây dựng phương trình hàm số thích hợp, từ sử dụng tính chất tiếp tuyến chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số - Giúp giáo viên có định hướng tốt giảng dạy chủ đề bất đẳng thức 1.3 Đối tượng nghiên cứu Các dạng tập chứng minh bất đẳng thức, tập tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sử dụng tính chất tiếp tuyến 1.4 Phương pháp nghiên cứu Xây dựng hệ thống tập định hướng Nguyễn Thị Hiền – Trường THPT Tĩnh Gia I Sáng kiến kinh nghiệm NỘI DUNG SÁNG KIẾN 2.1.Cở sở lý luận Bổ đề 1: Cho hàm số y = f(x) đường thẳng y = ax + b tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm A(x0; y0), ( A khơng phải điểm uốn ), tồn khoảng D chứa điểm x0 cho f ( x)  ax  b , x  D f ( x)  ax  b , x  D Nhận xét: : Nếu đường thẳng y = ax + b tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm A(x0; y0) Khi ta ln phân tích được: f ( x)  (ax  b )  ( x  x0 ) k g ( x), k  2, k  N Bổ đề 2: (bất đẳng thức tiếp tuyến) Cho hàm số y = f(x) liên tục có đạo hàm cấp [a; b] - Nếu f ''( x)  0, x   a, b  ta ln có f ( x)  f '(x )( x  x0 )  f ( x0 ), x0   a, b  - Nếu f ''( x)  0, x   a, b  ta ln có f ( x)  f '(x )( x  x0 )  f ( x0 ), x0   a, b  Chứng minh: +) Với f ''( x)  0, x   a, b  Xét hàm số g ( x)  f ( x)  f '(x )( x  x0 )  f ( x0 ), x0   a, b  Ta có g '( x)  f '(x)  f '( x0 ) f ''( x0 )  0, x   a, b  Nên hàm số f’(x) hàm số đồng biến [a;b] Do g’(x) đổi dấu từ dương sang âm qua x0 nên g(x) đạt cực tiểu x0 hay g ( x)  g (x )  f ( x)  f '( x0 )( x  x0 )  f ( x0 )   f ( x)  f '( x0 )( x  x0 )  f ( x0 ), x0   a, b  Chứng minh tương tự cho trường hợp f ''( x)  0, x   a, b  Nhận xét: - Hệ thức y  f '(x )( x  x0 )  f ( x0 ) phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm x0 Do f ''( x)  0, x   a, b  nên tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm [a;b] ln nằm phía đồ thị hàm số - Nếu f ''( x)  0, x   a, b  nên tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm [a;b] ln nằm phía đồ thị hàm số Bổ đề 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục có đạo hàm cấp (a; b) n số thực dương  k , k  1, n saocho 1      n  + Nếu f ''( x)  0, x  (a; b) ta có 1 f ( x1 )   f ( x2 )    n f ( xn )  f (1 x1   x2    n xn ) Với xi  (a; b), i  1, n + Nếu f ''( x)  0, x  (a; b) ta có 1 f ( x1 )   f ( x2 )    n f ( xn )  f (1 x1   x2    n xn ) Với xi  (a; b), i  1, n Dấu xảy x1 = x2 = = xn Chứng minh: Nguyễn Thị Hiền – Trường THPT Tĩnh Gia I Sáng kiến kinh nghiệm Đặt y = y  1 x1   x2    n xn Vì f ''( x)  0, x  (a; b) nên áp dụng bổ đề ta có: f ( xk )  f '( y )( xk  y )  f ( y ), k  1, n   k f ( xk )  f '( y )( k xk   k y )   k f ( y ), k  1, n Cộng vế n bất đẳng thức ta : n  k 1 n k f ( xk )   ( f '( y )( k xk   k y )   k f ( y ))  f ( y )  f (1x1   x2    n xn ) k 1 Tương tự cho trường hợp f’(x) 0) Tìm giá trị nhỏ (hoặc giá trị lớn tùy theo giá trị a, b) biểu thức: 1 A= a( x1  x2   xn ) b( x  x   x ) (a, b  R) n Hướng 2: Xuất phát từ bất đẳng thức: (12  )( x  Từ ta có: 82( x  9 )  ( x  )  82 x   x  x x x x 1 9  y   z  )  x  y  z     82 x y z x y z Ta có tốn 2: Cho ba số dương x, y, z thõa mãn: x + y + z =1 Chứng minh a) x  1  y   z   82 (Trích đề thi đại học cao đẳng 2005) x y z b) x  1  y   z   82 y z x Hướng 3: Xuất phát từ bất đẳng thức  ) xyz  ( ) x  x yz )  3 1 x2 82  x     82  x2 81x 81x (81x )2 Nguyễn Thị Hiền 82 41 981 x80 – Trường THPT Tĩnh Gia I 12 Sáng kiến kinh nghiệm  x2  1  y2   z2   x y z 82 41 81 ( 41 x 40  41 y 40  41 z 40 ) 82 41 381 41 x 40 41 y 40 41 z 40  82 - Với cách làm bậc hai bậc x không ảnh hưởng trực tiếp vào tốn, từ ta có tốn sau: Bài toán 3: Cho ba số dương x, y, z thõa mãn: x + y + z =1 Chứng minh rằng: a) x n  1  y n  n  z n  n  n 82.3n  n x y z b) n x  1  n y   n z   (9n  1).32n x y z Ta tăng số biến lên n biến, từ ta có tốn tổng quát: Cho n số dương x1 ; x2 ; ., x n thõa mãn: x1  x2   xn  Chứng minh rằng: a ) x12  1  x22    xn2   n  x1 x2 xn b) x1n  1  x2n  n   xnn  n  (n n  1).n 2n n x1 x2 xn c ) n x12  1  n x22    n xn2   n (n  1).n n 2 x1 x2 xn x x  1 x   X Đặt: X =  x  1 x 1 x 1 x X 2 2 Ta có: ( X  Y  Z )  3( X  Y  Z )   X  Y  Z  Sử dụng tính chất tiếp tuyến ta chứng minh được:  X   X  6; X  (0; 6) X x y z 1 Từ suy ra:  x   y   z  X  Y  Z  ( X  Y  Z ) Hướng 4: Nhận thấy: Vì: 1    (X Y  Z)   (X  Y  Z)   X Y Z x y z 3     1 x 1 y 1 z Ta có tốn 4: Cho ba số dương x, y, z thõa mãn: x + y + z =1 Chứng minh rằng: x y z    1 x 1 y 1 z Tổng quát: Cho n số dương x1 ; x2 ; ., x n thõa mãn: x1  x2   xn  m, (m  0) Chứng minh rằng: xn x1 x2 mn     n 1 m  x1 m  x2 m  xn Khai thác toán 3(mục 2.3.1): Nguyễn Thị Hiền – Trường THPT Tĩnh Gia I 13 Sáng kiến kinh nghiệm Bài toán 2: Cho ba số dương x, y, z thõa mãn: x+ y + z = Chứng minh rằng: 1 27    2 1 x 1 y 1 z 10 Hướng 1: Nếu tăng số biến lên n ta có tốn Cho n số dương x1 ; x2 ; ., x n thõa mãn: x1  x2   xn  Chứng minh rằng: 1 n3      x12  x22  xn2 n  Hướng 2: Thay biến biểu thức phù hợp ta có tốn mới: Hướng 2.1: Đặt x  a n ; y  b n ; z  c n Ta có tốn 2.1: a) Cho ba số dương a, b, c thõa mãn: a n  b n  c n  Chứng minh rằng: 1 27    2n 2n 2n 1 a 1 b 1 c 10 b) Tổng quát: Cho n số dương x1 ; x2 ; ., x n thõa mãn: x1n  x2n   xnn  Chứng minh rằng: 1 n3      x12 n  x22 n  xn2 n n  1 1 Hướng 2.2: Đặt x = n ; y  n ; z  n a b c Ta có tốn 2.2: 1    Chứng minh rằng: an bn cn a2n b2n c2n 27    2n 2n 2n 1 a 1 b 1 c 10 1 b)Tổng quát: Cho n số dương x1 ; x2 ; ., x n thõa mãn: x n  x n   x n  Chứng n a) Cho ba số dương a, b, c thõa mãn: xn2 n x12 n x22 n n3      x12 n  x22 n  xn2 n n  minh rằng: 2a 2b2 2c ;y  ;z  Hướng 2.3: Thay x  (b  c) ac ab (Khi : x  y  z  2( a2 b2 c2 (a  b c)2   )2 1 bc ac a b 2(a  b  c ) Ta có toán 2.3: Cho ba số dương a, b, c Chứng minh rằng: (b  c) ( a  c) ( a  b) 27    4 4a  (b  c) 4b  (a  c) 4c  (b  a) 10 Hướng 3: Kết hợp với bất đẳng thức cổ điển từ tạo bất đẳng thức Hướng 3.1: Ta có: ( 1 x  1 y  1 z )  3( 1 81   ) 2 1 x 1 y 1 z 10 Ta có tốn 3.1: Nguyễn Thị Hiền – Trường THPT Tĩnh Gia I 14 Sáng kiến kinh nghiệm Cho ba số dương x, y, z thõa mãn: x + y + z = 1.Chứng minh : 1 x  1 y  1 z2  10 10 Hướng 3.2: Xuất phát từ x y z x2 y2 z2 ( x  y  z )2  ( yz  xz  y  x )2  (   )2( x  y  z ) yz xz yx yz xz yx x2 y2 z2 x2 y2 z2      1 yz xz yx yz xz yx Ta có tốn 3.2 : Cho ba số dương x, y, z thõa mãn: x + y + z = Chứng minh  x y z  x2 y2 z2   1 yz xz x y : x2 y z Hướng 3.3:Xuất phát từ biểu thức:    x  y  z  y z x ( Mà: x2 y z 2 x2   ) ( y z x y x z ( x z  y2 z x y x y  z2 x yz y  z )2 x4 y4 z4   ).2( x  y  z ) y ( x  z) z ( x  y) x2 ( z  y) Từ ta có tốn 3.3: Cho ba số dương x,y,z thõa mãn: x + y + z =1 Chứng minh rằng: x4 y4 z4    2 y ( x  z ) z ( y  x) x ( z  y) Hướng 3.4: Sử dụng bất đẳng thức Côsi “ thuận - nghịch” Vì dấu xảy x  y  z  nên: 9x xy xy 27 xy  x   x   9x  ( y   y ) 1 y 2 y2  y2  y 9 x y z 27 27    9( x  y  z )  ( xy  yz  xz )    Từ đó: y  z  x  2 9 (do 3( xy  yz  xz )  ( x  y  z )  xy  yz  xz  ) x  Ta có toán 3.4 : Cho ba số dương x,y,z thõa mãn: x + y + z =1 Chứng minh rằng: x y z    2 1 y 1 9z 1 9x Nhận xét : Nguyễn Thị Hiền – Trường THPT Tĩnh Gia I 15 Sáng kiến kinh nghiệm - Từ dẫn dắt học sinh khai thác tìm thêm nhiều tốn - Trên tơi hướng dẫn học sinh dựa mối liên hệ logic toán học phát triển toán cụ thể thành toán khác nhau, từ rèn luyện học sinh đức tính ln chủ động, tích cực việc tiếp thu tri thức Từ phát triển tư sáng tạo cho học sinh 2.4 Hiệu đạt - Đề tài nghiên cứu thực giảng dạy hai năm 2016- 2017; 2017- 2018 Trong số tiết chữa tập số tiết bồi dưỡng học sinh giỏi - Đối tượng thực nghiệm học sinh lớp 12A2(2016-2017), 12A2 (20172018), 12A1(2017-2018), nhà trường - Sau giảng dạy tiến hành kiểm tra khả tiếp thu học sinh kết thu sau :12A2 (2017-2018) (chưa triển khai sáng kiến này),12A1(2017-2018), 12A2( 2017- 2018)(đã triển khai sáng kiến này) Lớp 12A2 (2016-2017) Lớp12A2 (2017-2018) Lớp12A1 (2017-2018) Sĩ số Giỏi Khá TB Yếu - Kém SL % SL % SL % SL % 42 11,9 12 28,6 18 42,8 16,7 42 10 23,8 17 40,5 12 28,6 7,1 42 13 30,9 20 45,1 19,6 2,4 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận  Qua thời gian nghiên cứu vận dụng đề tài vào giảng dạy rút số nhận xét sau : - Với cách dạy tạo tâm hứng thú, sẵn sàng lĩnh hội tri thức, khắc phục tính chủ quan hình thành tính độc lập chủ động người học - Giáo viên tạo niềm tin cho học sinh đứng trước tốn bất đẳng thức, động lực thúc đẩy học sinh khám phá thêm phần tương tự, tốn khó bất đẳng thức - Rèn luyện khả phân tích tổng hợp, tư trừu tượng hóa, khái quát hóa, phán đoán logic cho học sinh Nguyễn Thị Hiền – Trường THPT Tĩnh Gia I 16 Sáng kiến kinh nghiệm Kiến nghị - Trong khuôn khổ sáng kiến đề xuất vài hướng giải toán, theo định hướng giáo viên phải tiếp tục đào sâu nghiên cứu để xây dựng nhiều tập tương tự để dạy cho học sinh đạt kết cao - Duy trì phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm hàng năm nhằm nâng cao chất lượng dạy học - Rất mong góp ý từ thầy cô giáo hội đồng khoa học Sở GD&ĐT Thanh Hóa để sáng kiến hồn thiện, thuận lợi cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi ôn thi Đại học, cao đẳng XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 Năm 2018 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Thị Hiền Nguyễn Thị Hiền – Trường THPT Tĩnh Gia I 17 Sáng kiến kinh nghiệm Tài liệu tham khảo [1] Sách đại số giải tích 12, sách tập giải tích 12 nâng cao( Chủ biên: Đồn Quỳnh – Nhà xuất giáo dục 2011) [2] Sách “ bất đẳng thức ứng dụng” (tác giả: Phan Huy Khải – Trần Hữu Nam) [3] Sách “263 toán bất đẳng thức” (tác giả: Nguyễn Vũ Thanh) [4] Một số lấy từ đề thi đại học cao đẳng Bộ giáo dục từ năm 2005 đến 2015 [5] Đề thi thử đại học trường THPT lấy từ trang www.toanmath.com.vn, dethi.violet.vn Danh mục SKKN mà tác giả Hội đồng Cấp sở GD&ĐT đánh giá đạt từ loại C trở lên STT Tên SKKN Rèn luyện kĩ sử dụng biểu thức trung gian để chứng minh bất đẳng thức dạy học đại số 10 Rèn luyện kĩ xây dựng đẳng thức từ đẳng thức có Rèn luyện kĩ chứng minh bất đẳng thức phương pháp dồn biến Nguyễn Thị Hiền Xếp loại C Năm học 2009 - 2010 C 2011 - 2012 C 2013 - 2014 – Trường THPT Tĩnh Gia I 18 ... thác bất đẳng thức chứng minh thành bất đẳng thức Với mục tiêu giúp học sinh không dừng lại việc chứng minh bất đẳng thức, mà từ bất đẳng thức chứng minh khai thác tìm tịi nhiều bất đẳng thức. .. pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Các toán sử dụng trực tiếp hàm số 2.3.2 Khai thác kiện tìm hàm số cần xét 2.3.3 Sử dụng bất đẳng thức tiếp tuyến 2.3.4 Khai thác bất đẳng thức chứng minh thành bất. .. dụng tính chất bất đẳng thức bất đẳng thức cổ điển để kiến tạo tri thức tổng hợp từ vận dụng vào giải tập - Chưa có kĩ vận dụng kiến thức học vào thực tế sống - Từ bất đẳng thức chứng minh chưa biết