(SKKN HAY NHẤT) sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức và tìm giới hạn của hàm số

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ" LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com A.Phần mở đầu Trong đời học sinh người, chí giáo viên tiếp xúc với nội dung bất đẳng thức quan tâm đến nguồn gốc xuất phát tốn chứng minh bất đẳng thức Trong cơng tác giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, thân gặp tình mà học sinh đưa “ Tại người ta lại nghĩ toán chứng minh bất đẳng thức “ ; “ Tại để tính giới hạn người ta thêm bớt lượng khơng được, thêm bớt lượng lại giải “ Những câu hỏi ln xuất tâm trí tơi ln nhắc nhở tơi phải tìm hiểu Hình ảnh trực quan tiếp tuyến đường cong sở để giải thích câu hỏi em học sinh Cũng từ nảy sinh việc nghiên cứu phương pháp chứng minh bất đẳng thức tìm giới hạn hàm số mà gọi phương pháp tiếp tuyến Phương pháp thể nguồn gốc xuất phát tốn nên tơi chọn đề tài “ Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức tìm giới hạn hàm số “ với mục đích cung cấp phương pháp giải toán cho em học sinh quan trọng giúp em nhìn thấy chất việc, tượng, thấy sáng tạo toán đẹp từ kiến thức bản, từ hình ảnh trực quan Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức tìm giới hạn hàm số phương pháp rõ ràng dễ áp dụng để giải lớp tốn chứng minh bất đẳng thức tìm giới hạn hàm số, nội dung mà học sinh gặp kì thi hầu hết em học sinh gặp nhiều khó khăn việc xác định phương pháp giải Hi vọng phương pháp xố tan tâm lí “ sợ “ gặp tốn chứng minh bất đẳng thức tìm giới hạn hàm số học sinh Chính mà đề tài cần thiết cho đối tượng em học sinh đội tuyển học sinh giỏi, em học LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com sinh chuẩn bị cho kì thi đại học tất em học sinh muốn tìm hiểu hướng sáng tác toán chứng minh bất đẳng thức giới hạn hàm số B.Phần nội dung 1.Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức a.Cơ sở lí thuyết : Nếu y  ax  b tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm điểm uốn ), tồn  ;   chứa f ( x)  ax  b x   ;   Đẳng thức xảy cho x0 A  x0 ; f  x0   ( A f ( x)  ax  b x   ;   x  x0 Từ ta có f  x1   f  x2    f  xn   a ( x1  x2   xn )  nb f  x1   f  x2    f  xn   a ( x1  x2   xn )  nb với x1 , x2 , , xn   ;   đẳng thức xảy x1  x2   xn  x0 Nếu x1  x2   xn  k ( k khơng đổi ) f  x1   f  x2    f  xn   ak  nb f  x1   f  x2    f  xn   ak  nb với x1 , x2 , , xn   ;   b.Thực trạng vấn đề : Bất đẳng thức vấn đề quan trọng khó học sinh cấp trung học phổ thông Học sinh gặp nhiều khó khăn việc xác định phương pháp giải khơng có phương pháp đường rõ ràng Có cách giải từ trời rơi xuống Học sinh khơng thể hiểu người ta lại nghĩ tốn vậy, lại có giải Trong đề tài tơi xin trình bày phương pháp mà học sinh khơng nắm sở lí luận khơng hiểu lại có lời giải vậy, học sinh nắm sở lí luận phương pháp LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com việc sử dụng phương pháp thật rõ ràng cụ thể, em tự chứng minh lớp bất đẳng thức tự sáng tác toán chứng minh bất đẳng thức c.Các bước tiến hành Nếu gặp BĐT đồng bậc ta nên chuẩn hóa, tùy vào đặc điểm mà ta có cách chuẩn hóa phù hợp để đưa bất đẳng thức dạng biến cô lập dạng f ( x1 )   f  xn    f ( x1 )   f  xn    Sau thực theo bước sau :  Xét xem dấu “=” xảy điều mong ước x1   xn  x0  Dựa vào hình thức BĐT, xét hàm số f ( x) , thị hàm số giả sử phương trình tiếp tuyến y  f ( x) điểm có hồnh độ k  Viết f ( x )  g ( x )   x  x0  h( x ) , x0 , viết phương trình tiếp tuyến đồ h  x0   , k  2, k  y  g ( x) , kiểm nghiệm f ( x )  g ( x )  0x  D f ( x )  g ( x )  0x  D  Từ đưa lời giải : ta có f ( xi )  g ( xi )  f ( xi )  g ( xi )  0xi  D , xi  D, i  1, n  Cộng n bất đẳng thức theo vế ta điều phải chứng minh Các ví dụ làm rõ phương pháp 2  2a  b  c    2b  a  c    2c  a  b   Ví dụ 1: Cho a, b, c  CMR: 2 2 2a   b  c  2b   a  c  2c   a  b  LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phân tích : Vì BĐT nên ta chuẩn hóa cách giả sử Khi BĐT cần chứng minh trở thành f ( x) = x2  x  , x   0;1 3x2  x  a  b  c  f (a)  f (b)  f (c)  với a, b, c   0;1 Dấu “=” BĐT xảy Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ abc x : y  4x  4    x  1  x  1  f ( x)   x   =  0x   0;1 3 3x2  x   Ta xét Vì ta có lời giải sau: Vì BĐT nên ta chuẩn hóa cách giả sử Ta cần chứng minh bất đẳng thức  a  1 2a  (1  a )2  a  b  c   b  1 2b  (1  b)   c  1 2c  (1  c) 8 , a, b, c   0;1 , a  b  c  Ta có 2    3a  1  4a  1    4a     0a   0;1 2 2a  (1  a )  3 3a  a   a  1 2 2    3b  1  4b  1    4b     0b   0;1 2 2b  (1  b)  3 3b  2b   b  1    3c  1  4c  1    4c     0c   0;1 2 2c  (1  c )  3 3c  2c   c  1 Cộng ba BĐT theo vế ta  a  1 2a  (1  a )2   b  1 2b2  (1  b)2   c  1 2c  (1  c )2  4a  b  c   LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ví dụ 2:Cho CMR: a, b, c   a  b  c  a b c    a  b  c  10 Phân tích : Dấu “=” xảy Xét hàm f ( x)  abc x , x 1 tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ y 36 x  50 Ta có 36 x    x  1 (4 x  3) f ( x)  =  0x   50 50  x  1 Vì ta có lời giải sau : a 36a    3a  1 (4a  3)  =  0a   2 a 1 50 50  a  1 b 36b    3b  1 (4b  3)  =   b   b 1 50 50  b  1 c 36c    3c  1 (4c  3)  =  0c   2 c 1 50 50  c  1 Cộng ba BĐT ta : a b c     a, b, c   a  b  c  a  b  c  10 Ví dụ 3:Cho a, b, c >0 a  b  c  CMR: a  b  c  ab  bc  ca LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phân tích : Dấu “=” xảy BĐT a  b  c 1  a  b  c   a  b2  c2 Xét hàm y  3x f ( x) điểm có hồnh độ Ta có f ( x)  3x  x  x  3x = Suy tuyến đồ thị hàm số f ( x )  x  x Tiếp    x  x   0x   0;   x 1 a  a b  b  c  c  Suy BĐT chứng minh Bài tập rèn luyện: 1.Cho số thực a, b, c >0 thỏa a  b  c  CMR: a b c     bc  ac  ab 10  b  c  , tương tự… HD: Ta có bc  Ta có đánh giá sau: 2.Cho a, b, c a b c 4a 4b 4c       bc  ac  ab a  2a  b  2b  c  2c  độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh 1 1       4    a b c abc  a b bc c a  Phân tích: Ví BĐT thần nên khơng làm tính tổng quát ta giả sử a  b  c  Khi BĐT viết lại : LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1 1       4    Dấu a b c 1 a 1 b 1 c  Dẫn đến việc xét hàm y  18x  3 f ( x) = “=”xảy  5x ,  x2  x abc tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ Ta xét f ( x )   18 x  3 = a, b, c 18 x  21x  x   x  1  2 x  1 =  x2  x x (1  x ) độ dài cạnh tam giác ,  a  b  c > 2a suy  1 a, b, c   0;   2 suy  1 f ( x )   18 x  3  0x   0;   2 Từ có lời giải toán ? 3.Cho a, b, c >0.CMR: b  c  a  2 (b  c)  a  a  c  b 2 ( a  c)  b  b  a  c  2 (b  a)  c  Phân tích : Vì BĐT cần chứng minh nên ta cần chứng minh BĐT với a, b, c >0 a b c 1 1  2a  BĐT viết lại thành 2  1  2b  2  1  2c  2 2a  2a  2b   2c  2c    1 27    a  2a  b  b  c  c  Dấu “=” xảy abc LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Từ liên tưởng đến hàm điểm có hồnh độ f ( x) = y x  2x  Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số 54 x  27 25 Ta xét  x  1 (12 x  2)  0x  0;1 54 x  27 f ( x)  =   25 25  x  x  1 Từ ta có lời giải : Vì BĐT cần chứng minh nên ta cần chứng minh BĐT với a, b, c >0 a b c 1  3a  1 (12a  2)  0a  0;1 54a  27  =   2 a  2a  25 25  2a  2a  1  3b  1 (12b  2)  0b  0;1 54b  27  =   2b  2b  25 25  2b  2b  1  3c  1 (12c  2)  0c  0;1 54c  27  =   2 c  2c  25 25  2c  2c  1 ba Cộng BĐT theo vế ta 54a  27 54b  27 54c  27 27 + +    = a  2a  2b  2b  c  2c  25 25 25 4.Cho a, b, c >0 CMR: 1  1 1 a  b2  c       a  b  c  a  b2  c  3 a b c Phân tích : Vì BĐT bậc nên ta chuẩn hóa cách giả sử Khi BĐT cần chứng minh trở thành a2  b2  c2  f (a)  f (b)  f (c)  với a, b, c   0;1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com f ( x)  1  x, x   0;1 3 x Dấu “=” BĐT xảy abc Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ y : 1 22 x 3 Ta xét 1 22 f ( x)  x = 3   1    0x   0;1 3x  3x Vì ta có lời giải sau: Vì BĐT bậc nên ta chuẩn hóa cách giả sử Ta có 1 1 22 a  a 3 a  1    0a   0;1 3a  3a  = 3b   = 3c  1 1 22 b  b 3 b 1 1 22 c  c 3 c 3  = a2  b2  c2   1    0b   0;1 3b  1    0c   0;1 3c Cộng ba BĐT theo vế ta f ( a )  f (b )  f (c )   Cho a, b, c  1 1 3  a  b2  c2     a  b  c     3 : a  b  c  CMR: a  b  c  2(a  b3  c ) Phân tích: Dấu “=” BĐT xảy abc2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com BĐT   a  2a    b  2b3    c  2c   Ta xét hàm f ( x )  x  x Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số f(x) điểm có hồnh dộ y  x  16 Ta có f ( x)  (8 x  16) = x  x  x  16 =  x    x  x    0x Vì ta có lời giải sau: Ta có a  2a  8a  16 =  a    a  2a    0, a b  2b3  8b  16 =  b    b  2b    0b  Tương tự ta có : c  2c  8c  16 =  c    c  2c    0c  Cộng ba BĐT lại với ta : Cho Cho a, b, c >0 a, b, c >0 CMR: CMR: a b  c  a2  b  c   a  b  c  2(a  b3  c3 )  8(a  b  c )  48 b a  c b2   a  c   abc a  b  c  a  b  c a 2 b c c a  b    ab  bc  ca  c2   a  b    3 n i 1 ab  bc  cd  da  CMR: a 10 Cho a, b, c >0 11 Cho a, b, c >0, a  b  c  b  c   b a  c CMR: CMR:  x x1 1   n     x1  xn  x1  xn a3 b3 c3 d3     bc d c d a d a b abc c  a  b  8.Cho n số thực dương thỏa mãn   n CMR: 9.Cho a.b.c.d>0 thỏa 2  a  b  c 1     ab  bc  ca LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 12 Cho a, b, c >0, a  b  c  13 Cho a, b, c >0, a  b  c  CMR:     a  b  c   a b c CMR:     a  b  c   a b c 3 3  3a  b  c    3b  a  c    3c  a  b   375 14 Cho a, b, c >0 CMR: 3 3 11 3a   b  c  3b3   a  c  3c3   a  b  15 Cho a, b, c >0 16 Cho a, b, c CMR: a3 a3  b  c  b3  3 b3   a  c   c3 c3   a  b  1 độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh 1 1 1      a b c abc bca cab 17 Cho CMR: a, b, c, d  a  b  c  d  a2 a 18 Cho  1  b2 b a, b, c >0  1  CMR: c2 c  1  d2 d 2a 2a   b  c  2  1   16 25 2b 2b   a  c   2c 2c   a  b  n 19 Cho n số thực dương thỏa mãn   CMR: i 1 20.Cho a, b, c >0 21.Cho a, b, c CMR: 1 x x1 n   n   x1  xn 2n  a  b  c  CMR: 10  a  b3  c    a5  b5  c   số thực dương cho a2  b2  c  1   1 2 a   a b   b c   c2 22.Cho a, b, c >0 a  b  c  CMR: a  3a   b  3b   c  3c  3 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 23 Cho a, b, c >0, a  b  c  CMR: 1   1  ab  bc  ca 2  b  c  3a    a  c  3b    a  b  3c  24 Cho a, b, c >0 CMR: 2 2 2a   b  c  2b   a  c  2c   a  b   Rõ ràng phương pháp tiếp tuyến phương pháp chứng minh bất đẳng thức rõ ràng, hiệu quả, dễ áp dụng học sinh Giúp học sinh khơng cịn cảm giác “sợ “ gặp toán chứng minh bất đẳng thức, nội dung mà học sinh ln gặp kì thi cấp trung học phổ thông, nội dung mà đa số học sinh gặp vướng mắc việc tìm phương pháp giải Qua phương pháp giúp học sinh thấy từ kiến thức đơn giản, từ hình ảnh trực quan tiếp tuyến đường cong phát tính chất từ tạo hướng sáng tạo toán đẹp phương pháp giải toán hiệu Phương pháp áp dụng cho đối tượng học sinh lớp 12T2 đội tuyển học sinh giỏi khối 12 chuyên đề ‘Một số phương pháp giải tích chứng minh bất đẳng thức” Trong chuyên đề em tự giải lớp toán chứng minh bất đẳng thức bậc kì thi Olympic Quốc tế em có tập tành nghiên cứu khoa học tự sáng tác toán chứng minh bất đẳng thức Mặc dù khơng phải tốn chứng minh bất đẳng thức giải phương pháp giúp em có phương pháp rõ ràng, dễ thực lớp toán chứng minh bất đẳng thức khó quan trọng giúp em thấy xuất xứ toán chứng minh bất đẳng thức em tự sáng tác toán chứng minh bất đẳng thức tạo hứng thú học tập sáng tạo cho em Từ tạo niềm tin học tập cho em, tạo thái độ học tập phải nắm cốt lõi vấn đề, điều giúp em em học sinh giỏi đội LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com tuyển 12 đạt kết tốt kì thi học sinh giỏi tỉnh : giải nhất, giải nhì giải khuyến khích 2.Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để tìm giới hạn dạng vơ định 0 a.Cơ sở lí thuyết : Giả sử hàm số y  f ( x) y  f ( x ) có đạo hàm x0 Ta biết tiếp tuyến đồ thị (C ) : M0   C  giới hạn cát tuyến M0M đồ thị (C ) M dần tới M0 ( M, M0 thuộc đồ thị (C ) ) Và thấy f ' ( x0 )( x  x0 )  f  x0  x  x0 f(x) hai lượng “vơ bé tương đương” b.Thực trạng vấn đề : Trong trình khử dạng vô định m lim x  x0 f ( x)  n g ( x)  x  x0  k ( m, n, k tự nhiên, 0  k  m, n giới hạn dạng ), người ta thường có kĩ thuật xử lí thêm bớt lượng mà hay gọi phương pháp gọi số hạng vắng, ta thường gặp phải vấn đề khử dạng vô định  0 lại gặp phải dạng vô định số hạng vắng số Nguyên nhân dạng vô định 0 mà ta khử sau thêm bớt số vắng, hai lượng vô bé cấp Vấn đề đặt số hạng vắng tìm để thu dạng vơ định 0 mà vô bé tử LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com vô bé mẫu cấp để khử dạng vơ định mà khơng phải gặp tình khử dạng vô định lại gặp dạng vô định khác Phương pháp tiếp tuyến giúp giải vấn đề c.Các bước thực : Giả sử giới hạn đạo hàm x0 m lim l ( x)  n h( x )  x  x0  x  x0 k viết lại lim f ( x )  g ( x) x  x0  x  x0  k ( y  f ( x ) y  g ( x ) có ) Khi ta thực theo bước sau :  Viết phương trình tiếp tuyến hàm số y  f ( x) y  g ( x) x0 , giả sử y  t ( x)  Tính m lim x  x0 l ( x)  n h( x )  x  x0  k  m l ( x)  t ( x) = xlim  x   x  x0  k  t ( x)  n h( x)   k  x  x0   Các ví dụ làm rõ phương pháp : Ví dụ : Tìm giới hạn T= lim x0 x  x  x   x  27 x  27 x3 Lời giải : Đặt f ( x) = y  f ( x) 8x3  x  x  , điểm g ( x) có = x  27 x  27 Phương trình tiếp tuyến hàm số hoành độ  x  x  x   ( x  3) ( x  3)  x  27 x  27    x3 x3   T= lim  x0 y  x3 Khi =   37    = lim   lim  x 0 2 x   f ( x)  x  3  x   x  g ( x )  g x          27    Ví dụ 2: Tìm giới hạn T= lim x cos x  x   x  x x2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lời giải : Đặt f ( x) = cos x  x , g ( x) điểm có hồnh độ T= =4  x2  x y  1 x Phương trình tiếp tuyến hàm số y  f ( x) Khi cos x  x   x  x x2 lim x  cos x  x   x  x    x  x      = lim  x0   x2 x2   x  x3  x   (1   x )   x  2sin x = lim  lim x0 x   f ( x)   (1  x)  x0 x 1  x 3  1  x 2 g ( x)  (1  x)  g ( x) 2   g ( x) 3  2 sin x x2  x     (1   x ) x2 = lim  lim x0   f ( x)   (1  x)  x0 1  x 3  1  x 2 g ( x)  (1  x)  g ( x) 2   g ( x) 3  1  =   1 4 Bài tập rèn luyện 1.Tìm giới hạn lim x0  x   3x x2 ( Đại học Thuỷ Lợi Hà Nội 2001 )  x  x  cos x   x  x   x x2 Tìm giới hạn lim Tìm giới hạn  52 x  x ln 1  x    x lim x0 3x x LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tìm giới hạn x3 lim 1  x  1  x   1  x  1  x2  x0 Phương pháp tiếp tuyến giúp học sinh có phương pháp rõ ràng hiệu việc tìm giới hạn lớp hàm số khơng phải cách mị mẫm giải hệ tìm hàm Chính phần giới hạn hàm số, em học sinh lớp 11T2 năm học 2010-2011 học tập tốt chương giới hạn hàm số, đặc biệt giới hạn mà phải gọi hàm số vắng em thành thạo việc khử dạng vơ định 0 này, em hiểu rõ chất hàm số vắng C.Phần kết luận Trong q trình áp dụng sáng kiến , thân rút kết luận  Phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức dành để vận dụng cho lớp bất đẳng thức bậc với phép chuẩn hố thích hợp để lập biến  Phương pháp tiếp tuyến dành để tìm giới hạn f ( x)  m l ( x ) , g ( x)  k  m, n = ) n h( x ) , giới hạn có dạng vơ định lim x  x0 f ( x )  g ( x)  x  x0  ,( m, n, k k tự nhiên , f ' ( x0 )  g ' ( x0 ) Việc vận dụng phương pháp tiếp tuyến chứng minh bất đẳng thức tìm giới hạn hàm số thật phương pháp giải tốn vơ hiệu việc giải lớp toán chứng minh bất đẳng thức tìm giới hạn hàm số Qua việc vận dụng phương pháp rèn luyện phương pháp tư khoa học, phát LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com triển vấn đề từ vấn đề cuối rèn luyện cách nhìn nhận vấn đề cách sâu sắc từ gốc rễ, không qua loa đại khái, hời hợt bên LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... kiến thức bản, từ hình ảnh trực quan Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức tìm giới hạn hàm số phương pháp rõ ràng dễ áp dụng để giải lớp toán chứng minh bất đẳng thức tìm giới. .. vận dụng phương pháp tiếp tuyến chứng minh bất đẳng thức tìm giới hạn hàm số thật phương pháp giải toán vô hiệu việc giải lớp tốn chứng minh bất đẳng thức tìm giới hạn hàm số Qua việc vận dụng phương. .. muốn tìm hiểu hướng sáng tác toán chứng minh bất đẳng thức giới hạn hàm số B.Phần nội dung 1 .Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức a.Cơ sở lí thuyết : Nếu y  ax  b tiếp tuyến