(SKKN HAY NHẤT) dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức

SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải toán chứng minh bất đẳng thức A ĐẶT VẤN ĐỀ Việc giải tốn cơng việc thường làm em học sinh Phần nhiều em học sinh tìm lời giải tốn, sau qn ngay, khơng suy nghĩ thêm tốn vừa làm, khơng để lại ấn tượng sâu sắc tốn Có số đông em lại không để ý đến tập thầy nhà Chính mà kiến thức em đơn điệu, rời rạc chí hổng nhiều, khơng có bao quát, thiếu chiều sâu Bài toán chứng minh bất đẳng thức tốn khó, lại thường xun xuất kỳ thi tuyển sinh vào Đại học Cao đẳng, thi học sinh giỏi Khi gặp toán thuộc loại này, học sinh thường ngại tìm cách giải, có tâm lí sợ dễ có tư tưởng bỏ qua tốn Bằng kinh nghiệm giảng dạy, rút số nguyên nhân sau dẫn đến em học sinh có tâm lí sợ tốn chứng minh bất đẳng thức: - Học sinh chưa trang bị cách có hệ thống phương pháp dùng để chứng minh bất đẳng thức - Hệ thống tập minh hoạ cho phương pháp chứng minh bất đẳng thức chưa phong phú, chưa đưa em tới nhiều tình - Các tập mà em tiếp cận chưa phản ánh chất dấu hiệu phương pháp chứng minh bất đẳng thức - Khi dạy học sinh tìm lời giải toán chứng minh bất đẳng thức, thầy cô giáo chưa hướng dẫn học sinh hoạt động cách tích cực, chưa phát huy tính tự giác, lực sáng tạo học sinh Trong giai đoạn nay, việc đổi phương pháp dạy học tốn trường phổ thơng trung học chủ yếu theo hướng phát huy cao độ nỗ lực cá nhân học sinh, cá nhân hố việc dạy học, tích cực hố việc hoạt động học tập học sinh Một hoạt động quan trọng học sinh trình giải tốn hoạt động nhận dạng thể hiện, hoạt động phân loại toán, hoạt động tìm tịi suy nghĩ lời giải tốn nhằm nắm vững khái niệm, tính chất, phương pháp, thuật toán Việc rèn luyện giải toán chứng minh bất đẳng thức phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ góp phần phát triển cho học sinh hoạt động nói trên, đặc biệt phát triển lực tìm tịi, suy nghĩ lời giải tốn chứng minh bất đẳng thức mục đích việc giải tốn khơng nắm vững kiểu tốn, chí tập mà rèn luyện khả giải tập nói chung để ứng phó với tình mẻ, khơng phụ thuộc vào khn mẫu có sẵn Vì lí trên, tơi chọn đề tài nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm sau: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải toán chứng minh bất đẳng thức B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải toán chứng minh bất đẳng thức I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ Bất đẳng thức vectơ hệ a) Bất đẳng thức vectơ Với hai vectơ bất kì, ta ln có bất đẳng sau Dấu “=” (I.1) xảy hướng (1) Nếu (1) ( Dấu “=” (I.2) xảy ngược hướng (2) Nếu (2) ( Dấu “=” (II) xảy phương (3) Nếu (3) (Ta quy ước hai tỉ số trên, mẫu tử Trong hai tỉ số đó, chắn có tỉ số có mẫu khác ) Chú ý Hai bất đẳng thức (I.1) (II.2) viết gộp dạng bất đẳng thức kép sau LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải toán chứng minh bất đẳng thức Các bất đẳng thức (I) (II) gọi bất đẳng thức vectơ b) Hệ 1) Với hai vectơ bất kì, ta ln có bất đẳng sau Hai bất đẳng thức (III.1) (III.2) viết gộp dạng bất đẳng thức kép sau Dấu “=” (III.1) xảy ngược hướng Dấu “=” (III.2) xảy hướng 2) Với ba vectơ bất kì, ta ln có bất đẳng sau Dấu “=” (IV) xảy vectơ Nếu 3) Với hướng (4) ( n vectơ bất kì, ta ln có bất đẳng sau Dấu “=” (V) xảy vectơ đôi hướng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải toán chứng minh bất đẳng thức 4) Với hai vectơ bất kì, ta ln có bất đẳng sau ; Dấu “=” (VI.1) xảy ; hướng Dấu “=” (VI.2) xảy ngược hướng Chú ý Việc áp dụng bất đẳng thức (I.1) hay (III.1) tương đương Cũng vậy, việc áp dụng bất đẳng thức (I.2) hay (III.2) tương đương Do thực hành, người ta thường sử dụng bất đẳng thức (I.1) (I.2) Dấu hiệu nhận biết dùng bất đẳng thức vectơ để chứng minh bất đẳng thức Sử dụng bất đẳng thức vectơ phương pháp hay có hiệu để chứng minh bất đẳng thức Các toán chứng minh bất đẳng thức áp dụng phương pháp này, thân bất đẳng thức tiềm ẩn kiện hình học giải tích Các dấu hiệu gợi ý người giải toán dùng bất đẳng thức vectơ: - Các vế bất đẳng thức có chứa bậc hai biểu thức bậc hai tổng bình phương Khi đó, việc dùng bất đẳng thức vectơ giúp ta khử bớt khử bớt ẩn - Các vế bất đẳng thức có liên quan đến tích vơ hướng hai vectơ tích độ dài hai vectơ Để dùng bất đẳng thức vectơ chứng minh bất đẳng thức, ta khéo léo chọn tọa độ vectơ để sau sử dụng bất đẳng thức vectơ vế bất đẳng thức cần chứng minh xuất Cần ý đến trường hợp xảy dấu bất đẳng thức để chọn tọa độ vectơ cho phù hợp II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Tốn học mơn học mà dạy gắn liền g iữa lí thuyết với tập áp dụng Trong chương trình sách giáo khoa, kiến thức tập áp dụng bất đẳng thức vectơ để chứng minh bất đẳng thức khơng có Vì em học sinh lúng túng có tâm lí lo sợ gặp dạng tốn này, dẫn đến việc bỏ qua toán chứng minh bất đẳng thức thường xuất kỳ thi vào Đại học Cao đẳng, thi học sinh giỏi Sử dụng bất đẳng thức vectơ phương pháp hay có hiệu để chứng minh bất đẳng thức, tạo nên độc đáo, ngắn gọn sáng tạo lời giải toán Qua thực tế dạy học, tơi thấy học sinh cịn thiếu kinh nghiệm việc áp dụng bất đẳng thức vectơ để giải tốn nói chung giải tốn chứng minh bất đẳng thức nói riêng Khi sử dụng bất đẳng thức vectơ giải toán chứng minh bất đẳng thức học sinh cịn gặp nhiều khó khăn sau: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải toán chứng minh bất đẳng thức - Đứng trước bất đẳng thức lựa chọn sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải dùng bất đẳng thức vectơ chọn tọa độ vectơ Khó khăn nảy sinh hệ thống tập sách giáo khoa chưa đa dạng, phong phú để khắc sâu phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ chứng minh bất đẳng thức - Việc định hướng đúng, xác định đường lối để giải chọn lựa phương pháp công cụ để giải yêu cầu phát triển trí tuệ cho học sinh Việc rèn luyện giải toán chứng minh bất đẳng thức phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ góp phần phát triển cho học sinh lực tìm tịi suy nghĩ lời giải tốn, mục đích việc giải tốn khơng nắm vững kiểu tốn, chí tập mà rèn luyện khả giải tập nói chung để ứng phó với tình mẻ, khồng phụ thuộc vào khn mẫu có sẵn Các tài liệu viết phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ chưa nhiều, chưa sâu nghiên cứu bài toán chứng minh bất đẳng thức giải phương pháp bất đẳng thức vectơ nên chưa thực thuận lợi cho thầy trò việc dạy học bất đảng thức, chưa xây dựng hệ thống tập đa dạng, phong phú để khắc sâu phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ, để học sinh có hội rèn luyện kĩ giải toán, tạo nên nhạy bén nhiều tình học tập III GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN Việc nghiên cứu toán toán học sơ cấp cách ghép thành nhóm tốn giải phương pháp việc làm cần thiết có ý nghĩa Trên sở lý thuyết tập sách giáo khoa mơn tốn phổ thơng số sách toán khác, người giáo viên kiến thức kinh nghiệm sử dụng phương pháp phân loại toán, vạch khác biệt toán theo kiểu để giúp ích cho học sinh giải tốn Để góp phần nâng cao chất lượng dạy học, áp dụng đề tài lớp 12A3, 12A1 hai năm học 2011-1012, 2012-2013 Khi tiếp cận với chuyên đề này, học sinh học tập hứng thú có hiệu Bằng cách kiểm tra, đối chứng tơi nhận thấy chuyên đề góp phần nâng cao kĩ giải toán cho em học sinh, giúp em nhạy bén việc sử dụng phương pháp vectơ Sau tơi xin trình bày số ví dụ vận dụng Ví dụ Chứng minh với số thực bất kì, ta ln có Tìm để dấu “=” xảy Hướng dẫn giải Ta có LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải toán chứng minh bất đẳng thức Xét hai vectơ Khi đó: Áp dụng bất đẳng thức , ta bất đẳng thức (1) Dấu “=” xảy Chó ý Ngoµi cách chọn hai vectơ chúng theo cách sau hoc nh trên, ta chọn hoc Vớ d Chứng minh với số thực bất kì, ta ln có a) (1) (p q số khơng đồng thời 0) Tìm để đẳng thức xảy b) (2) (a b số; p q số không đồng thời 0) Tìm để đẳng thức xảy Hướng dẫn giải a) Ta có Xét hai vectơ Khi đó: Áp dụng bất đẳng thức , ta bất đẳng thức (1) Dấu “=” xảy b) Ta có LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải toán chứng minh bất đẳng thức Xét hai vectơ Khi đó: Áp dụng bất đẳng thức , ta bất đẳng thức (2) Dấu “=” xảy Ví dụ Cho a b hai số thỏa mãn a – 2b + = Chứng minh (1) Tìm a b để đẳng thức xảy Hướng dẫn giải Từ điều kiện cho rút a = 2b – 2, vào vế trái (1), ta có Xét hai vectơ Áp dụng bất đẳng thức , ta bất đẳng thức (1) Đẳng thức xảy Nhận xét Bài tốn phát biểu cách khác sau: Cho hai điểm A(3; 5), B(5; 7) đường thẳng (d): x – 2y + = Xét điểm M(a; b) thuộc đường thẳng (d) Tìm giá trị nhỏ MA + MB LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải toán chứng minh bất đẳng thức Ta giải tốn theo cách khác: Dễ kiểm tra A B nằm phía (d).Từ ta dùng phép đối xứng qua đường thẳng (phép đối xứng trục) để giải toán sau - Xác định toạ độ điểm A’ điểm đối xứng với A qua (d): A’(5; 1) - Xác định toạ độ điểm M0 giao điểm đường thẳng (d) đường thẳng A’B: M0 - Với M điểm (d), ta có MA + MB = MA’ + MB M0A’+M0B = A’B = Dấu “=” xảy M trùng với M0 Vậy giá trị nhỏ MA + MB M Ví dụ Cho ba số tuỳ ý Chứng minh Hướng dẫn giải Ta có Trong mặt phẳng tọa độ , xét vectơ: Khi đó: Áp dụng bất đẳng thức , ta bất đẳng thức phải chứng minh Ví dụ Chứng minh với số thực , ta có: Hướng dẫn giải Ta có Trong mặt phẳng tọa độ , xét vectơ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải toán chứng minh bất đẳng thức Khi đó: , ta bất đẳng thức phải chứng minh Áp dụng bất đẳng thức (Chú ý dấu khơng xảy ra) Ví dụ Chứng minh với số thực ta có Hướng dẫn giải Trong mặt phẳng tọa độ Áp dụng bất đẳng thức Ví dụ Cho , xét vectơ , ta bất đẳng thức phải chứng minh số thực bất kì, chứng minh rằng: Hướng dẫn giải Ta có Trong mặt phẳng tọa độ Áp dụng bất đẳng thức Ví dụ Cho bốn số thực , xét vectơ , ta bất đẳng thức phải chứng minh tuỳ ý Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải Trong mặt phẳng tọa độ Áp dụng bất đẳng thức Ví dụ Cho bốn số thực , ta bất đẳng thức phải chứng minh tuỳ ý Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải Trong mặt phẳng tọa độ Áp dụng bất đẳng thức , xét vectơ , xét vectơ , ta bất đẳng thức phải chứng minh Ví dụ 10 Chứng minh với giá trị , ta có Tìm để đẳng thức xảy ? Hướng dẫn giải Trong mặt phẳng tọa độ , xét vectơ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải toán chứng minh bất đẳng thức Ta có: Áp dụng bất đẳng thức , ta bất đẳng thức phải chứng minh Dấu “=” xảy khi Ví dụ 11 Cho số thực thay đổi a) Chứng minh rằng: b) Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cơp-xki, tìm giá trị nhỏ Hướng dẫn giải a) Trong mặt phẳng tọa độ , xét vectơ Ta có: , ta bất đẳng thức phải chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Dấu “=” xảy hướng, tức b) Ta có Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cơp-xki, ta có Từ (1) (2) suy Dấu “=” (3) xảy dấu “=” (1) (2) xảy ra, tức Vậy Chú ý Đối với học sinh lớp 12, tìm giá trị nhỏ cách sử dụng đạo hàm sau: đơn giản Đặt Với Lập bảng biến thiên ta suy -10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải tốn chứng minh bất đẳng thức Với Từ hai trường hợp ta có giá trị nhỏ Cũng lập bảng biến thiên hàm số , với Ví dụ 12 Cho số thực dương thoả mãn a) Chứng minh rằng: để thu kết b) Áp dụng bất đẳng thức Dấu “=” xảy ? Hướng dẫn giải a) Trong mặt phẳng tọa độ , chứng minh , xét vectơ Khi đó: Áp dụng bất đẳng thức , ta có bất đẳng thức (1) Dấu “=” (1) xảy hướng, hay: b) Ta có Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có -11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải toán chứng minh bất đẳng thức Dấu “=” xảy Từ giả thiết suy ra: Dấu “=” (4) xảy Từ (1), (3), (4), ta có: Dấu “=” xảy Nhận xét: Ta có cách khác để chứng minh: sau Ta có , với Theo giả thiết Lập bảng biến thiên hàm số , với , ta suy , với Vậy , hay Cũng chứng minh Theo bất đẳng thức Cơ-si, ta có: Từ Từ theo cách sau: , suy -12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải tốn chứng minh bất đẳng thức Hoặc: Ta có với , Ta có: Đến đây, ta chứng minh Ví dụ 13 Cho tương tự việc chứng minh số thực dương Chứng minh Hướng dẫn giải Ta có Trong mặt phẳng tọa độ , xét vectơ Khi Áp dụng bất đẳng thức minh Ví dụ 14 Cho số thực biểu thức , ta bất đẳng thức phải chứng thoả mãn Tìm gia strị nhỏ Hướng dẫn giải Ta có Trong mặt phẳng tọa độ th× , xét vectơ: , -13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải toán chứng minh bất đẳng thức Áp dụng bất đẳng thức , ta Đẳng thức xảy vectơ hướng, tức Với Vậy giá trị nhỏ S Ví dụ 15 Cho số thực dương thoả mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Hướng dẫn giải Trong mặt phẳng tọa độ , xét vectơ Áp dụng bất đẳng thức , ta có Đặt , suy Xét hàm số Ta có: , Từ Suy Vậy Ví dụ 16 Cho minh Đẳng thức xảy số thực dương thỏa mãn Chứng -14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải toán chứng minh bất đẳng thức Dấu “=” xảy ? Hướng dẫn giải Hệ thức giả thiết tương đương với: (chia hai vế cho ) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với Trong mặt phẳng tọa độ , xét vectơ Áp dụng bất đẳng thức minh Dấu “=” xảy , ta bất đẳng thức phải chứng Ví dụ 17 Chứng minh với giá trị Hướng dẫn giải Trong mặt phẳng tọa độ , ta có , xét vectơ Khi đó: Áp dụng bất đẳng thức , ta bất đẳng thức phải chứng minh Ví dụ 18 Chứng minh với số , ta có Dấu “=” xảy ? Hướng dẫn giải Cách Trong mặt phẳng tọa độ , xét vectơ -15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải toán chứng minh bất đẳng thức Áp dụng bất đẳng thức , ta có bất đẳng thức phải chứng minh Cách Trong không gian với hệ tọa tọa độ , xét vectơ Khi đó: Ta có: Ví dụ 19 Giả sử hệ có nghiệm Chứng minh Hướng dẫn giải Trong mặt phẳng tọa độ , xét vectơ Ta có: Từ bất đẳng thức Ví dụ 20 Cho , suy ra: (ĐPCM) số dương thỏa mãn Hướng dẫn giải Trong mặt phẳng tọa độ , xét vectơ Khi đó: Từ bất đẳng thức Chứng minh , suy ra: (ĐPCM) Đẳng thức xảy khi: hướng, tức (Chú ý ) Chứng minh với Bài tập vận dụng , ta ln có: -16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải toán chứng minh bất đẳng thức Chứng minh với , ta ln có: Cho Chứng minh rằng: Cho Cho Chứng minh rằng: thỏa mãn Chứng minh rằng: Tìm giá trị nhỏ hàm số Cho số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Cho Cho ba số số Chøng minh r»ng thỏa mãn điều kiện Chứng minh 10 Tìm nghiệm nguyên dương hệ: IV THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM Mục đích thực nghiệm Mục đích việc thực nghiệm đánh giá tính khả thi, kiểm tra tính đắn giả thuyết khoa học, tính hiệu việc sử dụng phương pháp bất đẳng thức vectơ để giải toán chứng minh bất đẳng thức Nội dung cách thức tiến hành thực nghiệm -17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải toán chứng minh bất đẳng thức Được cho phép Hiệu trưởng trường THPT Vĩnh Lộc, tiến hành dạy buổi cho học sinh lớp 12A3 với nội dung: Sử dụng bất đẳng thức vectơ để chứng minh bất đẳng thức Sau q trình dạy học, tơi tiến hành kiểm tra lớp 12A3 Chọn lớp đối chứng lớp 12A4 trường THPT Vĩnh Lộc Dưới nội dung kiểm tra (thời gian: 60 phút) Bài Chứng minh với giá trị , ta có Bài Tìm giá trị nhỏ hàm số: Bài Cho số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Dụng ý tập trên: Nhằm kiểm tra khả vận dụng bất đẳng thức vectơ giải tốn chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Kết thực nghiệm Trong lớp mà tiến hành dạy thực nghiệm khơng có học sinh giỏi, có khoảng 12 đến 15 em học tương đối khá, lại mức trung bình Bởi vậy, phần lớn em cho phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải toán chứng minh bất đẳng thức tương đối khó Về kiểm tra, tơi chấm kĩ thu kết sau Điểm