Một số phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau trong hình học 7

MỤC LỤC TT 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 2.4 3.1 3.2 NỘI DUNG MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG Cơ sở lý luận Thực trạng đề tài nghiên cứu Giải vấn đề Kết đạt KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận Kiến nghị Trang 2 2 3 3 11 11 11 11 1.MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Như biết, mơn Tốn có vị trí quan trọng chương trình phổ thơng, đời sống, khoa học công nghệ đại Các kiến thức phương pháp tốn học cơng cụ thiết yếu giúp học sinh học tập tốt môn khoa học khác, giúp học sinh hoạt động có hiệu lĩnh vực Mơn tốn có khả to lớn phát triển trí tuệ học sinh thơng qua việc rèn luyện thao tác (phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa ), lực lĩnh hội khái niệm trừu tượng, lực suy luận lơgíc sử dụng ngơn ngữ xác, đồng thời rèn luyện phẩm chất trí tuệ linh hoạt, độc lập, sáng tạo v.v Tuy nhiên, từ thực tế cơng tác giảng dạy trường THCS Hoằng Thanh - Hoằng Hóa, tơi nhận thấy nhiều học sinh học toán kém, bên cạnh học sinh lười học khơng nắm kiến thức , cịn có nhiều học sinh chịu khó học thuộc không làm làm sai tập Nguyên nhân em không chịu đề cập tốn theo nhiều cách khác nhau, khơng chịu nghiên cứu khảo sát kĩ chi tiết kết hợp chi tiết theo nhiều cách khác, không sử dụng hết kiện tốn; khơng biết vận dụng chưa thành thạo phương pháp suy luận giải tốn, khơng biết sử dụng tập giải áp dụng phương pháp giải cách máy móc thiếu linh hoạt; khơng chịu suy nghĩ tìm cách giải khác cho tốn mở rộng lời giải tìm cho tốn khác bị hạn chế việc rèn luyện lực giải tốn 1.2 Mục đích nghiên cứu : Năm học 2017 – 2018 Ban giám hiệu nhà trường phân cơng giảng dạy mơn có mơn Tốn lớp Đứng trước thực trạng học sinh tiến hành áp dụng đề tài mơn Tốn lớp phần Hình học, mục đích từ đề tài giúp học sinh định hình tổng hợp kiến thức học Đồng thời liên hệ với kiến thức mới, theo hướng vừa học vừa ôn, điều thơi thúc tơi mạnh dạn áp dụng đề tài: " Một số phương pháp chứng minh đoạn thẳng Hình học 7" 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Khả tư học sinh có nhiều hạn chế, mơn khoa học tự nhiên nói chung, mơn Tốn nói riêng cụ thể phần Hình học, học sinh khó tổng hợp kiến thức.Vì vậy, qua việc chứng minh hai đoạn thẳng nhau, sử dụng rộng rãi việc giải tốn tốn hình học thuộc chương trình THCS giúp học sinh có phương pháp định hình cụ thể từ nâng cao hiệu học tập , rèn luyện thao tác phân tích, trừu tượng hóa, tổng hợp hóa, phẩm chất trí tuệ người 1.4 Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp thu thập xử lí thơng tin - Phương pháp thống kê xử lí số liệu - Phương pháp xây dựng sở lí thuyết NỘI DUNG 2.1.Cơ sở lý luận : Việc sử dụng phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng áp dụng rộng rãi việc so sánh hai đoạn thẳng, chứng minh trung điểm đoạn thẳng, chứng minh đường trung tuyến tam giác, chứng minh tia phân giác góc, chứng minh hai tam giác nhau, tam giác cân, tam giác đều, chứng minh tứ giác hình bình hành, chứng minh đường trung bình tam giác, chứng minh điểm nội tiếp đường tròn,… 2.2.Thực trạng đề tài nghiên cứu : 2.2.1.Thuận lợi : Việc chứng minh hai đoạn thẳng nhau, sử dụng rộng rãi việc giải tốn tốn hình học thuộc chương trình THCS Trong thực tế học sinh đơn vị công tác, việc tổng hợp kiến thức chậm, nên việc tổng hợp vấn đề lớn khó khăn, nên vận dụng đề tài học sinh có định hình cụ thể từ phát triển q trình học tập rèn luyện học sinh 2.2.2 Khó khăn : Các phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng xếp chương trình nằm rải rác mơn tốn từ lớp đến lớp 9, song lớp phần chiếm tỉ lệ nhiều Việc kiểm tra đánh giá phần kiểm tra chưa đầy đủ, để giải tốn hình cịn phải sử dụng kiến thức nhiều phần khác, nên việc đánh giá mang tính chất tương đối Đồng thời người giáo viên phải tổng hợp vấn đề nhiều năm Nhưng việc phân công chuyên mơn cịn tuỳ thuộc vào số lớp tổng số giáo viên nhà trường, nên việc giảng dạy lớp từ lớp đến lớp thực liên tiếp 2.2.3 Kết thực trạng : Bản thân năm học 2017 -2018 trực tiếp giảng dạy áp dung sáng kiến vào lớp 7C Còn lớp 7A, 7B, 7D không áp dụng sáng kiến Chất lượng đầu năm mơn Tốn học sinh lớp sau: STT Lớp Loại TB SL % 23 56.1 24 58.6 23 53.5 70 56 19 46.4 Sĩ Giỏi Khá Yếu Kém số SL % SL % SL % SL % 7A 41 04 9.8 12 29.3 02 4.8 0 7B 41 03 7.3 11 26.8 03 7.3 0 7D 43 04 9.3 14 32.6 02 4.6 0 Cộng 125 11 8.8 37 29.6 07 5.6 0 7C 41 02 4.9 14 34.1 06 14.6 0 2.3 Giải vấn đề 2.3.1.cơ sở lý luận : Việc sử dụng phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng áp dụng rộng rãi việc so sánh hai đoạn thẳng, chứng minh trung điểm đoạn thẳng, chứng minh đường trung tuyến tam giác, chứng minh tia phân giác góc, chứng minh hai tam giác nhau, tam giác cân, tam giác đều, chứng minh tứ giác hình bình hành, chứng minh đường trung bình tam giác, chứng minh điểm nội tiếp đường tròn,… 2.3.2.Các phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng chương trình mơn Tốn THCS phần Hình học : 1) Sử dụng hai đoạn thẳng có số đo 2) Sử dụng định nghĩa trung điểm đoạn thẳng, định nghĩa đường trung tuyến tam giác, định nghĩa đường trung trực đoạn thẳng 3)Sử dụng tính chất tia phân giác góc, tính chất đường trung trực đoạn thẳng 4) Sử dụng đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vng, tính chất cạnh đối diện với góc 300 tam giác vng 5) Sử dụng tính chất trọng tâm, tính chất giao điểm ba đường phân giác tam giác, tính chất giao ba đường trung trực tam giác 6) Sử dụng đoạn thẳng thứ ba làm trung gian 7) Sử dụng hai tam giác 8) Sử dụng tính chất tam giác cân 9) Sử dụng tính chất tam giác 10) Sử dụng định lý đường trung bình tam giác ( thuận đảo) 11) Sử dụng đoạn thẳng cho trước biến đổi 12) Sử dụng đoạn thẳng đường tròn 13) Sử dụng đoạn thẳng định lý Ta lét 14) Chứng minh phản chứng 15) Sử dụng định lý đường thẳng qua trung điểm cạnh bên hình thang song song với đáy qua trung điểm cạnh bên đường chéo 16) Sử dụng bình phương chúng nhau( sử dụng định lý Py- ta -go, tam giác đồng dạng, hệ thức lượng tam giác, đường trịn để đưa bình phương chúng nhau) 2.3.3 Các phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng chương trình mơn Tốn phần Hình học : 1) Sử dụng hai đoạn thẳng có số đo 2) Sử dụng hai đoạn thẳng đoạn thẳng thứ ba 3) Sử dụng tính chất đường trung trực đoạn thẳng 4) Sử dụng hai tam giác 5) Sử dụng tính chất ba đường trung trực tam giác 6) Sử dụng tính chất ba đường trung tuyến tam giác 7) Sử dụng tính chất tia phân giác góc, tính chất ba đường phân giác tam giác 8) Sử dụng định nghĩa tam giác đều, tam giác cân 9) Sử dụng đoạn thẳng cho trước biến đổi 10) Chứng minh phản chứng 11) Sử dụng bình phương chúng 2.3.4 Các toán minh hoạ sử dụng phương pháp chứng minh hai đoạn Bthẳng chương trình mơn Tốn phần Hình học : Bài tốn 1: Chứng minh tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền Chứng minh N E Kẻ NE đường trung trực AB Nối EA => EB =EA A C Và  B =  A1 (Vì tam giác BEA cân E) Mặt khác  B +  C = 900 (vì  A = v)  A1 +  A2 = 900 =>  A2=  C hay  EAC cân E => EA = EC Vậy AE = BC Bài toán 2: Cho tam giác ABC (AB AC) tia Ax qua trung điểm M BC Kẻ BE CF vng góc với Ax (E , F thuộc Ax) So sánh BE CF A GT  ABC : AB AC MB = MC BE  Ax ; CF  Ax F KL BE ? CF C M B E x Chứng minh Xét  FCM  BEM có:  F =  E=900( BE  Ax ; CF  Ax (GT) ) MB = MC (GT) ;  M1=  M2 ( hai góc đối đỉnh ) =>  FCM =  BEM (cạnh huyền, góc nhọn) Vậy BE = CF Bài 3: Cho góc nhọn xOy Ta dựng phía ngồi góc xOy tia Ox’ vng góc với Ox Oy’ vng góc với Oy Lấy điểm A Ox lấy điểm C Oy Sau lấy Ox’ điểm B Oy’ điểm D cho OA = OB OD = OC Chứng minh AD = BC y' GT  xOy < 90 ; Ox'  Ox ; Oy '  Oy OB OA ; OD OC KL AD  BC D y C O x A B x' Chứng minh: Ta có:  AOD 90   xOy     AOD BOC  BOC 90   xOy  OA OB    AOD  BOC   AOD BOC (c  g  c)  AD  BC (cạnh tương ứng)  OD OC  Bài toán 4: Cho tam giác ABC , chứng minh hai đường phân giác hai góc ngồi BA C đường phân giác góc A qua điểm E B Chứng minh Gọi K giao điểm hai đường phân giác B C Kẻ BD  AB, KE  BC ,KF  AC K thuộc tia phân giác  CBD => KD =KE(1) K thuộc tia phân giác  BCF => KE = KF(2) Từ (1), (2) : KD = KF Vậy K thuộc tia phân giác  BAC C F A K Bài toán 5: Cho tam giác ABC có  A= 900 ,  B= 300 Chứng minh AB AC = B  ABC :  A= 900  B = 300 KL AC = AB GT 30 D A C Chứng minh Trên tia tia AC lấy D cho AD = AC  ABD =  ABC (c.g.c) => BD = BC Nên  BCD cân B, Mà  C= 900 -  B =900- 300= 600 =>  BCD tam giác =>BC = DC =2AC Vậy AC = AB Bài tốn 6: Cho hình bên có OA = OB ,  OAC =  OBD Chứng minh AD = BC D A GT OA = OB ,  OAC =  OBD KL AD = BC Chứng minh  AOC =  BOD (g.c.g) => OD = OC B mà OA = OB nên OD- OA= OC- OB C Hay AD = BC Bài 7: Cho tam giác ABC Gọi E trung điểm cạnh AC Đường thẳng qua E song song với cạnh BC, cắt cạnh AB điểm F; đường thẳng qua E O song song với cạnh AB cắt cạnh BC điểm D Chứng minh F trung điểm AB D trung điểm BC A GT KL EA = EC, FE // AB, FD // AB FA = FB; DB = DC F B E C D Chứng minh: Ta có: EF // BC  Eˆ1 Cˆ (đồng vị) (1) ED // AB  Eˆ  Aˆ (đồng vị) (2) E trung điểm AC nên EA = EC (3) Từ (1) (2) (3) suy FAE DEC ( g  c  g )  FA = DE (4) Ta có: ˆ (so le trong)  EF // BC  Fˆ1 D  ˆ ED // AB  Fˆ2 D (so le trong)   FBD DEF ( g  c  g )  FB  DE (5)  FD chung  Từ (4) (5) suy FA = FB Điểm F  AB mà FA = FB suy F trung điểm AB Chứng minh tương tự, ta có điểm D trung điểm cạnh BC Bài 8: Cho tam giác ABC vuông A, kẻ đường cao AH Từ H kẻ HD  AB HE  AC Chứng minh: DE = AH, KA = KH, KD = KE Â= 900, AH  BC A GT HD  AB, HE  AC E KL DE = AH, KA = KH K KD = KE D C B H Chứng minh: Hai tam giác vuông DAE EHD có cạnh huyền DE chung hai góc ADE, HED (so le trong, AD // EH) Cho ta AE = DH AD = EH Hai tam giác vuông ADH EHD có AD = EH DH chung nên chúng nhau, cho ta AH = DE Ta có Aˆ1  Hˆ (so le trong) Eˆ  Dˆ (so le trong) AD = EH (chứng minh trên) Suy AKD HKE  KA  KH KD  KE Bài 9: Cho tam giác ABC Trên cạnh BC có điểm D cho 1 BD  BC Trên cạnh AB có điểm E cho AE  AB cạnh AC có 3 điểm F cho CF  AC Chứng minh  DEF tam giác  ABC 1 GT BD  BC , AE  AB , CF  AC 3  DEF KL A E F B D C Chứng minh: 1 Ta có: BD  BC , AE  AB , CF  AC mà  ABC nên ta có ba cạnh 3 AB  AC  BC (1) nhau: Suy ra: BD  AE CF (2) Mặt khác ta lại có: AF  AC  CF CD  BC  BD BE  AB  AE Kết hợp với (1) (2) ta suy ra: AF CD  BE Xét tam giác AEF, BDE, CFD ta thấy: BD  AE CF AF CD  BE Aˆ  Bˆ Cˆ Nên chúng (trường hợp c – g – c)  AEF BDE CFD EF  DF  ED Tam giác DEF có ba cạnh nên tam giác Bài 10: Cho  ABC cân A, D trung điểm BC Gọi E F chân đường vng góc kẻ từ D đến AB AC Chứng minh DE = DF  ABC cân A D trung điểm BC A GT E F chân đường vng góc kẻ từ D đến AB AC KL DE = DF E Chứng minh: Cách (Đa số học sinh thường sử dụng)  ABC cân A nên Bˆ Cˆ B F D C Xét hai tam giác vuông BDE CDF DB CD (gt)    BDE =  CDF (cạnh huyền góc nhọn) ˆ Cˆ B  Có  DE = DF (cạnh tương ứng) Cách  ABC cân A nên đường trung tuyến AD đường phân giác Theo tính chất tia phân giác góc, D thuộc tia phân giác góc A nên cách hai cạnh góc đó, DE = DF Bài tốn 11: Cho A a, kẽ AH  a hai đường xiên AB, AC kẻ từ A đến đường thẳng a, cho H nằm B C AB = AC Chứng minh HB = HC Chứng minh Áp dụng định lý Pi ta go vào tam giác vuông HAB BAC: A AH2 = AB2 - BH2 = AC2 - CH2 Mà AB = AC (GT) => AB2 = AC2 Nên BH2 = CH2 Vậy HB = HC d B H C Bài 12: Cho tam giác ABC vng A Các tia phân giác góc B C cắt I Gọi D E chân đường vng góc kẻ từ I đến AB AC Chứng minh AD = AE  ABC vng A Phân A GT giác góc B C cắt I D E E chân đường vng góc kẻ từ I D đến AB AC I KL AE = AD B C Chứng minh: Cách AI phân giác góc A nên ID = IE (1) Các tam giác vng ADI, AEI có  DAI  EAI 450 nên tam giác vng cân, AD = ID, AE = IE (2) Từ (1) (2) suy AD = AE Cách (học sinh thường sử dụng) AI phân giác góc A nên ID = IE Suy hai tam giác vuông ADI AEI (cạnh huyền cạnh góc vng) Suy AD = AE Cách AI phân giác góc A nên ID = IE  ID  IE (1) Xét hai tam giác vuông ADI AEI có AE  AI  EI ; AD  AI  DI (Pitago) (2) Từ (1) (2)  AE  AD  AE  AD Bài 13: Cho góc xOy, điểm A nằm góc xOy Vẽ điểm B cho Ox trung trực AB Vẽ điểm C cho Oy trung trực AC Chứng minh : OB = OC GT Oy trung trực AB Ox trung trực AC KL OB = OC x C A y O B Chứng minh: Oy đường trung trực AB  OA = OB (1) Ox đường trung trực AC  OA = OC (2) Từ (1) (2)  OB = OC Bài 14: Cho tam giác ABC cân A, đường trung tuyến AM Đường trung trực AC cắt đường thẳng AM D Chứng minh DA = DB A GT Tam giác ABC cân A Trung tuyến AM Trung trực AC cắt AM D D KL DA = DB B M C Chứng minh: Tam giác ABC cân A, AM trung tuyến nên AM đường trung trực BC D giao điểm đường trung trực BC AC nên D thuộc đường trung trực AB Vậy DA = DB *)Những giải pháp : Việc chứng minh hai đoạn thẳng hình thành từ Tốn lớp phần Hình học, sau học xong tiết 8: Độ dài đoạn thẳng Học sinhngoài việc chốt kiến thức củng cố thêm trường hợp so sánh hai đoạn thẳng Tốn phần Hình học : Tiết 4: Hai đường thẳng vng góc (Tiết 4) Hình thành kiến thức :đường trung trực đoạn thẳng Tiết 20: Hai tam giác Chốt vấn đề hai tam giác suy hai cạnh tương ứng 10 Tiết 35: Tam giác cân Hình thành cạnh bên nhau; ba cạnh tam giác Tiết 55: Tính chất ba đường trung tuyến tam giác Hình thành trung tuyến tam giác qua trung điểm cạnh đối diện, tam giác ba đường trung tuyến qua điểm cách đỉnh hai phần ba độ dài đường trung tuyến Tiết 57: Tính chất tia phân giác góc(Tiết 1) Hình thành kiến thức điểm thuộc tia phân giác cách hai cạnh góc Tiết 60: Tính chất ba đường phân giác tam giác Hình thành giao điểm ba đường phân giác tam giác cách ba cạnh tam giác Tiết 62: Tính chất đường trung trực đoạn thẳng Hình thành điểm nằm đường trung trực cách hai đầu mút đoạn thẳng Tiết 64: Tính chất ba đường trung trực tam giác Giao điểm cách ba đỉnh tam giác Như với hình thức vừa học vừa ơn tập, học sinh học xong tiết 64 phần Hình học 7, học sinh biết sử dụng thành thạo 11 phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng 2.4.Kết đạt : Lớp 7C sử dụng sáng kiến cịn 7A, 7B, 7D thực bình thường Kết kiểm tra phần chứng minh hai đoạn thẳng sau: Loại STT Lớp Sĩ Giỏi Khá TB Yếu Kém số SL % SL % SL % SL % SL % 7A 41 05 12.2 14 34.2 20 48.8 02 4.8 0 7B 41 03 7.3 12 29.3 22 53., 04 9.7 0 7D 43 06 14 14 32.6 21 48.8 02 4.6 0 Cộng 125 14 11.2 40 32 63 50.4 08 6.4 0 7C 41 08 19.5 16 39 15 36.6 02 4.9 0 KẾT LUẬN 3.1 Kết luận: Việc hình thành phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng thực lớp, mà nằm rải rác lớp chương trình mơn Tốn THCS phần Hình học Để giúp học sinh ôn tập tốt, người giáo viên cần định hình trước cơng việc q trình dạy mơn Tốn phần hình học Trong q trình dạy học cần tổng hợp phương pháp chứng minh, rèn luyện kỹ phân tích tổng hợp cho học sinh Có việc ơn tập kiến thức Tốn dễ dàng cho học sinh học sinh vận dụng tốt kiến thức học để giải tốn Hình học 3.2 Kiến nghị: Qua q trình giảng dạy để giúp em học sinh có chất lượng học tập tốt tơi có vài đề xuất sau: 11 - Các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ nhà trường có đủ sở vật chất cho giáo viên giảng dạy sinh hoạt chuyên môn - Chuyên môn nhà trường cần tổ chức sinh hoạt chuyên môn thường xuyên trao đổi để tìm phương pháp dạy học có hiệu tổ chức dạy mẫu áp dụng phương pháp - Cần tạo điều kiện, thời gian để giáo viên có điều kiện tham khảo tài liệu - Giáo viên cần học hỏi đồng nghiệp giúp đỡ đồng nghiệp để thân đồng nghiệp tiến vững vàng chuyên môn - Phụ huynh cần quan tâm đến việc học tập em đặc biệt tạo điều kiện để em có thật nhiều thời gian tự học nhà - Giáo viên chủ nhiệm cần phối kết hợp tốt với nhà trường phụ huynh việc giáo dục đạo đức cho học sinh giúp em định hướng việc học Đây sáng kiến tôi, đúc kết qua thực tế giảng dạy Thời gian nghiên cứu cịn eo hẹp nên chắn cịn nhiều sai sót Rất mong quan tâm góp ý cấp lãnh đạo, chuyên môn nhà trường đồng nghiệp bạn độc giả quan tâm để tơi rút kinh nghiệm hồn thành tốt năm học sau.Tôi xin trân trọng cảm ơn ! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 18 tháng năm 2018 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Đỗ Thị Nguyệt Hồng 12 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Đỗ Thị Nguyệt Hồng Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Hoằng Thanh TT Tên đề tài SKKN Một số phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Một vài kinh nghiệm khắc phục sai lầm cho học sinh giải toán đại số Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Ngành giáo dục cấp huyện Ngành giáo dục cấp huyện Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) B B Năm học đánh giá xếp loại 2012-2013 2013-2014 13 ... chứng minh hai đoạn thẳng áp dụng rộng rãi việc so sánh hai đoạn thẳng, chứng minh trung điểm đoạn thẳng, chứng minh đường trung tuyến tam giác, chứng minh tia phân giác góc, chứng minh hai tam... chứng minh hai đoạn thẳng áp dụng rộng rãi việc so sánh hai đoạn thẳng, chứng minh trung điểm đoạn thẳng, chứng minh đường trung tuyến tam giác, chứng minh tia phân giác góc, chứng minh hai tam... hình thức vừa học vừa ơn tập, học sinh học xong tiết 64 phần Hình học 7, học sinh biết sử dụng thành thạo 11 phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng 2.4.Kết đạt : Lớp 7C sử dụng sáng kiến 7A, 7B,