SKKN Một số phương pháp chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau.DOC

Th viện SKKN của Quang Hiệu http://quanghieu030778.violet.vn/ Phần I : mở đầu ********** I - Lý do chọn đề tài: Toán học là nền tảng của các môn khoa học tự nhiên. Nó chiếm một vai trò quan trọng trong các trờng học và các lĩnh vực khoa học. Đất nớc ta đã và đang bớc vào kỷ nguyên của khoa học và thông tin đòi hỏi mỗi chúng ta đều phải đầu t suy nghĩ để tìm ra những giải pháp tốt nhất giúp các tài năng tơng lai của đất nớc mang lại ánh sáng trí tuệ để xây dựng một đất nớc phồn vinh theo kịp tốc độ phát triển nh vũ bảo cuả thời đại. Toán học là môn khoa học có từ lâu đời, nó nghiên cứu rất nhiều thể loại, đa dạng và phong phú. Trong đó Hình học là một bộ phận quan trọng của toán học. Hình học là một phân môn tơng đối khó đối với phần lớn học sinh. Thực tế cho thấy: Đứng trớc một bài toán chứng minh các quan hệ hình học, nhiều học sinh không biết bắt đầu từ đâu và giải quyết vấn đề này nh thế nào. Theo nh lời nhiều học sinh: Hình học quả thật là "Xơng". Trong những năm đầu mới vào nghề, do cha có kinh nghiệm nên tôi chỉ cố gắng dạy đúng, đủ sách giáo khoa mà cha biết thông qua các bài tập khác. Nhng rồi, phần do sự cố gắng của bản thân, phần do học hỏi các đồng nghiệp nên tôi đã có kinh nghiệm hơn, tôi đã mạnh dạn hệ thống một số cách chứng minh các quan hệ hình học (Trong từng phần) để giúp học sinh thuận lợi hơn trong việc giải quyết các bài toán chứng minh hình học. Sau đây tôi sẽ trình bày Một số phơng pháp chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau. Việc chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau là vô cùng cần thiết. Bởi vì chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau không chỉ đơn thuần là để 2 đoạn thẳng đó bằng nhau mà có đợc 2 đoạn thẳng bằng nhau còn giúp ta suy ra nhiều quan hệ khác. Ví dụ cân, đều, hình thoi, hình vuông và ngợc lại chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau có quan hệ chặt chẽ với các quan hệ hình học khác. Nghĩa là thông qua 1 bài tập chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau ngời giáo viên có thể giúp học sinh hiểu sau, nhớ lâu, nắm chắc kiến thức đã học. Đó cũng là một trong những lý do khiến tôi chọn đề tài này. II - Phạm vi nghiên cứu: 1. Đối tợng: Học sinh đại trà khối 7- 8 - 9. 2. Giới hạn kiến thức: Chơng trình hình học THCS. 3. Tài liệu sử dụng và tham khảo: 1. SGK - SBT, sách ôn tập 2. Hình học cho tuổi trẻ (Tập 1,2, 3,4) 3. Một số vấn đề phát triển hình học các khối - Toán nâng cao và các chuyên đề hình học các khối. - Toán bồi dỡng hình học các khối. 4. Tuyển chọn những bài toán hay và khó hình học (Các khối) 5. 235. Bài toán hình học chọn lọc. 6. Báo toán học và tuổi trẻ các số. Phần II: Nội dung ******* A. Một số ph ơng pháp chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau 1. Hai đoạn thẳng có cùng số đo: - Hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thứ 3. - Hai đoạn thẳng cùng bằng tổng (hiệu) của 2 đoạn thẳng bằng nhau từng đôi một. 2. Hai cạnh tơng ứng của 2 bằng nhau. 3. Các cạnh bên của: - Tam giác cân ( Cạnh đều). 1 - Hình thang cân. - Hai cạnh đối của: hình bình hành, chữ nhật, thoi, vuông - Hai đờng chéo của hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông 4. Sử dụng định nghĩa, tính chất của: - Trung điểm, trung trực đoạn thẳng. - Trung tuyến, trung bình, trung trực trong tam giác. - Đờng chéo hình bình hành, hình chữ nhật, thoi, vuông - 2 điểm, 2 đoạn thẳng đối xứng qua 1 điểm, 1 trục 5. Dùng phơng pháp diện tích: - Cặp cạnh đáy của 2 tam giác (2 hình bình hành) có cùng diện tích và cạnh đáy tơng ứng bằng nhau. - Cặp đờng cao của 2 tam giác (2 hình bình hành) có cùng diện tích và cạnh đáy tơng ứng bằng nhau. 6. Dùng định lý Talét - Phơng pháp tam giác đồng dạng. 7. Dùng tính chất của đờng kính vuông góc với 1 dây. 8.Dùng định lý: - Dây cung và khoảng cách đến tâm. - 2 dây cách đều tâm của 1 đờng tròn. - Liên hệ giữa cung và dây cùng: + Hai dây trơng 2 cung bằng nhau trong một đờng tròn. + Hai tính chất đờng nối tâm của 2 đờng tròn cắt nhau. 9. Dùng tính chất của: - 2 tiếp tuyến xuất phát từ 1 điểm đến 1 đờng tròn. - Đờng nối tâm của 2 đờng tròn cắt nhau. Tuy nhiên việc phân chia rõ ràng bài tập này giải phơng pháp 1, bài toán kia giải bằng phơng pháp 2 là điều nhiều khi không thể giải quyết đợc. Bởi vì để giải quyết 1 bài tập hình học, học sinh phải vận dụng rất nhiều kiến thức, kết hợp nhiều ph ơng pháp một cách linh hoạt, sáng tạo. Cũng có nhiểu bài toán lại có thể giải bằng nhiều cách khác nhau. Nói chung hình học cũng rất đa dạng và phong phú. Ta hãy bắt đầu bằng những ví dụ đơn giản. B - Các ví dụ: 1. Bài 1: Cho góc xoy tìm tia Ox lấy 2 điểm A và C. Trên tia Oy lấy 2 điểm B và D sao cho OA = OB; OC = OD. Gọi I là giao điểm của 2 đoạn thẳng BC; AD. Chứng minh rằng: a/ BC = AD b/ IA = IB; IC = ID. H ớng dẫn: Có thể đa việc chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau về việc chứng minh 2 bằng nhau không ? a/ OBC và OAD (chứa cạnh BC và AD) Có bằng nhau không? Tại sao? b/ nào chứa cạnh IA? nào chứa cạnh IB ? 2 đó có bằng nhau không? Vì sao? Giải (Tóm tắt): a. OBC = OAD (c.g.c) => BC = AD. b. Từ (gt) => AC = BD. Từ (a) => C = D; DAC = CBD. Suy ra IAC = IBD (g.c.g) => IA = IB IC = ID. Nhận xét: Ta đã đa việc chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau về việc chứng minh 2 bằng nhau. 2. Bài 2: Cho ABC là đờng cao, AM là trung tuyến. Trên tia đối của HA lấy E sao cho HE = HA. Trên tia đối của MA lấy I sao cho MI = MA.Nối B với E; C với I. Chứng minh rằng : BE = CI. H ớng dẫn: BHE (chứa BE) và MCI (chứa CI) có bằng nhau không? - Đoạn BE bằng đoạn nào? Tại sao? - Đoạn AB có bằng CI không? 2 B A H M E I O D C x I A y B Hãy chứng minh điều đó. Giải (tóm tắt): BH là đờng trung trực của AE => BA = BE (1) AMB = IMC (c.g.c) => AB = IC (2) Từ (1), (2) => BE = IC. Vận dụng tính chất đờng trung bình của . 3. Bài 3 : Cho hình thang ABCD, đờng phân giác của góc D cắt AB tại M CMR: AM = AD. H ớng dẫn: Em có nhận xét gì về ADM? (cân) Hãy chứng minh điều đó? Giải (tóm tắt): D1 = M1 (so le trong) D1 = D2 ( DM là phân giác D) => D1 = M1 => ADM cân tại A => AD = AM. Nhận xét: Đa việc chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau về việc chứng minh cân. Bài 12/82 SGK hình 8. 4. Bài 4: Cho hình thang ABCD (AB//CD). a. Đờng thẳng // với đáy cắt cạnh bên AD ở I, cắt đờng chéo DB ở K, cắt chéo AC ở L, cắt cạnh bên BC ở M. CMR: IK = LM. b. Đờng thẳng đi qua giao điểm O của 2 đờng chéo và // với 2 đáy cắt cạnh bên ở E và F. CMR: OE = OF. H ớng dẫn: Bài có nhiều đoạn thẳng // giúp ta liên hệ với định lý Talét. Em vận dụng trong những tam giác nào để có tỷ số trung gian? Giải (tóm tắt): a. Trong ABD theo định lý Talét có: IK/AB = ID/DA (1) Tơng tự trong ABC có: LM/AB = CM/CB (2) Ta có DI /DA = CM / CN B Nên từ (1) và (2) => IK/AB = LM/AB => IK = LM. b. Tơng tự trong ACD và BDC Nhận xét: Khi vận dụng định lý Talét cần chú ý đến các đoạn thẳng song song nhằm làm xuất hiện các đoạn thẳng tỷ lệ. Để chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau ta chứng minh 2 tỷ số bằng nhau. 5. Bài 5: 3 C M A D C B A D C B F Gọi M và N là trung điểm các cạnh AB, BC của hình vuông ABCD. Đoạn thẳng CM và DN cắt nhau ở P. CMR: AP = AB. * Tìm tòi cách giải: - Ngay từ khi vẽ hình ta đã nhận thấy AB và AP không phải là 2 cạnh tơng ứng của 2 bằng nhau nào. Có thể thay đoạn AB bằng đoạn nào? AD bằng AP khi APD có gì đặc biệt. * Phân tích bài toán: - Trong hình vẽ đã có cặp nào bằng nhau? (BCM = CDN c.g.c) => C = D => CM DN. - M là trung điểm của AB (gt) và ta chứng minh đợc CM DN. Vậy nếu gọi I là trung điểm của CD thì AI có vuông góc với NẫI DUNG không? (có) vì sao? Nh vậy nếu ta chứng minh đợc PK = KD thì APD cân tại A và AP = AD mà AD = AB => bài toán giải quyết xong. * Mấu chốt của bài toán là chọn đoạn trung gian (AD) thích hợp và vận dụng linh hoạt các kiến thức trên cơ sở giả thiết của bài toán. Giải (tóm tắt): BCM = CDN (c.g.c) => C1 = D1. Mà C1 = C2 = C = 1V => D1 + C2 = 1V => CM DN tại P. Gọi I là trung điểm của CD, AI, tại K, dễ dàng chứng minh đợc CMAI là hình bình hành => CM//AI => AI . CDP có CI = ID (Cách dựng) => PK = KD. IK // CP (cmt) API có AK vừa là đờng trung tuyến vừa là đờng cao (cmt) => APD cân tại A => AP = AD Mà AD = BP (t/c hv) 6. Bài 6: Trên các cạnh AB và AC của ABC, ngời ta lấy theo thứ tự các điểm D và E sao cho BD = CE. Gọi M và N lần lợt là trung điểm của BC và DE. Đờng thẳng cắt AB và AC ở P và Q. CM: AP = AQ. Tìm tòi cách giải: * Nhìn vào hình vẽ ta có hớng giải quyết ngay đó là AP = AQ khi APQ cân tại A. * Bài cho nhiều trung điểm, khiến ta liên hệ tới đờng thiết bị của => Nối BE đợc 2 BED và BEC có 2 cạnh đáy BD = EC. * Gọi I là trung điểm của BE => IN, IM lần lợt là TB của BED và BEC => IN//BD ; IM//CE và IN = IM => IMN cân tại I. Vì IN //BA; IM//CA nên dễ dàng CM đợc APQ = INM và AQP = IMN => APQ cân tại A => Bài toán giải quyết xong. Giải (tóm tắt): Nối BE, gọi I là trung điểm của BE. => IN, IM lần lợt là đờng trung bình của BED và BEC => IM//AC; IN//AB và IM = IN (= 1/2 BD hoặc CE) => IMN cân tại I => IMN = INM. Mặt khác IMN = AQP và INM = APQ (đồng vị). Nên AQP = APQ => APQ cân tại A => AP = AQ (đpcm). 7. Bài 7: 4 => AP = AB (đpcm) Cho 2 đờng tròn (O) và (O ) cắt nhau ở A và B. Qua A vẽ cát tuyến chung CAD và EAG ( C, E thuộc (O); D, G thuộc (O ) sao cho AB là p/g của CAG. Chứng minh rằng : CD = EG. Cách 1: Có thể đa việc chứng minh 2 đoạn thẳng CD và EG bằng nhau về việc chứng minh 2 bằng nhau không? Đó là 2 tam giác nào ?( CBD và EBG) - 2 này đã có những yếu tố nào bằng nhau? Còn cần thêm yếu tố nào? * Nh vậy nếu ta chứng minh đợc BD = BG thì bài toán giải quyết xong (H1). Giải (tóm tắt): CBD và EBG có BDC = BGE, C = E => CBD = EBG. Lại có: BDG = BAG ( 2 góc nh trên cùng chắn cung BG) BGD = BAC ( cùng bù với BAD) mà BAG = BAC (gt) => BDG = BGD => BG = BD. Vậy CBD = EBG (g.c.g) => CD = EG. Sau khi giải xong ta thấy còn có thể vận dụng cách khác. * Có thể đa về trờng hợp bằng nhau của 2 vuông bằng nhau kẻ OM EG; O H OM, kẻ O N CD; OK O N OK = 1/2 CD; O H = 1/2 ED. Cần chứng minh OK = O H nghĩa là cần OKO = O HO ( cạnh huyền - góc nhọn) thì bài toán giải quyết xong (H2) * Hoặc cũng có thể sử dụng đồng dạng CBD. CBD đồng dạng EBG (g.g) có tỷ số đờng cao tơng ứng BH/BK = 1.(vì AB là tia phân giác của CBG) nên CD/EG = 1 => CD = EG. Cách 2: * Ta có thể nghĩ đến 1 đoạn thẳng trung gian nào có khả năng bằng CD và EG không ? * CAD, EAG là 2 cát tuyến chung của 2 đờng tròn. Vậy nếu qua B ta cũng vẽ cát tuyến chung của 2 đờng tròn là PBQ sao cho PBQ // CAD thì 2 tứ giác PQDC và tứ giác PQGE là hình gì ? Tại sao? Trả lời đợc câu hỏi này tức là ta đã giải quyết xong bài toán. Giải (tóm tắt): Vẽ PBQ //CD dễ dàng chứng minh đợc CP// DQ , EP // GQ. => CDQP là hình bình hành. => CD = PQ (1) Lại có E = C = CAB; EPB = BAG mà CAB = BAG => E = EPB EGQP là hình thang cân => PQ = EG (2) Từ (1) và (2) => đpcm. Cách 3: Sau khi hạ đờng cao BH CD, BKEG để giải quyết bài toán theo hớng tam giác đồng dạng ta lại nhận thấy có thể xét CD và EG là tổng của các đoạn thẳng bằng nhau từng đôi một. Giải: B tia phân giác CAG => BH = BK => CBH = EBK => CH = EK. Chứng minh tơng tự ta chứng minh đợc DH = GK. Suy ra: CD = EG. L u ý: Còn có thể sử dụng tính song song để chứng minh. C. Kết quả: Tôi đã áp dụng phơng pháp hớng dẫn học sinh chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau vừa trình bày ở trên cho học sinh các khối 7, 8, 9 mà mình đã giảng dạy ( với mức độ phù hợp với trình độ học sinh từng khối, lớp). Sau khi áp dụng phơng pháp này, tôi thấy đã đạt đợc các kết quả sau: - Khi đứng trớc một bài toán chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, học sinh không còn cảm thấy lúng túng, mà đã biết định hớng một cách cụ thể, rõ ràng các phơng pháp có thể để chứng minh bài toán. - Học sinh có khả năng độc lập suy nghĩ, vận dụng các kiến thức đã học một cách linh hoạt, sáng tạo. - Học sinh đã có khả năng t duy kết hợp một cách nhuần nhuyễn, mềm dẻo kĩ năng phân tích và tổng hợp để tìm ra lời giải một cách nhanh nhất, ngắn gọn nhất. 5 - Có những học sinh không chỉ tìm ra một cách giải mà còn tìm ra nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán. - Học sinh thấy hứng thú, say mê khi giải toán. . . . D. Bài học kinh nghiệm. - Giáo viên phải không ngừng phấn đấu, học tập, nghiên cứu, tự bồi dỡng, nâng cao kiến thức, trình độ chuyên môn để đáp ứng đợc yêu cầu ngày càng ca công tác dạy và học tại các nhà trờng phổ thông cơ sở. - Thờng xuyên tích luỹ, đúc rút kinh nghiệm giảng dạy, và tích cực vận dụng các kinh nghiệm đó vào các bài giảng của mình để nâng cao chất lợng dạy và học. - Giáo viên phải nắm và sử dụng tốt, phối hợp nhịp nhàng các phơng pháp dạy học, quán triệt tinh thần đổi mới phơng pháp giảng dạy là " lấy học sinh làm trung tâm" - Chú trọng việc hớng dẫn học sinh nắm chắc kiến thức lí thuyết đi đôi với thực hành, đặc biệt coi trọng việc h ớng dẫn phơng pháp giải toán cho học sinh. - Giáo viên cần cố chơng trình giảng dạy cụ thể, có sự lựa chọn kiến thức sát với từng đối tợng học sinh, đối với từng khối lớp. E. Điều kiện và khả năng áp dụng của đề tài Đề tài này có thể đợc áp dụng một cách rộng rãi trong phạm vi chơng trình hình học bậc THCS, ở khối lớp 7, 8 ,9 và đặc biệt có ý nghĩa đối với học sinh khối 9. Đề tài áp dụng không chỉ cho học sinh Khá - Giỏi mà còn có thể áp dụng đợc cho tất cả những đối tợng học sinh Trung bình - Yếu. Giáo viên có thể áp dụng một cách linh hoạt đề tài này trong từng tiết dạy chính khoá cũng nh trong chơng trình ngoại khoá, trong các buổi bồi dỡng học sinh giỏi hay phù đạo học sinh yếu. Phần III: kết luận ******* Việc hệ thống Các cách chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau" không thể làm trong 1 tiết, 2 tiết mà là cả một quá trình, chẳng hạn ở lớp 7 các em mới đợc học về tam giác thì ta không thể giới thiệu phơng pháp sử dụng định lý Talét, phơng pháp đồng dạng đợc mà mỗi khi học đến vấn đề nào, ngời giáo viên có thể hớng dẫn học sinh trong phạm vi đó. Từ đó dần dần học sinh lĩnh hội kiến thức một cách có hệ thống và vận dụng hợp lý trong các dạng bài tập. Nếu làm đợc nh vậy. Hình học không còn là " Xơng"nữa. Trên đây là một số kinh nghiệm của tôi đã và đang thực hiện trong quá trình giảng dạy. Do nhiều nguyên nhân bài viết không tránh khỏi những nhợc điểm. Kính mong các đồng nghiệp góp ý. 6 . pháp chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau. Việc chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau là vô cùng cần thiết. Bởi vì chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau không chỉ đơn thuần là để 2 đoạn thẳng đó bằng nhau. định lý Talét cần chú ý đến các đoạn thẳng song song nhằm làm xuất hiện các đoạn thẳng tỷ lệ. Để chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau ta chứng minh 2 tỷ số bằng nhau. 5. Bài 5: 3 C M A . có cùng số đo: - Hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thứ 3. - Hai đoạn thẳng cùng bằng tổng (hiệu) của 2 đoạn thẳng bằng nhau từng đôi một. 2. Hai cạnh tơng ứng của 2 bằng nhau. 3. Các cạnh bên của: