Dạng toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng ở phân môn hình học được coi nhưmột dạng toán chứng minh rắc rối và khó tìm hướng giải nhất đối với học sinh.Nhưng lại là dạng toán tổng hợp bởi nó
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG PT DÂN TỘC NỘI TRÚ LIÊN HUYỆN TÂN PHÚ-ĐỊNH QUÁN
Mã số: ………
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BA ĐIỂM
Trang 2SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1 Họ và tên: Nguyễn Thị Hòa
2 Ngày tháng năm sinh: 12/08/1988
3 Nam, nữ: Nữ
4 Địa chỉ: Tổ 5- Ấp 7 – xã Nam Cát Tiên - Tân Phú - Đồng Nai
5 Điện thoại: 0613856483 (cơ quan), ĐTDĐ : 0949889637
6 Fax: ………… E-mail: Hoadtnt88@gmail.com
II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân đạihọc sư phạm
- Năm nhận bằng: 2014
- Chuyên ngành đào tạo: Toán
III KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy môn Toán THCS
- Số năm có kinh nghiệm: 5 năm
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:
+ SKKN: “Một vài ứng dụng của phương pháp tam giác đồng dạng trong hình học 8”
+ SKKN: “Phương pháp chứng minh bất đẳng thức”
+ SKKN: “Một số phương pháp so sánh hai phân số”
2
Trang 3Tên SKKN: “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG
HÀNG TRONG HÌNH HỌC THCS”
I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Là giáo viên của trường PT Dân tộc nội trú, nhận thấy trình độ của học sinh thường không đồng đều ở các bộ môn, học sinh thường yếu về các môn tự nhiên, năng lực tư duy cũng như khả năng lập luận của học sinh còn rất nhiều hạn chế, do vậy làm thế nào để học sinh có hứng thú học tập bộ môn và có khả năng giải quyết tốt một số bài tập là một câu hỏi đặt ra cho tất cả giáo viên toán có tâm huyết với nghề nghiệp
Như chúng ta đã biết, ở lứa tuổi học sinh THCS phần lớn các em còn ham chơi,chứa chú trọng đến việc học tập, định hướng về mục đích học tập cũng chưa thật rõràng Môn toán là bộ môn có thể nói là rất khó đối với học sinh, đặc biệt là phầnhình học vì vậy nếu chúng ta không có giải pháp hữu hiệu sẽ dẫn đến tình trạnghọc sinh chán học bộ môn hình thành thói quen xấu là trông chờ, ỷ lại ở chính bảnthân người học
Dạng toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng ở phân môn hình học được coi nhưmột dạng toán chứng minh rắc rối và khó tìm hướng giải nhất đối với học sinh.Nhưng lại là dạng toán tổng hợp bởi nó vận dụng đến nhiều kiến thức liên quantrong bộ môn hình học bậc THCS Giúp học sinh có hướng giải quyết dạng toánnày chúng ta đã giúp học sinh nắm chắc được kiến thức của hầu như cả bậc họcTHCS
Chính vì vậy mà tôi chọn đề tài “một số phương pháp chứng minh ba điểm
thẳng hàng trong hình học THCS” Trong sáng kiến này, tôi xin đưa ra một số
phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng thường gặp trong chương trình hìnhhọc THCS; Mỗi phương pháp đưa ra ví dụ minh họa có phân tích định hướng giải
và một số bài tập vận dụng, nhằm giúp học sinh có định hướng được phương phápchứng minh ba điểm thẳng hàng; hứng thú hơn khi học về hình học nói riêng và bộmôn Toán nói chung
Hy vọng với phần tài liệu này, có thể giúp các em vận dụng linh hoạt kiến thứcvào bài toán chứng minh ba điểm thẳng cũng như các bài tập khác liên quan Qua
đó học sinh lĩnh hội được kiến thức một cách chủ động, sáng tạo và hình thành thóiquen vận dụng kiến thức vào các môn học, vào thực tiễn
II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1 Cơ sở lý luận
Toán học là một môn khoa học tự nhiên có một vai trò rất quan trọng trong cáclĩnh vực khoa học, toán học nghiên cứu rất nhiều, rất đa dạng và phong phú Toánhọc có vai trò quan trọng trong đời sống, trong khoa học và trong công nghệ hiệnđại, việc nắm vững các kiến thức toán học giúp cho học sinh có cơ sở nghiên cứucác bộ môn khoa học khác, đồng thời có thể hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnhvực Trong đó, dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng là một dạng toán vậndụng đến nhiều kiến thức liên quan trong bộ môn hình học bậc THCS và có rấtnhiều ứng dụng trong giải toán hình học; để giải các bài toán hình học, bên cạnh
3
Trang 4việc nắm vững khái niệm và các tính chất, định lí thì mỗi học sinh phải có sự đam
mê, tìm tòi, chủ động lĩnh hội các kiến thức
2 Cơ sở thực tiễn
Đa số học sinh thường ngại khi học hình học, các em chưa định hướng đượccách giải các bài toán một cách rõ ràng, không biết dùng kiến thức nào vào giải cácbài toán Một số học sinh ý thức tự học chưa cao, không tích cực và chủ động lĩnhhội kiến thức
Ngoài ra, trong các bài kiểm tra, thi thì số điểm của hình học thường chiếm tỉ lệ
ít hơn nên một số học sinh không chú trọng đến bài toán hình Do đó học sinhkhông có hứng thú khi học hình học
Tâm lý các em ngại học hình Đối tượng giảng dạy là những học sinh ngườidân tộc thiểu số vùng sâu, vùng xa đến từ hai huyện Tân Phú - Định Quán, hoàncảnh kinh tế gia đình khó khăn; sự quan tâm của gia đình đến việc học của các emcũng chưa thật sâu sắc Mặt khác, đa số các em chỉ thích học các môn vận động,năng khiếu, khả năng tư duy các môn tự nhiên chậm, đặc biệt với những bài toánchứng minh hình học Từ những giải pháp đã có trong sách vở, trong SKKN này,tôi xin nêu ra và hệ thống một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàngthường gặp trong hình học THCS, các ví dụ minh họa và các bài tập vận dụng Cácgiải pháp trong đề tài là giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có và chưa từng
áp dụng tại đơn vị trường PT DTNT
Giải pháp: “Một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong hình học THCS”
1 Sử dụng khái niệm hai góc kề bù có ba điểm nằm trên hai cạnh là hai tia đối nhau
Ta có: KD là đường trung trực của AC
DA = DC ADC cân tại D Dˆ 1 Dˆ2 (1)
Lại có: DI là đường trung trực của AB DA = DB
ABD cân tại D Dˆ 3 Dˆ4 (2)
Từ (1) và (2) suy ra Dˆ 1 Dˆ4=Dˆ 2 Dˆ3
Ta có: DK // AI (cùng vuông góc với AC)
Mà I 90 0 suy ra 0
90 K D
1 2 3
4
B D
A
I
C K
Trang 5Vậy ba điểm B, D, C thẳng hàng.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông ở A, M là trung điểm AC Kẻ tia Cx vuông góc
CA (tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC) Trên tia Cx lấy điểm
D sao cho CD = AB Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng
Gợi ý: Muốn B, M, D thẳng hàng cần chứng minh B MˆC C Mˆ D 180 0
Bài 1: Cho tam giác ABC Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC,
trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB Gọi M, N lần lượt là trungđiểm của BE và CD Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông ở A có A BˆC 60 0 Vẽ tia CxBC (tia Cx vàđiểm A ở phía ở cùng phía bờ BC), trên tia Cx lấy điểm E sao cho CE = CA Trêntia đối của tia BC lấy điểm F sao cho BF = BA Chứng minh ba điểm E, A, F thẳnghàng
2 Sử dụng tiên đề về đường thẳng song song
Tiên đề Ơclít: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ kẻ được duy nhất
một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
Do đó, nếu qua điểm A ta kẻ được AB và AC cùng song song với một đường thẳng d nào đó thì A, B, C thẳng hàng.
CB // d
CA // d
2.1 Ví dụ
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A Trên cạnh AB lấy điểm D Kẻ DF song
song BC (FAC) Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = BD Gọi I làtrung điểm của DE Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng
GIẢI
Ta có A DˆF Bˆ (cặp góc đồng vị)
B C A D
F
Aˆ ˆ (cặp góc đồng vị)
Mà Bˆ A CˆB (tam giác ABC cân tại A)
Suy ra A DˆF A FˆD ADF cân tại A
Mặt khác
CF BD AF
AC CF
AD AB BD
A, B, C thẳng hàng
Trang 6=
N C
M
x
O
D B
A
IC là đường trung bình của DEF CI // DF (tính chất đường trung bình)
Mà BC // DF suy ra B, I, C thẳng hàng
Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tai trung điểm O của mỗi
đoạn Trên tia AB lấy lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho D là trung điểm AN Chúng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng
Hướng dẫn: Chứng minh: CM // BD và CN // BD từ đó suy ra M, C, N thẳng hàng.
Dˆ ˆ (cmt)
AB = BM ( B là trung điểm AM)Vậy DAB = CBM (c.g.c) A BˆD B Mˆ C
Do đó BD // CM (1)
Lập luận tương tự ta được BD // CN (2)
Từ (1) và (2) , theo tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm M, C, N thẳng hàng
2.2 Bài tập vận dụng
Bài 1 Cho tam giác ABC Vẽ cung tròn tâm C bán kính AB và cung tròn tâm B
bán kính AC Đường tròn tâm A bán kính BC cắt các cung tròn tâm C và tâm B lần lượt tại E và F ( E và F nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ BC chứa A) Chứng minh ba điểm F, A, E thẳng hàng
Bài 2: Cho tam giác ABC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC,
AB Trên các đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung điểm BD và N là trung điểm EC Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng
3 Chứng minh hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và cùng vuông góc với một đường thẳng cho trước:
thẳng hàng
C B
A
D
Trang 7B C
Gợi ý: - Chứng minh AM, PM, QM cùng vuông góc BC
- Hoặc AP, AQ là tia phân giác của góc BAC
Vậy ΔABM và ΔACM có: ABM = ΔABM và ΔACM có: ACM (c.c.c)
Suy ra: A Mˆ B A Mˆ C (hai góc tương ứng)
Mà A MˆB A MˆC 180 0 (hai góc kề bù) nên
0
90 C
Chứng minh tương tự ta được: ΔABM và ΔACM có: BPM = ΔABM và ΔACM có: CPM (c.c.c)
Suy ra: P Mˆ B P Mˆ C (hai góc tương ứng)
d) Chứng minh ΔABM và ΔACM có: BAC = ΔABM và ΔACM có: BDF và D, E, F thẳng hàng
4 Chứng minh ba điểm cùng thuộc tia phân giác của một góc:
hàng thang C
B A y
A x giác phân tia
là
CA
y A x giác phân tia
là
BA
, , ˆ
í d ụ 1 : Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi M là một điểm nằm trong tam
giác sao cho MB = MC Gọi N là trung điểm của BC Chứng minh ba điểm A, M,
7
Trang 8Hình 10
=
= / /
M
A
Bˆ ˆ
AM là tia phân giác B ˆAC (1)
Tương tự ABN=ACN (c.c.c)
N A
Ví dụ 2: Cho góc xOy Trên hai cạnh Ox và Oy lấy lần lượt hai điểm B và C sao
cho OB = OC Vẽ đường tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm A và D nằm trong góc xOy Chứng minh ba điểm O, A, D thẳnghàng
Hướng dẫn: Chứng minh OD và OA là tia phân giác của góc xOy
GIẢI:
Xét ΔABM và ΔACM có: BOD và ΔABM và ΔACM có: COD có:
OB = OC (gt)
OD chung
BD = CD (D là giao điểm của hai
đường tròn tâm B và tâm C cùng bán kính)
Vậy ΔABM và ΔACM có: BOD =ΔABM và ΔACM có: COD (c.c.c)
Suy ra B OˆD C OˆD
Điểm D nằm trong góc xOy nên tia OD nằm giữa hai tia Ox và Oy
Do đó OD là tia phân giác của x ˆO y
Chứng minh tương tự ta được OA là tia phân giác của x ˆO y
Góc xOy chỉ có một tia phân giác nên hai tia OD và OA trùng nhau
b) Gọi K là trung điểm BC Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng
Bài 2 Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi H là trung điểm BC Trên nửa mặt
phẳng bờ AB chứa C kẻ tia Bx vuông góc AB, trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa B
kẻ tia Cy vuông AC Bx và Cy cắt nhau tại E Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng
5 Sử dụng tính chất đường phân giác của một góc, tính chất đường trung
trực của đoạn thẳng, tính chất ba đường trung trực, ba đường phân giác, ba đường cao trong tam giác
5.1 Chứng minh ba điểm cùng thuộc đường trung trực của một đoạn thẳng
A thuộc đường trung trực của MN
B thuộc đường trung trực của MN
C thuộc đường trung trực của MN
Ví dụ: Cho ba tam giác cân ABC, DBC và EBC có chung đáy BC Chứng minh
rằng ba điểm A, D, E thẳng hàng
8
=> A, B, C thẳng hàng
A B C
Trang 9C G
A
D
C E
B
A
C
E P Q
B
A
C A
D B
I
A B
I
C
K
y x
M
GIẢI
Ta có: ABC cân tại A suy ra AB = AC
AA thuộc đường trung trực của BC (1)
Lại có DBC cân tại D suy ra DB = DC
D
A thuộc đường trung trực của BC (2)
Có EBC cân tại E suy ra EB = EC
E thuộc đường trung trực của BC (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra ba điểm A, D, E thẳng hàng
5.2 Áp dụng đường trung tuyến của một tam giác thì phải đi qua trọng tâm.
G là trọng tâm tam giác ABC
AM là trung tuyến tam giác ABC
V
í d ụ : Cho tam giác ABC, kẻ trung tuyến AM Trên AM lấy hai điểm P, Q sao
cho AQ = PQ = PM Gọi E là trung điểm của AC Chứng minh ba điểm B, P, Ethẳng hàng
GIẢI
Trong ABC có AM là trung tuyến
mà AQ = QP = PM (gt)
AAP = 23AM
PA là trọng tâm ABC
Vì E là trung điểm của AC nên BE là trung tuyến của ABC
ABE đi qua trọng tâm P hay ba điểm B, P, E thẳng hàng
5.3 Chứng minh đường phân giác của tam giác thì đi qua giao điểm chung của chúng:
I là giao điểm 2 đường phân giác B ˆ ˆ, C
AD là phân giác của Aˆ
Ba điểm A, I, D thẳng hàng.
V í d ụ: Cho tam giác ABC, các tia phân giác các góc A và C cắt nhau tại I Các
đường phân giác các góc ngoài tại đỉnh A và C cắt nhau ở K Chứng minh ba điểm
Trang 10A E
B
F O
A
C M
D B
H D A
hình 11
K' K E
F
N
M
C B
A
=
=
KB là tia phân giác Bˆ
Vì I là giao điểm của hai tia phân giác A ˆ ˆ, C nên:
BI là tia phân giác Bˆ (gt) Ba điểm B, I, K thẳng hàng
5.4 Chứng minh đường cao của tam giác thì đi qua trực tâm của tam giác đó:
H là trực tâm ABC
AD là đường cao ABC
A, H, D ba điểm thẳng hàng
V
í d ụ : Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ đường cao BH và CK cắt nhau tại I.
Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh A, I, M thẳng hàng
GIẢI
Vì I là giao điểm hai đường cao BH và CK nên I là trực tâm ABC
ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến nên cũng là đường cao
Đường cao AM đi qua trực tâm I
Ba điểm A, I, M thẳng hàng
5.5 Chứng minh đường trung trực của một cạnh thì đi qua giao điểm hai đường trung trực của hai cạnh còn lại:
O là giao điểm 2 đường trung trực của 2 cạnh AC và BC
EF là đường trung trực của cạnh AB
=> E, F,O thẳng hàng
V
í d ụ : Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC Đường trung
trực của AB, AC cắt nhau ở D Chứng minh A, D, M thẳng hàng
GIẢI
ABC cân tại A có MB = MC nên: AM là đường trung tuyến ABC
AM cũng là đường trung trực của ABC
Mà D là giao điểm hai đường trung trực cạnh AB, AC
Nên AM đi qua D Ba điểm A, D, M thẳng hàng
6 Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm
Nếu K là trung điểm BD, K ’ là giao điểm của BD và AC Nếu K ’ Là trung điểm
BD thì K ’ K thì A, K, C thẳng hàng.
6.1 Ví dụ Cho tam giác ABC cân ở A Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối tia
CA lấy điểm N sao cho BM = CN Gọi K là trung điểm MN Chứng minh ba điểm
Gọi K’ là giao điểm của BC và MN
MEK’ và NFK’ vuông ở E và F có: ME = NF (cmt), E Mˆ K' F NˆK'(so le trongcủa ME // FN)
I
Trang 11C B
Bˆ , Gọi O là mộtđiểm nằm trên tia phân giác của góc C sao cho C BˆO 12 0 Vẽ tam giác đều BOM(M và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BO) Chứng minh ba điểm C, A, Mthẳng hàng
Hướng dẫn: Chứng minh O CˆA O CˆM từ đó suy ra tia CA và tia CMtrùng nhau
B C A
C
B
Aˆ ˆ (tính chất của tam giác cân)
Mà CO là tia phân giác của A ˆC B, nên O CˆA B CˆO 18 0
Do đó B OˆC 150 0
ΔABM và ΔACM có: BOM đều nên B OˆM 60 0
Vậy: M OˆC 360 0 - (150 0 60 0) 150 0
ΔABM và ΔACM có: BOC và ΔABM và ΔACM có: MOC có:
OB = OM ( vì ΔABM và ΔACM có: BOM đều)
B ˆO C=M OˆC 150 0
OC chung
Do đó : ΔABM và ΔACM có: BOC = ΔABM và ΔACM có: MOC (c.g.c)
Suy ra: O CˆB O CˆM mà O CˆB O CˆA (gt) nên O CˆA O CˆM
Hai tia CA và CM cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ CO và O CˆA O CˆMnên tia
7.1 Ví dụ : Cho ABC có trực tâm H nội tiếp (O) đường kính CM, gọi I là trung
điểm của AB Chứng minh rằng H, I, M thẳng hàng
A
Trang 12 AB cắt MH tại trung điểm I của AB và MH (t/c hình bình hành)
H, I, M thẳng hàng
7.2 Bài tập vận dụng
Cho ABC và điểm M bất kỳ trong tam giác Gọi A1, B1, C1 thứ tự là cácđiểm đối xứng của M qua các trung điểm của các cạnh BC, CA, AB Gọi O là giaođiểm của BB1 và CC1 Chứng minh các điểm A, O, A1 thẳng hàng
8 Sử dụng các tính chất của đường tròn.
Khi B là tâm của đường tròn đường kính AC, hoặc các đường tròn tâm A và đường tròn tâm C tiếp xúc nhau tại B thì 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó.
8.1 Ví dụ
Ví dụ 1: Từ một điểm M trên đường tròn ngoại tiếp ABC hạ các đường thẳng
MD, ME, MF lần lượt vuông góc với BC, CA, và AB Chứng minh D, E, F thẳng hàng (Đường thẳng sim sơn)
Hướng dẫn:
Chứng minh các tứ giác BDMF, MECD, AMBC, MFEA nội tiếp
Sử dụng tính chất hai góc nội tiếp cùng chắn một cung So sánh các góc: AME, góc AFE, góc DMB, góc DFB, góc DME và BMA so sánh góc AME và góc DMB
So sánh hai góc DFB và AFE ba điểm D, F, E thẳng hàng
O D
E
F
M
C B
A
Từ (1), (2) DFB AFEˆ ˆ Ba điểm E, F, D thẳng hàng
Ví dụ 2 Cho (O) đường kính AB Điểm M chuyển động trên (O), M≠A; M≠B.
Kẻ MH vuông góc với AB Vẽ đường tròn (O1) đường kính MH cắt đường thẳng
Aˆ (góc nội tiếp chắn nửa (O))
B O
H A
1
Chứng minh:
Ta có: MCB MAFˆ ˆ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MB)
Từ 3 tứ giác nội tiếp AMFE , MDBF và MDCE ta có: