1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

skkn một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong hình học THCS

23 1,1K 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 23
Dung lượng 694,5 KB

Nội dung

Dạng toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng ở phân môn hình học được coi nhưmột dạng toán chứng minh rắc rối và khó tìm hướng giải nhất đối với học sinh.Nhưng lại là dạng toán tổng hợp bởi nó

Trang 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

TRƯỜNG PT DÂN TỘC NỘI TRÚ LIÊN HUYỆN TÂN PHÚ-ĐỊNH QUÁN



Mã số: ………

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BA ĐIỂM

Trang 2

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

1 Họ và tên: Nguyễn Thị Hòa

2 Ngày tháng năm sinh: 12/08/1988

3 Nam, nữ: Nữ

4 Địa chỉ: Tổ 5- Ấp 7 – xã Nam Cát Tiên - Tân Phú - Đồng Nai

5 Điện thoại: 0613856483 (cơ quan), ĐTDĐ : 0949889637

6 Fax: ………… E-mail: Hoadtnt88@gmail.com

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân đạihọc sư phạm

- Năm nhận bằng: 2014

- Chuyên ngành đào tạo: Toán

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy môn Toán THCS

- Số năm có kinh nghiệm: 5 năm

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

+ SKKN: “Một vài ứng dụng của phương pháp tam giác đồng dạng trong hình học 8”

+ SKKN: “Phương pháp chứng minh bất đẳng thức”

+ SKKN: “Một số phương pháp so sánh hai phân số”

2

Trang 3

Tên SKKN: “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG

HÀNG TRONG HÌNH HỌC THCS”

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Là giáo viên của trường PT Dân tộc nội trú, nhận thấy trình độ của học sinh thường không đồng đều ở các bộ môn, học sinh thường yếu về các môn tự nhiên, năng lực tư duy cũng như khả năng lập luận của học sinh còn rất nhiều hạn chế, do vậy làm thế nào để học sinh có hứng thú học tập bộ môn và có khả năng giải quyết tốt một số bài tập là một câu hỏi đặt ra cho tất cả giáo viên toán có tâm huyết với nghề nghiệp

Như chúng ta đã biết, ở lứa tuổi học sinh THCS phần lớn các em còn ham chơi,chứa chú trọng đến việc học tập, định hướng về mục đích học tập cũng chưa thật rõràng Môn toán là bộ môn có thể nói là rất khó đối với học sinh, đặc biệt là phầnhình học vì vậy nếu chúng ta không có giải pháp hữu hiệu sẽ dẫn đến tình trạnghọc sinh chán học bộ môn hình thành thói quen xấu là trông chờ, ỷ lại ở chính bảnthân người học

Dạng toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng ở phân môn hình học được coi nhưmột dạng toán chứng minh rắc rối và khó tìm hướng giải nhất đối với học sinh.Nhưng lại là dạng toán tổng hợp bởi nó vận dụng đến nhiều kiến thức liên quantrong bộ môn hình học bậc THCS Giúp học sinh có hướng giải quyết dạng toánnày chúng ta đã giúp học sinh nắm chắc được kiến thức của hầu như cả bậc họcTHCS

Chính vì vậy mà tôi chọn đề tài “một số phương pháp chứng minh ba điểm

thẳng hàng trong hình học THCS” Trong sáng kiến này, tôi xin đưa ra một số

phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng thường gặp trong chương trình hìnhhọc THCS; Mỗi phương pháp đưa ra ví dụ minh họa có phân tích định hướng giải

và một số bài tập vận dụng, nhằm giúp học sinh có định hướng được phương phápchứng minh ba điểm thẳng hàng; hứng thú hơn khi học về hình học nói riêng và bộmôn Toán nói chung

Hy vọng với phần tài liệu này, có thể giúp các em vận dụng linh hoạt kiến thứcvào bài toán chứng minh ba điểm thẳng cũng như các bài tập khác liên quan Qua

đó học sinh lĩnh hội được kiến thức một cách chủ động, sáng tạo và hình thành thóiquen vận dụng kiến thức vào các môn học, vào thực tiễn

II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1 Cơ sở lý luận

Toán học là một môn khoa học tự nhiên có một vai trò rất quan trọng trong cáclĩnh vực khoa học, toán học nghiên cứu rất nhiều, rất đa dạng và phong phú Toánhọc có vai trò quan trọng trong đời sống, trong khoa học và trong công nghệ hiệnđại, việc nắm vững các kiến thức toán học giúp cho học sinh có cơ sở nghiên cứucác bộ môn khoa học khác, đồng thời có thể hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnhvực Trong đó, dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng là một dạng toán vậndụng đến nhiều kiến thức liên quan trong bộ môn hình học bậc THCS và có rấtnhiều ứng dụng trong giải toán hình học; để giải các bài toán hình học, bên cạnh

3

Trang 4

việc nắm vững khái niệm và các tính chất, định lí thì mỗi học sinh phải có sự đam

mê, tìm tòi, chủ động lĩnh hội các kiến thức

2 Cơ sở thực tiễn

Đa số học sinh thường ngại khi học hình học, các em chưa định hướng đượccách giải các bài toán một cách rõ ràng, không biết dùng kiến thức nào vào giải cácbài toán Một số học sinh ý thức tự học chưa cao, không tích cực và chủ động lĩnhhội kiến thức

Ngoài ra, trong các bài kiểm tra, thi thì số điểm của hình học thường chiếm tỉ lệ

ít hơn nên một số học sinh không chú trọng đến bài toán hình Do đó học sinhkhông có hứng thú khi học hình học

Tâm lý các em ngại học hình Đối tượng giảng dạy là những học sinh ngườidân tộc thiểu số vùng sâu, vùng xa đến từ hai huyện Tân Phú - Định Quán, hoàncảnh kinh tế gia đình khó khăn; sự quan tâm của gia đình đến việc học của các emcũng chưa thật sâu sắc Mặt khác, đa số các em chỉ thích học các môn vận động,năng khiếu, khả năng tư duy các môn tự nhiên chậm, đặc biệt với những bài toánchứng minh hình học Từ những giải pháp đã có trong sách vở, trong SKKN này,tôi xin nêu ra và hệ thống một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàngthường gặp trong hình học THCS, các ví dụ minh họa và các bài tập vận dụng Cácgiải pháp trong đề tài là giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có và chưa từng

áp dụng tại đơn vị trường PT DTNT

Giải pháp: “Một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong hình học THCS”

1 Sử dụng khái niệm hai góc kề bù có ba điểm nằm trên hai cạnh là hai tia đối nhau

Ta có: KD là đường trung trực của AC

 DA = DC  ADC cân tại D  Dˆ 1 Dˆ2 (1)

Lại có: DI là đường trung trực của AB  DA = DB

 ABD cân tại D  Dˆ 3 Dˆ4 (2)

Từ (1) và (2) suy ra  Dˆ 1 Dˆ4=Dˆ 2 Dˆ3

Ta có: DK // AI (cùng vuông góc với AC)

I  90 0 suy ra 0

90 K D

1 2 3

4

B D

A

I

C K

Trang 5

Vậy ba điểm B, D, C thẳng hàng.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông ở A, M là trung điểm AC Kẻ tia Cx vuông góc

CA (tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC) Trên tia Cx lấy điểm

D sao cho CD = AB Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng

Gợi ý: Muốn B, M, D thẳng hàng cần chứng minh B MˆC  C Mˆ D  180 0

Bài 1: Cho tam giác ABC Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC,

trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB Gọi M, N lần lượt là trungđiểm của BE và CD Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông ở A có A BˆC  60 0 Vẽ tia CxBC (tia Cx vàđiểm A ở phía ở cùng phía bờ BC), trên tia Cx lấy điểm E sao cho CE = CA Trêntia đối của tia BC lấy điểm F sao cho BF = BA Chứng minh ba điểm E, A, F thẳnghàng

2 Sử dụng tiên đề về đường thẳng song song

Tiên đề Ơclít: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ kẻ được duy nhất

một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Do đó, nếu qua điểm A ta kẻ được AB và AC cùng song song với một đường thẳng d nào đó thì A, B, C thẳng hàng.

CB // d

CA // d

2.1 Ví dụ

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A Trên cạnh AB lấy điểm D Kẻ DF song

song BC (FAC) Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = BD Gọi I làtrung điểm của DE Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng

GIẢI

Ta có A DˆF  Bˆ (cặp góc đồng vị)

B C A D

F

Aˆˆ (cặp góc đồng vị)

Mà Bˆ A CˆB (tam giác ABC cân tại A)

Suy ra A DˆF  A FˆD  ADF cân tại A

Mặt khác

CF BD AF

AC CF

AD AB BD

A, B, C thẳng hàng

Trang 6

=

N C

M

x

O

D B

A

 IC là đường trung bình của DEF CI // DF (tính chất đường trung bình)

Mà BC // DF suy ra B, I, C thẳng hàng

Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tai trung điểm O của mỗi

đoạn Trên tia AB lấy lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho D là trung điểm AN Chúng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng

Hướng dẫn: Chứng minh: CM // BD và CN // BD từ đó suy ra M, C, N thẳng hàng.

Dˆˆ (cmt)

AB = BM ( B là trung điểm AM)Vậy DAB = CBM (c.g.c)  A BˆD  B Mˆ C

Do đó BD // CM (1)

Lập luận tương tự ta được BD // CN (2)

Từ (1) và (2) , theo tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm M, C, N thẳng hàng

2.2 Bài tập vận dụng

Bài 1 Cho tam giác ABC Vẽ cung tròn tâm C bán kính AB và cung tròn tâm B

bán kính AC Đường tròn tâm A bán kính BC cắt các cung tròn tâm C và tâm B lần lượt tại E và F ( E và F nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ BC chứa A) Chứng minh ba điểm F, A, E thẳng hàng

Bài 2: Cho tam giác ABC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC,

AB Trên các đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung điểm BD và N là trung điểm EC Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng

3 Chứng minh hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và cùng vuông góc với một đường thẳng cho trước:

thẳng hàng

C B

A

D

Trang 7

B C

Gợi ý: - Chứng minh AM, PM, QM cùng vuông góc BC

- Hoặc AP, AQ là tia phân giác của góc BAC

Vậy ΔABM và ΔACM có: ABM = ΔABM và ΔACM có: ACM (c.c.c)

Suy ra: A Mˆ B  A Mˆ C (hai góc tương ứng)

Mà A MˆB  A MˆC  180 0 (hai góc kề bù) nên

0

90 C

Chứng minh tương tự ta được: ΔABM và ΔACM có: BPM = ΔABM và ΔACM có: CPM (c.c.c)

Suy ra: P Mˆ B  P Mˆ C (hai góc tương ứng)

d) Chứng minh ΔABM và ΔACM có: BAC = ΔABM và ΔACM có: BDF và D, E, F thẳng hàng

4 Chứng minh ba điểm cùng thuộc tia phân giác của một góc:

hàng thang C

B A y

A x giác phân tia

CA

y A x giác phân tia

BA

, , ˆ

í d ụ 1 : Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi M là một điểm nằm trong tam

giác sao cho MB = MC Gọi N là trung điểm của BC Chứng minh ba điểm A, M,

7

Trang 8

Hình 10

=

= / /

M

A

Bˆˆ

  AM là tia phân giác B ˆAC (1)

Tương tự ABN=ACN (c.c.c)

N A

Ví dụ 2: Cho góc xOy Trên hai cạnh Ox và Oy lấy lần lượt hai điểm B và C sao

cho OB = OC Vẽ đường tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm A và D nằm trong góc xOy Chứng minh ba điểm O, A, D thẳnghàng

Hướng dẫn: Chứng minh OD và OA là tia phân giác của góc xOy

GIẢI:

Xét ΔABM và ΔACM có: BOD và ΔABM và ΔACM có: COD có:

OB = OC (gt)

OD chung

BD = CD (D là giao điểm của hai

đường tròn tâm B và tâm C cùng bán kính)

Vậy ΔABM và ΔACM có: BOD =ΔABM và ΔACM có: COD (c.c.c)

Suy ra B OˆD  C OˆD

Điểm D nằm trong góc xOy nên tia OD nằm giữa hai tia Ox và Oy

Do đó OD là tia phân giác của x ˆO y

Chứng minh tương tự ta được OA là tia phân giác của x ˆO y

Góc xOy chỉ có một tia phân giác nên hai tia OD và OA trùng nhau

b) Gọi K là trung điểm BC Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng

Bài 2 Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi H là trung điểm BC Trên nửa mặt

phẳng bờ AB chứa C kẻ tia Bx vuông góc AB, trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa B

kẻ tia Cy vuông AC Bx và Cy cắt nhau tại E Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng

5 Sử dụng tính chất đường phân giác của một góc, tính chất đường trung

trực của đoạn thẳng, tính chất ba đường trung trực, ba đường phân giác, ba đường cao trong tam giác

5.1 Chứng minh ba điểm cùng thuộc đường trung trực của một đoạn thẳng

A thuộc đường trung trực của MN

B thuộc đường trung trực của MN

C thuộc đường trung trực của MN

Ví dụ: Cho ba tam giác cân ABC, DBC và EBC có chung đáy BC Chứng minh

rằng ba điểm A, D, E thẳng hàng

8

=> A, B, C thẳng hàng

A B C

Trang 9

C G

A

D

C E

B

A

C

E P Q

B

A

C A

D B

I

A B

I

C

K

y x

M

GIẢI

Ta có: ABC cân tại A suy ra AB = AC

 AA thuộc đường trung trực của BC (1)

Lại có DBC cân tại D suy ra DB = DC

 D

A thuộc đường trung trực của BC (2)

Có EBC cân tại E suy ra EB = EC

 E thuộc đường trung trực của BC (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra ba điểm A, D, E thẳng hàng

5.2 Áp dụng đường trung tuyến của một tam giác thì phải đi qua trọng tâm.

G là trọng tâm tam giác ABC

AM là trung tuyến tam giác ABC

V

í d ụ : Cho tam giác ABC, kẻ trung tuyến AM Trên AM lấy hai điểm P, Q sao

cho AQ = PQ = PM Gọi E là trung điểm của AC Chứng minh ba điểm B, P, Ethẳng hàng

GIẢI

Trong  ABC có AM là trung tuyến

mà AQ = QP = PM (gt)

AAP = 23AM

 PA là trọng tâm ABC

Vì E là trung điểm của AC nên BE là trung tuyến của ABC

 ABE đi qua trọng tâm P hay ba điểm B, P, E thẳng hàng

5.3 Chứng minh đường phân giác của tam giác thì đi qua giao điểm chung của chúng:

I là giao điểm 2 đường phân giác B ˆ ˆ, C

AD là phân giác của Aˆ

Ba điểm A, I, D thẳng hàng.

V í d ụ: Cho tam giác ABC, các tia phân giác các góc A và C cắt nhau tại I Các

đường phân giác các góc ngoài tại đỉnh A và C cắt nhau ở K Chứng minh ba điểm

Trang 10

A E

B

F O

A

C M

D B

H D A

hình 11

K' K E

F

N

M

C B

A

=

=

 KB là tia phân giác Bˆ

Vì I là giao điểm của hai tia phân giác A ˆ ˆ, C nên:

BI là tia phân giác Bˆ (gt)  Ba điểm B, I, K thẳng hàng

5.4 Chứng minh đường cao của tam giác thì đi qua trực tâm của tam giác đó:

H là trực tâm ABC

AD là đường cao ABC

A, H, D ba điểm thẳng hàng

V

í d ụ : Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ đường cao BH và CK cắt nhau tại I.

Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh A, I, M thẳng hàng

GIẢI

Vì I là giao điểm hai đường cao BH và CK nên I là trực tâm ABC

ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến nên cũng là đường cao

 Đường cao AM đi qua trực tâm I

 Ba điểm A, I, M thẳng hàng

5.5 Chứng minh đường trung trực của một cạnh thì đi qua giao điểm hai đường trung trực của hai cạnh còn lại:

O là giao điểm 2 đường trung trực của 2 cạnh AC và BC

EF là đường trung trực của cạnh AB

=> E, F,O thẳng hàng

V

í d ụ : Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC Đường trung

trực của AB, AC cắt nhau ở D Chứng minh A, D, M thẳng hàng

GIẢI

ABC cân tại A có MB = MC nên: AM là đường trung tuyến ABC

 AM cũng là đường trung trực của ABC

Mà D là giao điểm hai đường trung trực cạnh AB, AC

Nên AM đi qua D  Ba điểm A, D, M thẳng hàng

6 Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm

Nếu K là trung điểm BD, K ’ là giao điểm của BD và AC Nếu K ’ Là trung điểm

BD thì K ’ K thì A, K, C thẳng hàng.

6.1 Ví dụ Cho tam giác ABC cân ở A Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối tia

CA lấy điểm N sao cho BM = CN Gọi K là trung điểm MN Chứng minh ba điểm

Gọi K’ là giao điểm của BC và MN

MEK’ và NFK’ vuông ở E và F có: ME = NF (cmt), E Mˆ K'  F NˆK'(so le trongcủa ME // FN)

I

Trang 11

C B

Bˆ  , Gọi O là mộtđiểm nằm trên tia phân giác của góc C sao cho C BˆO  12 0 Vẽ tam giác đều BOM(M và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BO) Chứng minh ba điểm C, A, Mthẳng hàng

Hướng dẫn: Chứng minh O CˆA  O CˆM từ đó suy ra tia CA và tia CMtrùng nhau

B C A

C

B

Aˆˆ    (tính chất của tam giác cân)

Mà CO là tia phân giác của A ˆC B, nên O CˆA  B CˆO  18 0

Do đó B OˆC  150 0

ΔABM và ΔACM có: BOM đều nên B OˆM  60 0

Vậy: M OˆC  360 0 - (150 0  60 0) 150 0

ΔABM và ΔACM có: BOC và ΔABM và ΔACM có: MOC có:

OB = OM ( vì ΔABM và ΔACM có: BOM đều)

B ˆO C=M OˆC  150 0

OC chung

Do đó : ΔABM và ΔACM có: BOC = ΔABM và ΔACM có: MOC (c.g.c)

Suy ra: O CˆB  O CˆM mà O CˆB  O CˆA (gt) nên O CˆA  O CˆM

Hai tia CA và CM cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ CO và O CˆA  O CˆMnên tia

7.1 Ví dụ : Cho ABC có trực tâm H nội tiếp (O) đường kính CM, gọi I là trung

điểm của AB Chứng minh rằng H, I, M thẳng hàng

A

Trang 12

 AB cắt MH tại trung điểm I của AB và MH (t/c hình bình hành)

 H, I, M thẳng hàng

7.2 Bài tập vận dụng

Cho ABC và điểm M bất kỳ trong tam giác Gọi A1, B1, C1 thứ tự là cácđiểm đối xứng của M qua các trung điểm của các cạnh BC, CA, AB Gọi O là giaođiểm của BB1 và CC1 Chứng minh các điểm A, O, A1 thẳng hàng

8 Sử dụng các tính chất của đường tròn.

Khi B là tâm của đường tròn đường kính AC, hoặc các đường tròn tâm A và đường tròn tâm C tiếp xúc nhau tại B thì 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó.

8.1 Ví dụ

Ví dụ 1: Từ một điểm M trên đường tròn ngoại tiếp ABC hạ các đường thẳng

MD, ME, MF lần lượt vuông góc với BC, CA, và AB Chứng minh D, E, F thẳng hàng (Đường thẳng sim sơn)

Hướng dẫn:

Chứng minh các tứ giác BDMF, MECD, AMBC, MFEA nội tiếp

Sử dụng tính chất hai góc nội tiếp cùng chắn một cung So sánh các góc: AME, góc AFE, góc DMB, góc DFB, góc DME và BMA  so sánh góc AME và góc DMB

So sánh hai góc DFB và AFE  ba điểm D, F, E thẳng hàng

O D

E

F

M

C B

A

Từ (1), (2)  DFB AFEˆ  ˆ  Ba điểm E, F, D thẳng hàng

Ví dụ 2 Cho (O) đường kính AB Điểm M chuyển động trên (O), M≠A; M≠B.

Kẻ MH vuông góc với AB Vẽ đường tròn (O1) đường kính MH cắt đường thẳng

Aˆ  (góc nội tiếp chắn nửa (O))

B O

H A

1

Chứng minh:

Ta có: MCB MAFˆ  ˆ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MB)

Từ 3 tứ giác nội tiếp AMFE , MDBF và MDCE ta có:

Ngày đăng: 09/08/2017, 10:46

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w