skkn một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong hình học THCS

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG PT DÂN TỘC NỘI TRÚ LIÊN HUYỆN TÂN PHÚ-ĐỊNH QUÁN  Mã số: ……………… SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG TRONG HÌNH HỌC THCS” Người thực hiện: Nguyễn Thị Hòa Lĩnh vực nghiên cứu: - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học môn: Toán  - Lĩnh vực khác: …………  Có đính kèm Mô hình Đĩa CD(DVD) Phim ảnh Hiện vật khác Năm học: 2016-2017 SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN Họ tên: Nguyễn Thị Hòa Ngày tháng năm sinh: 12/08/1988 Nam, nữ: Nữ Địa chỉ: Tổ 5- Ấp – xã Nam Cát Tiên - Tân Phú - Đồng Nai Điện thoại: 0613856483 (cơ quan), ĐTDĐ : 0949889637 Fax: ………… E-mail: Hoadtnt88@gmail.com Chức vụ: Giáo viên Nhiệm vụ giao: Giảng dạy môn Toán lớp 6, CĐTC Toán 6, Nghề THVP 8b, chủ nhiệm lớp 6b Đơn vị công tác: Trường phổ thông Dân Tộc Nội Trú liên huyện Tân Phú – Định Quán II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị (hoặc trình độ chuyên môn nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân đại học sư phạm - Năm nhận bằng: 2014 - Chuyên ngành đào tạo: Toán III KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy môn Toán THCS - Số năm có kinh nghiệm: năm - Các sáng kiến kinh nghiệm có năm gần đây: + SKKN: “Một vài ứng dụng phương pháp tam giác đồng dạng hình học 8” + SKKN: “Phương pháp chứng minh bất đẳng thức” + SKKN: “Một số phương pháp so sánh hai phân số” Tên SKKN: “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG TRONG HÌNH HỌC THCS” I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Là giáo viên trường PT Dân tộc nội trú, nhận thấy trình độ học sinh thường không đồng môn, học sinh thường yếu môn tự nhiên, lực tư khả lập luận học sinh nhiều hạn chế, làm để học sinh có hứng thú học tập môn có khả giải tốt số tập câu hỏi đặt cho tất giáo viên toán có tâm huyết với nghề nghiệp Như biết, lứa tuổi học sinh THCS phần lớn em ham chơi, chứa trọng đến việc học tập, định hướng mục đích học tập chưa thật rõ ràng Môn toán môn nói khó học sinh, đặc biệt phần hình học giải pháp hữu hiệu dẫn đến tình trạng học sinh chán học môn hình thành thói quen xấu trông chờ, ỷ lại thân người học Dạng toán chứng minh điểm thẳng hàng phân môn hình học coi dạng toán chứng minh rắc rối khó tìm hướng giải học sinh Nhưng lại dạng toán tổng hợp vận dụng đến nhiều kiến thức liên quan môn hình học bậc THCS Giúp học sinh có hướng giải dạng toán giúp học sinh nắm kiến thức bậc học THCS Chính mà chọn đề tài “một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng hình học THCS” Trong sáng kiến này, xin đưa số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng thường gặp chương trình hình học THCS; Mỗi phương pháp đưa ví dụ minh họa có phân tích định hướng giải số tập vận dụng, nhằm giúp học sinh có định hướng phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng; hứng thú học hình học nói riêng môn Toán nói chung Hy vọng với phần tài liệu này, giúp em vận dụng linh hoạt kiến thức vào toán chứng minh ba điểm thẳng tập khác liên quan Qua học sinh lĩnh hội kiến thức cách chủ động, sáng tạo hình thành thói quen vận dụng kiến thức vào môn học, vào thực tiễn II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Cơ sở lý luận Toán học môn khoa học tự nhiên có vai trò quan trọng lĩnh vực khoa học, toán học nghiên cứu nhiều, đa dạng phong phú Toán học có vai trò quan trọng đời sống, khoa học công nghệ đại, việc nắm vững kiến thức toán học giúp cho học sinh có sở nghiên cứu môn khoa học khác, đồng thời hoạt động có hiệu lĩnh vực Trong đó, dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng dạng toán vận dụng đến nhiều kiến thức liên quan môn hình học bậc THCS có nhiều ứng dụng giải toán hình học; để giải toán hình học, bên cạnh việc nắm vững khái niệm tính chất, định lí học sinh phải có đam mê, tìm tòi, chủ động lĩnh hội kiến thức Cơ sở thực tiễn Đa số học sinh thường ngại học hình học, em chưa định hướng cách giải toán cách rõ ràng, dùng kiến thức vào giải toán Một số học sinh ý thức tự học chưa cao, không tích cực chủ động lĩnh hội kiến thức Ngoài ra, kiểm tra, thi số điểm hình học thường chiếm tỉ lệ nên số học sinh không trọng đến toán hình Do học sinh hứng thú học hình học Tâm lý em ngại học hình Đối tượng giảng dạy học sinh người dân tộc thiểu số vùng sâu, vùng xa đến từ hai huyện Tân Phú - Định Quán, hoàn cảnh kinh tế gia đình khó khăn; quan tâm gia đình đến việc học em chưa thật sâu sắc Mặt khác, đa số em thích học môn vận động, khiếu, khả tư môn tự nhiên chậm, đặc biệt với toán chứng minh hình học Từ giải pháp có sách vở, SKKN này, xin nêu hệ thống số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng thường gặp hình học THCS, ví dụ minh họa tập vận dụng Các giải pháp đề tài giải pháp thay phần giải pháp có chưa áp dụng đơn vị trường PT DTNT III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP (ĐỀ XUẤT) Giải pháp: “Một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng hình học THCS” Sử dụng khái niệm hai góc kề bù có ba điểm nằm hai cạnh hai tia đối Nếu AOˆ B + BOˆ C = AOˆ C = 180O B ⇒ Ba điểm A, O, C thẳng hàng A C O 1.1 Ví dụ Ví dụ 1: ( Bài tập 55 trang 80 SGK Hình học 7) Cho hình vẽ: Chứng minh ba điểm B, D, C thẳng hàng GIẢI Ta có: KD đường trung trực AC ˆ =D ˆ (1) ⇒ DA = DC ⇒ ∆ ADC cân D ⇒ D Lại có: DI đường trung trực AB ⇒ DA = DB ˆ =D ˆ (2) ⇒ ∆ ABD cân D ⇒ D B I D A K C Từ (1) (2) suy ⇒ Dˆ + Dˆ = Dˆ + Dˆ Ta có: DK // AI (cùng vuông góc với AC) ) Mà I = 900 suy IDˆ K = 900 ⇒ Dˆ + Dˆ = Dˆ + Dˆ =900 ˆ +D ˆ = 1800 ˆ +D ˆ +D ⇒D Vậy ba điểm B, D, C thẳng hàng Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông A, M trung điểm AC Kẻ tia Cx vuông góc CA (tia Cx điểm B hai nửa mặt phẳng đối bờ AC) Trên tia Cx lấy điểm D cho CD = AB Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng ˆ C + CM ˆ D = 180 Gợi ý: Muốn B, M, D thẳng hàng cần chứng minh BM GIẢI Xét ∆ AMB ∆ CMD có: AB = DC (gt) ˆ M = DC ˆ M = 900 BA MA = MC (M trung điểm AC) ˆ B = CM ˆD Do đó: ∆ AMB = ∆ CMD (c.g.c) ⇒ AM ˆ B + BM ˆ C = 1800 (kề bù) nên BM ˆ C + CM ˆ D = 180 Mà AM Vậy ba điểm B, M, D thẳng hàng 1.2 Bài tập vận dụng Bài 1: Cho tam giác ABC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AC, tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AB Gọi M, N trung điểm BE CD Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A có ABˆ C = 600 Vẽ tia Cx ⊥ BC (tia Cx điểm A phía phía bờ BC), tia Cx lấy điểm E cho CE = CA Trên tia đối tia BC lấy điểm F cho BF = BA Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng Sử dụng tiên đề đường thẳng song song Tiên đề Ơclít: Qua điểm đường thẳng kẻ đường thẳng song song với đường thẳng cho Do đó, qua điểm A ta kẻ AB AC song song với đường thẳng d A, B, C thẳng hàng A B CB // d CA // d C ⇒ A, B, C thẳng hàng d 2.1 Ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm D Kẻ DF song song BC (F ∈ AC) Trên tia đối tia CA lấy điểm E cho CE = BD Gọi I trung điểm DE Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng GIẢI ˆ ˆ Ta có ADF = B (cặp góc đồng vị) ˆ B (cặp góc đồng vị) AFˆ D = AC Mà Bˆ = ACˆ B (tam giác ABC cân A) Suy ADˆ F = AFˆ D ⇒ ∆ ADF cân A Mặt khác BD = AB − AD  ⇒ BD = CF CF = AC − AF  Mà BD = CE (gt) suy CE = CF ID = IE ⇒ IC đường trung bình ∆ DEF ⇒ CI // DF (tính chất đường trung bình) Mà BC // DF suy B, I, C thẳng hàng Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng AC BD cắt tai trung điểm O đoạn Trên tia AB lấy lấy điểm M cho B trung điểm AM, tia AD lấy điểm N cho D trung điểm AN Chúng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng Hướng dẫn: Chứng minh: CM // BD CN // BD từ suy M, C, N thẳng hàng GIẢI Xét ∆ AOD ∆ COD có: A OA = OC (vì O trung điểm AC) x ˆ D = CO ˆ B (hai góc đối đỉnh) = AO * X OD = OB (vì O trung điểm BD) O B D / / ˆ ˆ ⇒ ∆ ∆ Vậy AOD = COB (c.g.c) DAO = OCB = * Do AD // BC ⇒ DAˆ B = CBˆ M (ở vị trí đồng vị) X Xét ∆ DAB ∆ CBM có : M C N AD = BC ( ∆ AOD = ∆ COB) ˆ B = CB ˆ M (cmt) DA AB = BM ( B trung điểm AM) ˆC Vậy ∆ DAB = ∆ CBM (c.g.c) ⇒ ABˆ D = BM Do BD // CM (1) Lập luận tương tự ta BD // CN (2) Từ (1) (2) , theo tiên đề Ơ-Clit suy ba điểm M, C, N thẳng hàng 2.2 Bài tập vận dụng Bài Cho tam giác ABC Vẽ cung tròn tâm C bán kính AB cung tròn tâm B bán kính AC Đường tròn tâm A bán kính BC cắt cung tròn tâm C tâm B E F ( E F nằm nửa mặt phẳng bờ BC chứa A) Chứng minh ba điểm F, A, E thẳng hàng Bài 2: Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm cạnh AC, AB Trên đường thẳng BM CN lấy điểm D E cho M trung điểm BD N trung điểm EC Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng Chứng minh hai đường thẳng qua điểm vuông góc với đường thẳng cho trước: A a B C thẳng hàng 3.1 Ví dụ Ví dụ 1: Cho ∆ ABC, tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AB Trên tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AC Vẽ AH vuông góc BC (H ∈ BC) Trên đoạn DE lấy điểm K cho BH = DK chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng GIẢI Có ∆ ADE = ∆ ABC (vì AE = AC, AD = AB, DAˆ E = BAˆ C ) E K D ˆ =B ˆ ⇒ DE // BC ⇒ D A L i c ó ∆ AHB = ∆ AKD (vì AB= AD, BH= DK, Dˆ = Bˆ ) ˆ D = AH ˆ B = 900 ⇒ AK ⊥ BC ⇒ AK B C Mà AH ⊥ BC H Suy ba điểm K, A, H thẳng hàng Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi M trung điểm BC a) Chứng minh AM ⊥ BC b) Vẽ hai đườn tròn tâm B tâm C có bán kính cho chúng cắt hai điểm P Q Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng Gợi ý: - Chứng minh AM, PM, QM vuông góc BC - Hoặc AP, AQ tia phân giác góc BAC GIẢI a) Chứng minh AM ⊥ BC Xét ΔABM ΔACM có: AB =AC (gt) AM chung MB = MC (M trung điểm BC) Vậy ΔABM = ΔACM (c.c.c) ˆ B = AM ˆ C (hai góc tương ứng) Suy ra: AM ˆ B + AM ˆ C = 1800 (hai góc kề bù) nên Mà AM ˆ B = AM ˆ C = 900 AM Do AM ⊥ BC (đpcm) b) Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng Chứng minh tương tự ta được: ΔBPM = ΔCPM (c.c.c) ˆ B = PM ˆ C (hai góc tương ứng) Suy ra: PM ˆ B + PM ˆ C = 1800 nên PM ˆ B = PM ˆ C = 900 Mà PM Do PM ⊥ BC Lập luận tương tự QM ⊥ BC Từ điểm M BC có AM ⊥ BC,PM ⊥ BC, QM ⊥ BC Nên ba điểm A, P, Q thẳng hàng (đpcm) 3.2 Bài tập vận dụng: Cho tam giác ABC vuông góc A có góc B 530 a) Tính góc C b) Trên cạnh BC, lấy điểm D cho BD = BA Tia phân giác góc B cắt cạnh AC điểm E Chứng minh ΔBEA = ΔBED c) Qua C, vẽ đường thẳng vuông góc với BE H CH cắt đường thẳng AB F Chứng minh: ΔBHF = ΔBHC d) Chứng minh ΔBAC = ΔBDF D, E, F thẳng hàng Chứng minh ba điểm thuộc tia phân giác góc: x C B A y BA tia phân giác xAˆ y   ⇒ A, B , C thang hàng CA tia phân giác xAˆ y  4.1 Ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi M điểm nằm tam giác cho MB = MC Gọi N trung điểm BC Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng GIẢI A Có ∆ ABM = ∆ ACM (vì AM chung, AB = AC, MB = MC ) ˆ M = CA ˆ M ⇒ AM tia phân giác BA ˆ C (1) ⇒ BA M Tương tự ∆ ABN= ∆ ACN (c.c.c) C ˆ N = CA ˆ N ⇒ AN tia phân giác BA ˆ C (2) ⇒ BA B N Từ (1), (2) suy ba điểmA, M, N thẳng hàng Ví dụ 2: Cho góc xOy Trên hai cạnh Ox Oy lấy hai điểm B C cho OB = OC Vẽ đường tròn tâm B tâm C có bán kính cho chúng cắt hai điểm A D nằm góc xOy Chứng minh ba điểm O, A, D thẳng hàng Hướng dẫn: Chứng minh OD OA tia phân giác góc xOy GIẢI: x Xét ΔBOD ΔCOD có: B OB = OC (gt) = = / OD chung A D O / = BD = CD (D giao điểm hai = C đường tròn tâm B tâm C bán kính) y Vậy ΔBOD =ΔCOD (c.c.c) Suy BOˆ D = COˆ D Hình 10 Điểm D nằm góc xOy nên tia OD nằm hai tia Ox Oy Do OD tia phân giác xOˆ y Chứng minh tương tự ta OA tia phân giác xOˆ y Góc xOy có tia phân giác nên hai tia OD OA trùng Vậy ba điểm O, D, A thẳng hàng 4.2 Bài tập vận dụng Bài Cho tam giác ABC có AB = AC Kẻ BM ⊥ AC, CN ⊥ AB ( M ∈ AC , N ∈ AB ), H giao điểm BM CN a) Chứng minh AM = AN b) Gọi K trung điểm BC Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi H trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa C kẻ tia Bx vuông góc AB, nửa mặt phẳng bờ AC chứa B kẻ tia Cy vuông AC Bx Cy cắt E Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng Sử dụng tính chất đường phân giác góc, tính chất đường trung trực đoạn thẳng, tính chất ba đường trung trực, ba đường phân giác, ba đường cao tam giác 5.1 Chứng minh ba điểm thuộc đường trung trực đoạn thẳng A A thuộc đường trung trực MN B thuộc đường trung trực MN => A, B, C thẳng hàng C thuộc đường trung trực MN B C M N Ví dụ: Cho ba tam giác cân ABC, DBC EBC có chung đáy BC Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng GIẢI Ta có: ∆ ABC cân A suy AB = AC ⇒ A thuộc đường trung trực BC (1) A Lại có ∆ DBC cân D suy DB = DC ⇒ D thuộc đường trung trực BC (2) D Có ∆ EBC cân E suy EB = EC B C ⇒ E thuộc đường trung trực BC (3) E Từ (1), (2), (3) suy ba điểm A, D, E thẳng hàng 5.2 Áp dụng đường trung tuyến tam giác phải qua trọng tâm A G trọng tâm tam giác ABC AM trung tuyến tam giác ABC => A, B, C thẳng hàng G C B M Ví dụ: Cho tam giác ABC, kẻ trung tuyến AM Trên AM lấy hai điểm P, Q cho AQ = PQ = PM Gọi E trung điểm AC Chứng minh ba điểm B, P, E M thẳng hàng A GIẢI Q Trong ∆ ABC có AM trung tuyến E mà AQ = QP = PM (gt) P ⇒ AP = AM C B ⇒ P trọng tâm ∆ ABC Vì E trung điểm AC nên BE trung tuyến ∆ ABC ⇒ BE qua trọng tâm P hay ba điểm B, P, E thẳng hàng 5.3 Chứng minh đường phân giác tam giác qua giao điểm chung A chúng: I giao điểm đường phân giác Bˆ , Cˆ AD phân giác Aˆ ⇒ Ba điểm A, I, D thẳng hàng I C B D Ví dụ: Cho tam giác ABC, tia phân giác góc A C cắt I Các đường phân giác góc đỉnh A C cắt K Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng GIẢI Vì K thuộc đường phân giác góc A nên K cách hai cạnh Ax AC (1) Vì K thuộc đường phân giác góc C nên K cách hai cạnh Cy x AC (2) Từ (1) (2) suyC K cách cạnh Ax Cy K A Hay K cách hai cạnh BA BC ˆ ⇒ KB tia phân giác B I Vì I giao điểm hai tia phân giác Aˆ , Cˆ nên: B y C BI tia phân giác Bˆ (gt) ⇒ Ba điểm B, I, K thẳng hàng 5.4 Chứng minh đường cao tam giác qua trực tâm tam giác A đó: H trực tâm ∆ ABC AD đường cao ∆ ABC ⇒ A, H, D ba điểm thẳng hàng H B C D Ví dụ: Cho tam giác ABC cân A, vẽ đường cao BH CK cắt I A Gọi M trung điểm BC Chứng minh A, I, M thẳng hàng GIẢI Vì I giao điểm hai đường cao BH CK nên I trực tâm ∆ ABC H ∆ ABC cân A có AM đường trung tuyến nên đường cao.K I ⇒ Đường cao AM qua trực tâm I B C ⇒ Ba điểm A, I, M thẳng hàng M 5.5 Chứng minh đường trung trực cạnh qua giao điểm hai A đường trung trực hai cạnh lại: O giao điểm đường trung trực cạnh AC BC E F EF đường trung trực cạnh AB O => E, F,O thẳng hàng B C Ví dụ: Cho tam giác ABC cân A, M trung điểm BC Đường trung trực AB, AC cắt D Chứng minh A, D, M thẳng hàng A GIẢI ∆ ABC cân A có MB = MC nên: AM đường trung tuyến ∆ ABC ⇒ AM đường trung trực ∆ ABC Mà D giao điểm hai đường trung trực cạnh AB, AC D Nên AM qua D ⇒ Ba điểm A, D, M thẳng hàng B M C Mỗi đoạn thẳng có trung điểm ’ ’ Nếu K trung điểm BD, K giao điểm BD AC Nếu K Là trung điểm BD K’ ≡ K A, K, C thẳng hàng 6.1 Ví dụ Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N cho BM = CN Gọi K trung điểm MN Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng GIẢI 10 A Kẻ ME ⊥ BC ; NF ⊥ BC ( E ; F ∈ BC) M ∆BME ∆CNF vuông E F có: = K' BM = CN (gt), MBˆ E = NCˆ F (cùng ACˆ B ) F C B E K = Do đó: ∆BME = ∆CNF (Trường hợp cạnh huyền- góc nhọn) hình 11 Suy ra: ME = NF N ’ Gọi K giao điểm BC MN ˆ K' = FN ˆ K' (so le ∆ MEK’ ∆ NFK’ vuông E F có: ME = NF (cmt), EM ME // FN) Vậy ∆ MEK’ = ∆ NFK’ (g-c-g) Do đó: MK’ = NK’ Vậy K’ trung điểm MN, mà K trung điểm MN nên K ≡ K’ Do ba điểm B,K,C thẳng hàng 6.2 Bài tập vận dụng: Cho tam giác ABC cân A, BAˆ C = 1080 , Gọi O điểm nằm tia phân giác góc C cho CBˆ O = 120 Vẽ tam giác BOM (M A thuộc nửa mặt phẳng bờ BO) Chứng minh ba điểm C, A, M thẳng hàng Hướng dẫn: Chứng minh OCˆ A = OCˆ M từ suy tia CA tia CM trùng GIẢI Tam giác ABC cân A 1800 − 1080 ˆ ˆ = 360 (tính chất tam giác cân) nên ABC = ACB = Mà CO tia phân giác ACˆ B , nên OCˆ A = BCˆ O = 180 Do BOˆ C = 1500 M ΔBOM nên BOˆ M = 600 Vậy: MOˆ C = 3600 - (1500 + 600 ) = 1500 = = A 108° ΔBOC ΔMOC có: / O / // 12° OB = OM ( ΔBOM đều) C B ˆ ˆ Hình 13 = BOC MOC = 150 OC chung Do : ΔBOC = ΔMOC (c.g.c) Suy ra: OCˆ B = OCˆ M mà OCˆ B = OCˆ A (gt) nên OCˆ A = OCˆ M Hai tia CA CM nằm nửa mặt phẳng bờ CO OCˆ A = OCˆ M nên tia CA tia CM trùng Vậy ba điểm C, A, M thẳng hàng (đpcm) Sử dụng tính chất hình bình hành Có thể sử dụng tính chất: hai đường chéo hình bình hành cắt trung điểm đường Do đó, chứng minh tứ giác ABCD hình bình hành O trung điểm AC B,O,D thẳng hàng 7.1 Ví dụ : Cho ABC có trực tâm H nội tiếp (O) đường kính CM, gọi I trung điểm AB Chứng minh H, I, M thẳng hàng Giải 11 MB ⊥ BC, AH ⊥ BC (suy từ giả thiết) A ⇒ MB // AH Mà MA // BH (cùng vuông góc với AC) ⇒AMBH hình bình hành M I H O C B ⇒AB cắt MH trung điểm I AB MH (t/c hình bình hành) ⇒ H, I, M thẳng hàng 7.2 Bài tập vận dụng Cho ABC điểm M tam giác Gọi A1, B1, C1 thứ tự điểm đối xứng M qua trung điểm cạnh BC, CA, AB Gọi O giao điểm BB1 CC1 Chứng minh điểm A, O, A1 thẳng hàng Sử dụng tính chất đường tròn Khi B tâm đường tròn đường kính AC, đường tròn tâm A đường tròn tâm C tiếp xúc B điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự 8.1 Ví dụ Ví dụ 1: Từ điểm M đường tròn ngoại tiếp ∆ABC hạ đường thẳng MD, ME, MF vuông góc với BC, CA, AB Chứng minh D, E, F thẳng hàng (Đường thẳng sim sơn) Hướng dẫn: Chứng minh tứ giác BDMF, MECD, AMBC, MFEA nội tiếp Sử dụng tính chất hai góc nội tiếp chắn cung So sánh góc: AME, góc AFE, góc DMB, góc DFB, góc DME BMA ⇒ so sánh góc AME góc DMB So sánh hai góc DFB AFE ⇒ ba điểm D, F, E thẳng hàng D B M F O Chứng minh: ˆ = MAF ˆ (hai góc nội tiếp chắn cung MB) Ta có: MCB Từ tứ giác nội tiếp AMFE , MDBF MDCE ta có: ˆ = 1800 ; BMA ˆ = 1800 ⇒ DME ˆ + DCE ˆ + DCA ˆ = BMA ˆ DME ˆ = AME ˆ (1); ⇒ BMD C A E ˆ = AFE ˆ ; BMD ˆ = BFD ˆ (Hai góc nội tiếp Mặt khác: AMF chắn cung) (2) ˆ = AFE ˆ ⇒ Ba điểm E, F, D thẳng hàng Từ (1), (2) ⇒ DFB 12 Ví dụ Cho (O) đường kính AB Điểm M chuyển động (O), M≠A; M≠B Kẻ MH vuông góc với AB Vẽ đường tròn (O1) đường kính MH cắt đường thẳng MA MB C D Chứng minh rằng: a) C, D, O1 thẳng hàng b) ABDC nội tiếp M Giải D ˆ B = 900 (góc nội tiếp chắn nửa (O)) a) Ta có: AM ˆ D = 900 ⇒CM C ⇒ CD đường kính (O1) A ⇒ C, D, O1 thẳng hàng O H B O b) MCHD hình chữ nhật nội tiếp (O1)  ⇒ MCˆ D = MHˆ D (2 góc nội tiếp chắn MD ) Mà MCˆ D = Bˆ ⇒ MCˆ D + ACˆ D = Bˆ + ACˆ D = 1800 ⇒ABDC nội tiếp 8.2 Bài tập vận dụng Bài 1: Cho đường tròn (O) dây cung AB Lấy I thuộc đoạn AB cho IA > IB Gọi D điểm cung nhỏ AB, DI cắt (O) điểm thứ hai C Tiếp tuyến với (O) C cắt AB K Lấy điểm E cho KE = KI = IE , EC cắt (O) F Chứng minh D, O, F thẳng hàng Bài 2: Cho ∆ ABC (AC > AB) Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác tiếp xúc với AB, BC D E Gọi M, N trung điểm AC, BC Gọi K giao điểm MN AI Chứng minh rằng: a Bốn điểm I, E, K, C thuộc đường tròn b Ba điểm D, E, K thẳng hàng Hướng dẫn: IE ⊥BC ⇒ góc IEC = ? ⇒ I, E, C thuộc đường tròn đường kính IC, ta phải chứng minh điểm K thuộc đường tròn đường kính IC tức góc IKC=900 Thêm điểm Để chứng minh điểm A, B, C thẳng hàng xác định thêm điểm D khác A, B, C sau chứng minh hai ba điểm A, B, D; A, C, D; B, C, D thẳng hàng 9.1.Ví dụ: Cho hình chữ nhật ABCD có O giao điểm đường chéo Điểm M đoạn OB, lấy E đối xứng với A qua M; H hình chiếu điểm E BC, vẽ hình chữ nhật EHCF Chứng minh M, H, F thẳng hàng Giải Gọi I giao điểm HF CE 13 A B ⇒ H; I; F thẳng hàng (*) (t/c hình chữ nhật) M Cần chứng minh: M, I, F thẳng hàng MA = ME = 1 AE ( gt ) OA = OC = AC 2 E H O (t/c hình chữ nhật) I ⇒ OM đường trung bình ACE ⇒ OM // CE ⇒ ODˆ C = ICˆ F (2 góc đồng vị) D C F Mà ODˆ C = OCˆ D IFˆ C = ICˆ F (vì OCD cân O, ICF cân I, t/c hình chữ nhật) ⇒ OCˆ D = IFˆ C ⇒ IF//AC mà IM //AC (do IM đường trung bình ACE) ⇒ M, I, F thẳng hàng (tiên đề Ơclít) Kết hợp với (*) ta có: M, H, F thẳng hàng 9.2 Bài tập vận dụng Cho tứ giác ABCD nội tiếp đương tròn (O) Gọi E giao điểm AB CD Gọi F giao điểm AC BD Các tiếp tuyến với (O) B C cắt M Chứng minh E, M, F thẳng hàng 10 Sử dụng đồng qui đường thẳng 10.1 Ví dụ: Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD, đáy lớn AB Đường thẳng kẻ từ C song song với AD cắt đường chéo BD M, cắt AB F Đường thẳng kẻ từ D song song với BC cắt đường chéo AC N, cắt AB E Các đường thẳng kẻ từ E F song song với BD AC cắt AD BC theo thứ tự P Q Chứng minh điểm M, N, P, Q thẳng hàng Định hướng: Áp dụng định lý Talét thuận đảo ∆ ADB, ABC, ADC, … ⇒ ta phải chứng minh MQ // CD, MP // AB, MN // AB ⇒ điều phải chứng minh P Chứng minh: Áp dụng định lý Ta lét tam giác ta có: C D AN AE AP AE AE AN AP = = = ; = = Do NC EB PD CD EB NC PD M N DCBE hình bình hành ⇒ DC = EB, BC Q = DE ⇒ A E F B AN AP = , từ ta có PN//CD (1) NC PD Chứng minh tương tự ta có: BM BQ MB AP = ; = ⇒ MQ // CD(2); MP // AB(3) MD QC MD PD 14 Từ (1),(2),(3) ⇒ đường thẳng PN, PM, MQ trùng nhau, hay điểm M, N, P, Q thẳng hàng Ví Dụ 2: Cho hai đường thẳng a b song song Trên đường thẳng a lấy hai điểm A B, đường thẳng b lấy hai điểm C D (A C nằm nửa mặt phẳng có bờ BD) cho CD = 2AB Qua A kẻ đường thẳng c song song với BD cắt b M, cắt BC I Qua I kẻ đường thẳng d song song với đường thẳng a cắt BD N BM cắt DI K Chứng minh ba điểm C, K, N thẳng hàng A B Định hướng: dự đoán vị trí điểm M đoạn CD, vị trí điểm I đoạn BC, vị trí điểm N đoạn BD ⇒ Các đường BM, CN, DI đường đặc biệt ∆BCD? Chứng minh: I C N K M D Ta có: AB // MD; AM // BD (gt) ⇒ Tứ giác ABDM hình bình hành ⇒ MD = AB mà CD = 2AB (gt) ⇒ MD = MC (1) Lại có: MI // BD mà MC = MD (cmt) ⇒ IB = IC (đường thẳng qua trung điểm cạnh song song với cạnh thứ hai ∆BCD qua trung điểm cạnh thứ ba) (2) Có IN // CD mà IB = IC (cmt) ⇒ NB = ND (đường thẳng qua trung điểm cạnh song song với cạnh thứ hai ∆BCD qua trung điểm cạnh thứ ba) (3) Từ (1), (2), (3) ⇒ BM, DI, CN ba đường trung tuyến ∆BCD Mà BM x DI K ⇒ theo định lý ba đường trung tuyến đồng qui ta có CN qua điểm K ⇒ C, N, K thẳng hàng 10.2 Bài tập vận dụng: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi M, N trung điểm AB BC, P điểm cung AC, I giao AN CM, K giao OP AC Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng Định hướng: AN CM hai đường trung tuyến ∆ ABC, AN CM cắt I, I trọng tâm ∆ABC Nhờ tính chất đồng qui ba đường trung tuyến ta dự đoán BK trung tuyến thứ ∆ABC Vấn đề đặt ta phải chứng minh K trung điểm AC IV.HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN Qua trình vận dụng đề tài vào trình giảng dạy nhận thấy học sinh có hứng thú trình làm tập tiết học hình học 15 hứng thú Các em mạnh dạn làm tập bước đầu có tiến trình học tập định hướng tốt chứng minh ba điểm thẳng hàng Cụ thể sau: Tổng số HS Số HS trung bình Trong số HS đạt giỏi, Số HS trung bình TSHS % TSHS % TSHS % Khi chưa áp dụng chuyên đề 69 32 43.5 11.6 37 53.6 Sau áp dụng chuyên đề 69 53 76.8 10 14.5 16 23,2 Kết cho thấy số học sinh đạt điểm trung bình, khá, giỏi tăng lên rõ rệt; nhiên số học sinh ẩu trình bày giải, vẽ hình Trên số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng hình học THCS Trong phương pháp có ví dụ điển hình tập tương tự Chứng minh ba điểm thẳng hàng dạng toán khó, tổng hợp nhiều kiến thức, đa dạng phương pháp chứng minh, nhiên với khả mình, nêu vài phương pháp thường gặp chương trình hình học THCS Dẫu biết rằng, phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng nhiều tác giả đề cập nhiều khía cạnh khác Do có sáng tạo hoàn toàn mà dừng lại mức độ định Tôi tin kinh nghiệm biện pháp nhỏ bé phương pháp đúc kết sách quý thầy cô giáo trước Vì thân mong đóng góp chân thành từ thầy cô giáo bạn bè đồng nghiệp để giúp hoàn thiện phương pháp để phục vụ cho nghiệp giáo dục nhiều Tôi xin trân thành cảm ơn! V ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Tùy đối tượng học sinh giáo viên đưa yêu cầu, tập vừa sức nhằm tạo niềm tin cho học sinh từ em có hứng thú học hình học Giáo viên nên có vài tiết để hệ thống lại số kiến thức phương pháp chứng minh để em nắm vững kiến thức linh hoạt vận dụng làm tập thực tế sống SKKN áp dụng chủ yếu cho học sinh THCS Sáng kiến thay phần giải pháp, đề xuất có VI TÀI LIỆU THAM KHẢO - Bộ Giáo dục Đào tạo (2016) Sách giáo khoa Toán 7, 8, 9, tái lần thứ mười một, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, Hà Nội - Tôn Thân cộng (2009) Các dạng toán phương pháp giải toán 7, 9, NXBGD, Hà Nội 16 - Phan Văn Đức, Nguyễn Hoàng Khanh (2008), Tuyển tập toán hay khó Hình học 7,8,9, NXBGD, Hà Nội - Lê Bích Ngọc, Lê Hồng Đức (2006), Bổ trợ kiến thức THCS phương pháp giải toán Hình học, NXBGD, Hà Nội - Phạm Thu (2005), Tổng hợp kiến thức toán THCS, NXBĐHSP, TP HCM - Hữu Bình (2008), Nâng cao phát triển toán 8, tái lần thứ tư, NXBGD, Hà Nội -https://sites.google.com/site/toanhoctoantap/kien-thuc-toan/14-phuong-phapchung-minh-3-diem-thang-hang/ -/ 17 VII PHỤ LỤC Trang I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 01 II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 01 Cơ sở lý luận .01 Cơ sở thực tiễn 02 III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP 02 Sử dụng khái niệm hai góc kề bù có ba điểm nằm hai cạnh hai tia đối 02 Sử dụng tiên đề đường thẳng song song .03 Chứng minh hai đường thẳng qua điểm vuông góc với đường thẳng cho trước .04 Chứng minh ba điểm thuộc tia phân giác góc 05 Sử dụng tính chất đường phân giác góc, tính chất đường trung trực đoạn thẳng, tính chất ba đường trung trực, ba đường phân giác, ba đường cao tam giác 06 Mỗi đoạn thẳng có trung điểm .08 Sử dụng tính chất hình bình hành 09 Sử dụng tính chất đường tròn 10 Thêm điểm 11 10 Sử dụng đồng qui đường thẳng 12 IV HIỆU QUẢ ĐỀ TÀI 13 V ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG 14 VI TÀI LIỆU THAM KHẢO .14 VII PHỤ LỤC .16 NGƯỜI THỰC HIỆN Nguyễn Thị Hòa 18 ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT HỌC SINH (Trước áp dụng đề tài) Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A, M trung điểm AC Kẻ tia Cx vuông góc CA (tia Cx điểm B hai nửa mặt phẳng đối bờ AC) Trên tia Cx lấy điểm D cho CD = AB Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng Bài 2: Cho hai đoạn thẳng AC BD cắt tai trung điểm O đoạn Trên tia AB lấy lấy điểm M cho B trung điểm AM, tia AD lấy điểm N cho D trung điểm AN Chúng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi M điểm nằm tam giác cho MB = MC Gọi N trung điểm BC Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng Hết 19 ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT HỌC SINH (Sau áp dụng đề tài) Bài 1: Cho ∆ ABC, tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AB Trên tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AC Vẽ AH vuông góc BC (H∈ BC) Trên đoạn DE lấy điểm K cho BH = DK chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi H trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa C kẻ tia Bx vuông góc AB, nửa mặt phẳng bờ AC chứa B kẻ tia Cy vuông AC Bx Cy cắt E Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng Bài 3: Cho tam giác ABC, tia phân giác góc A C cắt I Các đường phân giác góc đỉnh A C cắt K Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng Hết 20 BM01b-CĐCN SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Đơn vị ––––––––––– CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc –––––––––––––––––––––––– , ngày tháng năm PHIẾU ĐÁNH GIÁ, CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN Năm học: Phiếu đánh giá giám khảo thứ ––––––––––––––––– Tên sáng kiến: Họ tên tác giả: Chức vụ: Đơn vị: Họ tên giám khảo 1: Chức vụ: Đơn vị: Số điện thoại giám khảo: * Nhận xét, đánh giá, cho điểm xếp loại sáng kiến: Tính Điểm: …………./6,0 Hiệu Điểm: …………./8,0 Khả áp dụng Điểm: …………./6,0 Nhận xét khác (nếu có): Tổng số điểm: /20 Xếp loại: Phiếu giám khảo đơn vị đánh giá, chấm điểm, xếp loại theo quy định Sở Giáo dục Đào tạo; ghi đầy đủ, rõ ràng thông tin, có ký tên xác nhận giám khảo đóng kèm vào sáng kiến liền trước Phiếu đánh giá, chấm điểm, xếp loại sáng kiến giám khảo GIÁM KHẢO (Ký tên, ghi rõ họ tên) 21 BM01b-CĐCN SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Đơn vị ––––––––––– CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc –––––––––––––––––––––––– , ngày tháng năm PHIẾU ĐÁNH GIÁ, CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN Năm học: Phiếu đánh giá giám khảo thứ hai ––––––––––––––––– Tên sáng kiến: Họ tên tác giả: Chức vụ: Đơn vị: Họ tên giám khảo 2: Chức vụ: Đơn vị: Số điện thoại giám khảo: * Nhận xét, đánh giá, cho điểm xếp loại sáng kiến: Tính Điểm: …………./6,0 Hiệu Điểm: …………./8,0 Khả áp dụng Điểm: …………./6,0 Nhận xét khác (nếu có): Tổng số điểm: /20 Xếp loại: Phiếu giám khảo đơn vị đánh giá, chấm điểm, xếp loại theo quy định Sở Giáo dục Đào tạo; ghi đầy đủ, rõ ràng thông tin, có ký tên xác nhận giám khảo đóng kèm vào sáng kiến liền trước Phiếu nhận xét, đánh giá sáng kiến đơn vị GIÁM KHẢO (Ký tên, ghi rõ họ tên) 22 BM04-NXĐGSK SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Trường PTDTNT liên huyện Tân Phú – Định Quán ––––––––––– CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc –––––––––––––––––––––––– Tân Phú., ngày tháng 05 năm 2017 PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN Năm học: 2016 - 2017 ––––––––––––––––– Tên sáng kiến: “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG TRONG HÌNH HỌC THCS” Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Hòa Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Trường PTDTNT liên huyện Tân Phú – Định Quán Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào ô tương ứng, ghi rõ tên môn lĩnh vực khác) - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học môn: Toán  - Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác:  Sáng kiến triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong ngành  Tính (Đánh dấu X vào ô đây) - Chỉ lập lại, chép từ giải pháp, đề xuất có  - Chỉ thay phần giải pháp, đề xuất có với mức độ trung bình lần đầu áp dụng giải pháp ứng dụng tiến kỹ thuật có đơn vị khắc phục hạn chế thực tế đơn vị  - Chỉ thay phần giải pháp, đề xuất có với mức độ  - Chỉ thay phần giải pháp, đề xuất có với mức độ tốt giải pháp, đề xuất thay hoàn toàn so với giải pháp, đề xuất có  Hiệu (Đánh dấu X vào ô đây) - Không có minh chứng thực tế minh chứng thực tế chưa đủ độ tin cậy, độ giá trị  - Có minh chứng thực tế đủ độ tin cậy, độ giá trị để thấy sáng kiến có thay phần giải pháp, đề xuất có lần đầu áp dụng giải pháp ứng dụng tiến kỹ thuật đơn vị  - Có minh chứng thực tế đủ độ tin cậy, độ giá trị để thấy hiệu giải pháp, đề xuất tác giả thay hoàn toàn giải pháp, đề xuất có triển khai thực đơn vị  - Có minh chứng thực tế đủ độ tin cậy, độ giá trị để thấy sáng kiến thay phần giải pháp, đề xuất có toàn ngành; Phòng GD&ĐT Sở GD&ĐT triển khai thực  - Có minh chứng thực tế đủ độ tin cậy, độ giá trị để thấy sáng kiến thay hoàn toàn giải pháp, đề xuất có toàn ngành; Phòng GD&ĐT Sở GD&ĐT triển khai thực  Khả áp dụng (Đánh dấu X vào ô dòng đây) - Sáng kiến khả áp dụng  - Sáng kiến có khả áp dụng riêng cho Tổ/Khối/Phòng/Ban đơn vị  - Sáng kiến có khả áp dụng riêng cho đơn vị  - Sáng kiến có khả áp dụng cho toàn ngành sáng kiến có khả áp dụng tốt cho sở giáo dục chuyên biệt  Xếp loại chung: Xuất sắc  Khá  Đạt  Không xếp loại  Cá nhân viết sáng kiến cam kết chịu trách nhiệm không chép tài liệu người khác chép lại nội dung sáng kiến cũ đánh giá công nhận Lãnh đạo Tổ/Phòng/Ban Thủ trưởng đơn vị xác nhận sáng kiến tác giả tổ chức thực hiện, Hội đồng thẩm định sáng kiến Ban Tổ chức Hội thi giáo viên giỏi đơn vị xem xét, đánh giá, cho điểm, xếp loại theo quy định Phiếu đánh dấu X đầy đủ ô tương ứng, có ký tên xác nhận tác giả người có thẩm quyền, đóng dấu đơn vị đóng kèm vào cuối sáng kiến NGƯỜI THỰC HIỆN SÁNG KIẾN (Ký tên ghi rõ họ tên) XÁC NHẬN CỦA TỔ/PHÒNG/BAN (Ký tên ghi rõ họ tên) THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ (Ký tên, ghi rõ họ tên đóng dấu đơn vị) 23 24 ... pháp chứng minh bất đẳng thức” + SKKN: Một số phương pháp so sánh hai phân số Tên SKKN: “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG TRONG HÌNH HỌC THCS I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Là giáo viên... môn hình học bậc THCS Giúp học sinh có hướng giải dạng toán giúp học sinh nắm kiến thức bậc học THCS Chính mà chọn đề tài một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng hình học THCS Trong. .. thấy số học sinh đạt điểm trung bình, khá, giỏi tăng lên rõ rệt; nhiên số học sinh ẩu trình bày giải, vẽ hình Trên số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng hình học THCS Trong phương pháp