Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong chương trình đại số lớp 9

Quan hệ lớn hơn hoặc nhỏ hơn giữa hai số, giữa hai đại lượng là một quan hệ số lượng rất cơ bản, điều đó nói lên vai trò của bất đẳng thức.Trong chương trình toán học trung học cơ sở, bấ

MỤC LỤC

MỤC LỤC……….……… ……….……… 1

1 MỞ ĐẦU……….……….……… 2

1.1 Lý do chọn đề tài ……….……….……… 2

1.2 Mục đích nghiên cứu ……….……… …….……… 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu ……… ……….……… …….……… 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu ……….……… … … 2

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ……… ……….…… …… 3

2.1 Cơ sở lý luận ……….……… ………… ……… ……… 3

2.2.Thực trạng vấn đề ……… ………….……… ………… …….…… 3

2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện ……….…….……… …… …… 4

2.3.1 Nội dung ……….……… ………… …. 4

2.3.2 Một số kiến thức về bất đẳng thức……….… ……… 4

2.3.3 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức ……… ………… 5

2.3.4 Một số ứng dụng của bất đẳng thức ……… …… ….… … 14

2.4 Hiệu quả của SKKN ……….…….……… ……… …… …… 17

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ……….….……… 18

TÀI LIỆU THAM KHẢO ……… ……… ………… ……… 19

1 MỞ ĐẦU:

1.1 Lý do chọn đề tài:

Trong chương trình toán học THCS, bất đẳng thức đóng một vai trò quan trọng.Theo Ăngghen thì toán học nghiên cứu những mối quan hệ số lượng và hình dạng không gian của thế giới khách quan Quan hệ lớn hơn hoặc nhỏ hơn giữa hai

số, giữa hai đại lượng là một quan hệ số lượng rất cơ bản, điều đó nói lên vai trò của bất đẳng thức.Trong chương trình toán học trung học cơ sở, bất đẳng thức là một trong những kiến thức cơ bản, xuyên suốt toàn bộ chương trình thể hiện ở chỗ: Ngay bậc tiểu học, học sinh đã làm quen với bất đẳng thức một cách không tường minh Lên THCS học sinh được học thêm các kiến thức về bất đẳng thức và các phương pháp chứng minh chúng.Trong chương trình toán học trung học cơ sở bất đẳng thức được đưa vào rất ít, song trong các kỳ thi học sinh giỏi toán và thi cấp 3 thì những bài toán về bất đẳng thức lại là những bài toán khó đối với học sinh Có thể nói chứng minh bất đẳng thức là phần gây cho học sinh nhiều lúng túng và bối rối

Tuy nhiên các phương pháp chứng minh bất đẳng thức lại rất đa dạng, phong phú và độc đáo, chủ yếu dựa vào đặc thù của từng bất đẳng thức, điều đó không gây cho học sinh sự nhàm chán Mặt khác, nhờ việc chứng minh một bất đẳng thức đơn giản mà có thể pháp hiện ra được nhiều bất đẳng thức hay và đẹp Do đó, bất đẳng thức cũng tạo cho học sinh nhiều điều ngạc nhiên và thú vị, giúp học sinh đến thích thú các bài toán bất đẳng thức nói riêng và say mê toán học nói chung Vì thế việc luyên tập về chứng minh bất đẳng thức là cần thiết

Với các lý do trên, tôi chọn đề tài “ Một số phương pháp chứng minh bất

đẳng thức trong chương trình đại số lớp 9”

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Thông qua đề tài tôi muốn trao đổi thêm về các phương pháp giảng dạy bất đẳng thức để có hiệu quả giảng dạy cao nhất

Giúp cho học sinh có hướng suy nghĩ tìm tòi lời giải trong bài toán chứng minh bất đẳng thức nhằm dần hình thành khả năng phân tích, tổng hợp kiến thức, giúp phát triển tư duy và rèn kỹ năng tự học cho học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu: Học sinh khối 9 môn đại số 9

1.4 Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp xây dựng cơ sở lý thuyết,

Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, Phương pháp thu thập thông tin, Phương pháp thống kê xử lí tài liệu

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

2.1 Cơ sở lí luận:

Xuất phát từ nhu cầu thực tiễn nhằm nâng cao mặt bằng dân trí, đồng thời tạo điều kiện thuận lợi góp phần hình thành và phát triển các yếu tố cơ bản về phẩm chất và năng lực của người lao động mới Tạo nguồn lực đáp ứng kịp thời

sự phát triển của đất nước, đồng thời đưa nền giáo dục của nước nhà lên một vị trí mới hoà nhập với xu thế phát triển giáo dục của thế giới Bộ giáo dục và đào tạo đã thực hiện đổi mới có tính chất đồng bộ về mục tiêu, nội dung, phương pháp, cách thức tổ chức kiểm tra đánh giá trong quá trình dạy học, thể hiện qua việc đổi mới chương trình, sách giáo khoa Nhưng để thực hiện tốt công tác này thì vấn đề đổi mới phương pháp dạy và học là hết sức quan trọng, điều này đã được NQ-TW4 khoá VII và NQ-TW2 khoá VIII khẳng định và chỉ rõ :

“Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học Từng bước

áp dụng các phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện, thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh”

Những năm gần đây định hướng đổi mới phương pháp đã được thống nhất theo tư tưởng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh dưới sự tổ chức hướng dẫn của giáo viên.Do vậy vai trò giảng dạy của giáo viên lúc này rất quan trọng Giáo viên là người hướng dẫn, phân tích giúp học sinh tìm ra cách giải

Vì vậy làm thế nào để định hướng cho học sinh có thể chứng minh một bài toán bất đẳng thức và tìm GTLN và GTNN Mặt khác còn rèn luyện cho học sinh đức tính tự lập, sáng tạo, làm việc có kế hoạch và có hứng thú học tập

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN:

a Thuận lợi

- Hiện nay đời sống kinh tế được nâng cao rõ rệt, phần lớn các bậc phụ huynh đều quan tâm đến việc học hành của con em mình Đa số các bậc phụ huynh nhận thức được tầm quan trọng của việc học môn Toán

- Được sự quan tâm của các cấp uỷ Đảng và chính quyền địa phương, đặc biệt là Ban giám hiệu nhà trường nên hoạt động dạy và học toán trong nhà trường diễn ra thuận lợi, đạt kết quả cao Giáo viên được trang bị đầy đủ phương tiện phục vụ dạy học như : máy vi tính, máy chiếu đa năng, camera vật thể,

- Học sinh có đầy đủ sách giáo khoa, sách tham khảo Học sinh trung học cơ sở đa phần sử dụng được Internet để cập nhật tri thức

b Khó khăn

Qua tìm hiểu, khảo sát tình hình thực tế tôi thấy rằng :

- Việc tìm ra lời giải cho một bài toán CM bất đẳng thức là khá khó khăn cho học sinh,mặc dù trong quá trình giảng dạy giáo viên đã cố gắng hướng dẫn, rèn luyện các kỹ năng cần thiết Do vậy một vấn đề cần thiết là định hướng kiến thức

- Các bài toán bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN xuất hiện nhiều trong thi vào cấp 3, thi học sinh giỏi Tuy nhiên cả giáo viên và học sinh rất nhiều khó khăn

2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện:

2.3.1 Nội dung:

Khi gặp bài toán chứng minh bất đẳng thức thì có rất nhiều cách giải khác nhau Trong đề tài này tôi lựa chọn và đưa ra một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đó là những phương pháp sau:

- Phương pháp dùng định nghĩa và biến đổi tương đương.

- Phương pháp chứng minh phản chứng

- Phương pháp làm trội, làm giảm

- Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức đã biết

Ngoài ra còn có một số bài toán chứng minh bất đẳng thức mà phải kết hợp nhiều phương pháp khác nhau.

2.3.2 Một số kiến thức về bất đẳng thức.

a Một số định nghĩa:

Định nghĩa 1:

- Số thực a gọi là lớn hơn số thực b, ký hiệu a > b, nếu a - b là một số

dương tức là a - b >0 Khi đó ta cũng ký hiệu b<a Ta có a>b  a-b>0.

- Nếu a>b hoặc a=b Ta viết a  b ta có a  b a b 0

Định nghĩa 2:

Các mệnh đề “a>b”, “ a  b”,”a  b”,”a  b” được gọi là các bất đẳng thức

- Trong bất đẳng thức a>b ( Hoặc a  b,a  b,a  b) a gọi là vế trái, b được gọi là vế phải của bất đẳng thức

- Các bất đẳng thức “a>b”, “c>d” (Hoặc “a<b”, “c<d”) được gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều Các bất đẳng thức “a>b”, “c<d” gọi là hai bất đẳng

thức trái chiều

- Xét hai bất đẳng thức “a>b”, “c>d” Nếu ta có “a>b” “c>d” ta nói bất đẳng thức “c>d”là hệ quả của bất đẳng thức “a>b”,

Nếu “a>b c  d" Ta nói hai bất đẳng thức “a>b” và “c>d” là hai bất

đẳng thức tương đương

b Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức.

Với a,b,c,dR

Tính chất 1: ( a>b và b>c)  a>c

Tính chất 2: a>b  a+c>b+c Hệ quả a>b+c a cb

Tính chất 3: a c b d

d c b a

















Chú ý: Không có quy tắc trừ hai vế bất đẳng thức cùng chiều

Tính chất 4: a>b  











0 0

c Khi bc ac

c khi bc ac

Tính chất 5: 











0 0

d c b a

 ac  bd Chú ý: Không có quy tắc chia hai vế bất đẳng thức cùng chiều

Tính chất 6: a>b>0 a1b1

Tính chất 7: a  0 ; 2 0



a a  R

2.3.3 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Phép lập luận nhằm chứng tỏ một bất đẳng thức nào đó là đúng gọi là phép chứng minh bất đẳng thức ấy Phương pháp chứng minh bất đẳng thức rất đa dạng, chủ yếu phụ thuộc vào đặc thù của từng bất đẳng thức Sau đây là một số phương pháp để chứng minh bất đẳng thức

a.Phương pháp sử dụng định nghĩa và phép biến đổi tương đương.

Hai bất đẳng thức gọi là tương đương nếu bất đẳng thức này đúng thì bất đẳng thức kia đúng và ngược lại

Phép biến đổi được gọi là tương đương nếu nó biến đổi một bất đẳng thức thành bất đẳng thức tương đương với nó

Chứng minh bất đẳng thức bằng định nghĩa là: Nếu chứng minh đề A>B

ta đưa về chứng minh mệnh đề A-B>0 Ta cần chứng minh đó là một mệnh đề đúng

Chứng minh bất đẳng thức bằng phép biến đổi tương đương là biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh thành một bất đẳng thức tương đương mà đã biết đúng hoặc đã được chứng minh là đúng, hoặc biến đổi những bất đẳng thức đúng đã biết thành bất đẳng thức cần chứng minh

Bài toán 1: a,b,cR Chứng minh rằng: a2b2c2abbcca

Giải : Xét: 2( a2 b2 c2  ab bc ca)

= ( a2  2abb2 )  (b2  2bcc2 )  (c2  2caa2 )

= (a  b) 2+(b  c) 2+(c  a) 2  0

 2( 2 2 2 )

ca bc ab c b

a       0  a2b2c2abbcca

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c

Nhận xét: Từ bài toán trên bằng cách tương tự ta cũng chứng minh được:

ad ca bc ab d

c

b

a2 2 2 2    a,b,cR

Hay tổng quát: a a2 a n2 a1a2 a1a n

2

2

1       , a i  0 ,i 1 ,n,n 3

Bài toán 2: Cho ac 0và bc 0.Chứng minh rằng:

ab c

b c c a

c(  )  (  )  (2)

Giải: (2)   2  2

) ( )

 acbc 2c2  2 c2 (a c)(b c) ab













 c a c b c ab abc c c













 c a c b c a c b c c

  2 ( )( )2 0







 a c b c

c  c (a c)(b c)2  0 (2’)

Vì ac 0  a c 0

bc 0  b c 0

Nhận thấy (2’) đúng a,b,c thỏa mãn

















0

0

c b

c a

Vậy (2) đúng Dấu “=” xảy ra khi:

b a

ab c c

b c a

c











Bài toán 3: Cho  a,b,c 1 Chứng minh rằng:









2 1

1 1

1

(4)

3 1

1 1

1 1

1

abc c

b

a     



Giải: a (4)  a a b b   ab









1

2 )

1 )(

1 ( 2

 ( 2 ab)( 1  ab)  2 ( 1 a)( 1 b)

 2  2 ab (ab)  ab(ab)  2  2 (ab)  2ab

 (ab)  ab(ab)  2ab 2 ab 0

 (ab)( 1  ab)  2 ab( 1  ab)  0

 (ab 2 ab)( 1  ab)  0

 ( ) 2 ( 1 ) 0





a ( 4’)

Vì a,b  1  ab 1  1  ab 0và  a b2 0 ( 4’) đúng khi( 4)đúng

Dấu “=” xảy ra khi a=b

b Áp dụng câu a Ta có: a b ab









2 1

1 1

1

3

1

2 1

1 1

1

abc c abc

c   

































1

2 1

1 2 1

1 1

1 1

1

1

1

abc c ab

abc c

b

a

4

1

4

abc abc







1

3 1

1 1

1 1

1

abc c

b

a     

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c

Chú ý: Từ a,b ta có bài toán tổng quát sau:

Cho a i  1  ,i 1 ,n (nN) thì:

n

n

n a

a

1

1

1 1

1

2 1 2

1       



Mặt khác, ta cón có: 0 a1  1 i  1 ,n (nN) thì:

n

n a

a

1

1

1 1

1

2 1 2

1       



Ta có thể chứng minh bất đẳng thức trên bằng cách áp dụng câu a, cho hai

số một, cho đến n số; hoặc chứng minh bằng phương pháp quy nạp ( sẽ được đề cập ở phần sau) hoặc sử dụng phương pháp chứng minh dựa vào các bất đẳng thức đã biết

Bài tập:

1 Chứng minh rằng với 5 số a,b,c,d,e bất kỳ bao giờ ta cũng có:

) (b c d e a

e d

c

b

a        

Hãy mở rộng với số mũ là 4, 8, 16

2 a Cho a, b>0 Chứng minh rằng:   1 1  4















b a b a

b Hãy tổng quát bài toán

b Phương pháp chứng minh phản chứng:

Phương pháp chứng minh phản chứng là phương pháp mà: Để chứng minh bất đẳng thức A>B, ta giả sử AB và suy ra điều vô lý Vậy ta có A>B

Điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết , là điều trái với điều đúng hoặc

có thể điều vô lý là do chỉ ra hai điều trái ngược , mâu thuẩn với nhau

Sau đây là một số bài toán chứng minh bất đẳng thức bằng phản chứng

Bài toán 4 Cho các số a1 ,a2 ,b1 ,b2 thỏa mãn hệ thức:

2 1

2

1 a 2 b b

a   Chứng minh rằng ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau đây là

đúng: 2 1

1 a

2 a

Giải: Giả sử cả hai bất đẳng thức trên đều sai, tức là:

1

2

1 a

2 a

b 

2 1

2

2

2

1 b a a

b   

 theo giả thiết a1 a2 2 b b1 2

2

2

2

1 b 2 b b

2 2 1

2

1  b b b 

b  b1 b22  0 Điều này vô lý với b1,b2 vậy ít nhất một trong hai bất đẳng thức trên là đúng Nhận xét: Từ bài toán trên ta có thể mở rộng để được bài toán sau:

1 Cho các số a1 ,a2 ,a3 ,b1 ,b2 ,b3 thỏa mãn a1 a2 a3 b1b2 b2b3 b3b1

Chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là đúng:

2 1

1 a

3 2

2

2 a ,b a

2 Tổng quát: Cho các số a i,b i,(i 1 ,n) Thỏa mãn:

1 1 1

1

1

b b b

b

n





 Chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau

là đúng b  i2 a i (i 1 ,n)

Bài toán 5 Cho a,b,c ( 0 , 1 ) Chứng minh có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau đây là sai:

4

1 ) 1

4

1 ) 1

4

1 ) 1

c

Giải: Giả sử tất cả các bất đẳng thức trên đều đúng tức là:

4

1

)

1

a ; b( 1  c) 41; c( 1  a) 14

64

1 1

1

     

64

1 1

1

 a a b b c c (6’)

Mà ta có:

4

1 )

1 (

0 a  a  a2 a

4

1 )

1 (

0 b  b  b2 b

4

1 )

1 (

0 c  c  c2 c

64

1 ) 91 ( ) 1 ( ) 1

(

 a a b b c c (6’’)

Nhận thấy (6’) và (6’’) Mâu thuẫn với nhau

Vậy có ít nhất một trong các bất đẳng thức trên là sai

Chú ý: Bằng cách tương tự ta cũng chứng minh được bài toán:

Cho a,b,c ( 0 , 2 ) Chứng minh có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau đây là sai:a( 1  b)  1; b( 1  c)  1; c( 1  a)  1

Có thể mở rộng bài toán trên để được bài toán mới cũng chứng minh tương tự : a,b,c ( 0 ,  )   0 Chứng minh có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau đây

là sai:

4 ) (   b 2

4 ) (   c 2

4 ) (   a 2

c

Hơn nữa ta còn có: Cho a i0 ,  i 1 ,n,n 2,   0 có ít nhất một trong các

bất đẳng thức sau là sai:

4 ) (

2 2 1



4 ) (

2 3 2



4 ) (

2 1



a n

Bài toán 6 Nếu a b 7998 thì ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm: 2 1999 0





ax

x (1)

2 2000 0





bx

x (2)

Giải: Giả sử cả hai phương trình trên đều vô nghiệm ta có:

Từ (1) 2 4 1999 2 7996 0

Từ (2) 2 4 2000 2 8000 0

0 7998 2 0

2

2















Theo giả thiết a b 7998  ab  7998

Nên ta có: 2 2 2 2 2 2 7998 2 15 996 0



















0

)





 a b (vô lý).Vậy có ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm

Nhận xét: Từ bài toán trên ta có bài toán tổng quát sau:

Cho a1.a2 2 (b1b2) Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau

có nghiệm: 2 1 1 0









x

Bằng cách chứng minh tương tự ta hoàn toàn có thể chứng minh được bài toán này.

Bài tập:

1 Cho 0 a,b,c 1 Chứng minh rằng có ít nhất một trong 3 số a(1-b); b(1-c);

c(1-a) không vượt quá 31 .

2 Cho a,b,c >0 và abc=1 Chứng minh: a+b+c 3.Hãy tổng quát bài toán

c Phương pháp làm trội, làm giảm.

Phương pháp làm trội, làm giảm ( Hay còn gọi là phương pháp ước lượng hoặc đánh giá phần tử đại diện) là phương pháp dùng các tính chất của bất đẳng thức để đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng tính được tổng hữu hạn

 Phương pháp tính tổng hữu hạn: Giả sử tính tổng: S n U1 U n

Ta biểu diễn số hạng tổng quát U k về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau

1





U Khi đó:S  (a1  a2 )  (a2  a3 )   (a n  a n1 ) a1  a n1

* Phương pháp làm giảm, làm trội: là phương pháp để chứng minh:

mX1X2 X nM

Ta sử dụng các bất đẳng thức phụ: A iX i B i (i 1 ,n) mà m A1 A nvà

M

B

B1  n  sau ra mX1X2 X nM.Sau đây là một số bài toán:

Bài toán 7: Cho a>0; b>0; c>0; d>0 Chứng minh rằng:

























d b a

d a d c

c d c b

b c

b

a

a

































b a d

a d a d c

d c d c b

c b c b

a

b

a

Giải:

a.Với a>0; b>0; c>0; d>0 ta luôn có:a b a c d a a b c a a c

















a b b c d b c b d b b d

















a b c c d c d c a c c a

















a b d c d d d a b b d d

















Cộng vế với vế của các bất đẳng thức kép trên ta có

d b

d b c a

c a b a d

d a d c

c d c b

b c b a

a d c b

a

d c b

a









































































d b a

d a d c

c d c b

b c b

a

a

b Với a>0; b>0; c>0; d>0 ta luôn có:a b a c b d a a b b c a a b b c d d



























