Trong chứng minh bất đẳng thức, đặc biệt là các bài toán có biến ràng buộc bới một hệ thức cho trước thoạt nhìn chúng ta cứ nghĩ đó là bài toán đại số thuần tuý nhưng nếu biết biến đổi linh hoạt điều kiện để chuyển bài toán về dạng lượng giác thì cách giải sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Qua bài viết này tác giả mong muốn gửi đến các em học sinh một phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường gặp trong các kỳ thi TSĐH.
Trang 1
CHUNG MINH
BAT DANG THUC
es
Trang 2
PHAN |
TY LUAN
A MOT SO PHUONG PHAP CHUNG MINH
BAT DANG THUC TRONG DAI SO
| | Chủ để 1
SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG,
CAC TINH CHAT CUA BAT DANG THUC
1 KIEN THUC CAN NHG
a) Khái niệm bất đẳng thức : |
Cac ménh dé dang "A > B", "A < B", "A > B", "A < B" duge goi là BĐT
với A gọi là vế trái, B gọi là vế phải và A, B là hai biểu thức đại số
Ta có: « A>Bo@A-B>0;A<BoA-B<0
° A>B©A-B>0;A<B<e©A-B<0 b) Tính chất :
Trang 3c) Phương pháp: Để chứng minh A >Bta sẽ chứng minhA—B>0 (nghĩa là ta sử dụng định nghĩa, tính chất cơ bản để biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh đến một BĐT đúng hay một tính chất đúng hoặc có thể sử dụng BĐT đúng biến đổi dân đến BĐT cần chứng minh)
2 Vi DU MINH HOA
vi dul: Ching minh:
a)a+b> 2ýab, va,b >0 - _ (2(BĐPTCauchy)
b) a® +b? > ab? + a2b, Va,b20 (2)
c) at +b* > ab? + a®b, Va, b (3)
— -Giải
a)
(1) = (a+b)? > dab <= a” + 2ab +b” > 4ab
a2 - 2ab + bÊ > 0 © (a - b)2 > 0 (đúng) Vậy: a+b >2Vab, Va, b= 0
ot-0?| (a8) „ Ể |, ve va, b (đúng)
Vậy: a* + b* > ab? +a°b, Va, b
Trang 40 ¡ï Vị dụ 5: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của AABC với a < b < c
Ta có lob cede cac => ( cy" = be (dpem)
Ví dụ 4: Cho a, b, c >0 thỏa mãn sete Ching minh:
— a Cc a) b2 ¿2a 2» _ (4
b)e-|S | b* + 2a? sa (c 2 + 2b?) “yal (2 + 2c? | = abe (**)
Giả thiết đã cho có thể viết lại: ab + ‘be + ca = abc
a)
(b + 2a)2 (*) <> b? + 2a? > > 3b” + 6a > b* + 4ab + 4a?
<> 2a? -— 2ab + b2) >0 © (a - b)Ê > 0 (đúng) Vay: BDT (*) dpem
Ví dụ5: Cho 0<a,b,c <1
Chứng minh: 2a + 2b + 2c7 < 3+ a?b + bÊc + c^a
Trang 5
x x 1
=——=<—-Š-=_~ (1)
x4 + y? 2x2y 2 Tương tự: 5 y TẾ + (2)
| Ÿu2 +3 Ñc3 +ae , Ÿa3 +b?
trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác
(Trích đề trong Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ õ/ 2004) _—_ Giải
Ta có: bở + cỔ > =(b+0)8 | Œ)
Thật vậy:
(1) © 4á( b? + c5) > b? +2 4 3b2e 4+ 3be
3 _ p%e — be* > 0 & b*(b-c)-c7(b—c) 20
© (b~e)\(bỂ ~e2) >0 (b~ e)(b + c) >0 (2)
(2) dang = (1) dung
<> bổ +c
Trang 6x? + xy ty? 3
Cho a > 0, b > 0 Chứng minh: -2 - Ja > Vb B vb a
Cho x, y # 0 Ching minh: x* + y4 <= +“ ipa »é Set
Chiing minh: 24 2+ 2 a(2 13-2) (a, b, c > 0) be ca ab a be
>
1+a2 1+b2 l+ab
: Cho a > 0, b >0 Chứng minh:
Trang 7Bài tập 11 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác
Chứng minh: a2 + b2 +c2 < 2(ab + be + ca)
Bài tập 12 : Cho O0 < x < y <z Chứng minh:
ài tập 14: Cho x, y z0 Chứng minh: 3 re St )
(Trich dé thi uào lớp 10 chuyền của trường Trân Đại Nghĩa TPHCM năm 2004)
Bài tập 15 : Chứng minh: 2a2 + bŠ + c2 > 2a(b + c), va, b, c
Bài tập 16 : Chứng minh: a^ - 2a3b + 2a2b2 - 2ab3 + bẲ > 0
Bài tập 17 : Chứng minh: (a ~ 1)(a - 3)(a —~ 4)(a - 6) + 15 > 0, Va
Bài tập 13 : Chứng minh: a2 + bỂ + c2 + để > a(b +c + đ), Va, b, c, d
Bài tập 19 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác
Bài tập 22 : Cho a >0,b>0,c >0 Chứng minh:
Bb? -a® sĩ Bc7-b° s1 Ba) -cỔ s<a+b#c
ab + 3b be + 3c ca + 3a Bài tập 23 : Cho a >1, b >1,c > 1 và abc = 1 Chứng minh:
-ab be ca
a2 +bP+ab b?+c2+be co +a4+ca Bài tập 24: Cho a >0,b >0, c >0 Chứng minh:
a2+b3+cŸ > a2 Jeb + b?Jca + c* Jab
Bài tập 25 : Cho x >0, y>0,z> 0 Chứng minh:
X(x — ÿ)(x -— Z) + Y(Y — Z)(ÿy — X) + Z(Z — x)Œ - y) > 0 | Bài tập 26 : Cho 0 < a, b, c< 1 Chứng minh: 1
a? +b? +67 <1+a2b + bÊc + c^a
Bài tập 27 : Giả sử a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác
Chứng minh: (Ya + Yb + Ye} l&-‡ ie +g) geese
(Trich dé trong Tap chí Toán học & Tuổi trẻ 2/1999) 7
10
Trang 8jx? +xy+y^ + Vy? +yz+ z2 + z2 +zx+ x2 > V3(x + y+ 2)
(Trich dé Hoc Vien Quan hé Quéc té 1997)
Bài tập 31 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác
| Chứng minh: ¬ ] 3( - b)Œ - c)(c - a) _ +
a bc abe Bài tập 32 : Cho x > 0, y > 0 Chứng minh: (x + y)? + = X*V 5 2xJy + 2y4x
4 HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Quy ước gọi các BĐT cần chứng mình tà (*)
- Bài tập I :
(*) © (ax)? + by)? + 2abxy < (ax) + (ay)2 + (bx)? + (by)?
> (ay)2 + (bx)? - 2abxy > 0 > (ay - bx)? >0 (đúng) Vậy : BĐT (*) đã được chứng minh
Bài tập 2 :
(*) © 2(ax + by) > (a + bXx + y)
<> ax + by — ay — bx > 0 © x(a - b) + y(b ~ a) >0
© (a - b\(x - y) > 0 (đúng do a > b và x > y) Vậy: BĐT (*) đã được chứng minh
1]
Trang 9«© a2(a - b) - b7(a- b) >0 © (a— ba +b) 2 0 (ding)
Vay: BDT (*) đã được chứng minh
Bài tập 6 :
Do a, b > 0 Nén ta cé:
(*) © a ~ vXab > Xab -b
vb va
© ava - avb > bvVa - bvb © va(a - b) - Vb(a - b) > 0
2 (a- b)(va — Vb) 2 0 <> (Va + Vb\(va - vb)Ê > 0 (đúng)
Bài tập 7 :
Do: x, y z 0 Nên ta có: |
6(y2 - x2)- y°(yˆ -x?)< 0 = (y? -x2\XxŠ - yŠ) <0
= (y? ~x2XxÊ - y2Xx + x3y? +y*) <0
<> a” +b? - 2ab - ab(a2 + b - 2ab) < 0
©(a2+b^- 2ab)(1 - ab) < 0
Trang 10' Bài tập 10 :
2
2Ñ(ab) <Vab a 24 ab_ 24/ab
4/2 _ 4,2 4 AF— 4REVẺ.- an ca¿a
<> Va“ +Vb* —-2 ab > 0 <> (Ya - Ÿb] 2 0 (ding)
Vậy: BĐT (*) đã được chứng minh
© (t—- 1) - 2) > 0, v|t| > 2 (đúng)
Bài tập 15 :
(*) © (a - b)Ê + (a - e)2 > 0 (đúng)
Bài tập 16 :
(*) a2(a2 - 2ab + b2) + bˆ(a2 ~ 2ab + bŸ) > 0
« (a2 - 9ab + b2)(a2 + b2) > 0
«> (a - b)2(a2 + b2) > 0 (đúng) Vậy: BĐT (*) đã được chứng minh
13
Trang 11c~ a-+(2-b| +(2-<) +(2-a] > 0 (đóng)
Bài tập 19 :
Vai trò của a, b, c trong BĐT là như nhau Giả sử a <b<c, ta có:
BDT (*) đã cho tương đương với
[abe - aÊ(b + e - a)]+[abe - bÊ(a + e - b)] + [abe - e2(a + b - e)] > 0
<> [ab(c — a) — a2(c ~ a)]+[ab(e - b) - bÊ(c — b)] + [ac(b - c) - c2(b —c)]>0
© a(c - a)(b - a) + b(c - bX(a - b) + c(b - c)(a - c) > 0
Từ giả thiết © 0<a, b,c < 1 = (1- a)(1 - b)(1 - e) >0
= 2> 2(a + b+e) - 2(ab + be + ca) + 2abc
=2 >(a+b+e)2 —2(ab + be + ca) + 2abe = a2 +b? +0? + 2abe
(doa+btc = 2)
14
Trang 12(1) © 5b? — a® < 2ab? + 6b? - a?b ~ Bab? œ bở + a7 - a2b — ab? 20
<> (at bya" + bể - ab) - ab(a + b) > 0 © (a + b)(a - b)2 >0 (đúng)
(1) © a3(a2 — b?) — b3(a? - b2) > 0 © (a2 - b2)(a8 - bổ) > 0
©.(a - b)(a + b)(a - b\(a2 + ab + b2) > 0
© (a - b)Ê(a + b)(a2 + ab + b”) > 0 (đúng) (1)> c2(a5 +b? + ab) > (abe)2(a +b)+(abc)e =a+b+ec
2(a3 + b3 +3) > a2(b +0) + b%(e + a) + c2(a + b)
> 2a2Vbe + 2b2ca + 2c2vab b (Ap dung vi du 1a)
15
Trang 13Bai tap 25 :
Không mất tính tổng quát, giả sử z> y >x>0 |
Khi d6: x(x - yx —z) 20; 2(z—x) > y(y - x) > 0 Bién déi:
yly — zy — x) + 2(z — xz — y) = (z— y)[z(z - x) - y(y - x)] > 0 (đúng)
Vậy: BĐT (*) đã được chứng minh
<> (x+y + Z\yz + zx + xy) — (x? + y? +29) < 6xyz |
© x3 +y° +23 + Bxyz — x7y — x22 - y2x - y2z - 22x - z2y >0
© x(x? + yz) + yy? + 2x) + 2(z2 + xy) — x(y? + zx)
| _ y(x? + yZ) -2z(zx + zy) =0
oS (x? + yz)(x — y) + (y? + zx)(y —x) + z[z2 + xy - (zx +zy)]> 0
<> (x - yx? + yz-y” - zx) + z2[z(z — x) + y(x~—z)] > 0
<> (x - y)*(x- +y—Z)+zZ(x - Zz)(y -Z) >0 (đúng)
Vậy: BĐT (*) đã được chứng minh
Trang 14=A-B=0
92A = a‘ +b* hài b* +c4 + c4 ¿ dể 1 d* +a‘
(a+ ba? +b?) (b+eyb? +07) (c+d\c*+d7— (d+ ay(d? + a2)
<> (a? + 2ab +b’ )(a’ +b?) <4(at +b*),
<> (a‘ —2a’b? + b*) + 2a°(a—b)~2b*(a—b) 20
<> (a* ~b’)? +2(a—b)’(a’ +ab +b’) >0 (đpem)
b* +4 „bực
+| Pee = b) , be(b - 2 =a) , ab(a 2 >0
a+b a+e c+a b+c
ac(c — a)” + bc(c — b)? + ab(b - a)? > 0 (đúng)
- (a+b\(b+c) (a+bXa+c) (a+c(b+c)
Vậy: BĐT (*) đã được chứng mình
17
Trang 15x3+ y9 +z3-8xyz =(x+y+Z)(x2 +y2+z
Với: x+y +z =0 = xổ + yÖ + z = 3XYZ
Cộng (D, (2) theo vế, ta được: x +y- (Vx + Jy) + 5 >0
=> (x+y)? + ASP eet y)(ve + Jy) (3)
Mas x+y 2 ads
Nén :(3) => (x+y)?+ ~ > 2x,/y +2yvx (dpem)
18
Trang 16Chidé2 _
PHUONG PHAP QUY NAP
1 KIẾN THỨC CÂN NHỚ
Để chứng minh một bất đẳng thức (*) đúng với Vn > p (với (*) phụ thuộc vào
số tự nhiên n, p là hằng số và p e N” ) ta tiến hành các bước sau:
Bước 1: Kiểm tra (*) đúng với n =p
Bước 2: Giả sử (*) đúng với n=k>p,keN”
Bước 3: Ta chứng minh (*) đúng với n= k +1
Bước 4: Kết luận bất đẳng thức (*) đúng với mọi n > p
b a+b a+b a” +b a+b
mat var(*5°) =(25°) ật vây:| 2 2 3) AS) 2 (2) 2
- aktl + abÈ +aFb + pet} _ ak*l 4 peti abs + akp —ak+! _ pkrtl
Trang 17Giải
e® Với n = 1: 5 <-> Vậy: (*) đúng với n = 1
e Gia su (*) đúng vớin =k>l1l,k EN’, tức là:
Bàitập3: Chứng minh: (2n)!< 2”"(n)Ÿ, vn e NỈ
Bài tập 4: Chứng minh: n+từn +1<ƒn,vneN,n>2
-4 HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Trang 18e Ching minh: (1+ a)" >1l+na, VneN ,n22, Vae(—1; +0)\ {0} + Với n = 2: BĐT đúng
+ Giá sử BĐT đúng với n = k, tức là: (1+ œ)Ễ > 1+ kơ
+ Chứng minh BĐT đúng với n = k+1, nghĩa là ta chứng minh:
Bất đẳng thức đã cho viết lại là: (n +1)? < nh+! +, (a + +) <n
e Kiểm tra: n = 3 thấy BĐT đúng
e« Giả sử BĐT đúng với n = k, tức là: + 1 <k
e Chứng minh BĐT đúng với n = k +], neni là ta chứng minh:
(ig kel Sk +h
ea)
ks nu ioe"
Trang 193 BAI TAP TU LUYEN
Baitap1: Chtmg minh: Néu ajag = 2(b, + bg) thi it nhat mét trong hai
phuong trinh x? 4 ajx+b, =0, x? + aax + ba = 0 có nghiệm
Bài tập 2: Cho 0< a, b, c, d <1 Chứng minh: có ít nhất một BĐT sau là sai: 2a(1 - b) > 1, 3b(1 - c) > 2, a 5 > 1, 82d(1 - -a) > 3
Bài tập3: Cho x, y >0 và x? +y? > x3 +y4 | (1)
Chung minh: x? ty <x? ty? <xt+y<2 (2)
(Trich dé thi Dai học Ngoại thương TPHCM khối A, D năm 2000)
Bài tập 4 : chúng mình: Có ít nhất một trong các BĐT sau là đúng
a? + 2bc> 0, b2 + 2ac> 0, c? + 2ab 2 0
Bài tập 5 : Chứng minh: Không có 3 số x, y, z nào đồng thời thỏa mãn ba
_—_ BĐT sau: |x| < |y - z|,|ly| <|z- xị, |z|<|x- yl
4 HUGNG DAN GIAI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Ta co: y* + y? >9 y1,y2 = 2y3 => (4) vô lí
Chứng minh : xˆ +y2 <x+y
Gia su: x? +y? >x+y (5)
Cộng (1) va (5) theo vé: 2x2 +y2 +y2 >x2axtytay (6)
Ap dung : a+b = 2Vab (a, b = 0)
Ta c6: x2 +x > 2Vx? x = 2x? vayt+yzy ty?
(do yớ - ĐŸQ + y) > 0Ì
23
Trang 20Nên: (6) vô lí
Chứng mỉnh : x + y < 2
Giả sử: x+ y > 2 | (7) Céng (1) va (7) theo vế: x2 +x+y° +y? > x3 +y!+9 | (8)
Giả sử các BĐT trên đều là sai |
a* + 2be < 0 (1), b? + 2ac < 0 (2), c? + 2ab < 0 (3)
Cộng (1), (2) và (3) theo vế = (a +b + e)Š < 0 (vô lí)
Trang 21Chủ để 4
SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
1 KIẾN THUC CAN NHỚ
e Bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm -
- 2
Đắng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
e Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm
Nếu ai >0, a2 >0, , an >0 thì _“——— >We, ag ap Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ai = ag = -= ap
Lưu ý : Khi sử dụng BDT Cauchy từ 4 số không âm trở lên, bạn đọc nên chứng minh lại
y Z7 XyZ Suy ra: (xty altos +—+ tl aoyya, Es
- Đẳng thức xảy ra khi và ch khix =y =z
25
Trang 22Ví dụ2: Cho a, b,c > 0 vaa+b+c = 4 Chitng minh:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khia=b=e=2
Vidu3: Cho a,b, c>0 Chứng minh:
2 2 2 ¬ w=a+b ‘
ae W—U+V U—-V+2*'WwW_ U+V—Ww
Lúc d6: VT(*) = + +
Trang 23
b)
Cách †1:
2 2 2 Goi B = a+ b +—T
Trang 24Giai
Ap dung BDT Cauchy, ta cé: |
a+b+c (krhthere+a 3 _ 8
(do a,b,c 20 vaat+b+c=1)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Vị dụ § :
a) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của AABC, p là nửa chu vi tam giác
Chứng minh: (p - a)(p - b)(p - c) < ae
abc(a + b)(b + c)(c + a) <
b) Cho AABC có chu vi bằng 3 và độ dài ba cạnh là a, b, c
Chung minh: 4(a® +b? +¢ 3) +15abc > 21
Giải a)
Via+b+c = 3, nén (4) => abe > (3~ 2eX3 - 2aX3~ 2b)
= 27 -18(a + b + c) + 12(ab + bc + ca) - 9abe < 0
=> -27 + 12(ab + be + ca) -9abe < 0
=> -9+4(ab + be + ca) - 8abe < 0
= S -9(ab + be + ca) += abe > 0 (3)
Ma: a? + b® +c? — 3abe = (a + b+ e)(a2 + b2 + e2 ~ ab*~ be - ca)
= 8[(a +b+ e)2 - 3(ab + be + ca)]
= 27 -9(ab + be + ca) (do a+b+c = 8)
=> -9(ab + be + ca) = a® tbe 408 ~ 8abe - 27 (6)
Trang 25Ta _b+e+d ct+dia d+a+b a+b+c
Đẳng thức xây ra khi và chi khia=b=c=d=+
Ví dụ7: Choa> 1,b21 Chứng minh: avjb~1 + bva —1 <ab
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 2
Ví dụ8: Cho a,b,c> 0 và a+b+c =1, Chứng minh:
Trang 26a“ +be>2 a“be = 2avbe => 2 1
Giai
Sit dung BBT (c+ y)[2+2) 24, vm y>0> 2442 A
, x Y) x y x+y (xem lại Ví dụ la) )
Két hop (1) va(2) = dpem
Dang thic xay ra khi va chi khi a = b = ¬
1 1 + +
Ví dụ 11: Cho x, y, z > 0 và thỏa mãn
+x l+y l+z- >2 Chứng minh: xyz <
Trang 27Hay: ay: Xyz <= 5
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y =z= 2
y >0 thỏa mãn xÊ + yˆ = 1
(Trích đề thi đề nghị Olympic Động bằng sông Cửu Long năm 2001)
Ta có: rena yt + Xi hệ Tiàjx?
2X 2y y x) 2\x y Theo ĐĐT Cauchy:
Trang 28
Ví dụ 14: Cho x, y, z >0 và thỏa mãn Allg
X y Zz
2x+y#zZ X+2y+z x+y+2z
(Trích dé thả tuyển sinh Đại học khối A năm 2005)
Cách 1:
Goi A= 1 + 1 + 4
2x+y+Z X+2y+z X+y+22
Sử dụng BĐT —Ẻ “2š +s): va, b> 0 (xem lại Ví dụ 1a)) a+b 4\a b
Ta có: 2xt+yt+z 1 =- (x+y)+(x+z) I gif_t,_t 4) x+y x+z (1)
ne a+b+c+d TE St t4) oo?
Ta có : ] = <—|—+—-4+-—4+-— (1)
2x+y+z Xx+†+x+y+z7 lỐ(X x y Zz Tương tự: io <i 1,2,2 (2)
Trang 29al0Eb€ ¿ plo#c2 + cloBab ~ s3/abc, |
(Trích đề trong Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ õ/ 2004)
33
Trang 30Baitép2: Cho a, b > 0 Chứng minh: 8a3 + 17b > 18ab2
Bài tập3: Cho x, y >0 Chứng minh: x? 4 y? + + + + >92(Vx + Jy )
ae x oy
Bài tập 4: Cho a1, 82, , 82og; > 0 sao cho tích a1.aa aaog; = 1
Chứng minh: (1 + a1).(1 + aa) (1 + aggg7) 2 32907, Bài tập 5: Cho a, b,c >0 và a+b+c= 1 Chứng minh:
4(1- aX1 - b)\(1- e)< 2a +b+c
Trang 31
a b2 Bài tập 14: Cho a, b > 1 Chứng minh: + >8
b-1 a-l
Bài tập15: Cho a > b > 0 Chứng minh: a + —L— >8
b(a — b) Bài tập 16: Cho a, b, c>0 và a+b+c= 1 Chứng minh:
1 1 1 a+b+c
¬ 5 +n +3 < ,
a“+bc bế+ca c“+ab 2abc
(Trích dễ thị Đại học Bách khoa Hà Nội 1990) Bài tập21 : Cho a,b,c >0 và a+b+c <1 Chứng minh:
1 + —1 + 1 >9
a2+92bc b* +2ca ce? + 2ab
35
Trang 32Baitap 22: Cho a, b, ce (0; 1] Chimg minh:
a b c b+c+l c+a+l at+bel
(Trích đề thì Đại học Sư phạm TP Hô Chí Minh năm 1995) Bàitập23: Cho a,b,c >0 và a2 + b2 +cỔ =1 Chứng minh:
a, _ b | ee , 8¥8
b+c2 c2+a2 a2 +d? 2
(Trích đề trong Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 7/ 1998)
Bài tập24: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của AABC Chứng minh:
b+c-a c+a-b a+b-c- "
Bài tập 25: Cho a,b>0,a+b=l Chứng minh: 2,38 sag
ab a? 4b?
Bài tập26 : Cho a, b, c >0 Chứng minh:
ab +———? be ca < a+b+c a+b b+c c+a 2 Bài tập 27 : Cho x, y, z > 0 thỏa mãn “ xyz >3(x+y+z)+4
Tim GTNN của x+y +z
Bài tập 28 : Cho a, b, c,d > 0.Chứng minh:
bŠ c5 d5 a a3 b c7 d7
(Trích đề thi Đại học Thủy lợi năm 1997)
Bài tập 29: Chứng minh: Với mọi x e R, ta có:
(2) + (2 + (2) > 3% 44% + 5%
V5 4 3
Khi nào đẳng thức xảy ra ?
a (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005)
Tổng quát bài toán : Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh:
Với mọi x e R, ta có: (==) + (25) + (2) >a*+bỄ +cẺ,
Cc a Lb
Khi nào đẳng thức xây ra?
Bè¡i tập 30: Cho x, y, z>0 va xyz =1 Chứng minh:
Trang 33
Baitép31: Cho a, b, c > 0 Chung minh:
| + 1 + 1 > 1 + 1 + 4
a+3b b+3c c+3a a+2b+c b+2c+a c+2a+b
Bài tập 32: Cho a, b, c > 0 Chứng minh:
Ching minh: —*—, +2 +-? 52s:
xo ty? yPtz? 2 tx? 2,
Bài tập 35: Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của AABC, a+ b+c=3
Chứng minh: 3a2 + 3b2 + 3c? + 4abc > 13
Bài tập 36 : Cho x,y >0 Chứng minh: _2wx_ < |2 + 3] xŠ+y? 2(x2 y2
Bài tập 37: Chứng minh: Ÿ1 -a2 +Ÿ1~a +Ÿ1+a <3 với |a| <1
(Trích dé trong Tap chí Toán học & Tuổi trẻ 6J 1995)
Bài tập 38 : Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của AABC, tam giác có chu vi
bằng 2 Chúng: minh: s < a2 + bỂ +c? + 2abc < 9
(Trích đề trong Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 3/1995)
Bài tập 39 : Cho x, y, z c[0; 1] Chứng mình:
(2* +21 +22” cay g5 <1, Bài tập 40 : Cho các số thực x, y, z dương Chứng minh:
16xyZ(x + ÿy + z) < 33x +y)*(y + z)4(z4+x)*
(Trích đê trong Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 1/ 1996)
Bài tập 41: Choa, b,c>0,neN,n>2 Chứng minh:
Trang 34Bài tập 42: Cho ba số dương a, b, c tuỳ ý không lớn hơn 1
Chứng minh: ———.> Ì+(1—a)(1~ b\(1 —e) a+b+c 3
(Trích đề trong Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 10/ 1997)
Bài tập 43: Cho a, b, c > 0 Chứng minh:
a + b + e < i a + ie + te :
a+b b+c c+a b+c c+a a+b
(Trích đề thị Đại học Ngoại thương Hà Nội 1997) a b c 3
Bài tập 44: Chứng minh: + + <—-
4p 8 2a+b+c 2b+c+a 2c+a+b 4
(với a,b,c >0) (Trích đề trong Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ õ/ 2004)
_ Bài tập 45: Cho a, b, c >0 và a+b+c< 3 Tìm GTNN của:
3 3 3
pa Soo oe he Sh
b? cad ab be ca (Trích dé trong Tap chi Toán học & Tuổi trẻ 9/ 2004) Bài tập 46: Cho a, b, c là độ đài ba cạnh của AABC và 0 < t <1
Chứng minh: | a + / b + c > 2V1+t
Vb+c-ta c+a-tb Va+b-tc
(Trích đề trong Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 7/ 2009) Bài tập 47: Cho x, y, z > 0 và tích xyz = 1 Chứng minh:
weer vty te 14+ 23 4x3
+ — + > 83/3
l zX
Khi nào đẳng thức xảy 1a?
(Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2008) ,
Bài tập 48: Cho a, b, c > 0 và thỏa man abc = 1 Chứng minh:
(a + bb + ce + a) > 2(1+4a+ b+ 0)
_ (Trích dé trong Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 4/ 2008) Bài tập 49 : Cho a, b, c > 0 Ching minh:
3.3 1 1 3(b+c c+a a+bÐb|, (a3 + bỞ+c (3:š+3)>š a = +
(Trich dé trong Tap chí Toán học & Tuổi trẻ 6/ 2003) Bài tập 50 : Tìm GTNN của À = x°4+3x+y? +3y 4+
(Trích đề trong Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 3/ / 2000)
38
Trang 35Baitap 51: Cho a, b,c > 0 va abe = 1.Chimg minh:
L+ab? 1+be? 1+ca? | 18 c3 at bở a2+b#+cŸ (Trích đề thi chọn đội tuyển IMO, Hồng Kông lên 1 nam 2000)
-_ Bài tập 53: Cho a, b, c > 0.Chứng minh:
be + ca + ab >:[ th)
a*b+a’c b2c+b2a c2a+c2b 2\a b c
Bài tập 53: Cho a, b, c >0, n nguyên dương Chứng minh:
+} + + + + > 4" | — + 1 + 1 }
ah p"eœ (2a+b+c)" (a+2b+c)" (a+b+2e)P
4 HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
(a + bXb + c)(c+ a)> 2vaB.2vVbc.2Vca = 8abc
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Bài tập 2 : :
Ap dung BDT Cauchy, ta c6:
VT = 3a3 + 9b? + 8b? > 393a°.9b? 8b? = 18ab2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 0
Trang 36T=(1+x\(1+y)(1+ z) =l+(x+y +Z) + (xy + yz + zx) + xyz
Sử dụag BĐT A +B+C>3ŸABC, vA,B,C>0
Ta có: T> 1+ 38xyz + 3Ÿ(xyz)° + J(xyz)” = ụ + 33 xyz) (đpem)
Trang 37Cộng (1), (2) và (3) theo vé = dpcm
4I
Trang 38Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: (a +b)+c>2/(a + b)èc = 1> 4(a + bye
=> a+b24(a+b)%c2 4(2Vab) c = 16abc
42
Trang 39Goi x = a” + 9bc, y = b2 + 2ca, z = c2 + 2ab
BĐT đã cho viết lại: + + i, i >9 (*)
x y Z , 1 1 1
Ap dung BDT Cauchy, ta c6: (x+y +z)}—+—+-|29
x y Z
Ma:x+y+z=(a+b+c)* <1 (gid thiét)
i Vay: BDT (*) da duge chứng minh
+ az 1: Ap dung BDT Cauchy ABC < = , VA, B,C 20
cho VT(*) Suy ra: đpcm