Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 80 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
80
Dung lượng
1,5 MB
Nội dung
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Cải tiến cách xây dựng tài liệu Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh Đồng tác giả: Nguyễn Tiên Tiến – Phó Hiệu trưởng Hoàng Thị Năm – Giáo viên Phùng Thị Hằng – Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Gia Viễn B, Sở Giáo dục Đào tạo Ninh Bình Lĩnh vực: Tốn học Gia Viễn, tháng 05 năm 2020 MỤC LỤC Trang PHẦN ĐỀ CƯƠNG SÁNG KIẾN I Tên sở yêu cầu công nhận sáng kiến II Tác giả sáng kiến III Tên sáng kiến, lĩnh vực áp dụng IV Nội dung sáng kiến V Hiệu dự kiến đạt VI Điều kiện khả áp dụng PHẦN PHỤ LỤC 1 1 Phần Lý thuyết Bất đẳng thức I Bất đẳng thức giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ II Các tính chất bất đẳng thức Phần Một số phương pháp điển hình chứng minh bất đẳng thức §1 Sử dụng biến đổi tương đương bất đẳng thức biết 1.1 Nội dung phương pháp 1.2 Ví dụ điển hình §2 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM 2.1 Nội dung phương pháp 2.2 Ví dụ điển hình §3 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz 3.1 Nội dung phương pháp 3.2 Ví dụ điển hình §4 Sử dụng kiến thức hình học 4.1 Nội dung phương pháp 4.2 Ví dụ điển hình §5 Sử dụng miền giá trị điều kiện tồn nghiệm phương trình 4.1 Nội dung phương pháp 4.2 Ví dụ điển hình §6 Sử dụng tính chất hàm số 6.1 Nội dung phương pháp 6.2 Ví dụ điển hình §7 Sử dụng kỹ thuật dồn biến 7.1 Nội dung phương pháp 7.2 Ví dụ điển hình 1 3 16 16 17 30 30 31 40 40 41 51 51 51 60 60 61 68 68 68 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: Hội đồng sáng kiến Sở Giáo dục Đào tạo Ninh Bình Chúng tơi ghi tên đây: T T Họ tên Ngày tháng năm sinh Nơi công tác Nguyễn Tiên Tiến 08/06/1981 THPT Gia Viễn B Hoàng Thị Năm 04/10/1985 THPT Gia Viễn B Phùng Thị Hằng 10/03/1989 THPT Gia Viễn B Chức vụ Trình độ chun mơn Phó Hiệu trưởng Giáo viên Giáo viên Thạc sỹ Đại học Đại học Tỷ lệ (%) đóng góp vào việc tạo sáng kiến 60% 30% 10% I Tên sáng kiến, lĩnh vực áp dụng Là đồng tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: Cải tiến cách xây dựng tài liệu Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh Lĩnh vực áp dụng: Toán học Thời gian áp dụng: Từ năm học 2017 – 2018 đến II Nội dung Ngày 28/09/2016, Bộ Giáo dục Đào tạo ban hành Công văn số 4818/BGDĐT-KTKĐCLGD việc Tổ chức Kỳ thi THPT quốc gia tuyển sinh ĐH, CĐ hệ quy năm 2017, nội dung thi mơn Tốn thi theo hình thức trắc nghiệm khách quan, đề thi có 50 câu hỏi từ năm 2019 trở đi, nội dung thi nằm Chương trình cấp THPT, tác giả tiến hành viết, áp dụng sáng kiến bổ sung, hoàn thiện dần qua năm học để đáp ứng với nhu cầu học tập học sinh Giải pháp cũ thường làm Qua thực tế giảng dạy dựa vào kết lấy phiếu điều tra đối giáo viên dạy Toán 10 kinh nghiệm, cách thức dạy học Bất đẳng thức chương trình Đại số 10, chúng tơi xin đánh giá ưu điểm hạn chế sau: Giải pháp Về nội dung kiến thức Giáo viên giảng dạy theo tiến trình kiến thức trình bày sách giáo khoa Cụ thể, giáo viên tập trung vào hai phương pháp chứng minh bất đẳng thức Sử dụng biến đổi tương đương 2 Sử dụng bất đẳng thức Cô-si Cách làm có ưu điểm học sinh dễ theo dõi, đối chiếu giảng giáo viên với việc xem sách giáo khoa Tuy nhiên, khuôn khổ số trang nên sách giáo khoa khơng trình bày đầy đủ dạng bất đẳng thức thường gặp kỳ thi; lời giải ví dụ trình bày chi tiết lại khơng có phân tích để học sinh nhận biết chất, thơng hiểu định nghĩa đơn vị kiến thức Tổng số ví dụ bất đẳng thức sách giáo khoa Đại số 10 sách Bài tập Đại số 10 (NXB GD, 2006) 04 Như vậy, số lượng ví dụ nên học sinh khơng có nhiều hội để thực hành, hiểu rõ chất phương pháp kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức Giải pháp Về hệ thống tập luyện tập Khi dạy tập, giáo viên thường tiến hành theo hai mục chính, Nội dung phương pháp Ví dụ minh họa Giáo viên thường sử dụng ví dụ, tập tự luận giảng dạy lý thuyết dừng lại việc hồn thành chứng minh bất đẳng thức, chưa có liên hệ với dạng toán đơn vị kiến thức khác có liên quan đến bất đẳng thức phương trình, bất phương trình hệ phương trình giáo viên chưa ý đến cách diễn đạt khác ví dụ hay tập đưa Sau làm xong ví dụ tập học sinh khơng cung cấp tập tự luyện để có “cơ hội” thực hành Tổng số tập bất đẳng thức sách Đại số 10 sách Bài tập Đại số 10 25, nằm mục khác nhau, không xếp theo phương pháp dừng lại hai phương pháp chứng minh bất đẳng thức nói Để làm tập đó, học sinh phải tự nhận dạng, xếp lại tập giải vấn đề Điều gây khơng khó khăn cho đa số học sinh Giải pháp Về câu hỏi trắc nghiệm khách quan Giáo viên xây dựng hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan đảm bảo hai yêu cầu: Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm chung cho chủ đề bất đẳng thức Các câu hỏi chủ yếu mức độ nhận biết, thông hiểu Số lượng câu hỏi trắc nghiệm khách quan sách Đại số 10 sách Bài tập Đại số 10 cịn (04 câu hỏi) Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan chưa xây dựng đủ bốn mức độ (nhận biết, thông hiểu, vận dụng vận dụng cao) nằm rải rác sách tham khảo Đa số câu hỏi trắc nghiệm khách quan sách tham khảo mức độ nhận biết, thơng hiểu, có số câu hỏi mức độ vận dụng học sinh cần đặc biệt hóa lựa chọn phương án Trong đó, mức độ câu hỏi bất đẳng thức kỳ thi lại mức vận dụng vận dụng cao Vì vậy, hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan chưa đáp ứng yêu cầu chuẩn kiến thức, kỹ kỳ thi Giáo viên thường giảng dạy phần câu hỏi trắc nghiệm tách rời với phần tự luận, giảng dạy tiết ôn tập, tiết tự chọn câu hỏi xây dựng thành chủ đề bất đẳng thức chung chung, lại rời rạc, riêng lẻ, liên quan đến nhau, chưa thể rõ phương pháp Khi hướng dẫn học sinh làm dừng lại việc tìm đáp án Cách làm có ưu điểm học sinh dễ nhận dạng câu hỏi trắc nghiệm khách quan lại nhiều thời gian, hạn chế việc rèn luyện kỹ làm tập tự luận, câu hỏi trắc nghiệm cho học sinh; học sinh giải biết chưa biết cách đặt vấn đề khai thác phát triển tốn tìm tốn “họ hàng”; học sinh khó hình dung lúng túng trước câu hỏi mới, lạ trình học tập làm kiểm tra, thi; chưa có nhiều “cơ hội” phát triển lực học sinh Giải pháp cải tiến Trên sở kết lấy phiếu điều tra giáo viên, phân tích, đánh giá ưu điểm hạn chế giải pháp cũ thường làm, tiến hành viết sáng kiến Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 với giải pháp cải tiến sau: Giải pháp Thiết kế lại nội dung kiến thức Kiến thức thiết kế tiến trình sách giáo khoa để giáo viên, học sinh tiện theo dõi đối chiếu Bổ sung hệ thống lại thành bảy phương pháp, kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức thường gặp kỳ thi phù hợp với yêu cầu kiến thức, tiến trình học tập mà học sinh học lớp 10, đảm bảo trang bị đầy đủ phương pháp kỹ thuật thường gặp trình học tập tham gia kỳ thi Đồng thời, gọi tên số bất đẳng thức quen gọi trước Cô-si, Bunhi-a-côpx-ky theo tên gọi chung quốc tế Xây dựng tài liệu gồm 07 phương pháp, kỹ thuật: Sử dụng biến đổi tương đương Sử dụng bất đẳng thức AM-GM Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Sử dụng kiến thức hình học Sử dụng miền giá trị điều kiện tồn nghiệm phương trình Sử dụng tính chất hàm số Sử dụng dồn biến Giải pháp Thiết kế hệ thống ví dụ điển hình cho phương pháp, kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức Ngồi việc trình bày kiến thức có sách giáo khoa (khơng trình bày lại cách chứng minh định lý), bổ sung số kiến thức cập nhật cho thi THPT Quốc gia Ứng với phương pháp chứng minh bất đẳng thức có ví dụ minh họa kèm theo lời bàn lời giải trình bày nhiều cách có liên hệ với toán lớp 11 lớp 12, phân mơn khác Tốn học Lượng giác, Hình học để học sinh hiểu rõ chất phương pháp, cách thức áp dụng phương pháp cách tiếp cận vấn đề Cụ thể, phương pháp chứng minh bất đẳng thức thiết kế gồm vấn đề: Nội dung phương pháp Ví dụ điển hình Lời bàn, phân tích, liên hệ phát triển toán Bài tập tự luyện Với giải pháp này, xây dựng 56 ví dụ điển hình bao gồm ví dụ tự luận (25 ví dụ) ví dụ trắc nghiệm khách quan (31 ví dụ), với lời giải chi tiết, kèm theo phân tích, lời bàn 56 ví dụ minh họa cho phương pháp, kỹ thuật nói trên, nhiều ví dụ có liên hệ bất đẳng thức với nội dung khác phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, liên hệ với đơn vị kiến thức lớp 11 lớp 12 Với cách làm này, giúp hình thành cho học sinh lực đặt vấn đề, phát giải vấn đề; lực tự học; lực tư lôgic, tư sáng tạo linh hoạt giải vấn đề Đồng thời, nắm yếu tố cốt lõi tốn có liên quan đến bất đẳng thức hiểu rõ chất toán Giải pháp Thiết kế hệ thống tập tự luyện Trên sở chuẩn kiến thức, kỹ bất đẳng thức, kinh nghiệm giảng dạy ôn thi kỳ thi, sau ví dụ tự luận điển hình, chúng tơi có giới thiệu thêm tập tự luyện để học sinh có “cơ hội” thực hành mà khơng cần nhiều thời gian tìm kiếm tài liệu tham khảo Chúng xây dựng 40 nhóm câu hỏi tập bao gồm 100 tập tự luận 112 câu hỏi trắc nghiệm khách quan tương ứng với 07 phương pháp, kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm đảm bảo đủ mức độ: nhận biết, thông hiểu, vận dụng vận dụng cao Việc xây dựng hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan theo phương pháp, đủ mức độ nhận thức, vừa giúp giáo viên có tư liệu dạy học vừa giúp học sinh có tài liệu học tập, rèn luyện kỹ sử dụng phương pháp cách hiệu phù hợp với yêu cầu kỳ thi Bên cạnh đó, chúng tơi liên hệ đến số vấn đề liên quan phương trình, hệ phương trình tốn có chứa tham số có dẫn số tốn chương trình lớp 11 12 sử dụng đến phương pháp, kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức đề cập Các vấn đề liên hệ gần sát với yêu cầu chương trình giáo dục, yêu cầu kỳ thi chọn học sinh giỏi thi THPT quốc gia III Hiệu dự kiến đạt Giúp giáo viên học sinh tiết kiệm nhiều thời gian để xây dựng tài liệu giảng dạy, học tập chủ đề bất đẳng thức Bởi lẽ, để xây dựng tài liệu giảng dạy học tập bất đẳng thức, giáo viên học sinh phải nhiều giờ, chí nhiều ngày tìm kiếm, đọc tài liệu tham khảo để xếp, lựa chọn phương pháp chứng minh bất đẳng thức, hệ thống hóa câu hỏi tập luyện tập cho phương pháp Các sách tham khảo (có liên quan đến chủ đề bất đẳng thức lớp 10) tính đến thời điểm tác giả viết sáng kiến ví dụ tập chủ yếu dạng tự luận Vì vậy, để xây dựng hệ thống câu hỏi tập trắc nghiệm khách quan cho chủ đề bất đẳng thức giáo viên, học sinh cần phải dành nhiều thời gian để tìm kiếm, biên tập xếp, hệ thống lại từ tài liệu internet sách tham khảo cho phù hợp với yêu cầu chuẩn kiến thức, kỹ lực học sinh, xây dựng phương án nhiễu Với sáng kiến này, giáo viên học sinh sử dụng để giảng dạy, ôn tập luyện thi học sinh giỏi, thi Trung học phổ thơng quốc gia Nếu cần hàng năm giáo viên bổ sung để có tài liệu đa dạng, phong phú tập cho riêng phù hợp với đối tượng học sinh lớp giảng dạy Tạo lan tỏa phong trào viết sáng kiến nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng nhà trường Sáng kiến thầy, cô giáo trường tiến hành thực nghiệm sử dụng để giảng dạy khóa ôn luyện thi Trung học phổ thông Quốc gia, bồi dưỡng học sinh giỏi tạo lan tỏa phong trào nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng viết sáng kiến giáo viên nhà trường Tạo hứng thú, tự tin u thích mơn học cho học sinh học tập, góp phần bồi dưỡng lực tự học, phát triển lực suy luận, tư lôgic lực phát hiện, giải vấn đề cho học sinh Sáng kiến góp phần nâng cao chất lượng, hiệu giảng dạy học tập mơn Tốn nhà trường Giáo viên trường sử dụng sáng kiến dạy học mơn Tốn, hướng dẫn học sinh ôn thi THPT quốc gia bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn Nhiều học sinh sử dụng sáng kiến để tự học, tất nhiên có hướng dẫn giáo viên đạt thành tích cao học tập Đóng góp sáng kiến thi sau: - Đối với Kỳ thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn cấp tỉnh Năm học TS giải Giải Nhất Giải Nhì Giải Ba Giải KK 2017 – 2018 03 01 02 2018 – 2019 02 01 01 2019 – 2020 04 01 03 - Đối với kỳ thi THPT quốc gia Năm Điểm TB mơn Tốn trường Điểm TB mơn Tốn tỉnh SL học sinh có điểm thi mơn Tốn từ 8,0 trở lên 2018 2019 5,39 6,41 5,17 6,05 10 57 SL học sinh có tổng điểm ba mơn xét Đại học từ 26,0 điểm trở lên 03 04 IV Điều kiện khả áp dụng Điều kiện áp dụng Sáng kiến tác giả triển khai thực từ năm học 2017 – 2018 nhà trường bổ sung, hoàn thiện dần qua năm học Qua thực nghiệm tiến hành áp dụng hai năm học vừa qua, kết sáng kiến hữu ích cơng tác giảng dạy giáo viên công tác ôn tập học sinh Vì vậy, để áp dụng sáng kiến, giáo viên nghiên cứu kỹ sáng kiến cần phải tác giả trao đổi để hiểu ý tưởng mục tiêu thiết kế ví dụ câu hỏi, tập phương pháp Khả áp dụng Sáng kiến đồng nghiệp nhà trường thực nghiệm, đồng nghiệp địa bàn huyện đánh giá cao ý tưởng, chất lượng nội dung có tính khả thi, phổ dụng cao Sáng kiến áp dụng tất trường THPT tỉnh toàn quốc, đặc biệt lớp chọn, lớp chất lượng cao nhà trường THCS, THPT Danh sách người tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu (tất giáo viên công tác trường THPT Gia Viễn B): STT Họ tên Chức danh Trình độ chun mơn Hồng Thị Năm Giáo viên Đại học Đào Thị Nụ Giáo viên Đại học Đặng Đình Phương Giáo viên Thạc sỹ Chúng xin cam đoan thông tin nêu đơn trung thực, thật hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật./ Xác nhận Ban giám hiệu Gia Viễn, ngày 11 tháng 05 năm 2020 Người nộp đơn Nguyễn Tiên Tiến Trang 1/72 Sáng kiến: Cải tiến cách xây dựng tài liệu Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh PHỤ LỤC Phần LÝ THUYẾT CHUNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC I BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Bất đẳng thức Định nghĩa Giả sử a b hai số thực, mệnh đề " a b "," a b "," a b "," a b " gọi bất đẳng thức Một bất đẳng thức sai Chứng minh bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 2.1 Định nghĩa Cho f biểu thức chứa biến (chứa biến nhiều biến) biến số thỏa mãn điều kiện T cho trước a) Số M gọi giá trị lớn biểu thức f , viết M max f , nếu: (1) f M với giá trị biến thỏa mãn điều kiện T (2) Tồn giá trị biến số thỏa mãn điều kiện T cho f M b) Số m gọi giá trị nhỏ biểu thức f , viết m f , nếu: (1) f m với giá trị biến thỏa mãn điều kiện T (2) Tồn giá trị biến số thỏa mãn điều kiện T cho f m 2.2 Ký hiệu Nếu hàm số y f x đạt giá trị lớn M tập D ta ký hiệu M max f x D M max f x ; hàm số y f x đạt giá trị nhỏ m tập D ta ký hiệu xD m f x m f x D xD 2.3 Nhận xét Để tìm giá trị lớn (tương tự giá trị nhỏ nhất) biểu thức f , ta trình bày lời giải theo bước đây: Bước Chứng minh với giá trị biến số thỏa mãn điều kiện T , ta có f M , M số khơng phụ thuộc vào biến f (có nhiều cơng cụ để đạt mục tiêu mà sau tìm hiểu) Bước Chứng minh tồn giá trị biến (không thiết phải tìm tất cả) thỏa mãn điều kiện T cho f M Bước Kết luận max f M II CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA BẤT ĐẲNG THỨC Trong chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức, thường sử dụng tính chất sau bất đẳng thức: - Tính chất a b b c a c Tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 2/72 Sáng kiến: Cải tiến cách xây dựng tài liệu Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh - Tính chất a b a c b c - Tính chất Nếu c a b ac bc - Tính chất Nếu c a b ac bc - Tính chất a b c d a c b d - Tính chất a b c d ac bd - Tính chất a b n * a n b n - Tính chất a b a b - Tính chất a b a b - Tính chất 10 a 0, b a b a b a b ab 1 a b - Tính chất 12 a 0, a Đẳng thức xảy a - Tính chất 11 a b - Tính chất 13 a a a , với a - Tính chất 14 Với a x a a x a - Tính chất 15 Với a x a x a x a (1) (2) - Tính chất 16 Với a, b , ta có a b a b a b Đẳng thức xảy (1) ab ; đẳng thức xảy (2) ab - Tính chất 17 Ta có x a; b x a x b - Tính chất 18 Xét x a; b + Nếu ab thì: 1) x a , b max x max a , b ; 2) x a ; b max x max a ; b a ; b a ; b + Nếu ab thì: 1) x max x max a , b ; 2) x max x max a ; b a ; b a ; b Tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 58/72 Sáng kiến: Cải tiến cách xây dựng tài liệu Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh Ví dụ 5.7 Cho hai số thực x, y thỏa mãn x x y y Tìm giá trị lớn M giá trị nhỏ m biểu thức K x y B M 15 m A M 15 m 15 C M 15 m 21 D M 15 m Lời giải Điều kiện: x 1 y 2 Từ giả thiết, ta có x y 21 x 1 y Cách (Sử dụng bất đẳng thức AM-GM) Từ điều kiện cho ta có x y Do x y 3 x y x y x y 3 18 x 1 y +) Do x 0; y nên x y x y 21 x 1 y x 1 13 21 x Đẳng thức xảy 11 21 21 x y y y 2 2 x y x y 27 x y x 1 y x y Do ta có x y x y 3 x y 3 18 x y 54 x y 18 x y 54 x y 15 +) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có x y 10 x; y ; Đẳng thức xảy 2 x y 15 21 Vậy M 15 m Cách (Sử dụng điều kiện tồn nghiệm) Đặt a x 1; b y m a b , với a 0; b m 3m a b m Điều kiện tồn số a , b không âm thỏa mãn ab m m Từ điều kiện ban đầu, ta có a b2 a b ab m 21 m 15 m 3m 2 m m 3m 3 Lại x y a b 3m nên 21 x y 15 Tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 59/72 Sáng kiến: Cải tiến cách xây dựng tài liệu Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh Vậy M 15 m 21 Chọn đáp án C./ Bài tập tự luyện Bài Cho hai số thực x , y thỏa mãn x x y y Giá trị lớn biểu thức F x y A số nguyên dương nhỏ C số nguyên dương lớn 20 B số vô tỷ dương nhỏ D số vô tỷ lớn 20 Bài Cho hai số thực x , y thỏa mãn x x y y Giá trị nhỏ biểu thức F x y có dạng A 25 a b.c , a , b , c số nguyên dương Giá trị lớn a b c B 73 C 75 D 199 Bài Cho hai số thực x , y thỏa mãn x x y y Biết biểu thức F x y đạt giá trị lớn x có dạng A 25 p q , p , q số nguyên dương Giá trị p q B 36 C 55 D 66 Bài Cho hai số thực x , y thỏa mãn x x y y Gọi S tập giá trị biểu thức F x y Có số nguyên thuộc tập hợp S ? A B C 10 D 12 x y m Bài Tìm tập hợp tất giá trị tham số m để hệ phương trình có x y 3m nghiệm 21 21 A 9 15; 15 B 0; 15 C ; 15 D ;9 15 Bài Cho hai số thực x , y thay đổi thỏa mãn x y x y Tập giá trị biểu thức T x y A 7; C 1 3; B 1; Bài Cho hai số thực x , y thay đổi thỏa mãn x y D 3; x y Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức F x y Tính tổng bình phương M m 17 A B 10 Bài Cho số thực x , y thỏa mãn x y C 17 D 16 x y Giá trị nhỏ m biểu thức P x y 15 xy A m 80 B m 91 C m 83 D m 63 Tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 60/72 Sáng kiến: Cải tiến cách xây dựng tài liệu Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh §6 SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ 6.1 NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP Trong khuôn khổ chương trình lớp 10, để chứng minh bất đẳng thức theo cách này, cần biết số kiến thức sau đây: Bảng biến thiên hàm số bậc hai y ax bx c x b 2a y x b 2a 4a y 4a Trường hợp a Trường hợp a Xét hàm số bậc y ax b đoạn ; Khi đó, max y max y ; y y y ; y ; ; Các trường hợp đặc biệt: - Trường hợp Nếu a max y y ; y y ; ; - Trường hợp Nếu a max y y ; y y ; ; Xét hàm số bậc hai f x ax bx c đoạn ; Tính b y1 f ; y2 f ; y3 f 2a Khi đó, xảy trường hợp sau: b - Trường hợp ; 2a Ta có: max f x max y1 ; y3 ; f x y1 ; y3 ; ; b ; 2a Ta có: max f x max y1 ; y2 ; y3 ; f x y1 ; y2 ; y3 - Trường hợp ; ; Xét hàm số f x ax b , (c 0; ad bc 0) xác định đoạn ; Khi đó, cx d max f x max f ; f ; f x f ; f ; ; Xét hàm số f x a1 x b1 a2 x b2 an x bn , với i 1, 2, , n Khi đó, f x f b1 ; a1 b f ; ; a2 b f n an Đặc biệt, với a ax b1 ax b2 b1 b2 Tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 61/72 Sáng kiến: Cải tiến cách xây dựng tài liệu Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh 6.2 VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH Ví dụ 6.1 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số a) f x x x , với x b) g x x 1 x x 1 x , với x Lời giải a) Với x 3;6 f x Ta có f x x 1 x x 10 x Xét hàm số h x x 10 x đoạn 3; 6 Ta có bảng biến thiên hàm số sau: x 16 h x 15 12 Từ bảng biến thiên, ta có 12 f x 16, x 3;6 f x 4, x 3;6 f x 4, x 3;6 Vậy, max f x f f x f 3 3;6 3;6 b) Đặt t x x Suy x 1 x t2 t2 t 4t 2 Với x 3;6 theo ý a), ta có t 6; Do g x 2t Xét hàm số k t t 4t đoạn 6; b Ta có 6; k ; k 8 2a Do k t 8, t 6; 2 Vậy, max g x Suy g x 3;6 g x / , x 3;6 6 3;6 CHÚ Ý Chúng ta tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số h x đoạn 3; cách đơn giản nêu phần lý thuyết Cụ thể: Ta có b 3; h 12; h 16; h 15 nên h x 12 max h x 16 3; 3; 2a Tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 62/72 Sáng kiến: Cải tiến cách xây dựng tài liệu Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh Bài tập tự luyện Bài (Trích đề thi HSG lớp 12 năm học 2010 – 2011, Cao Bằng) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị lớn hàm số y x x x x Bài (Trích đề thi HSG lớp 12 năm học 2011 – 2012, Hải Dương) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị lớn hàm số y x x 16 x Bài (Trích đề thi HSG lớp 10 năm học 2010 – 2011, THPT Nguyễn Gia Thiều, Hà Nội) Tìm giá trị tham số m để bất phương trình x m x 14 5x x có nghiệm Bài (Trích đề thi HSG lớp 12 năm học 2013 – 2014, Ninh Bình) Tìm giá trị thực tham số m để phương trình x 2mx x x có nghiệm thực Bài (Trích đề thi HSG lớp 12 năm học 2013 – 2014, Long An) Tìm giá trị thực m để phương trình 21 x x x3 m x x có nghiệm Bài Gọi M m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y 2 x x đoạn 1;1 Giá trị M.m A 25 B 25 C D Khi học hàm số lượng giác (Đại số 11), bắt gặp tốn dạng sau đây: Bài Gọi M m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y sin x cos x Giá trị M.m A 25 B 25 C D Khi học lơgarit (Giải tích 12), bắt gặp toán dạng sau đây: Bài Gọi M m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f x 2 ln x ln x 1 đoạn ; e Giá trị M.m e A 25 B 25 C D Bài (Trích đề thi tham khảo THPT QG năm 2020) Giá trị lớn hàm số f x x 12 x đoạn 1; A B 37 C 33 D 12 Bài 10 (Câu 23, mã đề 101, đề thi THPTQG năm 2018) Giá trị lớn hàm số y x x đoạn 2; 3 A 201 B C D 54 Bài 11 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y 5x 10 x đoạn 0; Giá trị M m A 25 B 30 C 15 D 10 Bài 12 (Trích đề thi HKI lớp 12 năm học 2017 – 2018, Thừa Thiên Huế) Tìm giá trị nhỏ hàm số y x x x x tập xác định hàm số A y 2 1; B y 1; 10 C y 2 1; D y 1; 10 Tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 63/72 Sáng kiến: Cải tiến cách xây dựng tài liệu Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh Ví dụ 6.2 Cho số thực x , y thay đổi thỏa mãn điều kiện x xy y Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A x y 3x y xy Lời giải Ta ln có x y xy x y 2 xy 2 2 3 xy xy 3 xy Do đó, kết hợp với giả thiết ta có 3 2 xy xy Đặt t xy x y t x y x y x y t 6t Suy ra, A 2t 2t Xét hàm số f t 2t 2t đoạn 3;1 Ta có b 17 17 3;1 f 3 33 ; f ; f 1 Do A 33 2a 2 2 x x xy 3 +) A 33 x xy y y y 14 14 17 xy ; +) A (hệ có nghiệm x; y ) 4 2 x xy y 17 Vậy, A đạt giá trị lớn 33 đạt giá trị nhỏ / Bài tập tự luyện Bài (Trích đề kiểm tra HSG lớp 12 năm học 2012 – 2013, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình) Cho x y hai số thực thỏa mãn điều kiện x y xy Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P x y 12 x y Bài (Trích đề thi HSG lớp 12 năm học 2011 – 2012, Kiên Giang) Cho hai số thực x , y thỏa mãn đẳng thức x xy y Tìm giá trị nhỏ biểu thức M x y xy x y Ví dụ 6.3 Cho số thực a , b, c thoả mãn a, b, c a b c Chứng minh a b c a b c Lời giải + Áp dụng bất đẳng thức AM-GM hai số, ta có a 2a, b 2b, c 2c Suy a b c a b c a b c (do a b c ) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ba số, ta có a 3a, b3 3b, c 3c Suy a b3 c a b c a b3 c3 (do a b c ) + Do vai trò a , b, c điều kiện bất đẳng thức cần chứng minh nên ta có Tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 64/72 Sáng kiến: Cải tiến cách xây dựng tài liệu Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh thể giả sử a max a; b; c Từ giả thiết a b c ta có 3a a Kết hợp điều kiện lại ta có a Do a 1 a a 3a 2 2 Vì b, c không âm nên a b c a b c a a a 3a Suy a b c 2 Khi a ; b ; c đẳng thức xảy 3 Cũng b, c khơng âm nên a b3 c a b c a a a 3a 27 Suy a b c 2 27 Khi a ; b ; c đẳng thức xảy ra./ 3 Lời bàn 1 Trong ví dụ khơng cần thiết phải lập bảng biến thiên hàm số f a a 3a từ điều kiện a 1; , suy a 3a 2 2 Trong lời giải ta sử dụng giả thiết b, c không âm để đánh giá b c b c Nếu giả thiết a , b , c m đưa giả thiết ví dụ cách đổi biến a a m; b b m c c m Khi a, b, c Nếu thực phép đổi biến a x 1; b y 1; c z từ ví dụ ta tốn sau: Bài (Trích đề thi HSG lớp – Ninh Bình, năm học 2008 – 2009) 1 x , y , z Chứng minh x y z 14 Cho ba số x, y, z thoả mãn x y z Bài (Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học Tuổi trẻ, 1) 1 x , y , z Cho ba số x, y, z thoả mãn Chứng minh x y z 36 x y z Nếu thực phép đổi biến a x ; b y ; c z từ ví dụ ta tốn sau: 1 x , y , z Bài Cho ba số x, y, z thoả mãn Chứng minh x y z x y z Khi học hàm số lơgarit (Giải tích 12), gặp tốn hình thức khác sau: Bài Cho số thực a , b , c thuộc đoạn 1; thỏa mãn điều kiện abc Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức T log 22 a log 22 b log 22 c Bài Cho số thực a , b , c thuộc đoạn 1; 3 thỏa mãn điều kiện abc 3 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức T log 3 a log 3 b log 3 c Bài tập tự luyện Bài Cho ba số thực x , y , z thoả mãn điều kiện x , y , z x y z Chứng minh x y z 20 x y z 72 2 a , b , c Bài Cho số thực a , b , c thoả mãn Chứng minh a b c 12 a b2 c 56 a b3 c 288 Bài (Trích đề thi TS lớp 10 THPT năm học 2011 – 2012, Ninh Bình) Cho ba số x , y , z thoả mãn 1 x , y , z x y z Chứng minh Tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 65/72 Sáng kiến: Cải tiến cách xây dựng tài liệu Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh x y z 11 Bài (Trích đề thi TS lớp 10 THPT chuyên Quảng Ninh năm học 2011 – 2012) Cho số thực a , b , c thoả mãn điều kiện 1 a , b , c a b c Chứng minh a b2 c Bài (Trích đề thi HSG lớp 12 năm học 2006 – 2007, Ninh Bình) 1 a , b , c Tìm giá trị lớn biểu thức Cho số thực a , b , c thoả mãn điều kiện a b c P a2 b2 c Bài (Trích đề thi HSG lớp 12 năm học 2109 – 2020, Hưng Yên) Cho số thực a , b , c thuộc đoạn 2; thỏa mãn điều kiện abc 64 Tìm giá trị lớn biểu thức P log 22 a log 22 b log 22 c Ví dụ 6.4 Tìm giá trị lớn M hàm số y x x đoạn 0; A M B M C M D M Lời giải Đặt t x Do x 0; nên t 0;3 Hàm số cho trở thành y t 2t b Ta có 0;3 y 3; y 1 2; y 3 nên M Chọn đáp án D./ 2a Bài tập tự luyện Bài Tìm giá trị nhỏ m hàm số y x x 13 đoạn 2; 3 A m 51 B m 49 C m 13 D m 51 Bài Giá trị lớn hàm số f x x x đoạn 2; 3 A 50 B C D 122 Bài Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y x x đoạn 2; A 4 B 3 4 C 3 D 1 Bài Tìm m để giá trị lớn hàm số y x 2m x m đoạn 0;1 A m B m 1; m C m D m Ví dụ 6.5 Cho hàm số y A m 1 xm ( m tham số thực) thỏa mãn y Mệnh đề đúng? 2;4 x 1 B m C m D m Lời giải Hàm số cho xác định đoạn 2; 4 y m 2; y m4 Tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 66/72 Sáng kiến: Cải tiến cách xây dựng tài liệu Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh y m m5 Cách Vì y y ; y y nên 2;4 2;4 m y m m 1 Cách Xét hiệu y y m - Nếu m 1 y y y y m m (loại) 2;4 - Nếu m 1 y y y y m m (nhận) 2; 4 x 1 1, x 2; 4 Do khơng thể xảy y 2;4 x 1 Vậy m Chọn đáp án C./ Bài tập tự luyện - Nếu m 1 y Bài Giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y A B x 1 đoạn 1; 3 2x C D Bài Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y 2x đoạn x 1 0;1 Giá trị biểu thức P M m B P A P Bài Cho hàm số y C P D P 16 xm 16 ( m tham số thực) thỏa mãn y max y Mệnh đề 1; 1; x1 đúng? A m B m Bài Giá trị lớn hàm số f x A 5 D m 2mx 1 đoạn 2; m nhận giá trị mx C B Bài Tìm m để hàm số y A m C m D 2 mx đạt giá trị lớn đoạn 2; xm B m C m D m Ví dụ 6.6 Cho hàm số f x x 3x có bảng biến thiên sau: x -2 f(x) -6 Biết giá trị lớn hàm số y f x đoạn 3; 4 số nguyên dương M Gọi S tập hợp ước nguyên dương M Tập hợp S có phần tử? A B C D 10 Lời giải Tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 67/72 Sáng kiến: Cải tiến cách xây dựng tài liệu Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh Ta có f 3 56; f 14 Bảng biến thiên hàm số y f x đoạn 3; 4 x 2 3 14 f x 56 6 Do đó, với x 3; 4 56 f x 14 Suy f x 56 Vậy, M 56 nên S 1; 2; 4; 7;8;14; 28;56 Khi đó, S có phần tử Chọn đáp án A./ Ví dụ 6.7 Cho số thực x , y thỏa mãn điều kiện x x y 12 y Giá trị nhỏ biểu thức M xy x3 y 29 10 10 34 A B C D Lời giải 2 Ta có x x y 12 y x x 12 +) y x x 12 4 x +) M x x x 12 x x x 12 29 x 10 x Xét hàm số f x x 10 x đoạn 4;3 10 10 5 4;3 f 4 93; f ; f 3 2.3 3 10 10 50 Suy f x hay M , đạt x; y ; Chọn đáp án A./ 4;3 3 3 Ta có Ví dụ 6.8 Tìm giá trị nhỏ hàm số y x x 1 x x tập xác định hàm số A y 2 1;3 B 2 1;3 C y 1;3 10 Lời giải Điều kiện: 1 x Đặt t x x , t Ta có t D y 1;3 10 x 1 x Vì x 1 x nên t t 2; t x 1 x Do x 1 x x x nên t t 2 ; t 2 x 1 x x t2 Ta có y t t t , với t 2 b Xét hàm số f t t2 t 2; 2 Ta có 1 2;2 f 2 2; f 2 2 2 2a Vậy f t 2 Suy y 2 Chọn đáp án B./ 2; 2 1;3 Tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 68/72 Sáng kiến: Cải tiến cách xây dựng tài liệu Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh §7 SỬ DỤNG KỸ THUẬT DỒN BIẾN 7.1 NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP Kỹ thuật dồn biến chứng minh bất đẳng thức kỹ thuật làm giảm số biến bất đẳng thức thông qua việc đánh giá, đổi biến, đánh giá kết hợp với đổi biến, Trong kỳ thi Trung học phổ thông thường gặp bất đẳng thức từ ba biến trở xuống với kỹ thuật dồn biến đổi biến số; đánh giá dựa vào việc sử dụng bất đẳng thức bản, bất đẳng thức kinh điển; đánh giá kết hợp với đổi biến số; Một số đánh giá thường sử dụng nêu phần trên, ngồi cịn cần ý đến vài đánh giá như: Với a 0, b (1) a b a b ; a b a b ; (2) c a c b c c a b , với c ; Một số cách đổi biến thường gặp t x y t xy t x y x y ; t a b c t ab bc ca ; Bên cạnh việc đổi biến số, thường sử y x dụng bất đẳng thức kinh điển để tìm tập giá trị biến t 7.2 VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH Ví dụ 7.1 x2 y2 x y Cho x, y số thực khác không Chứng minh 10 x y x y Lời giải Đặt t x y x y x y t t 2 t y x y x y x x2 y2 x y Từ cách đặt, ta có 10 3t 8t t 3t x y x y Do t 3t t t nên t 3t 0, t 2 t 2 x y x y Vậy, 10 Đẳng thức xảy x y / x y x y Ví dụ 7.2 (Trích đề thi TS Đại học khối D năm 2009) Cho số thực không âm x , y thay đổi thỏa mãn x y Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức S x y y x 25 xy Lời giải Vì x y nên S 16 x y 12 x y 34 xy 2 3 16 x y 12 x y xy x y 34 xy 16 xy xy 12 Tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 69/72 Sáng kiến: Cải tiến cách xây dựng tài liệu Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh Đặt t xy , ta S 16t 2t 12 x y 1 Lại có xy nên t 0; 4 1 Xét hàm số f t 16t 2t 12 đoạn 0; 4 b 1 191 25 0; f 12; f ; f Ta có 2a 16 16 16 4 25 191 Suy ra, max f t f ; f t f 1 16 16 0; 0; 4 4 x y 1 1 x; y ; 2 2 xy x y 191 Giá trị nhỏ S ; 16 xy 16 2 2 2 2 x; y ; ; x; y / 25 Vậy: Giá trị lớn S ; Ví dụ 7.3 (Trích đề thi HKII lớp 10 năm học 2013-2014, THPT Gia Viễn B, NB) Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn điều kiện x y Tìm giá trị lớn biểu thức P x y xy x y 13 Ta có x y x y Lời giải x y 16 x y 2 2 P x y x y x y 13 x y x y Đặt t x y t 0; 4 P t t Xét hàm số f t t t nửa khoảng 0; 4 Bảng biến thiên hàm số f t t 5 f t 21 Do f t 7, t 0; 4 x2 y2 x; y 2; / Vậy, P đạt giá trị lớn ; x y Tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 70/72 Sáng kiến: Cải tiến cách xây dựng tài liệu Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh Ví dụ 7.4 (Trích đề thi TS Đại học khối B năm 2011) Cho a b số thực dương thỏa mãn a b ab a b ab Tìm giá trị a b3 a b nhỏ biểu thức P b a b a Lời giải a b a b a b a b a b Ta có P b a b a b a b a b a a b a b a b P 12 18 b a b a b a Với a b dương, ta có: a b ab a b ab a b 1 1 a b ab ab a b a b a b b a a b 1 1 1 1 a b Lại có a b 2 a b 2 a b a b b a a b a b a b a b a b Suy 2 15 b a b a b a b a b a a b Đặt t , t Khi P 4t 9t 12t 18 b a 19 23 Ta có P 2t 2t t 4 19 19 Vì t nên 2t 2t t 2 2 4 19 23 Suy 2t 2t t 0, t hay P 4 a a a b 1 1 Dấu xảy a b hay b a a b b b 23 Vậy biểu thức P đạt giá trị nhỏ a; b 2;1 a; b 1; / Ví dụ 7.5 Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn x y Giá trị lớn max P giá trị nhỏ P biểu thức P x y xy x y 1 x y là: A P 3 max P C P 3 max P B P 3 max P D P 3 max P Lời giải 3 Ta có P x y xy x y xy x y 1 x y x y xy x y 1 x y Tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 71/72 Sáng kiến: Cải tiến cách xây dựng tài liệu Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh Đặt t x y Do x y x y xy nên xy t2 t2 Do x y xy nên t t 2 t t 2 Suy P t 2t 1 t t t f t , với t 2; 2 b 3 Ta có 1 2;2 f 2 3; f 1 ; f nên max f t f t 3 2;2 2; 2 2a 2 Do P 3 max P Chọn đáp án C./ Ví dụ 7.6 Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn 1; 4 x y, x z Giá trị nhỏ biểu thức P x y z 2x y y z z x 47 14 A B 42 33 C 34 33 Lời giải 1 Với a b dương, ab , ta ln có a b ab D * Thật vậy, * a b ab 1 a 1 b a b ab ab a b 2ab ab a b , với a b dương, ab Đẳng thức xảy ra, ab a b Với x y thuộc đoạn 1; 4 x y (tức x ), ta có y x 1 P x y z x y x 1 y z x y z x x Đẳng thức xảy y z y t2 x f t t 1; 2 Khi P y 2t t 34 Ta có f 1 f Ta f t f 33 2 34 t 4 2 t 35t 27t 48 Thật vậy, f t 0, t 1; 2 33 2t 11 t 33 t 1 2t 3 x 34 hay f t , t 1; 2 Đẳng thức xảy t (khi x 4, y ) 33 y 34 Suy P Đẳng thức xảy x 4, y z 33 Đặt t Tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 72/72 Sáng kiến: Cải tiến cách xây dựng tài liệu Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh Vậy, giá trị nhỏ P 34 Chọn đáp án C./ 33 Tác giả: Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B ... Tiên Tiến Trang 1/72 Sáng kiến: Cải tiến cách xây dựng tài liệu Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh PHỤ LỤC Phần LÝ THUYẾT CHUNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC I BẤT ĐẲNG THỨC... cách xây dựng tài liệu Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh Từ bất đẳng thức, người ta đề xuất số phương trình hệ phương trình giải cách sử dụng bất đẳng thức Chẳng... Sáng kiến: Cải tiến cách xây dựng tài liệu Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh Ví dụ 1 .10 Cho x, y hai số thực biến thiên m tham số Biết biểu thức 2 F