Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 51 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
51
Dung lượng
1,02 MB
Nội dung
Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự – Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: Hội đồng sáng kiến cấp ngành, Sở GDĐT Ninh Bình Chúng tơi, gồm: Nguyễn Tiên Tiến Sinh ngày: 08 tháng 06 năm 1981 Nơi cơng tác: Trường THPT Gia Viễn B, Ninh Bình Chức vụ: Phó Hiệu trưởng Trình độ chun mơn: Thạc sỹ Tỷ lệ (%) đóng góp vào việc tạo sáng kiến: 60% Hoàng Thị Năm Sinh ngày: 04 tháng 10 năm 1985 Nơi công tác: Trường THPT Gia Viễn B, Ninh Bình Chức vụ: Giáo viên Trình độ chuyên mơn: Cử nhân Tỷ lệ (%) đóng góp vào việc tạo sáng kiến: 30% Phùng Thị Hằng Sinh ngày: 10 tháng 03 năm 1989 Nơi công tác: Trường THPT Gia Viễn B, Ninh Bình Chức vụ: Giáo viên Trình độ chun mơn: Cử nhân Tỷ lệ (%) đóng góp vào việc tạo sáng kiến: 10% I TÊN SÁNG KIẾN, LĨNH VỰC ÁP DỤNG - Là nhóm tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh - Lĩnh vực áp dụng: Giảng dạy mơn Tốn cấp THPT, đặc biệt lớp 10 lớp 12 II NỘI DUNG SÁNG KIẾN Giải pháp cũ thường làm Qua thực tế giảng dạy thân dựa vào kết lấy phiếu điều tra đối giáo viên dạy Tốn 10 kinh nghiệm, tình hình giảng dạy Bất đẳng thức chương trình Đại số 10, xin đánh giá ưu điểm hạn chế sau: Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 1/5 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh Giáo viên giảng dạy theo tiến trình sách giáo khoa Cách làm có ưu điểm học sinh dễ theo dõi giảng giáo viên với việc xem sách giáo khoa Tuy nhiên, khuôn khổ số trang nên sách giáo khoa khơng trình bày đầy đủ dạng bất đẳng thức thường gặp kỳ thi lời giải ví dụ trình bày chi tiết lại khơng có phân tích để học sinh nhận biết, thông hiểu định nghĩa đơn vị kiến thức Đồng thời, học sinh không cung cấp thêm ví dụ minh họa để hiểu rõ chất khái niệm toán học đơn vị kiến thức Giáo viên thường sử dụng ví dụ tập tự luận giảng dạy lý thuyết Sau làm xong ví dụ tập học sinh khơng cung cấp tập tự luyện để có “cơ hội” thực hành Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan chưa xây dựng đủ bốn mức độ nằm rải rác sách tham khảo, giảng dạy tách rời với phần tự luận Điều vừa nhiều thời gian vừa hạn chế việc rèn kỹ làm tập tự luận, câu hỏi trắc nghiệm cho học sinh Giáo viên sử dụng câu hỏi trắc nghiệm khách quan tiết ôn tập, tiết tự chọn học thêm buổi chiều câu hỏi xây dựng thành chủ đề câu hỏi lại rời rạc, riêng lẻ, liên quan đến khơng thành hệ thống Cách làm có ưu điểm học sinh tập trung rèn luyện kỹ làm trắc nghiệm dễ nhận dạng câu hỏi trắc nghiệm khách quan Học sinh giải biết chưa biết cách đặt vấn đề khai thác phát triển tốn tìm tốn “họ hàng” Do đó, học sinh khó hình dung yêu cầu đặt trước thông tin, liệu cho trước Giải pháp cải tiến Trên sở kết lấy phiếu điều tra giáo viên, đánh giá ưu điểm hạn chế giải pháp cũ thường làm, xây dựng tài liệu dạy học nội dung Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 với cải tiến sau: Giải pháp 1: Thiết kế nội dung kiến thức Kiến thức thiết kế tiến trình sách giáo khoa để giáo viên, học sinh tiện theo dõi, có bổ sung hệ thống lại bảy phương pháp, kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức thường gặp kỳ thi Mỗi phương pháp, kỹ thuật chúng tơi trình bày ba phần: Nội dung phương pháp, Ví dụ tự luận điển hình Câu hỏi trắc nghiệm khách quan Giải pháp 2: Thiết kế phần ví dụ tự luận điển hình Ngồi việc trình bày kiến thức có sách giáo khoa (khơng trình bày lại cách chứng minh định lý), bổ sung số kiến thức cập nhật cho thi THPT Quốc gia Ứng với phương pháp chứng minh bất đẳng Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 2/5 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh thức có ví dụ minh họa, phân tích nhận xét, bình luận lời giải trình bày nhiều cách để học sinh hiểu rõ chất phương pháp cách tiếp cận vấn đề Bên cạnh đó, sau ví dụ tự luận điển hình, chúng tơi có giới thiệu thêm tập tự luyện để học sinh có “cơ hội” thực hành mà không cần nhiều thời gian tìm kiếm tài liệu tham khảo Giải pháp 3: Thiết kế hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan Trên sở chuẩn kiến thức, kỹ bất đẳng thức, kinh nghiệm giảng dạy ôn thi kỳ thi, xây dựng hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan theo phương pháp chứng minh bất đẳng thức Việc xây dựng hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan theo phương pháp chứng minh bất đẳng thức mặt vừa giúp giáo viên có tư liệu dạy học vừa giúp học sinh có tài liệu luyện tập Bên cạnh đó, chúng tơi liên hệ đến số vấn đề liên quan giải phương trình, hệ phương trình tốn có chứa tham số liên quan đến điều kiện có nghiệm phương trình, hệ phương trình III HIỆU QUẢ KINH TẾ VÀ XÃ HỘI DỰ KIẾN ĐẠT ĐƯỢC Hiệu kinh tế Thứ nhất, xét mặt thời gian Để biên soạn hệ thống câu hỏi tập cho chủ đề chuyên đề dạy học, luyện thi giáo viên phải nhiều thời gian tìm kiếm, biên tập lại từ tài liệu internet sách tham khảo cho phù hợp với yêu cầu chuẩn kiến thức, kỹ lực học sinh Học sinh có nhu cầu tìm kiếm tập để tự luyện phải tìm kiếm nhiều tài liệu hệ thống lại Các sách tham khảo (có liên quan đến chủ đề bất đẳng thức lớp 10) tính đến thời điểm tác giả viết sáng kiến ví dụ tập chủ yếu dạng tự luận Vì vậy, để xây dựng hệ thống câu hỏi tập trắc nghiệm khách quan cho chủ đề bất đẳng thức cần phải đầu tư thời gian để xây dựng phương án nhiễu Như vậy, để có hệ thống câu hỏi tập bất đẳng thức bao gồm tự luận trắc nghiệm khách quan đỏi hỏi nhiều thời gian tìm kiếm xếp, đó, với sáng kiến này, giáo viên học sinh sử dụng để giảng dạy, ôn tập luyện thi Trung học phổ thông Quốc gia Nếu cần giáo viên bổ sung hàng năm để có tài liệu đa dạng, phong phú tập cho riêng phù hợp với đối tượng học sinh lớp giảng dạy Thứ hai, xét mặt tài Để viết nên tài liệu này, không kể tài liệu giáo khoa (học sinh giáo viên có), khơng kể nhiều truy cập internet, nhiều để sáng tác toán, tác giả phải đọc số đầu sách tham Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 3/5 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh khảo Trong với tài liệu này, giáo viên cần in in tài liệu với giá không 15.000 đồng Hiệu xã hội Ngay sau văn số 4818/BGDĐT-KTKĐCLGD ngày 28/09/2016 việc Tổ chức Kỳ thi THPT quốc gia tuyển sinh ĐH, CĐ hệ quy năm 2017 Bộ GDĐT ban hành, có nội dung thi mơn Tốn thi theo hình thức trắc nghiệm khách quan, đề thi có 50 câu hỏi từ năm 2019 trở đi, nội dung thi nằm Chương trình cấp THPT, tác giả tiến hành xây dựng tài liệu hoàn thiện dần qua năm học Nội dung tài liệu thầy, cô trường sử dụng để giảng dạy khóa ơn luyện thi Trung học phổ thông Quốc gia, bồi dưỡng học sinh giỏi bước đầu cho thấy tính khả thi phổ dụng sáng kiến Nhiều học sinh sử dụng tài liệu để tự học, tất nhiên cần có hướng dẫn giáo viên đạt thành tích cao học tập Điều cho thấy, sáng kiến tiếp tục hoàn thiện, bổ sung tài liệu bổ ích để học sinh tự học Từ đó, tạo hứng thú, tự tin học tập, góp phần bồi dưỡng lực tự học nâng cao chất lượng, hiệu học tập học sinh IV ĐIỀU KIỆN VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Điều kiện áp dụng Sáng kiến tác giả triển khai thực từ năm học 2017 – 2018 nhà trường hoàn thiện dần qua năm học Qua thực nghiệm tiến hành áp dụng hai năm học vừa qua, kết tài liệu hữu ích công tác giảng dạy giáo viên công tác ôn tập học sinh Đồng thời, chất lượng giảng dạy học tập nội dung bất đẳng thức nâng lên đáng kể, đặc biệt tạo hứng thú góp phần bồi dưỡng lực tự học, tự nghiên cứu cho học sinh lớp mũi nhọn Vì vậy, sáng kiến áp dụng cho trường THPT địa bàn tỉnh toàn quốc Khả áp dụng Sáng kiến tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên, học sinh áp dụng giảng dạy trường THPT Tài liệu đồng nghiệp trường địa bàn huyện đánh giá cao chất lượng nội dung, phương pháp mục tiêu dạy học Danh sách người tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu (tất giáo viên công tác trường THPT Gia Viễn B): Trình độ chuyên STT Họ tên Chức danh mơn Hồng Thị Năm Giáo viên Cử nhân Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 4/5 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh Đào Thị Nụ Giáo viên Cử nhân Đặng Đình Phương Giáo viên Thạc sỹ Chúng tơi xin cam đoan thông tin nêu đơn trung thực, thật hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật./ Xác nhận Ban giám hiệu Gia Viễn, ngày 15 tháng 05 năm 2019 Người nộp đơn Nguyễn Tiên Tiến Hoàng Thị Năm Phùng Thị Hằng Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 5/5 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh PHỤ LỤC PHẦN LÝ THUYẾT VỀ BẤT ĐẲNG THỨC I Bất đẳng thức giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Bất đẳng thức Định nghĩa: Giả sử a b hai số thực, mệnh đề " a b "," a b "," a b "," a b " gọi bất đẳng thức Một bất đẳng thức sai Chứng minh bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Định nghĩa: Cho f biểu thức chứa biến (chứa biến nhiều biến) biến số thỏa mãn điều kiện T a) Số M gọi giá trị lớn biểu thức f , viết M max f , nếu: (1) f M với giá trị biến thỏa mãn điều kiện T (2) Tồn giá trị biến số thỏa mãn điều kiện T cho f M b) Số m gọi giá trị nhỏ biểu thức f , viết m f , nếu: (1) f m với giá trị biến thỏa mãn điều kiện T (2) Tồn giá trị biến số thỏa mãn điều kiện T cho f m Đặc biệt, hàm số y f x đạt giá trị lớn M tập D ta ký hiệu M max f x M max f x ; hàm số y f x đạt giá trị nhỏ m tập D D xD ta ký hiệu m f x m f x D xD Nhận xét Để tìm giá trị lớn (tương tự giá trị nhỏ nhất) biểu thức f , ta trình bày lời giải theo bước đây: - Bước 1: Chứng minh với giá trị biến số thỏa mãn điều kiện T , ta có f M , M số không phụ thuộc vào biến f - Bước 2: Chứng minh tồn giá trị biến (không thiết phải tìm tất cả) thỏa mãn điều kiện T cho f M - Bước 3: Kết luận max f M II Các tính chất bất đẳng thức Trong chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức, thường sử dụng tính chất sau bất đẳng thức: a b b c a c a b a c b c Nếu c a b ac bc Nếu c a b ac bc a b c d a c b d a b c d ac bd a b n * a n b n a b a b Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 1/46 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh a b a b 10 a 0, b a b a b a b a b 1 11 a b a b 12 a 0, a Đẳng thức xảy a 13 a a a , với a 14 Với a x a a x a 15 Với a x a x a x a (1) (2) 16 Với a , b , ta có a b a b a b Đẳng thức xảy (1) ab ; đẳng thức xảy (2) ab PHẦN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THÔNG DỤNG ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Có nhiều phương pháp, kỹ thuật để chứng minh bất đẳng thức Trong phần này, chúng tơi trình bày số phương pháp, kỹ thuật thông dụng để chứng minh bất đẳng thức thường gặp kỳ thi thi học kỳ, thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thi Trung học phổ thơng quốc gia Đó phương pháp kỹ thuật: (1): Sử dụng biến đổi tương đương bất đẳng thức biết; (2): Sử dụng bất đẳng thức Cô-si; (3): Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki; (4): Sử dụng kiến thức hình học; (5): Sử dụng miền giá trị điều kiện tồn nghiệm phương trình; (6): Sử dụng tính chất hàm số; (7): Sử dụng dồn biến; Với phương pháp, chúng tơi trình bày thống ba phần: - Nội dung phương pháp: Phần trình bày nội dung phương pháp cách trực quan, dễ hiểu với đối tượng học sinh - Ví dụ tự luận điển hình: Phần chúng tơi lựa chọn ví dụ minh họa điển hình cho phương pháp đó, trình bày theo cách khác Mỗi ví dụ có phân tích để tìm lời giải làm rõ chất phương pháp lời giải - Câu hỏi trắc nghiệm khách quan: Phần chúng tơi xây dựng ví dụ trắc nghiệm khách quan mà lời giải phải sử dụng đến phương pháp đề cập Với ví dụ, chúng tơi có đề cập đến câu hỏi trắc nghiệm khách quan có liên quan nhằm giúp em học sinh có nhìn rõ nét việc xây dựng câu hỏi trắc nghiệm khách quan I Sử dụng biến đổi tương đương bất đẳng thức biết 1.1 Nội dung phương pháp Để chứng minh bất đẳng thức A B theo hướng này, làm theo cách sau đây: - Cách 1: Lập hiệu A B Sử dụng biến đổi tương đương, tính chất bất đẳng thức kết biết để A B - Cách 2: Bằng kiến thức biết tính chất bất đẳng thức, đánh giá vế trái để A B - Cách 3: Bằng kiến thức biết tính chất bất đẳng thức, đánh giá vế phải để B A Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 2/46 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh Chứng minh bất đẳng thức theo cách nêu trên, ngồi việc phải sử dụng đến tính chất bất đẳng thức, thường sử dụng thêm kết sau: (1): x a; b a x b x a x b f x , với a b 2ab; a b 2ab (2): x f x cho xác định Đặc biệt, (3): ab bc ca a b c a b2 c , với a , b, c 1.2 Ví dụ tự luận điển hình Ví dụ 1.1 a) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f x b) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số g x 3x đoạn 1;3 x2 x2 đoạn 1; 2 x2 Lời giải a) Ta có f x 3 x 2 x2 3 x2 Với x 1;3 , ta có: x 7 7 7 x2 x2 Do 4 f x , x 1;3 x 1;3 Vậy max f x f 1 4 f x f 3 1;3 1;3 x2 x 1 1 1 b) Với x 1; 2 x 0; 4 Ta có 2 2x 1 2x 1 2 2x 1 1 Với x thuộc đoạn 1; 2 x 2x 1 1 1 1 0 Do g x , x 1; 2 2x 2 2x 1 Mặt khác g x x 1; 2 ; g x x 1; Vậy max g x g g x g / 1;2 1;2 Ta có f x 4 x 1 1;3 ; f x Bài tập tự luyện Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f x Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f x 3x đoạn 1;3 x2 3x đoạn 1;3 4x2 1 Ví dụ 1.2 Tìm giá trị nhỏ hàm số y x x 21 x x 10 Lời giải x x 21 Điều kiện: 2 x x x 10 Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 3/46 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh Ta có x x 21 x x 10 x 11 , suy y y 2 x x 31 x 3 x x 2 x x 3 x x x , suy y Dấu xảy x 3 x x x x x / Vậy, hàm số đạt giá trị nhỏ Lời bàn 1) Trong lời giải trên, tiến hành theo ba bước, là: Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số xác định Bước 2: Từ điều kiện xác định hàm số, y Bước 3: Biến đổi đánh giá biểu thức y Suy đánh giá y kết luận giá trị nhỏ 2) Từ bất đẳng thức thức y ta suy y y Nhưng y nên y lúc có giá trị nhỏ Còn y y lúc có giá trị lớn Bài tập tự luyện Tìm giá trị nhỏ biểu thức f x x x 36 x x Tìm giá trị lớn biểu thức g x x x 24 x x 45 x 18 5 x Ví dụ 1.3 a) Chứng minh với x ; x 25 50 2 b) Cho a , b , c ba số khơng nhỏ có tổng Chứng minh rằng: a b c a b c 10 Lời giải 3x 1 x 3 x 18 5 a) Ta có x 0, x ; x 25 50 50 x 1 2 x 18 5 x , x ; Dấu xảy x x x 25 50 2 3 b) Từ giả thiết, ta có a b c a a 4 5 5 Tương tự, ta có b c Suy a , b , c thuộc đoạn ; 2 2 a 18 b 18 c 18 a ; b ; c Áp dụng kết ý a), ta có: a 25 50 b 25 50 c 25 50 Cộng vế theo vế bất đẳng thức trên, kết hợp với giả thiết, ta a b c 18 9 a b c a b c 25 50 10 Suy Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 4/46 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh / Dấu xảy a b c Lời bàn 1) Trong lời giải trên, để giải ý b) sử dụng kết ý a) Vậy khơng gợi ý ý a) tìm bất đẳng thức phụ cách nào? Suy nghĩ để tìm câu trả lời sau: Thứ nhất, số hạng vế trái biểu thức biến, tìm cách đánh giá số hạng nhỏ biểu thức biến cộng vế theo vế sử dụng giả thiết để điều phải chứng minh Thứ hai, giả thiết toán a b c (các biến số a, b, c có bậc một, độc lập với nhau) nên cần a ma n , m, n số phải tìm a 1 Thứ ba, từ giả thiết bất đẳng thức cần chứng minh, dự đoán đẳng thức xảy 1 a a , ta cần đánh giá a b c Khi a m 3a 1 Lúc này, 3 a 10 a 10 cần tìm m để bất đẳng thức xảy đánh giá 3a 1 3 a 10m a 1 a m 3a 1 Xét a 10 10 a 1 Lúc này, ta cần chọn m để a 10m a 1 nhận a nhân tử 3a 1 ) Giải điều kiện ta tìm m làm nghiệm (mục tiêu làm xuất Khi 25 3a 1 4a 3 a 3a 1 (do a ) 2 a 10 25 50 a 1 Kỹ thuật nói coi kỹ thuật hệ số bất định 18 cách đơn giản a 25 50 phương pháp tiếp tuyến sau: Trước hết, dự đoán xem đẳng thức xảy nào? 1 a Chúng ta dự đoán a b c Với a Sau đó, viết phương trình 3 a 10 2) Khi học đạo hàm (Giải tích 11), tìm biểu thức tiếp tuyến đồ thị hàm số f x x 1 điểm M ; Tiếp tuyến có phương trình x 1 10 x 18 18 Lúc ta lập hiệu x biến đổi Phương pháp x x 25 50 25 50 gọi phương pháp tiếp tuyến y Bài tập tự luyện 5x b) Cho số thực dương a, b, c, d thỏa mãn a b c d Chứng minh a) Chứng minh với x 0;1 , ta ln có x3 x a b3 c d a b c d x x2 2x x2 2x 25 b) Cho số thực dương a, b, c có tổng Chứng minh a) Chứng minh với x 0;1 , ta ln có a b c a b c 2 b c a b c a 2 c a b c a b 2 Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 5/46 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh 3) Nếu kết hợp với tính chất hàm số, đề xuất tốn sau: Trong số a; b; c thỏa a b c mãn điều kiện , tìm số cho P ab đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ ab bc ca 4) Từ đẳng thức a b c a b c ab bc ca từ giả thiết ví dụ này, ta có a b c Do ta đề xuất toán sau đây: a b c a) Cho số thực a , b , c thỏa mãn điều kiện Chứng minh a, b, c 2 a b c ab bc ca 8 b) Cho số thực a , b , c thỏa mãn điều kiện Chứng minh a, b, c 2 3 a b c 5.3 Câu hỏi trắc nghiệm khách quan x2 8x là: x2 13 C D 2 2 Câu 5.1 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y A 9 B 1 Lời giải Cách 1: (Lời giải tự luận) x2 8x Gọi y0 giá trị thuộc miền giá trị hàm số y x2 x2 8x Khi phương trình y0 y0 1 x x y0 * có nghiệm x2 - Trường hợp 1: y0 y0 * trở thành 8 x x - Trường hợp 2: y0 y0 * có nghiệm 16 y0 1 y0 y02 y0 1 y0 Kết hợp hai trường hợp, ta có max y y 1 Cách 2: (Kiểm tra phương án đến tìm phương án đúng) - Kiểm tra phương án A x2 8x x2 8x x2 8x Ta có 1 x2 x2 x 1 8x 0, x , tức y nên giá trị lớn Đến đây, không đánh giá x 1 hàm số Do đó, loại phương án A - Kiểm tra phương án B x2 8x x2 x 1 +) y 0, x ; y x 2 x 1 x 1 2 x2 8x x 2 +) y 1 0, x ; y 1 x 2 x2 x2 Do vậy, phương án B (lúc không cần kiểm tra phương án lại hai phương án lại giá trị lớn nhỏ 9) Cách 3: (Sử dụng cách loại trừ) Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 32/46 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh Ta có y nên max y y Do đó, phương án A, C D không phù hợp Đáp án B Bài tập tự luyện Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y bình cộng M m A B C 4 x2 8x Tính trung x2 D 2 x 8x Hỏi tập hợp S có phần tử? x2 C D Gọi S tập hợp giá trị nguyên hàm số y A 11 B 10 x 8x đạt giá trị lớn x a đạt giá trị nhỏ x b Tính x2 giá trị biểu thức F 4a 5b A F 8 B F 16 C F 16 D F Biết hàm số y Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y Tính tổng bình phương M m A 82 B 80 C 64 x2 8x 3; 2 x2 D 100 Biết tồn số thực c, d để hàm số y x cx d đạt giá trị lớn giá trị nhỏ x2 1 Mệnh đề sai? A c 8d B 285 c 32d 290 C 12 c d 17 D 15 c d 22 Trong cặp số x; y thỏa mãn x yx x y x0 ; y0 cặp số mà y đạt giá trị lớn Trung bình nhân x0 y0 9 19 C D 2 Cho x, y số thực không đồng thời không Gọi M m giá trị lớn giá A B trị nhỏ biểu thức F A P 8 x xy y Tính P M m x2 y B P C P D P 4 Xét số thực x, y thay đổi thỏa mãn x y biểu thức S x xy y Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ S Kí hiệu p số nguyên lớn không vượt p , mệnh đề đúng? A M m 14 B 2M m 30 C M 2m 12 D M m 17 Câu 5.2 Cho a số thực khác Tìm giá trị nhỏ m giá trị lớn M hàm số 12 x x a theo a y x 36 A m 12 a 36 M 12 a 36 B m a 36 M a 36 C m 12 a 36 M 12 a 36 D m a 36 M a 36 Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 33/46 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh Lời giải Gọi y0 giá trị thuộc miền giá trị hàm số y Khi phương trình 12 x x a 12 x x a x 36 y0 có nghiệm y0 12 x 12ax 36 y0 * có x 36 nghiệm - Trường hợp 1: y0 12 y0 12 * trở thành 12ax 12.36 x 36 a - Trường hợp 2: y0 12 y0 12 * có nghiệm 36a 36 y0 y0 12 y02 12 y0 a a 36 y0 a 36 Kết hợp hai trường hợp, ta có m a 36 M a 36 Đáp án D Bài tập tự luyện Cho a số thực khác Gọi m M giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y 12 x x a x 36 theo a Tính tổng bình phương m M B 144 2a A 144 C 360 2a Gọi T tập hợp giá trị tham số a để hàm số y D 576 8a 12 x x a x 36 đạt giá trị lớn Tính tổng phần tử tập hợp T A B 144 C D 144 248 Cho a số thực thỏa mãn a 10 a Số giá trị a để giá trị nhỏ hàm số y 12 x x a x 36 đạt giá trị lớn A B C 4 Cho a số thực dương Biết tập giá trị hàm số y D 12 x x a x 36 đoạn m; M tồn a để M M 3m Mệnh đề đúng? A a B a C a D 12 a 14 Gọi S tập hợp số nguyên a cho giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y 12 x x a x 36 A số nguyên Tập hợp S gồm phần tử? B C D Câu 5.3 Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn hệ thức x y Tìm giá trị lớn M giá trị nhỏ m biểu thức P A M 3; m 6 x xy xy y B M 6; m 3 C M 6; m 12 Lời giải Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B D M 12; m 6 Trang 34/46 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh Từ giả thiết, ta có P x xy x xy y - Nếu y từ giả thiết ta có x Suy P - Nếu y P t 6t t 6t t 2t , t x y Ta có P t 2t P t P t P * +) Với P * trở thành 8t t +) Với P * có nghiệm P 3P P P 3P 18 6 P Kết hợp hai trường hợp, ta có M m 6 Đáp án A Bài tập tự luyện Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn hệ thức x y Gọi max P giá trị lớn biểu thức P x xy xy y A 2;5 max P thuộc khoảng đây? B 0; C 7; D 4;0 2 Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn hệ thức x y Giá trị nhỏ biểu thức P x xy xy y A số nguyên dương B số nguyên âm C số vô tỷ dương D số vô tỷ âm Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn hệ thức x y Biết biểu thức P x xy xy y đạt giá trị nhỏ y m x , m, n số nguyên dương phân số n m tối giản Giá trị 19m 5n n A 53 B 67 C 34 D 62 x xy Cho hai số thực x, y thỏa mãn hệ thức x y Biểu thức P x; y x0 ; y0 , tính giá trị A 13 10 B xy y đạt giá trị lớn S x02 x0 y0 y02 13 C 10 D 19 13 Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn hệ thức x y Biết biểu thức P x xy xy y đạt giá trị nhỏ m x; y x0 ; y0 Tính giá trị biểu thức L m 130 x0 y0 A 96 B 24 C 48 Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B D 30 Trang 35/46 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh Câu 5.4 Cho số thực x , y thỏa mãn điều kiện x xy y Giá trị lớn max P biểu thức P x y A max P B max P 12 C max P 16 D max P Lời giải - Nếu y từ điều kiện suy x Do đó, P x 2 x y t 2t , với t x P - Nếu y Q x xy y t 2t y Suy Q 1 t Q 1 t 3Q * +) Q * trở thành 4t t 2 +) Q * có nghiệm ' Q 1 Q 1 3Q 1 P P 12 Kết hợp hai trường hợp, ta ln có P 12 Vậy, max P 12 Q 3Q Q Suy Đáp án B Bài tập tự luyện Cho số thực x, y thỏa mãn x xy y Giá trị lớn biểu thức P x y A số nguyên dương B số vô tỷ dương C số nguyên tố D số phương 2 Cho số thực x , y thỏa mãn điều kiện x xy y Gọi S tập giá trị biểu thức P x y xy Hỏi tập hợp S có số nguyên tố? A B C D 12 Cho số thực x , y thỏa mãn điều kiện x xy y Biết giá trị lớn biểu thức P x y xy số nguyên m Gọi S tập hợp ước số dương m Tổng phần tử thuộc S A 28 B 27 C 15 D 16 x xy y 4 Xét hệ phương trình , với a tham số Gọi S tập hợp giá trị tham số a x xy y a để hệ phương trình có nghiệm Tập hợp S có số nguyên dương? A 13 B 12 C D Câu 5.5 Cho hai số thực x, y thỏa mãn x x y y Tìm giá trị lớn M giá trị nhỏ m biểu thức K x y A M 15 m 15 C M 15 m B M 15 m 21 D M 15 m 21 Lời giải Điều kiện: x 1 y 2 Từ giả thiết, ta có x y x 1 y Cách 1: (Sử dụng bất đẳng thức Cơ-si) Từ điều kiện cho ta có x y Do Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 36/46 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh x y 3 x y x y x y 3 18 x 1 y +) Do x 0; y nên x y x y 3 21 x 1 y x 1 13 21 x Đẳng thức xảy 11 21 21 y x y y 2 2 x y x y 27 x y x 1 y x y Do ta có x y x y 3 x y 3 18 x y 54 x y 18 x y 54 x y 15 +) Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có 10 x y Đẳng thức xảy x; y ; 2 x y 15 21 Cách 2: (Sử dụng điều kiện tồn nghiệm) Đặt a x 1; b y m a b , với a 0; b Vậy M 15 m m 3m a b m Điều kiện tồn số a, b không âm thỏa mãn ab m m Từ điều kiện ban đầu, ta có a b a b ab m 21 m 15 m 3m 2 m m 3m 3 21 x y 15 21 Vậy M 15 m Lại x y a b 3m nên Đáp án C Bài tập tự luyện Cho hai số thực x, y thỏa mãn x x y y Giá trị lớn biểu thức F x y A số nguyên dương nhỏ C số nguyên dương lớn 20 B số vô tỷ dương nhỏ D số vô tỷ lớn 20 Cho hai số thực x, y thỏa mãn x x y y Giá trị nhỏ biểu thức F x y có a b.c , a, b, c số nguyên dương Giá trị lớn a b c A 25 B 73 C 75 D 199 dạng Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 37/46 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh Cho hai số thực x, y thỏa mãn x x y y Biết biểu thức F x y đạt giá trị lớn x có dạng A 25 p q , p, q số nguyên dương Giá trị p q B 36 C 55 D 66 Cho hai số thực x, y thỏa mãn x x y y Gọi S tập giá trị biểu thức F x y Có số nguyên thuộc tập hợp S ? A B C 10 D 12 x y m Tìm tập hợp tất giá trị tham số m để hệ phương trình có nghiệm x y 3m A 9 15;9 15 21 C ;3 15 B 0;9 15 Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn x y 21 D ;9 15 x y Tập giá trị biểu thức T x y A 7;7 B 1;7 C 1 3;7 Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn x y D 3;7 x y Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức F x y Tính tổng bình phương M m A 17 B 10 C 17 Cho số thực x , y thỏa mãn x y D 16 x y Giá trị nhỏ m biểu thức P x y 15 xy A m 80 B m 91 C m 83 D m 63 VI Sử dụng tính chất hàm số 6.1 Nội dung phương pháp Trong khuôn khổ chương trình lớp 10, để chứng minh bất đẳng thức theo cách này, cần biết số kiến thức sau đây: (1) Bảng biến thiên hàm số bậc hai y ax bx c x b 2a y x y 4a Trường hợp a b 2a 4a Trường hợp a (2) Xét hàm số bậc y ax b đoạn ; Khi đó, max y max y ; y y y ; y ; ; Đặc biệt: Nếu a max y y ; y y ; a max y y ; y y ; ; ; ; (3) Xét hàm số bậc hai f x ax bx c đoạn ; b Tính y1 f ; y2 f ; y3 f Khi 2a Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 38/46 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh b ; max f x max y1 ; y3 ; f x y1 ; y3 ; ; 2a b ; max f x max y1 ; y2 ; y3 ; f x y1 ; y2 ; y3 - Nếu ; ; 2a ax b , (c 0; ad bc 0) xác định đoạn ; (4) Xét hàm số f x cx d - Nếu Khi đó, max f x max f ; f ; f x f ; f ; ; (5) Xét hàm số f x a1 x b1 a2 x b2 an x bn , với với i 1, 2, , n Khi f x f b1 ; f a1 b2 a2 ; ; b f n an Đặc biệt, với a ax b1 ax b2 b1 b2 6.2 Ví dụ tự luận điển hình Ví dụ 6.1 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số a) f x x x , với x b) g x x 1 x x 1 x , với x Lời giải a) Với x 3;6 f x Ta có f x x 1 x x 10 x Xét hàm số h x x 10 x đoạn 3;6 Ta có bảng biến thiên hàm số sau: x 16 h x 15 12 Từ bảng biến thiên, ta có 12 f x 16, x 3;6 f x 4, x 3; 6 f x 4, x 3;6 Vậy, max f x f f x f 3 3;6 3;6 Chú ý Chúng ta tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số h x đoạn 3;6 cách đơn giản nêu phần lý thuyết Cụ thể: b 3;6 h 3 12; h 16; h 15 nên 2a h x 12 max h x 16 3; 6 b) Đặt t x x Suy Do g x 2t x 1 x 3; 6 t2 t2 t 4t 8 2 Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 39/46 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh Với x 3;6 theo ý a), ta có t 6; Xét hàm số k t t 4t đoạn 6; b 6; k ; k 8 Ta có 2a Do k t 8, t 6; Suy g x Vậy, max g x 3;6 , x 3; 6 g x / 3;6 Ví dụ 6.2 Cho số thực x , y thay đổi thỏa mãn điều kiện x xy y Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A x y x y xy Lời giải 2 2 Ta ln có x y xy x y 2 xy 3 xy xy Do đó, kết hợp với giả thiết ta có 3 xy 3 2 xy xy Đặt t xy x y t x y x y x y t 6t Suy ra, A 2t 2t Xét hàm số f t 2t 2t đoạn 3;1 Ta có b 17 17 3;1 f 3 33 ; f ; f 1 Do A 33 2a 2 2 x x xy 3 +) A 33 x xy y y y 14 14 17 xy +) A (rõ ràng x; y ; thỏa mãn hệ này) 4 2 x xy y 17 Vậy, A đạt giá trị lớn 33 đạt giá trị nhỏ / 6.3 Câu hỏi trắc nghiệm khách quan Câu 6.1 Tìm giá trị lớn M hàm số y x x đoạn 0; A M B M C M D M Lời giải Đặt t x Do x 0; nên t 0;3 Hàm số cho trở thành y t 2t b Ta có 0;3 y 3; y 1 2; y 3 nên M 2a Đáp án D Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 40/46 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh Bài tập tự luyện Tìm giá trị nhỏ m hàm số y x x 13 đoạn 2;3 51 49 B m C m 13 4 Giá trị lớn hàm số f x x x đoạn 2;3 bằng: A m A 50 B C D m 51 D 122 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y x x đoạn 2; 2 là: A 4 B 3 4 C 3 D 1 Tìm m để giá trị lớn hàm số y x 2m x m đoạn 0;1 A m B m 1; m Ví dụ 6.2 Cho hàm số y đúng? A m 1 2 C m D m xm ( m tham số thực) thỏa mãn y Mệnh đề 2;4 x 1 B m C m D m Lời giải Hàm số cho xác định đoạn 2; 4 y m 2; y m4 y m Cách 1: Vì y y ; y y nên m5 2;4 2;4 m y m m 1 Cách 2: Xét hiệu y y m - Nếu m 1 y y y y m m (loại) 2;4 - Nếu m 1 y y y y m m (nhận) 2;4 - Nếu m 1 y x 1 1, x 2; 4 Do khơng thể xảy y Vậy m 2;4 x 1 Đáp án C Bài tập tự luyện Giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y A B x 1 đoạn 1;3 là: 2x C D Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y 2x x 1 Giá trị biểu thức P M m A P B P Cho hàm số y đúng? A m C P đoạn 0;1 D P 16 xm 16 ( m tham số thực) thỏa mãn y max y Mệnh đề 1; 2 1; 2 x 1 B m C m Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B D m Trang 41/46 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh Giá trị lớn hàm số f x A 5 2mx 1 đoạn 2;3 m nhận giá trị mx B Tìm m để hàm số y C D 2 mx đạt giá trị lớn đoạn 2;6 xm A m B m C m D m Câu 6.3 Cho hàm số f x x x có bảng biến thiên sau: x -2 f(x) Biết giá trị lớn hàm số y f x đoạn 3; 4 số nguyên dương M Gọi S tập hợp ước nguyên dương M Tập hợp S có phần tử? A B C D 10 Lời giải Ta có f 3 56; f 14 Suy ra, bảng biến thiên hàm số y f x đoạn 3; 4 x 2 3 14 f x 56 6 Do đó, với x 3; 4 56 f x 14 Suy f x 56 Vậy, M 56 nên S 1; 2; 4;7;8;14; 28;56 Khi đó, S có phần tử Đáp án A Câu 6.4 Cho số thực x , y thỏa mãn điều kiện x x y 12 y Tìm giá trị nhỏ M biểu thức M xy x3 y 29 10 10 A M B M C M Lời giải D M 34 Ta có x x y 12 y x x 12 +) y x x 12 4 x +) M x x x 12 x3 x x 12 29 x 10 x Xét hàm số f x x 10 x đoạn 4;3 Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 42/46 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh 10 10 5 4;3 f 4 93; f ; f 2.3 3 3 10 10 50 Suy f x hay M , đạt x; y ; 4;3 3 3 Ta có Đáp án A Câu 6.5 Tìm giá trị nhỏ hàm số y x x 1 x x tập xác định hàm số A y 2 B 2 1;3 1;3 C y 1;3 10 D y 1;3 10 Lời giải Điều kiện: 1 x Đặt t x x , t Ta có t x 1 x +) Do x 1 x nên t t 2; t x 1 x +) Lại x 1 x x x nên t t 2 Đẳng thức xảy x x x t2 Từ cách đặt, ta có y t t t , với t 2 Xét hàm số f t t t đoạn 2; 2 b 2; 2 f 2; f 2 2 nên f t 2 Ta có 2;2 2a Suy y 2 1;3 Đáp án B VII Sử dụng dồn biến 7.1 Nội dung phương pháp Kỹ thuật dồn biến chứng minh bất đẳng thức kỹ thuật làm giảm số biến bất đẳng thức thông qua việc đánh giá, đổi biến, đánh giá kết hợp với đổi biến, Trong kỳ thi Trung học phổ thông thường gặp bất đẳng thức từ ba biến trở xuống với kỹ thuật dồn biến đổi biến số; đánh giá dựa vào việc sử dụng bất đẳng thức bản, bất đẳng thức kinh điển; đánh giá kết hợp với đổi biến số; Một số đánh giá thường sử dụng nêu phần trên, ngồi cần ý đến vài đánh giá như: Với a 0, b (1) a b a b ; a b3 a b ; (2) c a c b c c a b , với c ; x y ; t abc y x t ab bc ca ; Bên cạnh việc đổi biến số, thường sử dụng bất đẳng thức kinh điển để tìm tập giá trị biến 7.2 Ví dụ tự luận điển hình Một số cách đổi biến thường gặp t x y ; t xy ; t x y ; t Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 43/46 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh x2 y x y Ví dụ 7.1 Cho x, y số thực khác không Chứng minh 10 x y x y Lời giải x y x y x y Đặt t t t 2 t y x y x y x x2 y2 x y Từ cách đặt, ta có 10 3t 8t t 3t x y x y Do t 3t t t nên t 3t 0, t 2 t 2 x y x y Vậy, 10 Đẳng thức xảy x y / x y x y Ví dụ 7.2 (Trích đề thi TS Đại học khối D năm 2009) Cho số thực không âm x, y thay đổi thỏa mãn x y Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức S x y y x 25 xy 2 Vì x y nên S 16 x y 12 x y Lời giải 34 xy 16 x y 12 x y 3xy x y 34 xy 16 xy xy 12 Đặt t xy , ta S 16t 2t 12 1 x y Lại có xy nên t 0; 4 1 Xét hàm số f t 16t 2t 12 đoạn 0; 4 b 1 191 25 Ta có 0; f 12; f ; f 2a 16 16 16 4 25 191 Suy ra, max f t f ; f t f 1 0; 16 16 0; 4 4 x y 1 1 x; y ; 2 2 xy x y 191 Giá trị nhỏ S đạt 16 xy 16 2 2 2 2 x; y ; ; x; y / Ví dụ 7.3 (Trích đề thi HKII năm học 2013-2014_THPT Gia Viễn B, Ninh Bình) Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn điều kiện x y Tìm giá trị lớn biểu thức 25 Vậy: Giá trị lớn S đạt P x y xy x y 13 Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 44/46 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh Lời giải Ta có x y x y x y 16 x y 2 P x y x y x y 13 x y x y Đặt t x y t 0; 4 P t t Xét hàm số f t t t nửa khoảng 0; 4 Bảng biến thiên hàm số f t t 5 f t 21 Do f t 7, t 0; x2 y x; y 2; / Vậy, P đạt giá trị lớn ; x y 7.3 Câu hỏi trắc nghiệm khách quan Câu 7.1 Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn x y Giá trị lớn max P giá trị nhỏ P biểu thức P x3 y xy x y 1 x y A P 3 max P C P 3 max P B P 3 max P D P 3 max P Lời giải 3 Ta có P x y xy x y xy x y 1 x y x y xy x y 1 x y t2 2 2 Đặt t x y Do x y x y xy nên xy t2 Suy P t 2t 1 t t t t2 Do x y xy nên t t 2 t Xét hàm số f t t t đoạn 2; 2 b 3 2; 2 f 2 3; f 1 ; f nên max f t f t 3 Ta có 2;2 2;2 2a 2 Do P 3 max P Đáp án C Câu 7.2 Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn 1; 4 x y, x z Giá trị nhỏ biểu thức P x y z 2x 3y y z z x Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 45/46 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh A 47 42 B 14 33 C 34 33 D Lời giải 1 Với a b dương, ab , ta ln có a b ab * Thật vậy, * a b ab 1 a 1 b a b ab ab a b 2ab ab a b , với a , b dương ab Đẳng thức xảy ra, ab a b Với x y thuộc đoạn 1; 4 x y (tức x ), ta có y x 1 P x y z x y x 1 y z x y z x x Đẳng thức xảy y z y t2 x t 1; 2 Khi P f t y 2t t 34 Ta có f 1 f Ta f t f 33 t 35t 27t 48 34 t 4 2 Thật vậy, f t 0, t 1; 2 hay 33 2t 11 t 33 t 1 2t 3 34 f t , t 1; 2 33 34 x Đẳng thức xảy t (khi x 4, y ) Suy P Đẳng thức xảy 33 y 34 x 4, y z Vậy, giá trị nhỏ P 33 Đáp án C Đặt t Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 46/46 .. .Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh Giáo viên giảng dạy theo tiến trình sách giáo khoa Cách làm có ưu điểm học. .. 20/46 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình Tìm tất giá trị m để bất. .. B D E0 3;4 Trang 8/46 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh II Sử dụng bất đẳng thức Cơ-si (Augustin-Louis Cauchy,