Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp hàm số

GV: Nguyn Vn Hi Trng THPT Hm Rng S GIO DC V O TO THANH HểA TRNG THPT HM RNG SNG KIN KINH NGHIM CHNG MINH BT NG THC BNG PHNG PHP HM S Ngi thc hin : Nguyn Vn Hi Chc v : T trng chuyờn mụn SKKN thuc lnh vc mụn Toỏn THANH HểA NM 2016 GV: Nguyn Vn Hi Trng THPT Hm Rng MC LC M u : Lý chn ti Trang Mc ớch nghiờn cu Trang i tng nghiờn cu Trang Phng phỏp nghiờn cu Trang Ni dung sỏng kin kinh nghim 2.1 C s lý lun ca sỏng kin kinh nghim Trang 2.2 Chng minh bt ng thc bng phng phỏp hm s: Trang 2.2.1 Chn mt i lng lm bin Trang 2.2.2 Chn ln lt cỏc i lng lm bin Trang 2.2.3 Chn nhúm cỏc i lng lm bin (k thut dn bin) Trang 11 Kt lun 3.1 Kt qu thc nghim Trang 16 3.2 Bi hc kinh nghim Trang 16 3.3 Kt lun Trang 16 3.4 Kin ngh Trang 17 Ti liu tham kho Trang 18 GV: Nguyn Vn Hi Trng THPT Hm Rng GV: Nguyn Vn Hi Trng THPT Hm Rng M U Lý chọn đề tài Trong chng trỡnh toỏn hc bc Trung hc ph thụng Chứng minh bất đẳng thức hoc tỡm gi tr ln nht v nh nht ca biu thc bi toán phổ biến quan trọng v thờng gặp đề thi tuyển sinh vào Đại học Cao đẳng trc õy v thi Tt nghip THPT Quc Gia hin Bi toỏn chứng minh bất đẳng thức hoc tỡm gi tr ln nht v nh nht ca biu thc cũn chuyên đề bi dng hc sinh gii nh trng v thng gp đề thi học sinh giỏi cỏc cp bc hc Trung hc phổ thông hin Các toán chứng minh bất đẳng thức hoc tỡm gi tr ln nht v nh nht ca biu thc đa dạng phong phú Cả lý luận thực tiễn dạy học chứng tỏ chúng có hiệu việc phát triển t cho học sinh Bi toỏn chng minh bt ng thc hoc tỡm gi tr ln nht v nh nht ca biu thc l mt nhng ni dung khú chng trỡnh Toỏn hc ph thụng lm tt loi bi toỏn ny ũi hi hc sinh phi cú kin thc c bn, h thng cựng vi úc sỏng to, kh nng tng hp v t logic.Trong cỏc thi tuyn sinh vo i hc v Cao ng mụn Toỏn trc õy v thi Tt nghip THPT Quc Gia hin nay, bi toỏn chng minh bt ng thc hoc tỡm gi tr ln nht v nh nht ca biu thc dnh kim tra ỏnh giỏ nng lc ca nhúm hc sinh khỏ gii Trong thang im nú c ỏnh giỏ bc im chớn v im mi.Tuy nhiờn chng trỡnh ca mụn Toỏn PTTH hc hc sinh ch c hc v luyn nm hc lp 10, s tit dy dnh cho ni dung ny quỏ ớt, vỡ vy a s hc sinh c cỏc em hc sinh khỏ cng gp khụng ớt khú khn, lỳng tỳng gp dng toỏn ny Các tài liệu, sách tham khảo trình bày đầy đủ cỏc phng phỏp chng minh bt ng thc, viết GV: Nguyn Vn Hi Trng THPT Hm Rng xin tập trung vào phơng pháp hàm số m hc sinh ó c trang b y kin thc chng trỡnh mụn Toỏn lp 12 Trung hc ph thụng Qua kinh nghiệm giảng dạy, cựng vi nghiờn cu ti liu, viết này, đa phơng pháp giải toán chng minh bt ng thc bng phng phỏp hm s vi mc ớch giỳp hc sinh cú hng gii quyt mt dng bi toỏn khú, rốn luyn t v phỏt huy tớnh tớch cc hc v rốn luyn k nng gii toỏn Hy vọng với nội dung vừa phải , viết phần giúp em học sinh cảm thấy tự tin trớc bi bi toỏn chng minh bt ng thc Củng cố kiến thức để chuẩn bị thi vào Tt nghip THPT Quc gia MC CH NGHIấN CU Vi mc ớch giỳp hc sinh nm vng phng phỏp hm s gii bi toỏn chng minh bt ng thc c bit cú th giỳp hc sinh lp 12 chun b ụn thi tt nghip THPT Quc gia c tt hn Do õy l phn ni dung kin thc khú nờn nhiu hc sinh cũn cha quen vi tớnh t logic ca nú, nờn tụi nghiờn cu ni dung ny nhm tỡm nhng phng phỏp truyn t phự hp vi hc sinh, bờn cnh cng nhm thỏo g nhng vng mc, khú khn m hc sinh thng hay gp phi vi mong mun nõng dn cht lng ging dy mụn Toỏn THPT I TNG NGHIấN CU i tng nghiờn cu ti l hc sinh 12 qua cỏc nm ging dy t trc n nay, cỏc hc sinh ang chun b thi THPT Quc Gia PHNG PHP NGHIấN CU Phng phỏp nghiờn cu l trờn c s lý thuyt hm, phõn tớch s bin thiờn gia cỏc i lng thay i, thit lp mi quan h gia cỏc i lng bin thiờn a cỏc bi kho sỏt hm s Thụng qua vic tm quy c li vai trũ cỏc i lng bin thiờn, ta cú th chng minh mt bt ng thc i s nhiu bin nh kho sỏt hm s mt bin GV: Nguyn Vn Hi Trng THPT Hm Rng Phng phỏp ny v nguyờn tc luụn cú hiu qu, cũn thc t ỏp dng c cho nhiu dng bi toỏn chng minh bt ng thc, hn na cú kh nng mang li nhng li gii hay, c ỏo cho dng bi ny NI DUNG SNG KIN KINH NGHIM 2.1 C S Lí LUN CA SNG KIN KINH NGHIM Mt bt ng thc ỳng cho mi giỏ tr ca nhiu i lng bin thiờn (cú th tha mt s rng buc no ú) Vy vi giỏ tr xỏc nh ca mt nhúm i lng v giỏ tr bin thiờn ca ch mt nhúm i lng cũn li bt ng thc phi ỳng Do ú nu ta coi nhúm i lng cũn li ú l bin thỡ hm s vi bin ú phi t c giỏ tr max hoc Nh vy ta a bi toỏn chng minh bt ng thc v bi toỏn kho sỏt hm s, tỡm giỏ tr max, T bi toỏn Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s trờn khong (a; b) hoc trờn on [a; b] chng trỡnh lp 12, ta cú th chuyn bi toỏn chng minh bt ng thc hoc tỡm gi tr ln nht v nh nht ca biu thc thnh bi toỏn Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s Ta xột hai bi toỏn c bn sau: Bi toỏn 1: Tỡm giỏ tr ln nht, nh nht ca hm s trờn khong (a; b) Phng phỏp gii: *Tỡm xỏc nh ca hm s ( Ch xột trờn (a;b)) * Tớnh hm v tỡm im ti hn ca hm s trờn thuc khong (a; b) * Lp bng bin thiờn * Da vo bng bin thiờn kt lun v giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht Bi toỏn 2: Tỡm giỏ tr ln nht, nh nht ca hm s trờn on [a; b] Phng phỏp gii: * Tỡm xỏc nh ca hm s ( Ch xột trờn [a;b]) * Tớnh hm v tỡm im ti hn xi ca hm s trờn thuc khong (a; b) * Tớnh f ( xi ), f (a), f (b) Max f ( x) = Max{ f ( xi ); f (a); f (b)} [ a ;b ] GV: Nguyn Vn Hi Trng THPT Hm Rng Min f ( x) = Min { f ( xi ); f (a ); f (b )} [ a ;b ] Trờn c s hai bi toỏn trờn chng minh bt ng thc hoc tỡm gi tr ln nht v nh nht ca biu thc bng phng phỏp hm s theo cỏc bc sau: * Bin i cỏc s hng ca bt ng thc v cựng mt i lng ging * t bin mi t bng i lng ó bin i c trờn * Tỡm iu kin cho bin t Gi s t thuc D * Xột hm s P=f (t) trờn D * Gii bi toỏn: Tỡm giỏ tr ln nht( nh nht) ca hm s f(t) trờn D Chỳ ý : Trng hp khụng xõy dng trc tip c hm s f(t) thỡ ta tỡm hm s f(t) tha P f (t ) ( i vi bi toỏn tỡm giỏ tr nh nht) hoc P f (t ) ( i vi bi toỏn tỡm giỏ tr ln nht) Nu P l biu thc gm nhiu i lng thay i thỡ cú th coi P l mt hm s vi bin s l mt cỏc i lng thay i ú v tỡm giỏ tr ln nht (nh nht) ca hm s P 2.2 Chứng minh bất đẳng thức phơng pháp hàm số 2.2.1 Chn mt i lng lm bin , cỏc i lng cũn li lm tham s Xột hm s theo bin c chn Ví dụ 1.1: Cho a,b,c [ 0;1] Chứng minh : a b c + + + (1 a )(1 b)(1 c) b + c +1 c + a +1 a + b +1 Li gii: Coi a l bin x Xét hàm s: f ( x) = x b c + + + (1 x )(1 b)(1 c) [0;1] Ta cú : b + c +1 c + x +1 x + b +1 f '(x) = b c + D ( Với D số ) ( x + c + 1) ( x + b + 1) GV: Nguyn Vn Hi Trng THPT Hm Rng Rõ ràng f(x) hàm đồng biến khoảng xét ( f(x) > ) * Nếu f(x) 0x [ 0,1] max f ( x) = f (1) = [ 0;1] b c b c + + + + =1 b + c +1 c +1+1 1+ b +1 b + c +1 b + c +1 b + c +1 * Nếu f(x) 0x [ 0,1] b c b + c + b 2c + max f ( x) = f (0) = + + (1 b)(1 c) = c +1 b +1 b + c + bc + [ 0;1] * Nếu f(x) nhận hai dấu đoạn [0;1] bảng biến thiên f(x) phải có dạng: x f(x) f(x) x0 - + f(0) f(1) f( x0 ) f ( x) = ma x { f (0), f (1)} Khi : max [ 0;1] Vậy toán đợc chứng minh Ví dụ 1.2: Cho a,b [ 0;1] Chứng minh : a b + + (1 a )(1 b) b +1 a +1 Li gii: Coi a l bin x Xét hàm f(x) = x b + + (1 x)(1 b) [0;1] b +1 x +1 b f(x) = + b ( x + 1) + b Rõ ràng f(x) hàm đồng biến khoảng xét ( f(x) > ) GV: Nguyn Vn Hi Trng THPT Hm Rng b b f ( x) = f (1) = + + =1 * Nếu f(x) 0x [ 0,1] max b +1 1+1 0;1 1+ b [ ] * Nếu f(x) 0x [ 0,1] max f ( x) = f (0) = b + b [ 0;1] b +1 =1 * Nếu f(x) nhận hai dấu đoạn [0;1] bảng biến thiên f(x) phải có dạng: x f(x) f(x) x0 - + f(0) f(1) f( x0 ) f ( x ) = ma x { f (0), f (1)} Khi : max [ 0;1] Vậy toán đợc chứng minh Nhn xột: Cú th m rng bi toỏn nh sau: Cho a1 , a2 , , an [ 0,1] Chứng minh rằng: n aj j =1 s a j +1 ( n ) + (1 a j ) , s = j =1 Ví dụ 1.3: Cho a, b Chng minh rng : Cho a, b, c Chng minh rng : n a j =1 j 1 + 2 + a + b + ab 1 + + 3 + a + b + c + abc Li gii: Khụng mt tớnh tng quỏt gi s b a Coi b l bin x, xột hm f(x) = o hm f(x) = 1 + trờn [1; a] 2 + x + a + ax 2x 2a 2(a x )(1 ax ) + = chng t f(x) nghch (1 + x ) (1 + ax) (1 + x ) (1 + ax) f (x) = f (a) = (pcm) bin ( 0;a ] Khụng mt tớnh tng quỏt gi s a c b GV: Nguyn Vn Hi Trng THPT Hm Rng 1 + + trờn [a; b] 3 + x + a + b + abx Coi c l bin x, xột hm f(x) = 3(ab x )(1 abx ) o hm f(x) = t ú ta cú bng bin thiờn : [(1+abx)(1+x )]2 x f(x) f(x) a b ab - + f(a) f(b) f( ab ) minf(x) = f( 1 ab ) = + (a a )2 + + (b b ) + a a b b (theo cõu 1) Nhn xột: Cú th m rng bi toỏn nh sau: Chng minh rng vi a1 , a2 , an thỡ 1 n + + + n n n + a1 + a2 + an + a1a2 an 2.2.2 Chn ln lt cỏc i lng lm bin , i lng cũn li lm tham s Xột ln lt hm s theo bin c chn Vớ d 2.1: Cho a, b, c > , chng minh rng a b c + + b+c c+a a +b Li gii: Khụng mt tớnh tng quỏt gi s a b c Coi c l bin x Xột hm s f ( x) = a x a b + + trờn [ b; + ) a+b x +b a+ x b 2a 2b o hm f '( x) = a + b (b + x) (a + x) , f ''( x ) = (b + x)3 + (a + x)3 > 1 f ' trờn [ b; + ) (a + b) 4b T ú f(x) ng bin Ngoi f '(b) = a suy f ng bin trờn [ b; + ) 10 GV: Nguyn Vn Hi Trng THPT Hm Rng f(x) = f(b) = g(t) = 2b a + Li coi b nh bin t , xột hm a+b 2b 1 2t a ]0 + , t [ a; + ) Ta cú g'(t) = 2a[ (a+t) 4t a+t 2t g (t ) = g ( a) = trờn [ a; + ) suy iu phi chng minh Vớ d 2.2: Cho a, b, c , chng minh rng a2 b2 c2 a +b+c + + b+c c+a a+b Li gii: Khụng mt tớnh tng quỏt gi s a b c Coi c l bin x , xột hm s f ( x) = f '( x ) = =( x2 a2 b2 x+a+b + + trờn [ b; + ) a+b x +b a+ x 2x a2 b2 = 2 a + b (b + x ) (a + x) x x x a b )+a +b 2 2 a+b ( a + b ) ( x + b) ( a + b) ( x + a ) 2b a a + b suy f ng bin trờn [ b; + ) f ( x) f (b) = a+b Li coi b nh bin t , xột hm g (t ) = 2b 2t a a + t trờn [ a; + ) Ta cú a + t 2t 4at+2t 2a g'(t) = g ng bin g (t ) g (a ) = (a+t) 4t suy iu phi chng minh Nhn xột: Cú th m rng bi toỏn nh sau: Cho a, b, c , chng minh rng Vớ d 2.3 a n +1 b n +1 c n +1 a n + b n + c n + + b+c c+a a +b Cho a, b, c, d > , chng minh rng a b c d + + + b+c+d c+d +a d +a +b a+b+c Li gii: Khụng mt tớnh tng quỏt gi s a b c d Coi d l bin x 11 GV: Nguyn Vn Hi Trng THPT Hm Rng Xột hm s f ( x) = a b c x + + + trờn [ c; + ) b+c+ x c+ x+a x+a +b a+b+c a b c 1 [ + + ]=a 2 2 a + b + c (b + c + x) (a + c + x) (a + b + x) (a + b + c ) (b + c + x ) 1 1 +b +c 2 2 (a + b + c ) (a + c + x) (a + b + c) (a + b + x ) f '( x ) = T ú f(x) ng bin f(x) f(c) = xột hm g(t) = g'(t) = 2c a b + + Li coi c nh bin t , a+b+c b + 2c a + 2c 2t a b + + trờn [ b; + ) Ta cú a+b+t b + 2t a + 2t 2(a+b) 2a 2b = 2 (a+b+t) (b + 2t ) (a + 2t ) 1 1 = 2a + 2b 2 2 (a+b+t) (b + 2t ) (a+b+t) ( a + 2t ) Suy g ng bin trờn [ b; + ) g (t ) g (b) = Li coi b l bin u , xột hm s h(u ) = 3b a + a + 2b 3b 3u a + trờn [ a; + ) a + 2u 3u 1 suy h ng bin trờn [ a; + ) (a + 2u ) 9u o hm h '(u ) = 3a h(u ) h(a ) = (pcm) Vớ d 2.4 Cho a, b, c chng minh rng n a n + bn + c n a + b + c ữ 3 Li gii: Khụng mt tớnh tng quỏt gi s a b c Coi c l bin x , xột hm s f ( x) = an + bn + xn a+b+ x n ( ) 3 trờn [ b; + ) n n x + a + b n ) f ng bin trờn [ b; + ) o hm f '( x) = x ( 3 12 GV: Nguyn Vn Hi Trng THPT Hm Rng f ( x) f (b) = a n + 2b n a + 2b n ( ) 3 * Coi b l bin t xột hm s g (t ) = o hm g '(t ) = a n + 2t n a + 2t n ( ) trờn [ a; + ) 3 2n n a + 2t n t ( ) g ng bin g (t ) g ( a) = pcm Vớ d 2.5: Cho a, b, c > chng minh rng : 4(a + b3 + c3 + 6abc) (a + b + c)3 Li gii: Khụng mt tớnh tng quỏt gi s a b c Coi c l bin x , xột hm s f ( x) = 4(a + b3 + x3 + 6abx) (a + b + x)3 trờn [ b; + ) o hm f '( x) = 3[3x 2(a + b) x + 6ab a b ] Phng trỡnh f = cú ' = 4(a + b 4ab) = f (b) * Nu a b a (2 + 3) ' f '( x) x [ b; + ) mxinf(x) [ b;+ ) * Nu a a(2 + 3) b ( c) ' , f cú hai nghim x1,2 = a +b ' D thy x2 b Bng bin thiờn ca f cú dng : - x f(x) x1 + x2 - f( x1 ) + b + + + f( x1 ) f(x) - + f( x2 ) f(b) Vy ta luụn cú f ( x) f (b) = 3a(a 2ab + 4b ) suy (pcm 2.2.2 Chn nhúm cỏc i lng lm bin (k thut dn bin), biu th nhúm bin khỏc theo bin Xột ln lt hm s theo bin c chn Vớ d 3.1: Cho x + y = x + y Chng minh x3 + y + x y + y x Li gii: t2 t 2 t = x + y xy = ( x + y ) ( x + y ) = t t t t gi thit ta cú hay xy = p dng BT ( x + y )2 2( x + y ) = 2( x + y ) hay t 2t suy t Ta cú x3 + y + x y + y x = ( x + y )3 xy ( x + y ) = t 13 GV: Nguyn Vn Hi Trng THPT Hm Rng Hm s P = f (t ) = t liờn tc v ng bin trờn [ 0;2] Do ú Max P=4 t dc t = hay x + y = v xy = suy x = 1; y = Ta cú P=0 t = hay x = 0; y = 1 Vớ d 3.2: Cho x, y, z > tha x + y + z = Chng minh xz + yz 16 Li gii: t t = x + y t gi thit ta cú z = t v < t < t2 p dng BT ( x + y ) xy hay xy 1 t Khi ú xz + yz = xy (1 t ) t + t 4(2t 1) Xột hm s f (t ) = t + t ; f (t ) = (t t )2 ; f (t ) = t = 2 Bng bin thiờn: T F(t) + + + 16 F(t) f (t) = f ( ) = 16 t c t = T BBT ta cú max t(0;1) Vy 1 1 + 16 ng thc xy x + y = ;z = xz yz 2 Vớ d 3.3: Cho xy tha x + y = Chng minh x2 y2 + + x2 + y y + x2 + Li gii: t t = x + y ta cú ( x + y )2 = nờn xy = t 2 p dng BT ( x + y )2 2( x + y ) suy t 14 GV: Nguyn Vn Hi Trng THPT Hm Rng x2 y2 ( x + y ) + ( x + y ) 2t + 8t = + Ta cú 2 + + = 2 + 2 x +y y +1 x +1 x + y x y + ( x + y ) + t t + 2t + 2t + 8t Xột hm s f (t ) = + trờn ; + t t + 2t + f (t ) = t = f (t ) = (t 1)(t + 1) (t 5) = t = 4t + 24t + 44 + t2 (t + 2t + 5) Bng bin thiờn: t F(t) f(t) + 12 f (t) = f (1) = t[ ;+ ] 241 105 T Bng bin thiờn ta cú + t c (x;y)=(1;0) hoc (0;1) x2 y2 + + ng thc xy (x; y) = (0;1) v hoỏn v Vy 2 x +y y + x2 + Nhn xột: K thut dn bin l mt bi toỏn khú S dng phng phỏp ny ta cú th gii bi toỏn thi i hc v Cao ng v thi Tt nghip THPT Quc Gia Cỏc bi toỏn ny thng c cho di dng tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc Vớ d 3.4: (Khi B2007) Cho cỏc s thc khụng õm tha a + b + c = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: A = 3(a 2b + b 2c + c a ) + 3(ab + bc + ca) + a + b + c Li gii: t ab + bc + ca = x x (a + b + c) 1 = x [0, ] 3 A = 3( a 2b + b 2c + c a ) + 3(ab + bc + ca) + a + b + c 3(ab + bc + ca ) + a + b + c = 3(ab + bc + ca) + (a + b + c) 2(ab + bc + ca ) = 3x + x Xột hm s f ( x) = 3x + x , x [0, ] o hm f ( x) = 2x 15 GV: Nguyn Vn Hi Trng THPT Hm Rng f ( x ) = x = 9(1 x) = x = 18 Bng bin thiờn: T 18 0 + f(t) f 18 f(t) 3+ 3 Da vo bng bin thiờn, ta c f ( x) f (0), x [0, ] A f ( x) f (0) = ng thc xy x = hay hoỏn v ca b (0,0,1) Vớ d 3.6: (Khi B2012) Cho cỏc s thc x,y,z tha x + y + z = v x + y + z = Tỡm GTLN ca biu thc P = x + y + z Li gii: Nu x + y + z = thỡ 2( x5 + y + z ) = xyz ( x + y + z ) Tht vy: Vỡ x + y + z = nờn d cú c x3 + y + z = 3xyz ( x + y + z )( x + y + z ) = xyz ( x + y + z ) x + y + z xyz ( xy + yz + xz ) = 3xyz ( x + y + z ) 2( x + y + z ) = xyz ( x + y + z ) M x + y + z = nờn ta ch cn tỡm GTLN ca: P= 5 ( y + z)2 ( y + z ) 5 xyz = x = x x 2 2 5 15 t f ( x) = x x vi x thuc [1;1] f '( x) = x = x = 4 Bng bin thiờn: X f(x) 6 + 6 16 GV: Nguyn Vn Hi Trng THPT Hm Rng f f(x) f 6 x= T bng bin thiờn ta cú max f ( x) = f = 36 Vy GTLN = 1 6 x,y,z l b hoỏn v ca ( ; ; ) 6 36 Vớ d 3.6: (Thi THPT Quc Gia nm 2015) Cho cỏc s thc a,b,c tthuc on [ 1;3] v tha iu kin a+b+c = Tỡm GTLN ca biu thc P = a 2b + b c + c a + 12abc + 72 abc ab + bc + ca Li gii: t t = ab + bc + ca Ta cú 36 = (a + b + c) = (a b) + (b c) + (c a) + 3t 3t t 12 Mt khỏc (a 1)(b 1)(c 1) abc ab+ bc+ ca = t V (3 a)(3 b)(3 c) 3t = 3(ab+ bc+ ca) abc+ 27 t + 22 t 11 t [ 11;12] a 2b + b c + c a + 12abc + 72 abc ab + bc + ca Khi ú: 2 (ab + bc + ca ) + 72 t + 72 t t + 5t + 144 = abc = ab + bc + ca t 2t P= t f (t) = t + 5t + 144 t 144 t [ 11;12] vi t thuc [11;12] Ta cú f '(t) = 2t 2t f (t ) = f (11) = f(t) nghch bin trờn on [ 11;12] tmax [ 1;12] Vy P t GTLN = 160 t = 11 11 160 a = 1, b = 2, c = 11 Nhn xột: Dng bi toỏn tỡm GTNN- GTLN ca biu thc bng cỏch t n ph kt hp cỏc BT c bn hoc th hai bin qua mt bin cũn li cng nh vic s dng k thut dn bin, t ú chuyn c v bi toỏn tỡm GTLN, GTNN hm s 17 GV: Nguyn Vn Hi Trng THPT Hm Rng c s dng nhiu cỏc thi tuyn sinh vo i hc v Cao ng õy l mt bi toỏn khú Tuy nhiờn nu hc sinh dng tt cỏc k nng bin i xut hin bin mi thỡ bi toỏn c gii quyt d dng hn Cỏc bn cú th gii cỏc bi toỏn sau õy rốn luyn thờm k nng gii cỏc bi toỏn dng ny: Bi Cho x,y,z l ba s thc dng cú tng bng Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = 3( x + y + z ) xyz Hng dn P = 3( x + y + z ) 2( xy + yz + zx ) xyz = 27 x( y + z ) yz ( x + 3) ( y + z )2 ( x + 3) = ( x + 15 x 27 x + 27) 2 f ( x ) = x + 15 x 27 x + 27 , vi 0 v x + y + z = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P= 1 + + 2 ( x + y ) ( x + z ) ( y + z )2 Bi (Kho sỏt cht lng lp 12THPT S GDT Thanh Húa nm 2016) Cho a, b, c l di cnh ca tam giỏc Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc 3b c 3c a 3a b P = (a + b + c) + + ữ a + ab b + bc c + ca KT LUN, KIN NGH 3.1 Kt qu thc nghim 3.1.1 Kt qu kim traTB im Lp S s (5 n 6,4) SL % 12C1 45 20 44,44 12C12 45 18 40,0 im khỏ im gii t yờu cu (6,5 n 7,9) (t tr lờn) SL % SL % SL % 12 26,67 17,78 40 88,89 15 33,33 13,33 39 86,67 18 GV: Nguyn Vn Hi Trng THPT Hm Rng 3.1.2 Kt qu chung: Sau trin khai sỏng kin vi hai lp 12C1 v 12C12 Tụi thy nu lm tt sỏng kin ny cht lng hc ca HS tng nờn rừ rt Gúp phn khụng nh vo luyn trớ thụng minh, kh nng t sỏng to ca hc sinh Bi gii nhng dng bi ny hc sinh phi dng hp lớ Xem xột bi toỏn di dng c thự riờng 3.2 Bi hc kinh nghim Qua quỏ trỡnh ỏp dng sỏng kin ny tụi thy cú th t c kt qu cao giỏo viờn cn lu ý mt s sau: Dnh thi gian nghiờn cu ti liu SGK, SGV v ti liu tham kho Lng bi phi phự hp vi i tng hc sinh Giỏo viờn nờn khai thỏc nhiu khớa cnh khỏc cng c v rốn luyn kh nng t hc sinh 3.3 Kt lun Sau mt thi gian nghiờn cu v c s giỳp úng gúp ý kin ca ng nghip ti hon thnh vi mt s u nhc im sau: 3.3.1 u im -Cỏch t l sỏng to :t ch chng minh bt ng thc chuyn sang tỡm giỏ tr ln nht, nh nht, t bi toỏn bt ng thc chuyn sang bi toỏn hm s - Vic coi c nh l bin kho sỏt hon ton cú th chp nhn c vai trũ ca a , b, c nh , t ch i lng bin i ch cũn , hay núi cỏch khỏc l ta coi i lng nh l cỏc tham s - Sỏng kin ó t c nhng yờu cu t phn t - Tỡm hiu v a h thng bi tng i y cú li gii chi tit - Phn ln bi a phự hp vi trỡnh nhn thc ca hc sinh khỏ - gii THPT Bờn cnh ú ti a bi khú dnh cho hc sinh gii 19 GV: Nguyn Vn Hi Trng THPT Hm Rng - Giỳp hc sinh cú nhng bi tng t phỏt trin t 3.3.2 Nhc im: - H thng bi cha phong phỳ - Cú nhng li gii a cũn di cha tht ngn gn 3.3.3 Hng phỏt trin - Do thi gian thc hin ti cú hn nờn tụi ch gii hn h thng bi - Xõy dng h thng bi phong phỳ v a dng hn - a cỏc li gii ngn gn hn 3.4 Kin ngh vic bi dng nhõn lc, o to nhõn ti t kt qu tt, tụi cng mong cỏc cp cỏc ngnh cung cp ti liu nõng cao cho giỏo viờn v t chc cỏc t bi dng giỏo viờn vi qui mụ ln chỳng tụi cú th trao i hc hi kinh nghim ca bn bố ng nghip, nõng cao trỡnh nghip v s phm cho bn thõn Trong quỏ trỡnh vit sỏng kin ny tụi ó s dng mt s t liu ca ng nghip v cú th khụng trỏnh phi nhng sai xút, mong s gúp ý ca tt c cỏc bn sỏng kin c hon thin hn Tụi xin chõn thnh cm n ! XC NHN CA TH TRNG N V Thanh húa, ngy 25 thỏng nm 2016 Tụi xin cam oan SKKN ny l ca tụi, khụng cú s chộp ca ngi khỏc Ngi vit: Nguyn Vn Hi 20 GV: Nguyn Vn Hi Trng THPT Hm Rng TI LIU THAM KHO : 1.Polya Sỏng to toỏn hc NXB Giỏo dc, H Ni, 1976 2.Bựi Vn Ngh Sỏng to (creativity)-Bi ging chuyờn 3.Nguyn V Thanh Bt ng thc NXB tng hp ng Thỏp, 1993 4.Phan Huy Khi 500 Bi toỏn v bt ng thc NXB Giỏo dc, H Ni, 1993 5.Tp Toỏn hc tui tr 6.B thi tuyn sinh vo cỏc trng i hc, Cao ng NXB Giỏo dc, H Ni, 1993 21 ... nht) ca hm s P 2.2 Chứng minh bất đẳng thức phơng pháp hàm số 2.2.1 Chn mt i lng lm bin , cỏc i lng cũn li lm tham s Xột hm s theo bin c chn Ví dụ 1.1: Cho a,b,c [ 0;1] Chứng minh : a b c + +... toỏn chứng minh bất đẳng thức hoc tỡm gi tr ln nht v nh nht ca biu thc cũn chuyên đề bi dng hc sinh gii nh trng v thng gp đề thi học sinh giỏi cỏc cp bc hc Trung hc phổ thông hin Các toán chứng minh. .. toỏn hc bc Trung hc ph thụng Chứng minh bất đẳng thức hoc tỡm gi tr ln nht v nh nht ca biu thc bi toán phổ biến quan trọng v thờng gặp đề thi tuyển sinh vào Đại học Cao đẳng trc õy v thi Tt nghip