Dạy một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức ở lớp 8

MỤC LỤC 1.MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài : 1.2 Mục đích nghiên cứu: 1.3 Đối tượng nghiên cứu: 1.4 Phương pháp nghiên cứu: 1.5 Những điểm mới của sáng kiến 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN 2.1 Cơ sở lý luận : 2.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu 2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện 2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 16 KẾT LUẬN 17 3.1 Kết luận: 17 3.2 Kiến nghị và đề suất biện pháp: 17 4.Tài liệu tham khảo, Một số kí hiệu viết tắt Danh mục sáng kiến kinh nghiệm đã được đánh giá xếp loại MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong chương trình THCS, Toán học chiếm vai trò quan trọng Toán học không giúp học sinh phát triển tư duy, óc sáng tạo, khả tìm tòi và khám phá tri thức, vận dụng những hiểu biết của vào thực tế, sớng mà Toán học là cơng cụ giúp các em học tớt các mơn khoa học khác và góp phần giúp các em phát triển cách toàn diện Từ vai trò quan trọng mà việc giúp các em học sinh yêu thích, say mê Toán học, giúp các em học sinh khá giỏi có điều kiện mở rộng, nâng cao kiến thức kèm cặp, phụ đạo cho học sinh yếu môn Toán là yêu cầu tất ́u đới với giáo viên dạy Toán nói chung Nhất là đất nước ta thời kỳ công nghiệp hoá, hiện đại hoá, cần những người động, sáng tạo có hiểu biết sâu và rộng Trong chương trình toán THCS các bài toán về Bất đẳng thức chiếm vị trí quan trọng Ở lớp bậc THCS các em bắt đầu được học về Bất đẳng thức, việc giải loại toán này đòi hỏi phải vận dụng cách hợp lí, khá độc đáo và nhiều cách giải Vì vậy các bài toán về Bất đẳng thức thường xuyên xuất hiện SGK, sách nâng cao của các khối lớp Nó là các bài toán hay giúp học sinh phát triển trí thông minh, sáng tạo, khả tư Toán học cao Mặt khác, những năm gần đây, các kỳ thi học sinh giỏi bậc THCS và các kỳ thi tuyển sinh vào trường THPT đặc biệt là thi vào các trường THPT chuyên thường gặp những bài toán về Bất đẳng thức phong phú và đa dạng mang tính ứng dụng thực tiễn cao qua góp phần hình thành cho học sinh thói quen tìm giải pháp tới ưu cho cơng việc nào sớng sau này Tuy nhiên, Qua thực tiễn là giáo viên dạy toán các trường THCS nhận thấy phần đông các em học môn Toán sợ giải các bài toán về bất đẳng thức là các lí sau đây: - Khơng thuộc kiến thức và không nắm vững kiến thức về bất đẳng thức - Lí quan trọng là các em chưa biết cách làm toán bất đẳng thức, chính xác là các em chưa nắm được phương pháp giải các bài toán bất đẳng thức, chưa biết cách trình bày lời giải cho đúng, chưa biết cách vận dụng các bất đẳng thức vào giải toán Bởi thế đã chọn đề tài: “Dạy số phương pháp chứng minh bất đẳng thức lớp 8.” Nhằm mong muốn nâng cao chất lượng dạy học đại trà và chất lượng học sinh giỏi 1.2 Mục đích nghiên cứu : Với mong ḿn tìm giải pháp cho học sinh nắm vững phương pháp giải toán bất đẳng thức, từ yêu và chủ động tích cực học toán qua nâng cao chất lượng học Toán đại trà và chất lượng mũi nhọn Thơng qua hình thành kỹ tư logic, tối ưu giải quyết vấn đề gặp phải sống 1.3.Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp trường THCS Hàm Rồng năm học 2017 -2018 1.4.Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp đọc tài liệu SGK, sách tham khảo, tài liệu mạng - Phương pháp đàm thoại trực tiếp - Nghiên cứu và tổng kết kinh nghiệm giáo dục thông qua thực tế dạy học Trên sở lý thuyết nghiên cứu các phương pháp, các giải pháp dạy học giải các bài toàn bất đẳng thức điển hình để từ học sinh vận dụng vào giải số bài toán bất đẳng thức 1.5 Những điểm của sáng kiến Các phương pháp giải bất đẳng thức được xếp theo thứ tự thường gặp hơn, Các bài toán bất đẳng thức giảng dạy có tính khái quát hóa, mở rộng từ dễ đến khó dần, có tính kế thừa vận dụng để rèn kỹ năng, làm cho việc tiếp thu của học sinh trở nên dễ NỘI DUNG SÁNG KIẾN 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN Đề tài: “Dạy số phương pháp chứng minh bất đẳng thức lớp 8.”mang nội dung vô sâu sắc việc giáo dục kỹ năng, phẩm chất trí tuệ thông qua môn Toán Để hình thành cho học sinh kỹ tìm giải pháp tới ưu cho nhiều dạng toán mà các em gặp sau này Các bài toán chứng minh bất đẳng thức phong phú , đa dạng có mặt nhiều kỳ thi quan trọng thi học kỳ 2, thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh vào lớp 10, thi vào các trường chuyên lớp chọn Việc nắm được phương pháp và kỹ giải các bài toán bất đẳng thức là yếu tố hết sức quan trọng giúp các em có thành tích cao, có kết quả học tập cao học tập, các kỳ thi Trong bài viết này, tơi hy vọng đóng góp thêm sớ kinh nghiệm hướng dẫn học sinh “Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức lớp 8.” 2.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Thực tiễn dạy và học môn Toán ở Trường THCS Hàm Rồng phương pháp giải toán của học sinh khới ́u nhiều đặc biệt là chứng minh bất đẳng thức Trong những năm học vừa qua, được nhà trường phân công giảng dạy toán Qua thời gian giảng dạy thấy ý thức học tập tự giác, sáng tạo của học sinh chưa cao, các em quen với kiểu học và làm bài thụ động, với các lí sau đây: - Không thuộc kiến thức và không nắm vững kiến thức, trình bày bài làm lúng túng khơng biết trình bày thế nào cho - Các em chưa biết cách làm Toán mà ta gọi là phương pháp, là các phương pháp đặc trưng cho dạng Toán Hơn nữa về mơi trường gia đình và xã hội ảnh hưởng nhiều đến học tập của các em như: - Một sớ học sinh có phụ huynh làm ăn xa, làm công nhân, nên thời gian giám sát, theo dõi, đôn đốc học tập đối với các em chưa tớt - Một sớ gia đình có hoàn cảnh khó khăn nên chưa đầu tư nhiều vào việc học của em, các loại sách tham khảo khơng có - Phong trào hiếu học của địa phương chưa thực lớn mạnh nên các em theo trào lưu mà khơng có qút tâm học - Một sớ em bị lơi ćn bởi các trò chơi điện tử, bị các trào lưu mà các mạng xã hội tác động làm các em bị lơi ćn vào các hình tượng, thần tượng ảo dẫn đến lười học, xao nhãng học tập 2.3 GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN 2.3.1 GIẢI PHÁP: Để thực hiện, đã áp dụng số giải pháp sau: - Soạn bài cách đầy đủ, chi tiết, phân dạng dạy theo đối tượng Mỗi dạng toán bất đẳng thức sẽ trình bày theo hình thức từ dễ đến khó dần, các bài toán bất đẳng thức được phát triển theo hướng từ đơn giản đến phức tạp Các bài toán bất đẳng thức sau khó được phát triển, khái quát hóa từ bài toán trước, bài toán quen thuộc mà học sinh đã nắm được trước qua giúp học sinh hứng thú và cảm thấy các bài toán bất đẳng thức đỡ khó hơn, từ yêu, hứng thú học, giải toán bất đẳng thức - Hướng dẫn học sinh học tập Cho học sinh nắm vững kiến thức bản sách giáo khoa, có đủ các dạng toán, bên cạnh mở rộng bằng những tài liệu khác để củng cố, nâng cao Nghiên cứu, phân loại các dạng bài tập cho phù hợp với đối tượng học sinh và phần kiến thức cụ thể - Tổ chức cho các em học tập chuyên đề này bằng các lồng ghép vào các tiết luyện tập phần bất đẳng thức giờ luyện tập chính khóa, các b̉i dạy phụ đạo cho các đối tượng học sinh tùy theo đối tượng và khả tiếp thu của học sinh để đưa bài tập ở các mức độ khác nhau, Đồng thời hướng dẫn định hướng cho học sinh khá giỏi tự học, tự nghiên cứu các dạng toán nhà - Thực hiện giảng dạy theo phương pháp mới là hướng người học làm trung tâm - Bời dưỡng học sinh phải thường xuyên kiểm tra, đánh giá, sửa lỗi, an ủi, động viên học sinh quá trình giảng dạy lớp để các em thêm tự tin, hứng thú học tập 2.3.2 CÁC BIỆN PHÁP ĐỂ TỔ CHỨC THỰC HIỆN 2.3.2.1 Các kiến thức bản cần vận dụng a Định nghĩa bất đẳng thức [1] a nhỏ b, kí hiệu là a < b, nếu a – b < a lớn b, kí hiệu là a > b, nếu a – b > a nhỏ bằng b, kí hiệu là a  b, nếu a - b  a lớn bằng b, kí hiệu là a  b, nếu a - b  b Các tính chất bản của bất đẳng thức [5] Tính chất 1: a > b  b < a Tính chất 2: a > b, b > c  a > c Tính chất 3: a > b  a + c > b + c a>b  a–c>b-c a+c>b  a>b-c Tính chất 4: a > c, b > d  a + b > c + d a > b, c < d  a - c < b - d Tính chất 5: a > b, c >  c > b.c a > b, c <  a.c < b.c Tính chất 6: a > b  0, c > d   a.c > b.c Tính chất 7: a > b >  a n > b n a > b  a n > b n với n lẻ a > b  a n > b n với n chẵn 2.3.2.2 Một số phương pháp chứng minh Bất đẳng thức a Phương pháp dùng định nghĩa: Để chứng minh bất đẳng thức A > B, ta xét hiệu A - B, rồi suy A - B > 0.[3] Ví dụ 1: Cho a, b, c, d, e là các số thực Chứng minh rằng: a  b  c �ab  bc  ca [9] Giải 2 Ta có a  b  c �ab  bc  ca � 2(a  b  c ) �2  ab  bc  ca  2a  2b  2c  (2ab  2bc  2ca ) Xét hiệu   a  b  2ab    a  c  2ca    b  c  2bc    a  b    a  c    b  c  �0 2 Do  a  b  �0 với mọi a, b;  a  c  �0 với mọi a, c;  b  c  �0 với mọi c, b 2 Suy 2(a  b  c ) �2  ab  bc  ca  2 � a  b  c �ab  bc  ca a b  � � Dấu “ = ” xảy � �b  c  � a  b  c � ac  � Ví dụ 2: Cho a, b là số thực dương Chứng minh rằng: (a + b) (a + b )  (a + b ) [4] Giải: 3 4 Xét hiệu: (a + b) (a + b ) - (a + b ) = a(a +b ) + b (a +b ) - a - b = a + ab + ba + b - a - b = - a - b + ab + ba = a(b - a ) + b (a - b ) = a(b - a ) - b (b - a ) = - (a - b) (a- b) (a + ab + b ) = - (a - b) (a + ab + b ) Vì a, b, là sớ thực dương nên: (a –b )2  0, a + ab + b > Suy ra: (a – b )2 ( a  ab  b) �0 � (a – b ) ( a  ab  b) �0 �  a  b   a  b3  �2  a  b  Dấu “=” xảy và a = b Cho học sinh các bài tập rèn luyện có dạng cách làm phát triển nâng cao dần từ bài tập đã làm để học sinh luyện giải lớp và ở nhà Bài 1: Cho a, b, c, d, e  R Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) a2  b2  1�ab  a  b [9] b) a2  b2  c2  �2(a  b  c) c) a2  b2  c2 �2(ab  bc  ca) [5] d) a4  b4  c2  1�2a(ab2  a  c  1) e) a2  b2  c2 �ab  ac  2bc [8] f) a2(1 b2)  b2(1 c2)  c2(1 a2) �6abc [7] k) a + b + c + d + e  a (b + c + d + e) Hướng Dẫn a) Nhân hai vế với 2, rồi xét hiệu VT - VP   � a2  b2  �2 ab a  b  (a  b)2  (a  1)2  (b 1)2 �0 => Đpcm b ) Xét hiệu VT – VP = (a  1)2  (b 1)2  (c  1)2 �0 => Đpcm c) � a2  b2  c2  2ab 2bc  2ca �0  (a  b  c)2 �0 => Đpcm d) Xét hiệu VT  VP  a4  b4  c2  1 2a(ab2  a  c  1) �0  (a2  b2)2  (a  c)2  (a  1)2 �0 => Đpcm f) Xét hiệu VT  VP  a2(1 b2)  b2(1 c2)  c2(1 a2)  6abc �0       � a2  2abc  b2 c2  b2  2abc  c2 a2  c2  2abc  b2 a2 �0 � (a  bc)2  (b  ca)2  (c  ab)2 �0 � (a  bc)2  (b  ca)2  (c  ab)2 �0 => Đpcm 2 2 � �a � a � �a � �a k ) Xét hiệu VT  VP  � �  b� �  c� �  d � �  e� �0 => Đpcm �2 � �2 � �2 � �2 � Bài : Cho a, b, c  R Chứng minh các bất đẳng thức sau: a  b � a2  b2 a) ab �� � �� �2 � [7] a3  b3 �a  b � b) �� �; với a, b  �2 � c) a4  b4 �a3b  ab3 d) a4  �4a e) a3  b3  c3 �3abc , với a, b, c > a6 b6 f) a  b �  ; với a, b  b a 1  � g) ; với ab  2 1 ab 1 a 1 b 4 h) (a5  b5)(a  b) �(a4  b4)(a2  b2) với ab > Hướng Dẫn: Thực hiện xét hiệu các vế của bất đẳng thức 2 a b� (a  b)2 a2  b2 �a  b � (a  b)2 a) � ;  ab  � � �0 => Đpcm � � � �2 � �2 � b) Xét hiệu VT- VP = …= (a  b)(a  b)2 �0 với a, b  => Đpcm c) Xét hiệu VT- VP = …= (a3  b3)(a  b)  (a  b)2(a2  ab  b2) �0 => Đpcm d) Xét hiệu VT- VP = …= (a  1)(a3  a2  a  3) �0 � (a  1)2(a2  2a  3) �0 (a2  2a  3)   a  1  �0 => Đpcm e) Chú ý: a3  b3  (a  b)3  3a2b 3ab2 Xét hiệu VT- VP = …= (a  b  c) � a2  b2  c2  (ab  bc  ca)� � ��0 => Đpcm f) Xét hiệu VP- VT = …= (a2  b2)2(a4  a2b2  b4) �0 => Đpcm g) Xét hiệu VT- VP = …= (b  a)2(ab  1) (1 ab)(1 a2)(1 b2) �0 h) Xét hiệu VT- VP = …= ab(a  b)(a3  b3) �0=> Đpcm b Phương pháp biến đổi tương đương Để chứng minh bất đẳng thức A > B, ta biến đổi tương đương (dựa vào các tính chất của bất đẳng thức) A > B  …  C > D và cuối đạt được bất đẳng thức C >D Khi ta kết luận rằng A > B Ví dụ : Cho a, b là các số thực Chứng minh rằng a2  b2 �2ab * Giải : Ta có a2  b2 �2ab  * � a2  b2  2ab �0 �  a  b �0 a, b��  ** Bất đẳng thức (**) là bất đẳng thức Mặt khác các phép biến đổi là tương đương Vậy bất đẳng thức (*) phải là bất đẳng thức Dấu “=” xảy và a = b Hướng dẫn, yêu cầu học sinh giải các bài toán sau : Bài tập Cho a, b, c, d  R.) Áp dụng bất đẳng thức a2  b2 �2ab (*) chứng minh các bất đẳng thức sau: a) a4  b4  c4  d4 �4abcd b) (a2  1)(b2  1)(c2  1) �8abc c) (a2  4)(b2  4)(c2  4)(d2  4) �256abcd Hướng Dẫn a) Sử dụng a4  b4 �2a2b2;c4  d4 �2c2d2 ; a2b2  c2d2 �2abcd => Đpcm b) Sử dụng a2  1�2 a ; b2  1�2 b ; c2  1�2 c => Đpcm c) Sử dụng a2  �4 a ; b2  �4 b ; c2  �4 c ; d2  �4 d => Đpcm Ta đưa ví dụ mở rộng và bài tập ứng dụng sau Ví dụ 4: Chứng minh rằng: a  b  c �ab  bc  ca Giải 2 Ta có a  b  c �ab  bc  ca � 2(a  b  c ) �2  ab  bc  ca  � 2a  2b  2c  (2ab  2bc  2ca) �0 �  a  b  2ab    a  c  2ca    b  c  2bc  �0 �  a  b    a  c    b  c  �0 a, b, c 2 Vì  a  b  �0 a, b ;  a  c  �0 a, c ;  b  c  �0 b, c Suy a  b  c �ab  bc  ca Dấu “ = ” xảy � a = b = c Hướng dẫn, yêu cầu học sinh giải các bài toán sau : Bài tập 4: Cho a, b, c  R Áp dụng bất đẳng thức: a2  b2  c2 �ab  bc  ca (1) Chứng minh các bất đẳng thức sau: 2 2 2 a  b c � b) a  b  c �� � � a) (a  b  c)2 �3(a2  b2  c2) c) (a  b  c) �3(ab  bc  ca) Hướng dẫn a) Khai triển, rút gọn, đưa về (1) � � d) a  b  c �abc(a  b  c) 2 2 a  b  c � � a  b  c � a  b  c    b) a  b  c �� � � � � c) Khai triển, rút gọn, đưa về (1) d) Sử dụng (1) hai lần a4  b4  c4 �abc(a  b  c) � a  b  c �a 2b  b 2c  c a �ab c  a 2bc  abc  abc  a  b  c  c Phương pháp sử dụng bất đẳng thức thông dụng + Bất đẳng thức Côsi (Cauchy) [5] x y  xy Với x  0, y  Dấu “=” xảy x = y Chứng minh: - Ta có với x  0, y  x y ۳  x y � 0, xy xy �x  y � � � xy �2 � 2 �x  y � Xét hiệu � � xy �0 � x  y  xy �0 �  x  y  �0 x, y �0 �2 � x y �x  y � xy , x, y Dấu “=” xảy x = y ۳� � � xy , x, y ۳�2 �2 � + Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-x-ki (Bunhiacopxki) [5] Với mọi sớ a, b, x, y ta có: (a + b )(x + y )  (ax + by) Dấu “=” xảy ay = bx Chứng minh: Xét hiệu: (a + b )(x + y ) - (ax + by) = a x + a y + b x + b y - a x - b y - 2axby = a y - 2axby + b x = (ay - bx)  Dấu “=” xảy ay = bx + Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối [4] Với mọi số a, b  R ta có: a + b  a  b Dấu “=” xảy a.b  Chứng minh: Ta có: a + b  a  b (1) với mọi a, b  a + ab + b  a + 2ab + b (vì vế khơng âm)  ab  2ab  ab  ab (2) Vì bất đẳng thức (2) nên bất đẳng thức (1) Dấu “=” xảy và a.b  Ví dụ Cho a, b, c > Chứng minh 1   � (1) a b c a  b c [9] Giải : Ta có �1 1 � 1   � �  a  b  c �   ��9 a b c a  b c �a b c � �b a � �c a � �b c � � 1 1 1 �  � �  � �  ��9 �a b � �a c � �c b � �b a � �c a � �b c � � �  � �  � �  ��6,a, b,c  �a b � �a c � �c b � �b a � �c a� �b c � Vì theo BĐT cauchy ta có �  ��2, �  ��2, �  ��2 �a b � �a c � �c b � Dấu “ = ” xảy a = b = c > Hướng dẫn cho học sinh vận dụng ví dụ để giải bài toán sau: Bài tập 5: a) Cho a, b, c >0 Chứng minh các BĐT sau �1 1 � (a2  b2  c2) �   �� (a  b c) �a  b b  c c  a � b) Cho x, y, z > thoả x  y  z  Tìm GTLN của biểu thức: x y z P   x  y  z c) Cho a, b, c > thoả a  b  c �1 Tìm GTNN của biểu thức: 1   P= a  2bc b2  2ac c2  2ab 1 1 d) Cho a, b, c > thoả a  b  c  Chứng minh: 2    �30 a  b  c ab bc ca Hướng dẫn : a) Áp dụng (1) ta được: 1   � a  b b c c  a 2(a  b  c) 9(a2  b2  c2) 3(a2  b2  c2)  � (a  b  c)  VT  2(a  b c) a  b c Chú ý: (a  b  c)2 �3(a2  b2  c2) b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P sau: �1 1 � x  1 y  1 z  1    = 3 �  � x y z �x  y  z  1� 1 9   �  Suy ra: P  3  Ta có: x  y z x  y  z 4 P= *Chú ý: Bài toán có thể tởng quát sau: Cho x, y, z > thoả x  y  z  và k là hằng số dương cho trước Tìm GTLN của biểu thức: P= x y z   kx  ky  kz  c) Ta có: P  9  a2  2bc  b2  2ca  c2  2ab (a  b c)2 d) VT  2  a  b  c ab  bc  ca � � 1  = �2 2  � �a  b  c ab  bc  ca ab  bc  ca � ab  bc  ca �9 �   30  (a  b c)2 ab bc  ca 1 1 Chú ý: ab  bc  ca � (a  b c)2  3  Ví dụ 6: Cho a, b > Chứng minh 1  � (1) a b a b [4] Giải : b a  b a a  b 1 4ab a2  2ab  b2  a  b      �0 Ta có   a b a  b ab a  b ab a  b ab a  b ab a  b ab a  b  a  b �0, ab a  b  a, b >0 � 1  � ,a, b  a b a b Dấu “ = ” xảy a = b 1 a b ,a, b  chứng minh các bất a b Bài tập 6: Áp dụng bất đẳng thức �  � đẳng thức sau �1 1 1 �   �2�   �; với a, b, c > a b c �a  b b  c c  a � � � 1 1   �2�   b) �; với a, b, c > a  b b c c  a �2a  b  c a  2b  c a  b  2c � 1 c) Cho a, b, c > thoả mãn    a b c a) 1   �1 2a  b  c a  2b  c a  b  2c ab bc ca a  b  c   � d) ; với a, b, c > a  b b c c  a e) Cho x, y, z > thoả mãn x  2y  4z  12 Chứng minh: Chứng minh: 2xy 8yz 4xz   �6 x  2y 2y  4z 4z x f) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác, p là nửa chu vi Chứng minh rằng: �1 1 � 1   �2�   � p a p b p c �a b c � Hướng dẫn : a) Áp dụng (1) ba lần ta được: 1 1 1  � ;  � ;  � a b a  b b c b c c a c  a Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm b) Tương tự câu a) � � 1 1   �4�   � a b c �2a  b  c a  2b  c a  b  2c � 1 �1 � ab � �  � � (a  b) d) Theo (1): a  b �a b � a b c) Áp dụng a) và b) ta được: Cùng với các BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta được đpcm e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z a  b c  12  đpcm f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c Áp dụng (1) ta được: 1 4  �  p  a p  b ( p  a)  ( p  b) c Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta được đpcm Ví dụ 7: Cho A = 2x(16 – 2x) và < x < Chứng minh rằng: A  64 Giải: - Với < x < 2x > ; 16 – 2x > x  16  x  x (16  x)  64  2x(16 – 2x) Hay 2x(16 – 2x)  64 Hay A  64 Dấu “=” xảy và 2x = 16 – 2x  x = Theo bất đẳng thức CơSi ta có: Ví dụ 8: Chứng minh rằng : am  bn 1 với a + b =1 và m + n = [7] Giải: Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cơp-x-ki ta có: (am + bn) ( a + b )( m + n )  (am + bn)   am  bn 1 Dấu “=” xảy và : an = bm 10 Ví dụ 9: Cho số x, y, z thỏa mãn điều kiện: xy + yz + xz = Chứng minh rằng: x + y + z  16 Giải: Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cơp-x-ki ta có: (xy + yz + xz)  (x +y +z )(x +y +z )  16  (x +y +z ) (1) 2 2 Ta lại có: (x +y +z )  1(1 + + 1) (x +y +z ) = 3(x +y +z ) Từ (1) và (2) suy ra: 16  3(x +y +z )  3(x +y +z )  16 (2) 16 Ví dụ 10 : Cho: A = x  2004  x  2005 Chứng minh rằng: A  với mọi x [2]  x +y +z  Giải: Ta có: A = x  2004  x  2005 = x  2004  2005  x Theo bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : A = x  2004  2005  x  x  2004  2005  x = Hay : A  với mọi x Dấu “=” xảy và : ( x  2004)(2005  x) �0  2004  x 2005 d Phương pháp dùng tính chất của bất đẳng thức Ví dụ 11 : Cho a, b, c, > Chứng minh rằng nếu Giải a a a c   (1).[2] b b b c a  với a > , b > b � a  b � ac  bc � ab  ac  bc  ac Ta có � a  b  c   b(a  c ) a ac �  ( Chia vế cho b  b  c  ) b bc a a a c Vậy suy nếu   (1) b b b c Yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức ví dụ để làm bài toán sau : Bài tập vd 11 : Cho a, b, c, d > Chứng minh các bất đẳng thức sau: a b c    [9] a  b b c c  a a b c d    2 b) 1 a  b c b c  d c  d  a d  a  b a b b c c d d a    3 c)  a  b c b c  d c  d  a d  a  b a) 1 Hướng dẫn : a) Sử dụng (1), ta được: a a a c   ; a  b c a  b a  b  c 11 b b b a   ; a  b c b c a  b c c c c b   a  b c c  a a  b c Cộng các BĐT vế theo vế, ta được đpcm ( Điều phải chứng minh ) a a a   a  b c  d a  b c a  c b b b c c c     Tương tự: ; ; a  b  c  d b c  d b  d a  b c  d c  d  a a  c d d d   a  b c  d d  a  b d  b b) Sử dụng tính chất phân sớ, ta có: Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm c) Chứng minh tương tự câu b) Ta có: a b a b a  b d   a  b c  d a  b  c a  b  c  d Cùng với BĐT tương tự, ta suy đpcm Ví dụ 12: Chứng minh rằng Với mọi a, b ta có: a + b +  ab + 2(a + b) Giải: 2 a + b +  ab + 2(a + b)  2a + 2b +  2ab + 4(a + b) (Nhân cả vế với 2) 2  2a + 2b + - 2ab - 4a - 4b   (a - 2ab + b ) + (a - 4a + 4) + (b - 4b + 4)   (a - b) + (a – 2) + (b - 2)  Với mọi a, b Dấu “=” xảy và a = b = Ví dụ 13: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: x + y + z  1 Chứng minh rằng: x  y  z  [8] Giải: 1 Nhân vế của bất đẳng thức: x + y + z  với x  y  z > 1 1 1 Ta được bất đẳng thức: (x + y + z) ( x  y  z )  6( x  y  z ) x y z y 1 z x (1)  ) + + (  ) + + (  )  6(   ) y z y z x y z x z x y z y z x    2, 2 Vì x > 0, y > 0, z > nên ta có: y  z  2, y z x z 1+( Vì thế bất đẳng thức (1) tương đương với: 1 6( x  y  z )  + + +  6( 1 1 1   )     x y z x y z Dấu “=” xảy và x = y = z = Ví dụ 14: Cho a, b là số dương Chứng minh rằng: a + b  ab(a + b) [9] 12 Giải: Ta có a + b  ab(a + b)  (a + b) (a - ab + b )  ab(a + b) (Chia cả vế cho a + b > 0)  (a - ab + b )  ab  (a - 2ab + b )   (a - b)  Đúng với mọi a, b Dấu “=” xảy và a = b 3 Ví dụ 15: Cho x, y là số dương, thỏa mãn điều kiện: x + y  x - y > Chứng minh rằng: x + y < Giải: 2 Ta có x + y <  (x - y)(x + y ) < (x - y) (Nhân cả vế với x – y > )  (x - y)(x + y ) < x + y  x (x + y ) - y(x + y ) < x + y  x3+ x y2 - x2 y - y3 < x3+ y3  -2y + xy - x y <  - y (x + 2y - xy) <  y (x + 2y - xy) > (Nhân cả vế với – ) y y2 ) + y2 ] > y y2  y[( x - ) + y2 ] > 4 y 7y  y[( x - ) ] > Với mọi x, y  y[( x - Vậy : x + y < Ví dụ 16: Cho x, y, z là số dương, thỏa mãn điều kiện: x + y + z = 1 Chứng minh rằng: x  y  z  xyz Giải: Ta có (x + y - z)   x + y + z  2(yz - x y + xz) 5  2(yz - x y + xz) (Vì : x + y + z = ) 3   yz - x y + xz (Chia cả vế cho )  yz - x y + xz   yz - x y + xz < 1 1 (Chia cả vế cho xyz > )     x y z xyz  Ví dụ 17: Cho số a, b thỏa mãn điều kiện: a + b = Chứng minh rằng: a + b  [5] 13 Giải: Ta có: a + b =  (a + b) = (1)  a + 2ab + b = Ta lại có : (a - b)  ( 2)  a - 2ab + b  Cộng (1) và (2) theo vế ta được: 2(a + b )   a2 + b2  1 Dấu “=” xảy và a = b = 2 Ví dụ 18: Cho số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z = Chứng minh rằng: x + y  xyz Giải: Ta có : (x - y)   x + y  2xy  x + y + xy  4xy (Cộng cả vế với 2xy > ) (1)  (x + y)  4xy Suy ra: [(x + y) + z ]  4(x + y)z  16  4(x + y)z (vì : x + y + z = 4)  16 (x + y)  (x + y) z (Nhân cả vế với x + y > ) Theo (1) (x + y)  4xy Nên: 16 (x + y)  (x + y) z  4.4xyz  16 (x + y)  16xyz  x + y  xyz e Phương pháp chứng minh phản chứng Ví dụ 19: Chứng minh rằng khơng có sớ dương a, b, c nào thỏa mãn cả bất đẳng thức sau: a+  2; b b+ 2; c c+ 2 a [9] Giải: Giả sử tồn số dương a, b, c thỏa mãn cả bất đẳng thức : a+  2; b b+ 2; c c+ 2 a Cộng vế bất đẳng thức ta được: 1 + b+ +c+ 0, b > 0, c > nên: a +  2; b +  2; c +  a b c 1 Như vậy : (a + ) + ( b + ) + (c + )  Điều này mâu thuẫn với (1) a b c a+ Vậy không tồn số dương a, b, c thỏa mãn cả bất đẳng thức đã cho Ví dụ 20: Chứng minh rằng khơng có sớ dương a, b, c nào thỏa mãn cả bất đẳng thức sau: 4a(1 - b) > 1; 4b(1 - c) > 1; 4c(1 - a) > 14 Giải: Giả sử tồn số dương a, b, c thỏa mãn cả bất đẳng thức : 4a(1 - b) > 1; 4b(1 - c) > 1; 4c(1 - a) > Nhân theo vế các bất đẳng thức ta được: 64abc(1 - a)(1 - b)(1 - c) > (*) 2 Ta lại có: 4a(1 - a) – = 4a - 4a – = - (2a – 1)  Suy ra: 4a(1 - a)  (1) Tương tự ta có: 4b(1 - b)  (2) 4c(1 - c)  (3) Từ giả thiết phản chứng và từ a, b, c dương , suy ra: – a > 0; – b > 0; – c > Do nhân theo vế các bất đẳng thức (1); (2); (3) ta được: 64abc(1 - a)(1 - b)(1 - c)  (**) Điều này mâu thuẫn với (*) Vậy không tồn số dương a, b, c thỏa mãn cả bất đẳng thức đã cho f Phương pháp quy nạp toán học Ví dụ 21: Chứng minh rằng với mọi sớ ngun dương n  : n > 2n + (1) Giải: Với n = = ; 2n + = 2.3 +1 = Rõ ràng vế trái lớn vế phải Vậy (1) với n = Giả sử (1) với n = k (k  n ; k 3), tức là : k > 2k + Ta phải chứng minh (1) với n = k + Tức là : k 1 > 2(k + 1) + Hay: k 1 > 2k + Thật vậy: k 1 = 2 k , mà k > 2k + (theo giả thiết quy nạp) Do : k 1 > 2(2k+1) = (2k +3) + ( 2k + 1) > 2k +3 (vì : 2k + > ) Suy ra: k 1 > 2k+3 với mọi k  n Kết luận: > 2n + với mọi số nguyên dương n  k) Phương pháp làm trội Dùng các tính chất của bất đẳng thức để đưa vế của bất đẳng thức về dạng tổng hữu hạn tích hữu hạn + Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn: S = u1  u2   un Ta biến đổi số hạng tổng quát uk về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau: u k ak  ak 1 Khi đó: S =  a1  a2    a2  a3     an  an 1  a1  an 1 + Phương pháp chung về tính tích hữu hạn: P = u1u2 un Ta biến đổi các số hạng u k về thương của hai số hạng liên tiếp nhau: uk  ak a1 a2 a a n  Khi đó: P = a2 a3 an 1 an 1 ak1 [9] Ví dụ 22 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  1, ta có: a) 1 1     n n n n Giải : 15 1   , với k = 1, 2, 3, …, n –1 n  k n  n 2n 1 1 1 n �          n n n  n 2n 2n 2n 2n 1 1    Vậy  với mọi số tự nhiên n  n n n n Ta có: Bài tập VD 22: Chứng minh rằng với mọi sớ tự nhiên n  1, ta có: 1     n 1  n 1 1 c) 1.2  2.3  3.4   (n  1).n  a)    b) 1 2    n2 2 [7] [7] Hướng dẫn 2   2 k   k , với k = 1, 2, 3, …, n k k k  k 1 1 1 b) Ta có: k  k  k  1  k   k , với k = 2, 3, …, n 1   , với k = 2, 3, …, n c) Ta có: (k  1).n k  k a) Ta có:   2.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Khi bắt đầu học chứng minh bất đẳng thức nhiều học sinh bối rối, thường xuyên mắc phải những sai lầm trình bày, lập ḷn là những bài toán đơn giản , thông qua các buổi bồi dưỡng với cách ơn tập chi tiết, có hệ thớng đặc biệt phân dạng được các loại toán , học sinh đã tiếp thu kiến thức cách chủ động , nắm vững các kiến thức đồng thời học sinh nắm được những điểm trọng yếu của kỹ vận dụng các phương pháp vào các bài toán, các em đã làm bài tập cách linh hoạt, chính xác lập luận chặt chẽ logic Kết quả học tập của các em nâng lên rõ rệt được thể hiện rõ ở bài kiểm tra chương và tinh thần học tập tích cực không ngại gặp bài toán bất đẳng thức Từ xoá cảm giác khó, phức tạp của học sinh gặp dạng toán này và học sinh thấy được dạng toán này quan trọng, phong phú chứ không đơn điệu, giúp học sinh hứng thú học toán Góp phần giúp các em tự tin, làm bài tốt các kỳ thi quan trọng tiếp theo, kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10, thi vào các trường chuyên, lớp chọn Trong thời gian hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm này bản thân rút được nhiều kinh nghiệm giảng dạy “ Bất đẳng thức” : Hệ thống tốt về các phương pháp vận dụng vào giải toán, chọn lựa được các bài toán phù hợp cho đối tượng học sinh từ đơn giản đến phức tạp Kết so sánh số liệu với thời điểm bắt đầu nghiên cứu Tình trạng TS Học sinh Học sinh Học sinh Ghi HS Khá - Giỏi Trung bình trung bình TS Tỉ lệ % TS Tỉ lệ % TS Tỉ lệ % Chưa áp dụng 60 28 46.7 18 30.0 14 23.3 Áp dụng 60 38 63.3 22 36.7 0 16 Kết quả cho thấy việc vận dụng phương pháp vào giảng dạy toán giúp học sinh có kết quả cao học tập Đây là nội dung khó và có khới lượng kiến thức lớn của đề tài nên tơi cảm thấy nhiều vấn đề chưa trình bày hết được tơi sẽ tiếp tục nghiên cứu hoàn thiện và mong muốn sẽ nhận được thêm nhiều đóng góp để hoàn thiện để là là tư liệu của bản thân giảng dạy và là đề tài để đồng nghiệp và nhà trường đóng góp xây dựng làm tư liệu chung của quan KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ: 3.1 Kết luận Phần “ chứng minh bất đẳng thức , lớp 8.” là nội dung quan trọng, bởi kiến thức này có liên quan chặt chẽ, là tiền đề cho học sinh học tốt các kiến thức về sau và đặc biệt là ứng dụng hiệu quả cho các em lên lớp Trên là sớ phương pháp thường dùng và có hiệu quả đối với học sinh lớp ở trường THCS , ôn tập cho các em tạo tiền đề để sau này các em thi vào lớp 10 trường chuyên lớp chọn Mới đầu học sinh bở ngở việc chứng minh bất đẳng thức , thông qua các buổi bồi dưỡng với cách ôn tập chi tiết, có hệ thớng, đa sớ học sinh đã nắm vững các phương pháp chứng minh bất đẳng thức và vận dụng vào làm bài tập cách linh hoạt Tuy nhiên, khuôn khổ của bài viết và thời gian có hạn, khơng thể tránh được những sai sót nên Tơi mong được nhận xét, góp ý của cấp lãnh đạo, của đờng nghiệp và của tổ chuyên môn 3.1.Kiến nghị: Trên là các phương pháp bản để giải toán “ Bất đẳng thức”, để học sinh nắm kiến thức và có hứng thú học tập, giáo viên phải chọn lọc hệ thống kiến thức, hệ thống bài tập theo mức độ tăng dần, từ dễ đến khó, giúp học sinh phát huy khả suy luận và tính độc lập sáng tạo Với mỡi dạng toán khơng có quy tắc tổng quát song giải giáo viên những đặc điểm bản mà có hướng giải quyết để gặp những bài toán tương tự học sinh có thể liên hệ được Những sáng kiến kinh nghiệm có tính vận dụng tớt, đạt giải cao huyện mong Phòng Giáo Dục tạo điều kiện để cho Cán bộ, giáo viên được học hỏi kinh nghiệm Tôi xin chân thành cảm ơn XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hoá, ngày 15 tháng 04 năm 2018 ĐƠN VỊ Tơi xin cam đoan là SKKN của viết, không chép nội dung của người khác Người thực Trần Đức Thành 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO, PHỤ LỤC TT Tên tài liệu tham khảo Tác giả [1] Sách giáo khoa toán Tôn Thân (Chủ biên) [2] Sách bài tập toán tập Tôn Thân (Chủ biên) [3] Sách : Ơn tập đại sớ Nguyễn Ngọc Đạm [4] Sách: Toán bản và nâng cao toán Vũ thế Hựu [5] [8] Sách: Kiến thức bản và nâng cao toán Nguyễn Ngọc Đạm Sách: Những bài toán bản và nâng cao chọn Lê Thị Hương lọc toán Nguyễn Ngọc Đạm Sách: 500 bài toán chọn lọc toán Nguyễn Quang Hanh Ngô Long Hậu Sách: Toán nâng cao đại số Nguyễn Vĩnh Cận [9] Sách: Nâng cao và phát triển toán [6] [7] Vũ Bình MỢT SỚ KÍ HIỆU VIẾT TẮT - Đpcm : Điều phải chứng Minh - VT : Vế trái - VP : Vế phải - BĐT : bất đẳng thức 18 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đà ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ và tên tác giả: Trần Đức Thành Chức vụ và đơn vị công tác: Trường THCS Hàm Rồng TT Tên đề tài SKKN Hướng dẫn học sinh yếu giải các bài toán so sanh phân số Dạy học sinh lớp vận dụng định lý vi ét giải toán về phương trình bậc ẩn Hướng dẫn học sinh lớp giải bài toán bằng cách lập phương trình Hướng dẫn học sinh giải các bài toán hình học bằng cách vẽ thêm đường phụ Hướng dẫn học sinh yếu giải toán về tỉ lệ thức Hướng dẫn học sinh yếu lớp sử dụng bảng tóm tắt giải bài toán bằng cách lập phương trình Hướng dẫn học sinh lớp giải toán chia hết Cấp Kết quả đánh đánh giá xếp Năm học giá xếp loại đánh giá xếp loại (A, (Phòng, loại B, Sở, C) Tỉnh ) Phòng A Phòng A 2000-2001 2001-2002 Sở GD C phòng 2005-2006 C 2007-2008 Phòng 2010-2011 Phòng B B 2014-2015 Phòng B 2015-2016 19 ... với n lẻ a > b  a n > b n với n chẵn 2.3.2.2 Một số phương pháp chứng minh Bất đẳng thức a Phương pháp dùng định nghĩa: Để chứng minh bất đẳng thức A > B, ta xét hiệu A - B, rồi suy A... hướng dẫn học sinh Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức lớp 8. ” 2.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Thực tiễn dạy và học môn Toán ở Trường THCS Hàm Rồng phương pháp giải toán... cách vận dụng các bất đẳng thức vào giải toán Bởi thế đã chọn đề tài: “Dạy số phương pháp chứng minh bất đẳng thức lớp 8. ” Nhằm mong muốn nâng cao chất lượng dạy học đại trà