Chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, giải phương trình và bất phương trình chứa căn bậc hai bằng phương pháp vecstơ và tọa độ trong mặt phẳng trong chương trình đại số 1

Một trong những nội dung quantrọng đó là đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực, nhằm cho học sinhhiểu rõ, hiểu đúng nội dung của bài học một cách chính xác, kho

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT HOẮNG HÓA 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC,TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT,GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN BẬC HAI BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ VÀ TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10 THPT”

Người thực hiện: Lê Thị Thúy

Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác : Trường THPT Hoằng Hóa 2 SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán Học

THANH HÓA NĂM 2017

M C L C ỤC LỤC ỤC LỤC

M c l c ục lục ục lục Trang 2

I.Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài Trang 3

1.2 Mục đích nghiên cứu Trang 3

1.3 Đối tượng nghiên cứu Trang 3

1.4 Phương pháp nghiên cứu Trang 3-4

II.Nội dung sáng kiến kinh nghiệm .Trang 5

2.1 Cơ sở lí luận của đề tài Trang 5

2.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu Trang 5

2.3 Biện pháp và giải pháp chủ yếu để thực hiện đề tài

2.3.1.Giải pháp Trang 5-6

2.3.2 Một số ví dụ minh họa Trang 7-20

2.3.4 Hiệu quả của sáng kiến Trang 20-21

III Kết luận và kiến nghị Trang 22

- Xác nhận của thủ trưởng đơn vị và lời cam đoan Trang 23.

I Mở đầu

1.1.Lí do chọn đề tài

Trong dạy và học toán việc lựa chọn công cụ phù hợp để giải các bài toán làviệc làm rất cần thiết Chọn được công cụ thích hợp tất nhiên lời giải sẽ tốt nhất

Trong quá trình giảng dạy tại trường THPT Hoằng Hóa 2 tôi thấy việc kết hợpgiữa đại số và hình học giúp giải một số bài toán rất nhanh và ngắn gọn Trongchương trình đại số lớp 10 THPT, việc chứng minh bất đẳng thức , tìm giá trị lớnnhất và nhỏ nhất , giải phương trình và bất phương trình chứa căn bậc hai là nhữngbài toán khá phức tạp mà khi giải nó học sinh gặp rất nhiều khó khăn Nhưng ngàynay do sự phát triển của khoa học kĩ thuật dẫn tới sự biến đổi lớn lao trên tất cả cáclĩnh vực, đặc biệt là lĩnh vược giáo dục và đào tạo Một trong những nội dung quantrọng đó là đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực, nhằm cho học sinhhiểu rõ, hiểu đúng nội dung của bài học một cách chính xác, khoa học

Do điều kiện thời gian nên tôi chỉ trình bày một sáng kiến được rút ra từ kinhnghịêm thực tiễn của bản thân tôi về chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhấtvà nhỏ nhất , giải phương trình và bất phương trình chứa căn bậc hai bằng phươngpháp véc tơ và tọa độ trong phẳng trong chương trình đại số 10 THPT

1.2 Mục đích nghiên cứu

Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập chohọc sinh Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong các tiết học

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Học sinh khối 10 trường THPT

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

- Xây dựng giáo án theo phương pháp này một cách đầy đủ nhằm phát huytính tích cực, sáng tạo của học sinh

- Kiểm tra mức độ nắm vững kiến thức của học sinh sau khi tiến hành giảngdạy

- Đánh giá kết quả và những đề nghị

- Chọn đối tượng thực nghiệm: lớp 10C1, 10C2, 10C3 trường THPT Hoằng Hóa

2

II NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận

Nhiệm vụ của giảng dạy bộ môn toán học ở bậc trung học phổ thông là thựchiện được những mục tiêu giáo dục mà Bộ Giáo dục và Đào tạo đã đề ra: Làm chohọc sinh đạt dược các yêu cầu sau:

- Nắm vững được kiến thức cơ bản của bộ môn

- Có những kỹ năng cơ bản để vận dụng kiến thức của bộ môn

- Có hứng thú học tập bộ môn

- Có cách học tập và rèn luyện kỹ năng hợp lý, đạt hiệu quả cao trong học tập

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1.Giải pháp

- Trước khi đưa vào vận dụng thì tôi đã vận dụng vào năm học 2012-2013 thìthấy có hiệu quả vì vậy để kiểm chứng, năm học 2015-2016 tôi tiến hành khảo sát ở

3 lớp theo bảng sau:

B ng s li u kh o sát trảng số liệu khảo sát trước khi vận dụng ố liệu khảo sát trước khi vận dụng ệu khảo sát trước khi vận dụng ảng số liệu khảo sát trước khi vận dụng ước khi vận dụngc khi v n d ngận dụng ụng

- Đối với lớp 10C1 và 10C2 thi tôi đã cho học sinh dụng đề tài “chứng minh bất

đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, giải phương trình và bất phương trìnhchứa căn bậc hai bằng phương pháp véc tơ và tọa độ trong phẳng trong chương trìnhđại số 10 THPT”

Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên

Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết quả rất thấp Vì vậy việc lĩnh hội kiến thứcvà rèn luyện kĩ năng ở học sinh đòi hỏi nhiều công sức và thời gian Sự nhận thứccủa học sinh thể hiện khá rõ:

- Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc

- Khả năng tưởng tượng, tư duy hàm, tư duy lôgíc còn hạn chế

- Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt

Đây là môn học đòi hỏi sự tư duy, phân tích của các em, nhiều em ý thức họctập chưa cao nên chưa xác định được động cơ học tập, chưa thấy được ứng dụng tolớn của môn học trong đời sống

Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để có biệnpháp giúp đỡ các em, song song với việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi cần giúp đỡhọc sinh yếu kém Việc này cần thực hiện ngay trong từng tiết học, bằng biện pháprèn luyện tích cực, phân hoá nội tại thích hợp

Tuy nhiên ngoài việc dạy tốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡtừng đối tượng học sinh để học sinh yếu kém theo kịp với yêu cầu chung của tiếthọc, học sinh khá, giỏi không nhàm chán.

2.3.2.Một số ví dụ minh họa

* KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc trong mặt phẳng

* Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng x’Ox, y’Oy vuông góc với

nhau tại O Trên Ox, Oy lần lượt chọn các véc tơ đơn vị i , j Như vậy ta có một

hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc xOy.

* Tọa độ của một điểm và một véc tơ: Cho điểm M trong mặt phẳng xOy Hạ

MH vuông góc với x’Ox và MK vuông góc với y’Oy

Theo quy tắc hình bình hành ta có :

OM  OH OK 

= x  i y j

Bộ hai (x;y) được hoàn toàn xác định bởi điểm M

và được gọi là tọa độ của điểm M Kí hiệu M(x;y)

Cho véc tơ a trên hệ trục tọa độ Khi đó tồn tại duy nhất một điểm M sao cho

OM =a Gọi (x;y) là tọa độ của điểm M Khi đó bộ hai (x;y) gọi là tọa độ của véc

tơ a và kí hiệu: a = (x;y)

*Các phép tính véc tơ:

Cho hai véc tơ a (a a1 ; 2) ;b(b b1 ; 2)

và k là một số thực

Các phép tính véc tơ như phép cộng , phép trừ , phép nhân một số với một véc tơ ,tích vô hướng hai véc tơ được xác định như sau :



Mx

a

yy

O

*Các công thức về lượng: Cho hai véc tơ a (a a1 ; 2) ;b(b b1 ; 2)

và gọi  là góc tạobởi hai véc tơ đó

* Phương trình của đường thẳng, đường tròn:

- Phương trình của đường thẳng (D) đi qua điểm M(x0,y0) và nhận véc tơ n ( ; )A B

làm véc tơ pháp tuyến là : A(x-x0) + B(y- y0) = 0

- Phương trình đường tròn tâm I(a,b) bán kính R là: ( x- a)2+(y – b)2 = R2

2 Khi sử dụng véc tơ và tọa độ học sinh cần lưu ý :

1)Cho hai véc tơ avà b ta luôn có :

+ a  b a  b Dấu ((=)) xảy ra  a = k b với (k > 0)

+ a b a b cos(a,b)  a b Dấu ((=)) xảy ra  a = k b

2)Cho 3 điểm A,B,C bất kỳ ta luôn có

+ AB + BC  AC , Dấu ((=)) xảy ra  các véc tơ AB, BC cùng hướng

+ AB AC BC ,Dấu ((=)) xảy ra  C nằm trên đoạn AB hoặc B nằm trên đoạnAC

* PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TOÁN

Trong quá trình giải bài tập về chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhấtvà nhỏ nhất , giải phương trình và bất phương trình chứa căn bậc hai ta thường gặpcác bài toán sau:

*Bài toán 1: Chứng minh bất đẳng thức đại số :

Ví dụ 1: Cho bốn số thực x1, x2 , x3 , x4

Hai véc tơ này không thể ngược hướng ( vì hoành độ cùng âm) do đó khôngthể xảy ra đẳng thức : AB + AC > BC

Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh

Ví dụ 3:

Cho a,b,c > 0 và ab +bc + ca = abc Chứng minh rằng:

3 2 2

2 2 2 2 2 2 2

b c ab

a b

Giải:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :

2 2

2 1

b

1+

c

1+

a

1)) = ( 1; 2)

c

1 = 1)

Từ bất đẳng thức : u + v + w  u  v  w suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 4: Giả sử hệ:

2 2

z yz y

y xy x

4

3 ) 2 (y z  z = y2  zyz2 = 4

Ta có: u v =

2

3( xy + yz + xz)

Từ: u v  u v suy ra : xy + yz + xz  8

Ví dụ 5: Cho x,y,z là các số thực đôi một khác nhau Chứng minh bất đẳng

1

1 x y

y x

1 y z

z y

1 x z

z x

Trên hệ tọa độ Đề Các lấy ba điểm A,B,C với tọa độ như sau:

A(x, yz) ; B( y, zx) ; C ( z, xy)

Khi đó (1)  AB + BC > AC (2)

Hiển nhiên ta có : AB + BC  AC (3)

Dấu bằng trong (3) xảy ra  các véc tơ AB, BC cùng hướng tức là

 ( x- y; zx – yz) = k ( z-y ; xy – zx) với k > 0



y z

x y



 = xy zx zx yz

) ( 0

y z x

x y z y z

x y

y z

x y

y z

x y

1 ( 2

3 ) ;

B(-2

1

;2

3)

Khi đó : XA =

4

3 ) 2

1 ( 2

1 ( 2

3 ( ) 2

1 2

1 (    Đẳng thức không thể xảy ra vì OX//AB Suy ra XA  XB <1 suy ra đpcm

Ví dụ 7: Biết rằng a, b, c, d thỏa mãn :

Do đó MN  M*N*  (a c ) 2  (b d ) 2  2 2(đpcm)

(1)(2)

* Bài toán 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức đại số

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Xét hai trường hợp:

- Nếu pq < 0 thì A hoặc B trùng với O , hoặc A,B nằm về hai phía đối với O Khi

đó

( MA + MB) nhỏ nhất M trùng với O , tức là :

2 2

y  p  q  p  q đạt được khi x = 0

- Nếu pq > 0 thí A,B nằm cùng phía đối với O ( đồng thời nằm cùng phía đối vớiOx) Lấy A’ đối xứng với A qua Ox ta có A’( p;-p ) , đồng thời :

2 2 min

Vì M nằm trong hình vuông OIJK cạnh là 2nên:

00    AÔK  cos AÔK =

8 1

1

 =

3 1

xy

J



Ví dụ3: Biết rằng a + b + c = 2 và ax + by + cz = 6 với ( a,b,c 0) Hãy tìm giátrị nhỏ nhất của biểu thức: P = 16a 2 a2x2 + 16b 2 b2y2 + 16z 2 c2z2

Nên suy ra: P = 16a 2 a2x2 + 16b 2 b2y2 + 16z 2 c2z2  10

Dấu (( = )) xảy ra khi :

mc b

kby ax

kb a

2 3

c b a

c b a

z y x

Vậy: minP = 10 ,giá trị này đạt được khi :

2 3

c b a

c b a

z y x

Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

y = x 1 5+ 5 2 14 13



 x x

Giải:

Viết lại biểu thức dưới dạng: S = (x 1 ) 2  (y 2 ) 2 + (x 3 ) 2  (y 2 ) 2

Xét điểm A(-1;2) ; B(3;2); và M(x;y) , khi đó:

Dấu (( = )) xảy ra khi : (x+1)(3 – x)  0  -1  x  3

Vậy: SMIN = 4 ,đạt được khi :

3 1

y x

Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :

Y

X2 2 9

với X,Y  0Suy ra : (X+Y) – 2(X+Y) +2m – 9 = 0

Từ đó ta được : X+Y = 1 + 10  2m ( vì X,Y  0 nên X+Y  3)

Trong mặt phẳng xOy : X2 +Y2 =9 là phương trình đường tròn tâm O bán kính

R = 3 ; X + Y = 1 + 10  2mlà phương trình các đường thẳng song song vớiđường X + Y = 0 Và do X,Y  0 nên ta giới hạn việc khảo sát trong góc phần

tư thứ nhất

Điều kiện có nghiệm : -3 1 + 10  2m  3 2

 3

2

9 2 6

6 

* Bài toán 3: Giải phương trình và bất phương trình đại số chứa căn bậc hai:

Ví dụ1: Giải bất phương trình: x 1  x 3  2(x 3) 2  2x 2(1)

Giải: Điều kiện: x  1

Xét mặt phẳng tọa độ Oxy , các véc tơ:

7 10 0 3

5 2 3 5

Vậy x = 5 là nghiệm duy nhất:

Ví dụ 2: Giải phương trình: x2  2x  2 4x2  12x 25  9x2  12x 29 (1)

Giải: Trong mặt phẳng tọa độ xOy xét các véc tơ:

( 1;1)

(3 2;5) (2 3; 4)

1 (2 3) 4

1 4

4 4 2 3 1

4 7 2

u kv k

k k

k

k x

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

- Hệ có nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng (1) và đường tròn (2) có điểm chungthỏa mãn điều kiện (3)

Vậy phương trình có nghiệm khi:

Vậy (1) tương đương với : u v  u v

Mà u + v u  v Dấu (( = )) xảy ra khi: u = kv với k > 0 hoặc là một trong

hai véc tơ u ,v là véc tơ không

Vậy: (2) tương đương với hai khả năng sau:

(I) 1x x332y2y





 0Hoặc (II) 1- x = 3 – 2y = 0

Dễ thấy (II) tương đương với : x = 1; y = 3/2

x

2 3

3 1 1

4 1

1 3

1 3

y x x

Kết hợp lại ta thấy các nghiệm (x;y) của

phương trình đã cho có dạng sau:

x = a; y =

8

1(3a+9) với -3 a 1Nếu biểu diễn trên mặt phẳng

tọa độ thì các nghiệm đó là

đoạn thẳng AB của đường

thẳng 3x – 8y +9 = 0

với A(-3;0) và B (1; 3/2)

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

1/ Kết quả từ thực tiễn:

Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc phân loại và giải nhữngdạng bài tập như đã nêu.Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phântích một bài toán để lựa chọn phương pháp phù hợp trên cơ sở giáo viên đưa ranhững sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong quá trình suy luận, từ đó hướngcác em đi đến lời giải đúng

Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài tậptrong các đề thi tuyển sinh vào đại học,cao đẳng và trung học chuyên nghiệp của cácnăm trước thì các em đã thận trọng trong khi tìm và trình bày lời giải và đã giải đượcmột lượng lớn bài tập đó

2/Kết quả thực nghiệm:

- Với phương pháp này được dạy ở lớp 10C1,10C2,10C3

Cứ mỗi phần thế này tôi lại tiến hành kiểm tra 10 em trong thời gian 5 phút.Tôi đã nhiệt tình giảng dạy và truyền thụ đầy đủ các phần kiến thức tổng quát vàphương pháp giải cho học sinh

- Để được kiểm tra công bằng khách quan, tôi đã coi kiểm tra chặt chẽ và đưađề chẵn lẻ có phần kiến thức tương đương nhau cho hai hoc sinh ngồi cạnh nhau, đểtránh hiện tượng sao chép nhìn bài nhau, việc chấm bài nhanh chóng khách quan

- Đối với phương pháp này tôi thấy mức độ nhận thức của các em về các bàitoán đã trình bày ở trên là rất thông thạo so với phương pháp thông dụng mà các emtừng áp dụng

- Chính vì vậy tôi thấy khi tôi đưa ra phương pháp vec tơ và tọa độ trongphẳng vào giái các bài toán trên giúp các em thấy được nếu ta lựa chọn được phươngpháp giải bài toán phù hợp với từng dạng thí bài toán đó trở nên rất đơn giản

Thông qua tiến hành nghiên cứu và thực hiện trên ba lớp với đề tài trên tôi đãthu được kết quả theo bảng số liệu sau:

Bảng số liệu so sánh sau khi tiến hành vận dụng đề tài

Qua bảng số liệu trên chúng ta thấy sau khi đưa vào vận dụng đề tài thì kết quả

thật khả quan, cụ thể là không những học sinh yếu trung bình sẽ giảm đi rõ rệt mà số

học sinh khá, giỏi còn tăng lên rất nhều, còn đối với lớp không áp dụng thì số lượng học sinh khá, giỏi giảm, trung bình giảm, yếu và kém thì lại tăng lên.

Ngoài ra khi thực hiện sáng kiến học sinh học tập rất tích cực và hứng thú ,hiểu bản chất của vấn đề chứ không tính rập khuôn một cách máy móc như trước, đólà việc thể hiện việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh

III.KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1 Đối với giáo viên

Đê tài này giúp cho việc hướng dẫn được một số dạng bài toán “chứng minh

bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, giải phương trình và bất phương trìnhchứa căn bậc hai bằng phương pháp véc tơ và tọa độ trong phẳng trong chương trìnhđại số 10 THPT” và hướng dẫn cho học sinh các phương pháp làm các bài tập, nhằmnâng cao chất lượng dạy học môn toán học theo phương pháp đổi mới

2 Đối với học sinh

Qua việc nghiên cứu, giúp học sinh nắm vững các phương pháp giải quyết được các bài tập đơn giản và nâng cao, liên hệ, biết cạch suy luận lôgíc, tự tin vào bản thân khi đứng trước một bài tập, có cách suy nghĩ để giải quyết vấn đề một cách đúng đắn nhất

3 Một số kiến nghị

Do thời gian có hạn nên đề tài này chưa được áp dụng rộng rãi và chắc chắnkhông tránh hết những thiếu sót Vì vậy rất mong được sự góp ý của quý thầy côgiáo và các bạn động nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn và được áp dụng phổ biếnhơn trong những năm học tới

Xin chấn thành cảm ơn!