Dùng bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai, ba biến x, y, z

Dùng bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai, ba biến x, y, z 1.. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức..[r]

Dùng bất đẳng thức tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức hai, ba biến x, y, z Cho các số thực dương x, y, z thỏa maõn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức x  y  z  y  z  x z  x  y  P   yz zx xy HD: P  x2 x2 y2 y z z      (1) y z z x x y Ta lại có:  x  y  0, x, y    x  y  xy  xy, x, y   Do đó: x3  y3  xy  x  y; x, y  hay x2 y   x  y; x, y  y x y2 z2   y  z ; y , z  Tương tự, ta có: z y z x2   z  x; z , x  x z Cộng các vế tương ứng caùc bất đẳng thức treân ta được: P  2 x  y  z  và P   x  y  z  3 Cho x, y, z là ba số dương và x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức Vậy: minP = x = y = z = P  x2  1  y2   z2  2 x y z HD + Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 82 số không âm gồm số 81x và 81 số 81x  81 1     82.82 160 x x  x   1  81 x    82.41 80  x  x  x2  ta x2 82 41   x x 40 81 soá + Tương tự, ta có: y2  82   41 40 và y y z2  82 41   40 z z + Cộng các vế tương ứng các bất đẳng thức trên ta 82 41 3  P  40  41 40  41 40  (1)  x y z  + Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm 41 41 , x 40 41 , y 40 41 ta có: z 40 3 27  41 40  41 40  3.123 (2) 40 40 x y z  xyz  Page Trần Chí Thanh –2009 Lop12.net + Từ (1) và (2) suy P  82 27  123 40  xyz  + Mặt khác:  x  y  z  3 xyz  + Từ (3) và (4) suy P  (3)  xyz  40  2740  3120 (4) 82 123 123   82  1   81x  81y  81z      x y z     3  x y z + P  82   41 40  41 40  41 40  x y z      x yz     Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện P 1    Tìm giá trị lớn biểu thức x y z 1   2x  y  z x  y  z x  y  2z HD + Theo bất đẳng thức Caychy ta có: 1 1 1 1        (1) x  x  y  z 4 xxyz 16  x x y z  1 1 1 1        (2) x  y  y  z 4 xyyz 16  x y y z  1 1 1 1        (3) x  y  z  z 4 xyzz 16  x y z z  1 1 + Cộng các vế tương ứng ta P          x y z  + P 1  x  y  z  4 Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện xyz  Tìm giá trị nhỏ biểu thức + Vậy max P  x  y  z  P  x3  y 1 y3  z  z  x3   xy yz zx HD + Theo bất đẳng thức Cauchy ta có  x3  y  3 1.x3 y  3xy   x3  y 3  xy xy (1) Page Trần Chí Thanh –2009 Lop12.net 1 y3  z3  y  z  y z  yz   yz 3 3 1 z  x3  3 1.z x3  3zx  yz (2)  z  x3  zx zx (3) + Cộng các vế tương ứng các bất đẳng thức trên ta + Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có 1     (do xyz = 1) xy yz zx xyz  1  P       xy yz zx  (4) (5) + Từ (4) và (5) suy P  3    x3  y     y3  z3    + P  3  1  z  x3  x  y  z 1    1      yz zx    xy + Vậy P  3 x = y = z = Cho các số x, y dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức  y   P  1  x1  1    x  y  HD + Theo bất đẳng thức Cauchy ta có x x x x3 1 x  1    4 3 27 (1) y y y y y3 1  1    x 3x 3x 3x 27 x3 3 1  1    44 y y y y (2)   y   36  1    16  y y 33 (3) + Nhân các vế tương ứng các bất đẳng thức trên ta P  256 x3 y 36    256 27 27 x3 y   x  1     y x   P  256    1     y  3x       1      y Page Trần Chí Thanh –2009 Lop12.net + Vậy P 256 x=3, y = Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P   4x   y   z HD +Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:  4x  111 4x  4 4x   4x  4x Tương tự:  y  2.8 y và  4z  2.8 4z + Cộng các vế tương ứng các bất đẳng thức trên ta P   4x  y  y  (1) + Lại theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: 4x  y  4z  3.24 4x yz  (do x + y +z = 0) (2) + Từ (1) và (2) suy P    4x  y  4z   + P6    x y z 0   x  y  z  +Vậy minP = x = y = Cho hai số dương x, y và thỏa điều kiện x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 3x   y  4x y2 HD Ta có: P  x x y y y x   y        x y x y 4 1 x y y  x  y    2.     y x 8  (1) + Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: x x     x x (2) y y y y    3    y 8 y 8 (3) x y 2 (4)  3 + Từ (1), (2), (3) và (4) suy P        4 + theo giả thiết, ta lại có: x  y    x      x     x y2 và P  y       y Cho các số dương x, y, z Tìm giá trị nhỏ biểu thức x y z P  4 x3  y3   4 y3  z   4 z  x3        y z x  Page Trần Chí Thanh –2009 Lop12.net HD  x3  y    x  y  + Ta chứng minh: ; x, y  Thật vậy: 4 x  y3    x  y 3 ; x, y    x  y  x  y  xy   x  y   4 x  y  xy   x  y  ; x, y   3 x  y  ; x, y  ; x , y  (1) bất đẳng thức (1) luôn luôn đúng và dấu đẳng thức xảy x = y + Khi đó  x3  y   x  y + Tương tự:  y  z   y  z và  z  x3   z  x x y z + Do đó ta có: P  2 x  y  z   2     y z x  + Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: (2) x  y  z  3 xyz x y z x y z    3    3 xyz y z x y z x   + Từ (2) suy P   xyz    6.2  12 xyz      x y z   2   y z x    + P  12   x  y  z    xyz    xyz    + Vậy minP =12 x = y = z =  x  y  z   x  y  z 1     xyz  Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2009 P  2 27 xyz x  y  z 18 xyz HD + Ta có: x2  y  z   x  y  z   2 xy  yz  zx  1 2 xy  yz  zx + Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: x  y  z  3 xyz suy ra: + Từ đó   3 xyz và xy  yz  zx  3  xyz  xy  yz  zx   xyz  xyz  xyz x2  y  z  1 2 xy  yz  zx 118xyz  x  y  z  18 xyz   2009 1   2009 2 x  y  z 18 xyz x  y  z  18 xyz + Mặt khác, ta lại có:  3 xyz  1 27 xyz Page Trần Chí Thanh –2009 Lop12.net + Khi đó P  2010  x  y  z P  2010    x yz    x  y  z  1 + Vậy minP = 2010 x  y  z  10 Cho hai số thực dương x, y và x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức     1  P  1  x1    y    x   y  HD + Ta có: 1 x y P  2 x y     x y y x  1    x y   1    x     y          x   y   y x   x y  + Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: x 1  x   2x 2x y 1  y   2y 2y x y x y     y x y x 1 1     x y x y xy  x2  y  x2 y  xy   1       2x y xy x  y  xy    2 xy x  y2 + Khi đó P      x   2x     y   2y + P  43    x y   x y     y x    2   x  y  + Vậy P   x  y  2 Page Trần Chí Thanh –2009 Lop12.net