Bài tập Bất đẳng thức

M là điểm bất kỳ trong tam giác ABC... Bất đẳng thức khác 1.[r]

BẤT ĐẲNG THỨC I Biến đổi tương đương CMR: x, y ta có : x  y  xy  6 y  10 CMR: a  ta có:  a  4a  a  2 CMR: a  b   ab  a  b  a  0, b  0, c   CMR: a  b  c  ab  bc  ca ; a, b, c CMR: a) a  b  c  ab  bc  ca b) ab  bc  ca   3abc a  b  c  1 1 1 1 Cho  x  y  z CMR: y     x  z   x  z    x z y x z CMR: a  a   a  a   2, a  A a, b, c, d , e hãy CMR: a  b  c  d  e  a b  c  d  e  a b CMR: a  0, b  thì   a b b a ab ab 10.CMR: a, b ta có  1 a  b 1 a  b 11 a, b, c là ba cạnh tam giác CMR: a a  b  c  ab  bc  ca  b a b  c   b c  a   c a  b   a  b3  c 2 a b c a c b      1 b c a c b a 12 Các cạnh tam giác ABC có tính chất a  b  c CMR: a b  c  b3 c  a  c a  b  c 13 Tam giác ABC có tính chất a  b  c CMR: a  b  c   9bc hb hc hb hc      14 Tam giác ABC có A  B  C Hãy CMR: hb hc ha hc hb 15 Cho a  b  c  d  hãy CMR: 2 a b a  b  c  d  a  b  c  d  a  b  c  a  b  c  16 Cho các số dương a, b, c, d hãy CMR: a b c d a     2 abc bcd cd a d ab ab bc cd d a b     3 abc bcd cd a d ab a b c 17 a, b, c là ba cạnh tam giác CMR: 1   2 bc ca ab 1 18 a Cho ab  hãy CMR:    a  b  ab 1 b Cho a  1, b  1, c  hãy CMR:    Lop10.com a  b3  c  abc a3 b3 c3 abc 19 Cho a, b, c dương CMR:    a  ab  b b  bc  c c  ca  a 1   * 20.a CMR:  2   , k  A k  1 k  k k   1 1    2 b CMR:  n  1 n 1 21 a Cho k  A , k  hãy CMR:   k k 1 k 1 1 b CMR:      2 n 2 22 CMR: a) x  y  xy  y   0; x, y b) x 23 Cho x, y  0;  y   xy x  y  ; x, y 2 y y  1 x x  1 Hãy CMR: x  y  24 Cho x, y, z thỏa mãn x  y  z  Hãy CMR: x  y  z  xyz II Bất đẳng thức Côsi Tìm GTNN hàm số a f x   x   với x  2 ; x2 b f x   x  x  1 2 Tìm max A  3  x 4  y 2 x  y  với  x  3;0  y  Cho p  0; q  CMR:  p  q   p  q   16 pq Cho a, b, c  CMR: a a  b b  c c  a   8abc b ab a  b   bc b  c   ca c  a   6abc 1 CMR: x  y    x  y ; x, y   x y a2 , x  1 Tìm y  x  x    x  1 Tìm tập giá trị hàm số y  x  x ab bc ca abc Cho a, b, c  CMR:    ab bc ca 2 2 2 a, b, c CMR: a 1  b  b 1  c  c 1  a  6abc   10 Cho a  CMR: a  a   a 11 Cho a  1, b  CMR: a b   b a   ab 1 12 Cho xyz  CMR:    x y z x  y2  z2 13 Cho x, y, z  CMR: xy  yz  zx  x  y  z Lop10.com với x  ; ab c   bc a   ca b  abc ab bc ca 1 1 15 Cho a, b, c  CMR: a    b a  b  c      c a b a b c 1  a b c    c a  b  c  d     bc ca ab ab bc ca 18 xyz 16 Cho x, y, z  0; x  y  z  CMR: xy  yz  zx   xyz 1 1 17 Cho a, b, c  CMR:  3   3 a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc 1 abc 18 Cho a, b, c  CMR:    a  bc b  ca c  ab 2abc a b c 3    19 Cho a, b, c  và a  b  c  CMR: b  c2 c2  a a  b2 20 a, b, c là ba cạnh tam giác CMR: 14 Cho c  2, a  3, b  Tìm max A  a  b  c  36 c a  b  c b  c  a c  a  b   abc a S  b  p  a  p  b  p  c   abc d R  2r 1 a b c 1 1    2    f   3 pa pb pc bca cab abc a b c 1 1 g h ab a  b  2c   bc b  c  2a   ca c  a  2b    2 2 2 4r a b c 2 i a  b  c  S  b  c   c  a   a  b  e 1   21 CMR x   0;  ta có: cos x  sinx  t anx  cotx   6 sinx cos x  2 abc 2p 22 CMR tam giác ABC :  ab  bc  ca 3 23 Cho a  0, b  CMR: 3a  7b  9ab 24 a, b, c  0;1CMR ít ba BĐT sau là sai: 1 a 1  b   ; b 1  c   ; c 1  a   4 1 25 a Cho a, b, c  và    CMR: abc  0,125 1 a 1 b 1 c 1 1 b Cho a, b, c, d  và     CMR: abcd  1 a 1 b 1 c 1 d 81 26 Cho a, b, c   CMR: 1  a 1  b 1  c    abc      27 Cho a, b, c  và abc  Tìm P  1  1  1    a  b  c  28 Cho x1 x2  0, x1 z1  y12 , x2 z2  y22 CMR: x1  x2 z1  z2    y1  y2  Lop10.com a  b 1  ab  29.a CMR:    1  a 1  b  b Cho x  0, y  Tìm max, P  x  y 1  xy  2 1  x  1  y  a3 b3 c3 a b c 30 Cho a, b, c  CMR:      b3 c a b c a 31 Mọi tam giác ABC hãy CMR: 3S  R sin A  sin B  sin C  32 Tam giác ABC có R  CMR: sin A sin B sin C    ma mb mc 33 Cho x, y, z  và x  y  z  x y z 1 CMR:        x2  y  z 2  x  y  z y x z 1    2 2 34 Cho x, y, z  CMR: 2 x y y z z x x y z 3 a b c 35 Cho a, b, c  CMR:    a  b2  c2 b c a a b2 c2 d 1 1 36 Cho a, b, c, d  CMR:        b c d a a b c d 2 a a a 1 HD:      b b b a a b n n n 1 x  1 y  1 z  * 37 Ba số x, y, z  và xyz  ; CMR:        3; n  A       38 CMR: a1 , a2 , , an , b1 , b2 , , bn  ta có : n a1a2 an  n b1b2 bn  n a1  b1 a2  b2  an  bn  39 Tam giác ABC nhọn có các đường cao AA1 , BB1 , CC1 và trực tâm H AH BH CH   6 CMR: A1H B1H C1H 1 40 Cho x, y, z  và x  y  z  Tìm A  x  y  x    x y z 41 Xét PT: x  a.x   có các nghiệm x1 , x2 Hãy tìm 2  1 A  x1  x2    x1  x2    x1 x2   y  2by   0, b  3 42 x, y thỏa mãn các pt: x  2a.x   0, a  3 Tìm biểu thức A  x  y  1 1    x y Lop10.com  x  y  z 1  43 Cho HPT:  xy  yz  zx  9m Tìm m để hệ có nghiệm x, y, z dương  xyz  m  44 Giả sử x1 , x2 là các nghiệm pt a.x  bx  c  0, 1 và y1 , y2 là các nghiệm pt cy  dy  a  0, 2 ; ac   CMR: x12  x22  y12  y22   x3  y  y3  z3  z  x3 45 Cho x, y, z dương và xyz  CMR:   3 xy yz zx a b c 46 Cho a, b, c dương CMR:   1 b  2c c  2a a  2b 1 1 1 47 Cho x, y, z dương và    CMR:   1 x y z 2x  y  z x  y  z x  y  2z 48 Cho a, b, c dương và a  b  c  CMR: a  3b  b  3c  c  3a  49 Cho a, b, c dương CMR: a  1b  1a  c b  c   16abc 1 1 1 50 Cho a, b, c dương CMR: a  b  c   a 2b  b 2c  c a     2 a b c 51 Cho x, y, z dương và xyz  Tìm P x2  y  z  y y  2z z  y z  x  z z  2x x  z x  y  x x  2y y x  y  z  52 Cho x, y, z dương Tìm P  x     y     z     zx   xy   yz  1 53 Cho x, y, z dương và x  y  z  CMR: x   y   z   82 x y z 54 Cho x, y, z dương Tìm  x y z  P  x  y   y  z   z  x       z x  y  1  1  55 Tam giác ABC có diện tích CMR:           a b c   hb hc  x2 y2 z2 56 Cho x, y, z dương và xyz  CMR:    1 y 1 z 1 x x4 y4 z4 57 Cho x, y, z dương CMR:    x  y  z  yz zx x y x y 58 Các số dương x, y thay đổi thỏa mãn đk: x  y  Tìm P   1 x 1 y Lop10.com III Bất đẳng thức Bunhia Cho a, b, c dương và a  b  c  CMR: a  b  b  c  c  a  Các số a, b thỏa mãn đk: 2a  3b  CMR: 2a  3b  x, y, z thỏa mãn x  y  z  CMR: x  y  z  14 Cho x, y thỏa mãn đk: x  y  20 a Tìm max P  xy b Tìm Q  x  y ; R  x  y 5.GPT:a x    x  x  x  11 b x    x  x2  x   Cho x  y  u  v  CMR: u x    v x  y   a b2 c2 a b c Cho abc  CMR:      b c a b c a Cho a, b là hai số dương x, y là hai biến số dương thỏa mãn đk: a b  1 x y Tìm P  x  y Cho a  b  CMR: a  b  10 Cho x, y, z thỏa mãn đk: xy  yz  zx  Tìm P  x  y  x 11 Cho x, y, z thỏa mãn đk: x  y  z  CMR:   xy  yz  zx  2 12 Cho x  0, y  0, x  y  Tìm max, y   x   y 13 Biết 36 x  16 y  Tìm max, A  y  x  14 Phân tích số 16 thành tổng hai số dương cho tổng các bình phương chúng là bé 2 2 15 CMR pt: x  a    y  b   x  y   c có nghiệm thì a  b   3c  x y zt 0 16 Cho sô x, y, z , t thỏa mãn đk:  2 2 x  y  z  t  Tìm max, P  xy  yz  zt  tx 17 a, b, c là ba cạnh tam giác CMR: a p pa  b a  b  c  S pb  p  c  3p c a  b  c  16 S r 18 Trong tam giác ABC CMR: a  b  c thì 0,4   0,5 hc 19 M là điểm tam giác ABC Gọi x, y, z là khoảng cách từ M đến các cạnh BC, CA, AB a  b2  c2 x y z CMR: 2R 20 Cho a, b, c dương và ab  bc  ca  abc b  2a a  2c c  2b    CMR: ab ac cb  x  y  z  21 GHPT:  Lop10.com  x  y  z  22 GPT: a x x    x  x  IV Bất đẳng thức khác Cho x  y  Tìm max, P  2 b x   x   x  3  x  2 x  xy   xy  y 1  3 x y Cho y  0, x  x  y  12 Tìm max, A  xy  x  y  17 Cho xy  0; x  y  xy  x  y  xy Tìm max A  Cho x  y  Tìm max, P  x  y  xy Lop10.com