Tài liệu Hướng dẫn giải bài tập bất đẳng thức Max Min ppt

Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:1 1.1./ Cho các số thực dương x,y,z . Chứng minh rằng: 0 222          xz zxz zy yzy yx xyx HD: Ta có: 22)(2 )(22)( 22 yxyx x yx yx x yx xy x yx xyyxx yx xyx               (1)( vì x,y>0) Tương tự: 2 2 zy zy yzy     (2), 2 2 xz xz zxz     (3). Cộng từng vế (1),(2),(3) suy ra: 0 222 222                xzzyyx xz zxz zy yzy yx xyx .Đẳng thức xảy ra khi x = y = z 1. 2/. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm duy nhất thuộc đoạn        1; 2 1 : mxxx  12213 232 ( Rm ). HD: Đặt   2 3 2 3 1 2 2 1f x x x x     , suy ra   f x xác định và liên tục trênđoạn ; 1 1 2        .   ' 2 2 3 2 2 3 2 3 3 4 3 3 4 1 2 1 1 2 1 x x x x f x x x x x x x x                     . ; 1 1 2 x          ta có 2 3 2 4 3 3 4 3 4 0 0 3 1 2 1 x x x x x x             . Vậy:   ' 0 0f x x   . Bảng biến thiên:     ' || || 1 0 1 2 0 1 CÑ 3 3 22 2 4 x f x f x      Dựa vào bảng biến thiên, ta có: Phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất thuộc ; 1 1 2        3 3 22 4 2 m      hoặc 1m  . 2.1/. HD: Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:2 2. 2/. HD: 3. 1/ .Cho a,b, c dương và a 2 +b 2 +c 2 =3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:3 3 3 3 2 2 2 3 3 3 a b c P b c a       HD: Ta có: 3 3 2 6 2 3 2 2 3 3 3 16 64 4 2 3 2 3 a a b a a b b        (1) 3 3 2 6 2 3 2 2 3 3 3 16 64 4 2 3 2 3 b b c c c c c        (2) 3 3 2 6 2 3 2 2 3 3 3 16 64 4 2 3 2 3 c c a c c a a        (3) Lấy (1)+(2)+(3) ta được:   2 2 2 2 2 2 9 3 16 4 a b c P a b c        (4) Vì a 2 +b 2 +c 2 =3 Từ (4) 3 2 P  vậy giá trị nhỏ nhất 3 2 P  khi a=b=c=1. 3. 2/ . Cho x, y, z 0 thoả mãn x+y+z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   3 3 3 3 16x y z P x y z      HD: Trước hết ta có:   3 3 3 4 x y x y    (biến đổi tương đương)     2 0x y x y     Đặt x + y + z = a. Khi đó       3 3 3 3 3 3 3 3 64 64 4 1 64 x y z a z z P t t a a          với t = z a , 0 1t  ); Xét hàm số f(t) = (1 – t) 3 + 64t 3 với t   0;1 . Có     2 2 1 '() 3 64 1 , '() 0 0;1 9 f t t t f t t           Lập bảng biến thiên,     0;1 64 inf 81 t M t     GTNN của P là 16 81 đạt được khi x = y = 4z > 0 4.1/. Cho 3 số thực a, b, c dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng: 2 2 2 3 3 3 1 2 2 2 a b c a b b c c a       HD: 2 3 3 3 2 3 3 3 3 6 2 2 2 2 2 4 ( 1) 3 9 9 9 2 3 a ab ab a a a b a a b a a a b ab a b a b b ab                 Tương tự: ca 9 4 a 9 2 c a2c c ;bc 9 4 c 9 2 b c2b b 3 2 3 2     Do đó 2 2 2 2 3 3 3 2 4 7 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 9 9 3 9 3 2 2 2 a b c a b c a b c a b c ab bc ca a b b c c a                   4. 2/. Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:4 HD: 5.1/ Cho ba số thực dương , ,a b c thoả mãn: 1a b c   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 3 2 2 2 2( 3 ) 3( 2 )T a b c abc a b c abc        HD:     3 3 3 2 2 2 2 3 3 2T a b c abc a b c abc        Ta có:         3 3 3 3 3a b c a b c a b b c c a                 1 3 1 1 1 1 3 c a b ab bc ca abc                 2 2 2 2 2 1 2a b c a b c ab bc ca ab bc ca            Do đó:   5 6 2 3T ab bc ca abc         Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:5 Đặt:   2 3S ab bc ca abc    . Ta tìm GTLN của S .Ta có:     2 3 2S ab c c a b     Nếu 2 2 3 0 3 c c    thì   2S c a b   Nếu 2 2 3 0 3 c c    thì       2 3 2 2S ab c c a b c a b      ;Suy ra: Chỉ cần xét: 2 0 3 c  Ta có:         2 2 1 2 3 2 1 2 3 2 a b S c c c ab c c c                ; 1a b c   3 3 2 4 c c S      Xét hàm số:   3 3 2f c c c    trên 2 0; 3       ;Ta được :   1 20 3 9 f c f         5 9 S  . Dấu “=” xảy ra khi 1 3 a b c   ;Vậy: 5 min 3 T  xảy ra khi 1 3 a b c   . 5.2/. Biết tam giác ABC có một góc không nhọn. Đặt AB=c, AC=b; BC=a, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:     abc accbba P   HD: Không mất tính tổng quát, giả sử: cba  khi đó, do tam giác không nhọn nên bccba 2 222  hay: bca 2 Ta lại có P= )1)(1)(1( c a b c a b c ac b cb a ba   b c c b a c c a a b b a P  2 c a b a a cb a c c a a b b a P    422 Dùng cosi cho ba số dương b a c a a cb ;;  và cho hai số dương b và c ta có: 3 3 22 34 )( 34 bc bcbc bc cba P    Vậy 234 P Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC vuông cân tại A … 6.1/ Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn   2 2 2 5 2a b c a b c ab      . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 1 48 10 Q a b c a b c                . HD: Ta có         2 2 2 1 5 0 10 2 a b c a b c a b c a b c             .   10 1 2 22 3 6 a a    ;   3 1 3 16 4 b c c b    3 1 1 12 12 48 48 22 16 10 3 Q a b c a b c a b c a b c                                  4 2304 576 38 38 a b c a b c a b c a b c                     Xét 2304 ( ) 38 f t t t    với   0;10t .   2 2304 '( ) 1 0 38 f t t     với   0;10t Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:6 Do đó hàm số nghịch biến trên nữa khoảng   0;10 , suy ra ( ) (10) 58f x f  . Suy ra giá trị nhỏ nhất của Q bằng 58. khi a=2, b=3, c=5 6.2/. HD: 7. HD: 8. 1/ Chứng minh:   1 1 1 12x y z x y z            với mọi số thực x , y , z thuộc đoạn   1;3 . Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:7 2/ HD:1/ Ta có:     2 3 1 3 1 3 0 4 3 0 4t t t t t t t              . Suy ra : 3 3 3 4 ; 4 ; 4x y z x y z       ;   1 1 1 3 12Q x y z x y z                   1 1 1 1 1 1 3 6 12 2 Q x y z x y z x y z x y z                         2/ 9. HD: Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:8 10. HD: 11. HD: Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:9 12. HD: 13. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn .3 zyx Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . 111222 222222333 xzxzzyzyyxyxzyx P       HD: Ta có . 3 1 11 ; 3 1 11 ; 3 1 11 333333 zx xz yz zy xy yx  Suy ra . 333 3 222 333 zxyzxy zyx  Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:10 Suy ra . 111333 3 222222 xzxzzyzyyxyx zxyzxy P       Mặt khác, áp dụng BĐT , 411 baba   với 0, ba ta có                             222222 111111222 3 xzxzzxzyzyyzyxyxxyzxyzxy P 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 4 4 4 1 1 1 1 1 1 4 4 4 2 2 2 16 16 16 3 3.9 3.9 16. 16. 16. 12. ( ) ( ) ( ) (2 2 2 ) 4.3 ( ) ( ) ( ) xy yz zx xy yz zx x y y z z x x y y z z x x y y z z x x y z x y y z z x                                                    Do đó .9P Dấu đẳng thức xảy ra khi .1 zyx Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 9, đạt được khi .1 zyx 14. Cho ba số thực   , , 1;3x y z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 36x 2y z P yz xz xy    HD:   2 2 2 2 2 2 2 36x 2y z f(x) ,x 1;3 , y,z là tham sô yz zx xy 36 2y z 36x 2y z 36 2.9 9 f '(x) 0 yz zx x y x yz x yz               Suy ra f(x) đồng biến trên   1;3 nên   2 2 2 2 2 2 2 36 2y z f(x) f(1) g(y),y 1;3 ,z là tham sô yz z y 36 2 z 36 2y z 36 2.9 1 g'(y) 0 z y z y y z y z                    Suy ra g(y) nghịch biến trên   1;3   2 12 6 z 18 1 18 1 g(y) g(3) h(z),z 1;3;h'(z) 0. z z 3 3 9 3 z              h(z) nghịch biến trên   1;3 18 h(z) h(3) 1 7 3      ; Vậy P 7 dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x=1 và y = z = 3; Do đó Min P = 7 15. ; HD: 16. [...]... thực d- ơng a, b, c thoả mãn ab bc 4 4 4 a b ab a 3 b 3 Từ a 4 b4 b c bc(b 3 c 3 ) a 3 b ab 3 a4 b4 ab a 3 b 3 Vậy 4 4 abc Chng minh rng: 1 ca abc Chứng minh rằng: 4 c a ca(c 3 a 3 ) 2 a4 a b 2ab ca b4 1 1 2 a 1 a4 a 3b b 4 ab 3 a3 b3 a b 1 b T- ơng tự cho các bất đẳng thức còn lại, suy ra đpcm 2/ Cho hai s thc dng x, y tha món: x2 HD: t P t x y 1x 1 x y xy x y t t 1 2 1 y Xột hm P trờn na khong... tr ln nht,nh nht min f t T BBT ta cú: minP = f 2 4 3 2 ;t c khi: x 2 2 y 1; 2 Ht 55 1/ Cho cỏc s thc a, b, c khụng õm tha món a 2 1 1 9 1 bc 1 ca 2 1 1 1 9 HD: 1 ab 1 bc 1 ca 2 c 2 1 Chng minh rng b2 1 1 ab Ta cú ab 1 ab 2a ab 1 ab 2 ab 2b 2c 2 2 2 2ab Theo bt ng thc Bunhiacopxki Vy a ca 1 ca a2 a 2 2 b 2 c a b 2 a b 2 2c 2 2 b2 1 a2 2 a 2 b2 c2 c 2 b2 3 3 Cng li ta cú iu phi chng minh Du bng khi... khỏc (a+b+c)23(ab+bc+ca) Nờn P(a+b+c)+( ) = ( + + )+ ( + + )+( Vy minP= Xa ra khi a=b=c=1 hay x=y=z ) + ( + + )4+ = x3 0 tho món x + y + z > 0 Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thcP 58 1/ Cho x, y, z y 3 16 z 3 x HD: Trc ht ta cú: x (vi t = 3 y x y 4 3 64 81 Minf t t 0;1 (bin i tng ng) 2 xy P t2 f' t 2 3 3 y z t t 3 t 2t 3 t2 t Vy min P Vy max P 25 khi t 6 3 3 3 khi t 2 2 xy t2 3 t yz 2 3 3 2 1 2 zx y cú f... abc abc 27 27 Vỡ a b c 1 nờn M Li cú: abc b c 4a c (1) 42 Cho a, b, c l cỏc s thc dng cú tng bng 1 Chng minh rng: HD: a b a b c 3 Chng minh rng: 27 2 1 27 1 2 27 abc (pcm); Du bng xy ra c 1 a 10 3 3 1 1 c 730 27 730 1000 9 1 27 27 9 Suy ra M 3 10 3 1 b 1 c a b c 1 3 43 Cho x, y, z l cỏc s thc dng Chng minh bt ng thc 2x2 (y HD: Ta cú ( y (y 2 y 2 yz (z xy x )2 xy zx z )2 1 zx zx z )2 2 z 2 zx 1 (x yz y... Trỡ Phỳ Th 2013-05-16 Tr:14 Hng dn gii cõu 6 Bt ng thc v Giỏ tr ln nht,nh nht 26 HD: 27 Cho 3 s thc dng a, b, c tha món a 2 Chng minh rng Ta cú a 2a b 2 3 c a 2 b2 a a x3 c2 b 5 2b 3 b c 5 2c 3 c c2 a2 a2 b2 1 nờn a, b, c 0;1 1 2 x x a 3 a ;Bt ng thc tr thnh 0;1 Ta cú: Max f x 0;1 f a f b f c 2 3 2 3 3 2 2 1 a Xột hm s f x c2 1 a5 2a3 a b2 c2 HD: Do a, b, c > 0 v a 2 5 b2 a a b 3 b c 3 c 2 3 3 2... y z ) 2 3( xy yz zx) 2 1 1 ; ng thc xy ra x y Chng minh c ( x Suy ra VT (1) z 44 HD: 45 HD: 46 Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P a2 4b 2 4 ab 4 a 8b 6 ab 1 Vi mi s thc a, b thay i tha món iu kin a 2b 2 Lc Phỳ a Vit Trỡ Phỳ Th 2013-05-16 Tr:23 Hng dn gii cõu 6 Bt ng thc v Giỏ tr ln nht,nh nht 2/.Cho a, b, c l cỏc s dng tha món a b c 1 a b ab c Chng minh: HD:1/ Vỡ a 2 Ta cú P t t 4b 2 4ab a 2b 2 3 2ab... a b 2 a b 2 2c 2 2 b2 1 a2 2 a 2 b2 c2 c 2 b2 3 3 Cng li ta cú iu phi chng minh Du bng khi a b c 2/ Cho cỏc s thc a, b, c tha món : 0 Chng minh rng: HD: Vỡ 0 a 1, 0 1 abc b 1 nờn a 1 b 1 1 ab c 1 a 1, 0 b 1, 0 1 a b c 0 a 3 1 a 1 b 1 c ab a b 1 0 1 1 1 1 1 Chng minh tng t : b bc b ; 1 1 1 1 1 1 Cng cỏc BT (1), (2), (3) v theo v : 2 3 4 ab bc ca a b c 1 a b ab 4ab b 2 2c 2 2 b2 c2 ac , 1 ac c2 a2... a 9 1 b 1 (pcm) c ng thc xy ra khi v ch khi a = b = c = 1 56 1/ Chng minh rng vi 0 ta cú: a a (a b)(a c) b b (b a)(b c) Lc Phỳ a Vit Trỡ Phỳ Th c c (c a)(c b) 2013-05-16 1 Tr:31 Hng dn gii cõu 6 Bt ng thc v Giỏ tr ln nht,nh nht HD: a b a c ac )2 ( ab a b a c a a b a c a ab a b a 2./ Cho a, b, c l cỏc s thc tha món ng thc a2 Chng minh rng 2 ab bc ca b2 c2 ac a 1 a 2 b 1 b a2 2 1 a2 c , 2 1 c b2 1... 0 thỡ A 1 1 t t2 z x 9 2 9.2 x z do 1 xz f (t ) (9 t )2 Lp BBT ca f (t ) trờn khong (0; 1 t2 9 t 2 1 2 t3 ) suy ra min f (t ) Lc Phỳ a Vit Trỡ Phỳ Th (0; ) t 3 2 73 4 2013-05-16 Tr:24 Hng dn gii cõu 6 Bt ng thc v Giỏ tr ln nht,nh nht Do ú A 73 ng thc xy ra 4 x 2 , y 1, z 3 3 Vy min A 2 73 4 48 HD: 49 1/ HD:1/ Lc Phỳ a Vit Trỡ Phỳ Th 2013-05-16 Tr:25 Hng dn gii cõu 6 Bt ng thc v Giỏ tr ln nht,nh... trờn 1; 4y 3 0, y 1 x 3 1; Lc Phỳ a Vit Trỡ Phỳ Th f y f 1 3 2013-05-16 Tr:33 Hng dn gii cõu 6 Bt ng thc v Giỏ tr ln nht,nh nht 3x 2 trờn 1;3 4x 3 Xột hm s g x Khi ú P x3 3 4 xy 3 Xột hm s ( ) = Vy MaxP MinP P 64 3 t 4t 2 27 9 4 1 3 xy 12 t 64 vi t 9 8 t 1 9 8t x x x 3 4 9 4 y = y 1 x y 3 ; 1 b a t : x Ta cú: P 1 c 1 1 1 ; y= ;z= a b c 1 a (2 a 1)2 p dng bt Cụ-si: y 3 3 2 x y (y x) 2 x3 1 c(2 c 1) .  2/ 9. HD: Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:8 10. HD: 11. HD: Hướng dẫn giải. (®pcm). 20. HD: 21. HD:C1: C2: Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:13 C3: 22. HD: 23. HD: Hướng dẫn giải