SKKN kinh nghiệm dạy học giải bài tập bất đẳng thức hướng khắc phục sai lầm tạo lập mới hệ thống bài tập

KINH NGHIỆM DẠY- HỌC: GIẢI BÀI TẬP “BẤT ĐẲNG THỨC” HƯỚNG KHẮC PHỤC SAI LẦM - TẠO LẬP MỚI HỆ THỐNG BÀI TẬP Họ tên : Phạm Thị Vỹ Giáo viên trường trung học sở Bn Trấp Trình độ chuyên môn : ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – CHUYÊN NGÀNH TỐN I/ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Tốn học môn khoa học tự nhiên, phát sinh từ nhu cầu thực tế người Dạy toán dạy hoạt động toán học cho học sinh, giải tập hình thức chủ yếu, dạy học giải tập có vị trí vơ quan trọng Đặc trưng tập mơn tốn nói chung, thể loại tốn “bất đẳng thức” nói riêng vơ rộng lớn phong phú thể loại, nội dung mức độ yêu cầu thể loại Nó ln sở, tảng vững cho mơn tốn học mơn khoa học tự nhiên khác Loại tập vận dụng cho nhiều đối tượng học sinh lớp, khối nhiều cấp học Đặc biệt dạng tập bất đẳng thức đánh giá loại nhằm phát triển tư trí tuệ học sinh Nó thường đóng vai trò làm câu khống chế điểm 9, điểm 10 đề kiểm tra, đề thi năm Nhằm giúp giáo viên chúng ta dễ dàng phát hiện, phân loại đối tượng học sinh, chọn lựa học sinh khá, giỏi trình dạy học Nếu học sinh biết giải giải thành thạo loại tốn việc học mơn tốn khơng rào cản hay thách thức đối với học sinh Thế nhưng, theo nhận định chủ quan thân khả nhận thức, vận dụng kiến thức mơn tốn vào thực tiễn niềm đam mê toán học học sinh q khiêm tớn Tốn học mơn học ln mang tính kế thừa, có nắm kiến thức “bất đẳng thức” biết vận dụng thành thạo kiến thức việc giải tập may có thể mở rộng nâng cao kiến thức sau Đó hội để bước vào trường chuyên, lớp chọn, tương lai vào trường đại học theo mong ước Người ta thường nói ( móng có tường vững ) Qua nhiều năm dạy học, qua nhiều kì kiểm tra khơng lần chọn bồi dưỡng học sinh giỏi, thân nhận thấy khả tiếp thu vận dụng kiến thức học sinh việc đề kiểm tra mảng kiến thức “bất đẳng thức” sớ khơng học sinh giáo viên nhiều lúng túng Đề thường mang tính khn mẫu hay chép từ nhiều tài liệu khác Kết làm học sinh đặt nặng tính may rủi Nếu giáo viên chúng ta nhìn thấy tầm quan trọng loại toán này, biết dựa vào phong phú tính đa dạng chắn đứng lớp chúng ta có thể tự tin chủ động kiến thức Khôn khéo lựa chọn phương pháp giải phù hợp đối với loại tập cụ thể Hơn thế, giáo viên chúng ta có thể linh hoạt việc giúp học sinh khắc phục sai lầm giải tập Tự cải biên đề bài, đề phù hợp với khả nhiều học sinh Có thể mở rộng, nâng cao kiến thức tiết học Việc làm phù hợp với nhiều đối tượng học sinh, tạo cho không khí lớp học thêm phần sinh động mà phát huy tớ chất tốn học tiềm ẩn học sinh Đáp ứng nhu cầu đổi phương pháp dạy học toán Thuận lợi cho giáo viên việc phụ đạo học sinh yếu kém, đồng thời bồi dưỡng học sinh giỏi Vậy làm để giáo viên chúng ta tự tin hơn, làm chủ mảng kiến thức “Bất đẳng thức” truyền tải đến với học sinh, hướng dẫn giúp học sinh biết tránh sai - lầm thường mắc giải loại tập Từ biết cải biên đề bài, tạo hệ thống tập, biết vận dụng khả mở rộng kiến thức nhằm dễ dàng đạt điểm tối đa kiểm tra, thi Giáo viên thực thi tiết dạy, khơng lệ thuộc vào sách giáo khoa Đặc biệt hơn, việc đề thi, đề kiểm tra có, hoặc khơng có trùng lặp đề năm với đề năm trước, đề kì với đề kì trước Chấm dứt ỉ lại hay mong chờ may rủi thi cử, kiểm tra học sinh Đó lí mà đề tài cần quan tâm II/ ĐỐI TƯỢNG, CƠ SỞ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: 1) Đối tượng nghiên cứu : Học sinh sớ giáo viên dạy tốn trường trung học sở Buôn Trấp trường lân cận huyện Krông Ana, Tỉnh Đắc Lắc 2) Cơ sở nghiên cứu : Căn vào chất lượng học sinh từ lớp đến lớp học sinh lớp thi vào lớp 10 trường THPT, trường THPT chuyên năm 1996-1997; 1997 -1998; 2001- 2002; 2002 - 2003; 2005 - 2006 năm học 3) Phương pháp nghiên cứu : Phối hợp đồng loạt tất phương pháp: “trò chuyện”, “đàm thoại”, “phỏng vấn trực tiếp, gián tiếp”, “điều tra phiếu học tập, thông qua kết kiểm tra 15 phút, 45phút, 90 phút, đề thi học sinh giỏi cấp, đề thi vào lớp 10 THPT qua nhiều năm,v v Tài liệu nghiên cứu: Sách giáo khoa, sách giáo viên toàn cấp học Các đầu sách tham khảo xuất giáo dục đào tạo nói Bất đẳng thức Sách nói phương pháp dạy học – dạy học giải tập ( trường đại học sư phạm) v v III/ NỘI DUNG VÀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU : 1) Nhiệm vụ đề tài : Thực ra, loại tốn có dạng “bất đằng thức” em tiếp cận từ cấp tiểu học Tuy nhiên mức độ yêu cầu tập chỉ dừng lại phạm vi: quan sát so sánh, điền dấu ( >; < ) vào ô trống hoặc biểu thức lớn ? ? Đới với học sinh lớp 6, lớp dạng tập bất đẳng thức tăng dần với mức độ từ thấp đến cao, nhiên cụm từ “bất đẳng thức” bí mật Có chỉ dạng bài: so sánh biểu thức A biểu thức B; khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao? ; chứng minh biểu thức A > B hoặc A < B Lên đến lớp lớp 9, yêu cầu mức độ nhận thức vận dụng kiến thức có đòi hỏi cao Các em biết vận dụng định nghĩa, tính chất số phương pháp thông thường để giải tập bất đẳng thức, biết tìm điều kiện chữ để biểu thức dương, âm, hay biểu thức lớn biểu thức Vấn đề mà đề tài cần quan tâm là: Mức độ hiểu biết, nhận thức khả vận dụng kiến thức “bất đẳng thức” đối với giáo viên học sinh cần phải đạt mức cao hơn, linh hoạt, sáng tạo Đối với học sinh, người lĩnh hội kiến thức vận dụng kiến thức nhằm phát huy lực, phát triển trí tuệ Để việc tiếp thu vận dụng có hiệu mảng kiến thức này, đòi hỏi em phải có cần cù, chịu khó, biết liên tướng, ghép nới kiến thức học cách liên tục, lơgic, có hệ thớng Kiến thức có trước tiền đề cho kiến thức có sau Và ngược lại, kiến thức có sau kế thừa hoặc mở rộng từ kiến thức có trước Chính học sinh phải có đam mê việc tự học, tự nghiên cứu vận dụng Việc làm này, yêu cầu đối với học sinh thật không dễ chút - Đối với giáo viên, người trực tiếp truyền tải kiến thức đến với học sinh, người chịu trách nhiệm việc đề thi, kiểm tra, đánh giá chất lượng học sinh Chất lượng day học thầy đánh giá cân, đo, đong, đếm qua đam mê, tự giác nghiên cứu hiệu vận dụng kiến thức học sinh thơng qua kì thi Do đó, ngồi việc chăm lo trang bị cho có nghiệp vụ sư phạm vững vàng, hành trang kiến thức vững - chắc, người giáo viên chúng ta cần phải thường xuyên học hỏi, tự trau dồi cho kĩ nghệ thuật sư phạm bục giảng Đặc biệt đối với loại tập “bất đẳng thức”, mệnh danh loại tập khó dạy, khó học Như chúng ta biết, việc giải tập yêu cầu quan trọng đối với học sinh Hơn nữa, loại tập chứng minh “bất đẳng thức” khó nêu lên phương pháp tổng quát để chứng minh, tính đa dạng bất đẳng thức phải chứng minh phương pháp chứng minh Vì vậy, dạy tập loại tốn này, người dạy không chỉ đơn cung cấp kiến thức mà dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ, tìm đường giải Từ rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức cách linh hoạt, sáng tạo để cải biên đề bài, tạo hệ thống tập Nhằm hình thành tư duy, phát triển lực trí tuệ cho học sinh Đó nhiệm vụ không thể xem nhẹ đối với giáo viên chúng ta A: GIẢI BÀI TẬP “BẤT ĐẲNG THỨC” Là giáo viên dạy toán, hẳn thấy việc dạy học sinh biết giải giải thành thạo tập đẳng thức khó việc dạy giải tập “bất đẳng thức” lại khó Bởi lẻ khái niệm bất đẳng thức thức vô phức tạp, bất đẳng thức có thể đúng, lại có thể sai, đúng miền xác định lại sai miền xác định khác Ví dụ : 3x +1 > 2x + có giá trị chân lí đúng với x > , lại sai với x ≤ Ngôn ngữ bất đẳng thức lại diễn đạt theo nhiều nghĩa khác ( >; < ; ≤; ≥ ; lớn , hơn, bé hơn, không lớn hơn, không nhỏ hơn) Nếu học sinh khơng nắm vững định nghĩa, tính chất bất đẳng thức e việc giải tập dạng thật khó khăn Để đạt nhiệm vụ chung nói trên, giáo viên học sinh cần phải hiểu cách sâu sắc nắm vững định nghĩa, tính chất bất đẳng thức *Định nghĩa1:Hai biểu thức A B nối với quan hệ( ; ≥ ) ta nói có bất đẳng thức chẳng hạn: (A>B ; A < B ; A ≥ B ; A ≤ B) bất đẳng thức * Định nghĩa 2: A>B ⇔ A – B>0; A < B ⇔ A – B < 0; A ≥ B ⇔ A – B ≥ ; A≤ B⇔ A – B ≤ * Tính chất quan hệ: Trong quan hệ ( < ; >) có tính chất bắc cầu Trong quan hệ ( ≤ ; ≥ ) có tính chất phản xạ, phản xứng, bắc cầu * Một sớ định lí thường dùng a > b ⇔ b b ⇔ a > b – c a > b ⇔ a ± m > b ± m a > b ⇒ a+c >b+d c > d a1 > b1  a2> > b2  Tổng quát  ⇒ a1 + a2 + + an > b1 + b2 + + bn  an > bn   a.c > b.c∀c > a > b ⇔  đặc biệt –a < -b ⇔ a > b  a.c < b.c∀c < (không trừ vế theo vế) a > b ≥ 0  ⇒ a.c > b.d c > d ≥ 0 - -a1 > b1 ≥  a2 > b2 ≥  * Tổng quát : ( Không chia vế theo vế )  ⇒ a1 a2 an > b1 b2 bn  an > bn ≥  a>b ≥ ⇒ a n > bn , ∀n ∈ Z + a>b ≥ ⇒ n a > n b∀n ∈ Z + ; n ≥ 1 a>b ab>0 ⇒ < a b Chú ý: a ≥ với ∀ a ∈ R a2>0 với ∀ a∈ R a ≠ * Một số bất đẳng thức thường dùng giải tập + Bất đẳng thức ( a ± b)2 ≥ với ∀ a, b + Bất đẳng thức Côsi ( cauchy) : với a ≥ 0, b ≥ a + b ≥ ab hoặc a+b ≥ ab Dấu “=” xảy chỉ a = b 2 2 + Bất đẳng thức bunhiacôpxki : ( ac + bd ) ≤ ( a + b ) ( c + d ) Dấu “=” xảy chỉ a b = c d Bài tập toán loại “Bất đẳng thức” đa dạng phong phú Nó phong phú thể loại nội dung mức độ yêu cầu nên dạy loại toán chúng ta cần nghiên cứu kĩ nội dung đề bài, mức độ yêu cầu đề bài, tìm hiểu xem, người học thuộc đới tượng Từ tìm chọn lựa phương pháp giảng dạy phù hợp cho loại bài, đáp ứng phần lớn nhu cầu đối tượng cần học Cho dù sử dụng phương pháp dạy học trước dạy giải tập, giáo viên chúng ta cần phải cho học sinh ôn lại kiến thức lí thuyết bổ trợ cho tập Nắm lý thuyết, hiểu biết vận dụng, chắn thành công phần lớn việc giải tập Mặc dầu chưa có phương pháp tổng quát nói chứng minh: “Bất đẳng thức” Song từ tập cụ thể yêu cầu cụ thể ta có thể đưa “Một sớ” phương pháp đại cương sau dùng để giải tập dạng + Phương pháp so sánh +Phương pháp xét hiệu (dựa vào định nghĩa) + Phương pháp biến đổi tương đương (phương pháp biến đổi trực tiếp ) + Phương pháp dùng bất đẳng thức có sẵn + Phương pháp phân tích số hạng Để giúp giáo viên học sinh thuận lợi, dễ dàng việc dạy việc học giải tập bất đẳng thức, Ta có thể tạm chia tập dạng thành hai loại ( Loại có sẵn thuật tốn loại chưa có sẵn thuật tốn ) Sau số tập cụ thể minh họa cho nhận định A.1/ Loại tập có sẵn thuật tốn : Đới với loại tập có thuật tốn, dạy giáo viên chúng ta yêu cầu học sinh khơng xem nhẹ sở quan trọng để tiến tới giải tập có nội dung khó hơn, phức tạp Do học sinh cần hiểu rõ thuật toán là: + Năm vững quy tắc giải học + Nhận dạng đúng toán - + Giải theo quy tắc cách thành thạo Đối với học sinh lớp 6, lớp tập “bất đẳng thức” chỉ dạng bài: so sánh biểu thức A biểu thức B; khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao? Chứng minh sớ A > số B hoặc số A < số B, cụm từ “ bất đẳng thức” bí mật Ví dụ 1: a) so sánh : 200300 với 300200 hoặc chứng minh 200300 > 300200 b) So sánh : -200300 với -300200 hoặc chứng minh -200300 < -300200 c)So sánh : 200-300 với 300-200 hoặc chứng minh 1 p 300 200 300200 Để dạy loại tập giáo viên chúng ta nên cho học sinh ôn lại kiến thức lũy thừa, nâng lũy thừa lên lũy thừa, so sánh hai lũy thừa có số hoặc số mũ So sánh số nguyên âm, so sánh nghịch đảo số nguyên dương Từ hướng dẫn em biến đổi sớ cho mục đích cần so sánh mình, dùng phép biến đổi vế: A = A1=A2 = = An B = B1 = B2 = = Bn Nếu An > Bn A > B Giải: ( ) = ( ( 300 ) ) Câu a) 200300 = ( 200 ) 300200 100 100 = 8000000100 = 90000100 Vậy 200300 > 300200 Câu b câu c: Từ kết câu a quy tắc so sánh hai số hai số nguyên âm, so sánh nghịch đảo hai số nguyên dương ta suy : b) -200300 < -300200 c) 1 p 300 200 300200 Với loại tập này, giáo viên lưu ý cho học sinh nên tạo lập đề bài, xây dựng thành hệ thống tập ( cách thay đổi số hoặc số mũ ) Việc làm tạo cho học sinh thói quen ln nghiên cứu, mở rộng khả hiểu biết Nhằm rèn luyện kĩ tư duy, phát triển trí tuệ cho học sinh Ví dụ 2: Chứng minh biểu thức sau : A = 1 + + + với a.b>1 2 + a + b + ab b) a2 + b2 ≥ với a + b ≥ c) a3 + b3 > a2b+ab2 với a>0; b>0 d) a4 + b4 > a3b + ab3 với a>0; b>0 e) ( a10 + b10)(a2 +b2) ≥ (a8 + b8)( a4+b4) Đối với loại tập này, giáo viên cho học sinh quan sát kĩ đề bài, tìm hiểu xem tốn cho biết điều gì, u cầu ta phải làm ? Để giải tập dạng ta cần liên hệ cho cải phải tìm, dùng phương pháp phân tích để biết vận dụng kiến thức ? Nếu khó q, học sinh khơng thể trả lời giáo viên chúng ta nên có sớ câu hỏi phụ, nhằm gợi ý, giúp học sinh xây dựng chương trình giải Sau giáo viên phới hợp với học sinh thực chương trình giải theo hướng định Xét hiệu, biến đổi biểu thúc dạng phân thức ( phép tốn thơng thường ) Sau lí luận dấu tử mẫu dẫn tới phân thức không âm kết luận Cụ thể : câu a) Xét hiệu : 1 + > 2 + a + b + ab 1 1 + ab − − a + ab − − b 1 − + − = + + − = 2 2 + a + b + ab + a + ab + b + ab ( + a ) ( + ab ) ( + b ) ( + ab ) a ( b − a) b ( a − b) b−a  a b  b − a a + ab − b − ba + = − ( + a ) ( + ab ) ( + a ) ( + ab ) + ab  + a + b2 ÷ = + ab ( + a ) ( + b2 ) ( b − a ) + ab ( a − b ) ( + a ) ( + b ) ( + ab ) ( a − b ) ( ab − 1) = ( + a ) ( + b ) ( + ab ) ( a − b ) ( ab − 1) Vì ab >1 ⇒ ab - 1>0; (a –b) ≥ mẫu thức >0 nên ( + a ) ( + b2 ) ( + ab ) 2 Vậy ≥0 1 + > với ab >1.dấu “ = “ xảy ⇔ a = b 2 + a + b + ab Tương tự với câu c, câu d: Giáo viên cho học sinh xét hiệu, phân tích đa hức thành nhân tử ( phương pháp nhóm, đặt nhân tử chung ) Lưu ý nhân tử phải có dạng theo mong muốn ( không âm hoặc dương ) Sau lập để suy điều cần chứng minh Giáo viên nhấn mạnh cho học sinh, phải xét điều kiện để dấu “ = “ xảy Chẳng hạn : Câu c: a3 + b3 - a2b - ab2 = ( a − b ) ( a + b ) ≥ a>0; b>0 ; (a-b)2 ≥ Vậy a3 + b3 > a2b+ab2 với a>0; b>0 dấu “ = “ xảy ⇔ a = b Câu d: (a4 + b4) – (a3b + ab3) = ( a − b ) ( a + ab + b ) ≥ (a-b)2 ≥ 0; (a2+ab+b2)>0 Vậy a4 + b4 > a3b + ab3 với a>0; b>0 dấu “ = “ xảy ⇔ a = b Câu e:( a10 + b10)(a2 +b2) - (a8 + b8)( a4+b4) = a 2b2 ( a − b ) ( a + a 2b + b ) ≥ a2b2 ≥ 0; ( a2 –b2 ) ≥ 0; (a4 +a2b2 +b4) > a = b2  a = ±b ⇔ Vậy ( a + b )(a +b ) ≥ (a + b )( a +b ) Dấu “ = ” xảy ⇔  2  a = 0; b = a b = 10 10 2 8 4 b)Phương pháp biến đổi tương đương (phương pháp biến đổi trực tiếp ) Để giải loại tập chứng minh bất đẳng thức phương pháp biến đổi tương đương, trước tiên giáo viên cho học sinh hiểu rõ nắm vững quy trình biến đổi tương đương bất đẳng thức sau: Để chứng minh A ≥ B ta biến đổi tương đương sau: A ≥ B ⇔ ⇔ C ≥ D Cuối bất đẳng thức C ≥ D đúng Khi ta kết luận A ≥ B đúng ( đpcm) Ví dụ 1: Chứng minh : với ∀ a,b,c,d,e, ∈ R : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a ( b+c+d+e) Muốn giải tập phương pháp trên, giáo viên cho học sinh nhận xét hạng tử vế trái hạng tử sau khai triển vế phải, từ giúp em thấy cần thiết phải nhân thêm số vào hai vế Khai triển, chuyển vế đưa dạng tổng bình phương biểu thức Sau dùng lập luận kết luận toán Cụ thể toán giải sau a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a( b+c+d+e) ⇔ 2(a2 + b2 + c2 + d2 + e2) ≥ 2a( b+c+d+e) ⇔ 4(a2+b2+c2+d2+e2) - 4a(b+c+d+e) ≥ ⇔ ( a − 4ab + 4b ) + ( a − 4ac + 4c ) + ( a − 4ad + 4d ) + ( a − 4ac + 4c ) ≥ 2 2 ⇔ ( a − 2b ) + ( a − 2c ) + ( a − 2d ) + ( a − 2e ) ≥ Bất đẳng thức đúng Vậy a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a( b+c+d+e) với ∀ a,b,c,d,e, ∈ R Dấu “=” xảy chỉ a = 2b = 2c = 2d = 2e hay b = c = d = e = a a+b ≥ ab ( Bất đẳng thức Cơsi) Vì a ≥ ; b ≥ ⇒ a + b ≥ ab ≥ ⇒ ab ≥ Ví dụ 2: Cho a ≥ ; b ≥ chứng minh : a+b a+b ≥ ab ⇔  ≥ ab ⇔ ( a + b ) ≥ 4ab ⇔ a + 2ab + b ≥ 4ab ⇔ a − 2ab + b ≥ Ta có ÷   ⇔ ( a − b ) ≥ bất đẳng thức đúng với a, b không âm a+b ≥ ab với a ≥ ; b ≥ 2 a + b2  a + b  ≥ Ví dụ : Chứng minh : a) ÷   Vậy a + b2 + c2  a + b + c  ≥ b) ÷ 3   Đới với ví dụ này, giáo viên yêu cầu học sinh biến đổi trực tiếp, khai triển đẳng thức vế trái, quy đồng, chuyển vế, phân tích đa thức thành nhân tử nhận xét Minh họa câu b cụ thể sau: a + b2 + c2  a + b + c  a + b + c a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc ⇔ ≥ ≥ ÷ 3   ⇔ 3a2 + 3b2 +3c2 ≥ a2 + b2 + c2 +2ab + 2ac +2bc ≥ ( a − b ) + ( a − c ) + ( b − c ) ≥ đúng Vậy 2 2 a + b2 + c2  a + b + c  ≥ Vậy ÷ với a,b khơng âm Dấu”=” xảy chỉ a = b = c 3   Ví dụ 4: Chứng minh : a2 + 4b2 + 4c2 ≥ 4ab - 4ac + 8bc Ta nhận thấy hạng tử vế trái có dạng bình phương sớ hoặc biểu thức, hạng tử vế phải số chẵn ln có dạng hai lần tích hai biểu thức, chuyển - vế nhóm hạng tử cách thích hợp có thể viết dạng bình phương biểu thức Sau lí luận biểu thức khơng âm ta có điều phải chứng minh, Cụ thể cách giải sau: Ta có : a2 + 4b2 + 4c2 ≥ 4ab - 4ac + 8bc ⇔ : a2 + 4b2 + 4c2 - 4ab + 4ac - 8bc (a − 4ab + 4b ) + 4c + ( 4ac − 8bc ≥ ) ⇔ ( a − 2b ) + 2.2c ( a − 2b ) + ( 2c ) ⇔ ( a − 2b + 2c ) ≥ 2 Ví bất đẳng thức sau đúng nên a2 + 4b2 + 4c2 ≥ 4ab - 4ac + 8bc đúng dấu “=” xảy chỉ a +2c = 2b * Ưu điểm : Với ví dụ hai phương pháp giải trên, vận dụng phép biến đổi đẳng thức, nhân đơn đa thức, phân tích thành nhân tử đơn giản, dể hiểu Phù hợp nhiều đối tượng học sinh Thỏa mãn nhu cầu người học Gây nhiều hứng thú cho học sinh học Học sinh tích cực xây dựng bài, đáp ứng đổi phương pháp dạy học giai đoạn * Hạn chế: Một sớ khó nhìn đẳng thức, đòi hỏi phải phân tích kĩ học sinh có thể hiểu, mặt khác đối tượng học không đồng nên giáo viên không chủ động thời gian Nề nếp lớp học không theo ý muốn c)Phương pháp dùng bất đẳng thức có sẵn : Trong giải tập, bất đẳng thức có sẵn đóng vai trò vơ quan trọng Nó cơng cụ sắc bén giúp ta giải nhanh, xác nhiều tập mà ta tưởng chừng không thể giải Vì trước giải loại tập này, giáo viên chúng ta cần cho học sinh hiểu nắm vững số bất đẳng thức thông dụng đới với chương trình thực học + Bất đẳng thức có dạng bình phương : ( a ± b ) ≥ với a, b +Bất đẳng thức Côsi(cau chy): Với hai số không âm a b ta có a+b ≥ ab hay a + b ≥ ab Dấu “ =” xảy chỉ a = b 2 2 +Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: ( ac + bd ) ≤ ( a + b ) ( c + d ) Dấu “=” xảy chỉ a b = c d Sau sớ ví dụ minh họa giải phương pháp dùng bất đẳng thức có sẵn Ví dụ : loại bài dùng bất đẳng thức có “dạng bình phương” a) Mức độ thấp: Chứng minh : a2 + b2 +c2 ≥ ab + bc + ca Bất đẳng thức dạng bình phương tổng hoặc hiệu phổ biến thông dụng đới với chương trình cấp trung học sở Vận dụng phù hợp cho nhiều đối tượng học sinh Trước dạy giải tập này, giáo viên cho học sinh ơn lại tính chất mở rộng bất đẳng thức Yêu cầu học sinh nhận xét hạng tử hai vế bất đẳng thức, từ nêu hướng sử dụng bất đẳng thức Trả lời u cầu khơng khó đới với học sinh Do tập dễ dàng giải sau: Ta có: ( a − b ) ≥ ⇔ a2 - 2ab + b2 ≥ ⇔ a2 + b2 ≥ 2ab với ∀ a,b Tương tự : b2 + c2 ≥ ; c2 + a2 ≥ Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta : 2( a + b2 + c2 ) ≥ 2( ab + bc + ca ) ⇔ a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca ( đpcm) dấu “ = “ xảy chỉ a = b = c b) Mức độ cao : Chứng minh: x2 + x + ≤ ≤3 x2 − x + - Đây tập có hai yêu cầu, ta phải giải yêu cầu riêng lẻ, sau kết hợp ta yêu cầu cử Với tập này, chỉ có thể dùng bất đẳng thức dạng bình phương tổng hoặc hiệu ( a ± b ) ≥ với a, b Ta có ( x + 1)2 ≥ với ∀ x ⇒ 2( x + 1)2 ≥ ⇔ 2x2 + 4x + ≥ ⇔ 3x2 + 3x + ≥ x2 – x +1 ≥ ⇔ 3(x2 + x + 1) ≥ x2 – x +1 (*) Vì x2 – x +1 = ( x - )2 + > , chia hai vế bất đảng thức (*) cho x2 – x +1 ta x2 + x + 1 ≥ x2 − x + (1) Ta lại có : ( x – 1)2 ≥ ⇒ 2( x – 1)2 ≥ ⇔ 2x2 - 4x + ≥ ⇔ 3x2 - 3x + ≥ x2 + x +1 ⇔ 3(x2 - x + 1) ≥ x2 + x +1 (**) Vì x2 – x +1 = ( x - )2 + > Chia hai vế (**) cho x2 - x +1 ta x2 + x + ≤ (2 ) x2 − x + 1 x2 + x + ≤3 Tử (1) (2) suy ≤ x − x +1 * Loại dùng bất đẳng thức Côsi Đối với chương trình trung học sở, Bất đẳng thức Cơsi bất đẳng thông dụng thường xuất nhiều hai dạng tập.“chứng minh bất đẳng thức” Tìm giá trị nhỏ hoặc giá trị lớn nhất” biểu thức Mỗi loại tập có thể triển khai đồng thời cho nhiều đối tượng học sinh lớp, nhiều lớp khới Chính giáo viên chúng ta trước dạy loại tốn cần nghiên cứu kĩ, tìm hiểu nội dung, mức độ yêu cầu cần truyền thụ cho đối tượng học Để từ cân nhắc, chọn lọc, đặt sớ lượng tập từ dễ đến khó, phân chia tập theo nhiều mức độ, đảm bảo tính hệ thống, lôgic, phù hợp cho đối tượng học sinh Được học trở nên lí thú, ćn hút học sinh Tạo thân thiện giữ thầy trò */ Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức Ví dụ1: Mức độ ( dành cho nhiều đối tượng ) Cho a,b,c ≥ chứng minh : (a + b)( b +c )(c +a ) ≥ 8abc Với này, cho học sinh nhận xét cặp số đối chiếu điều kiện bất đẳng thức Cơsi, sau áp dụng cho cặp sớ Rồi dùng tính chất mở rộng nhân vế theo vế bất đẳng thức ta điều phải chứng minh Cụ thể Ta có: a + b ≥ ab ; b +c ≥ bc ; c + a ≥ ca Nhân vế theo vế ta : (a +b)( b +c )( c + a ) ≥ ab.bc.ca ⇔ (a +b)( b +c )( c + a ) ≥ 8abc Dấu “=” xảy chỉ a = b = c Ví dụ 2: Mức độ ( Dành cho học sinh lớp lớn , học sinh , giỏi ) Cho ≤ x ≤ 3; ≤ y ≤ , Chứng minh ( − x ) ( − y ) ( x + y ) ≤ 36 Không phải tập cho sẵn biểu thức thỏa mãn điều kiện đề bài, có thể dùng bất đẳng thức Cơsi Mà đòi hỏi học sinh phải có khơn khéo, tính tốn, biến đổi Với này, giáo viên cho học sinh dựa vào điều kiện toán, biến đổi - 10 biểu thức cho dạng biểu thức không âm dùng bất đẳng thức Côsi mở rộng cho ba biểu thức không âm Cụ thể: Vì ≤ x ≤ ⇒ - x ≥ ⇒ – 2x ≥ 0 ≤ y ≤ ⇒ - y ≥ ⇒ 12 -3y ≥ (2x + 3y ) ≥ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số: – 2x ; 12 – 3y ; 2x + 3y ta có : − x + 12 − y + x + y ≥ ( − x ) ( 12 − y ) ( x + y ) − x + 12 − y + x + y ⇔( ) ≥ ( − x ) ( 12 − y ) ( x + y ) ⇔ 63 ≥ 6( 3- x)(4 – y)(2x +3y) ⇔ 62 ≥ ( 3- x)(4 – y)(2x +3y ) ⇔ 36 ≥ ( 3- x)(4 – y)(2x +3y ) Vậy (3-x)(4–y)(2x+3y) ≤ 36 Dấu “=” xảy chỉ 6 − x = 12 − y 2 x − y = x = ⇔ ⇔ thỏa mãn điều kiện ( đpcm)  6 − x = x + y 4 x + y = y = Ví dụ 3: Cho a ≥ ; ab ≥ 12 Chứng minh a + b ≥ Đây chưa có biểu thức thỏa điều kiện bất đẳng thức Côsi, muốn sử dụng bất đẳng thức Côsi ta phải biến đổi tạo sớ khơng âm mà trung bình cộng phải chứa ( a +b), Trung bình nhân hai sớ khơng chứa a, b Để thỏa u cầu trên, ta cần cặp số sau: a b +1 Vì a ≥ ; ab ≥ 12 nên a > , b > ⇒ b +1 > Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai sớ a b + Ta có a + (b +1) ≥ a (b + 1) ⇔ a + (b +1) ≥ ab + a ⇔ a + b +1 ≥ 12 + =8 ⇔a+b=7 Dấu “=” xảy chỉ a = b + ⇒ a = , b = */ Dạng 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn : Loại tập tìm giá trị nhỏ “min” hay giá trị lớn “max” gọi chung toán cực trị Để giải loại tập này, cần nhấn mạnh cho học sinh việc tìm , tìm max cần xét điều kiện dấu “=” xảy Ví dụ 1: Cho x ≥ Tìm x + x Ḿn tìm biểu thức ta phải biến đổi biểu thức dạng lớn hoặc bằngmột số Xét điều kiện dấu “=” xảy ra, dùng lập luận chỉ giá trị nhỏ số xảy dấu “=” Đối với này, hai số x khơng thỏa điều kiện bất đẳng thức Cơsi Do muốn x dùng bất đẳng thức Côsi ta phải tạo hai sớ khơng âm có giá trị nhau, dùng Cụ thể cho giải : x 3x x 3x 3x 3.2 = = + + ≥ + = + ≥ 1+ x x 4 x 4 x 1 Dấu “=” xảy chỉ = ⇔ x = Vậy x + = x = x x 1 Cách 2: (Phân tích theo ): Ta có x + = x + − Dùng bất đẳng thức côsi cho số x x x x 4 3 4  x; ta  x + ÷ ≥ x = Suy x + − ≥ − ≥ − = ( x ≥ ) x x x x 2 x x  Cách 1:( phân tích theo x) : Ta có : x + - 11 -4  x = > ⇔ x = Vậy x + = x Dấu “=” xảy chỉ  x = x  x ≥ Ví dụ 2: b) Cho a +b = a; b ≥ */ Tìm max a.b */ Tìm max a2b5 Do bất đẳng thức Cơ si có chiều “ ≥ ”, nên học sinh thường quen với loại tập tìm “min” Khi gặp yêu cầu tìm max, học sinh có thể lúng túng khơng tìm hướng giải Để giúp học sinh nhanh chóng ổn định tinh thần, giáo viên chúng ta gợi ý cho học sinh đọc yêu cầu toán theo hai chiều ( a ≥ b b ≤ a) Ḿn tìm max ta cần chiều “ ≤ ” Nghĩa chiều ngược lại bất đẳng thức Cơsi (Hay tìm max tốn ngược tồn tìm min) Một học sinh thơng śt lập luận việc giải tìm max khơng khó khăn Có chỉ u cầu lập luận chặt chẽ mà thơi Cụ thể : */ Vì a +b = a; b ≥ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số a b khơng âm, ta có 2 a+b  a+b   81 ab ≤ ⇔ ab ≤  ÷ Do a +b = nên ab ≤  ÷ =   2 a = b ⇔a=b= dấu “=” xảy chỉ  a + b = 81 Vậy max a.b = a = b = a a b b b b b */ Ta có a2.b5 = a.a.b.b.b.b.b =  ÷.2 2 5 5 5 a + b ≥ ab ⇔ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho sớ ta có : 7 a a b b b b b 5  a+b 59 ≤ =  ÷  ÷  ÷ 2 5 5 5   7 2b 45   a= b= a b    =   ⇔ Dấu “=” xảy chỉ  ⇔  18  a + b =  b+b = a =   7 18 45   Vậy max (a2.b5) = 22.55  ÷ a = ; b = 7 7 Tóm lại: Bài tập dùng bất đẳng thức Côsi đa dạng phong phú Mỗi loại có nhiều dạng khác , dạng lại có nhiều mức độ yêu cầu phù hợp cho nhiều đới tượng học Nhờ có bất đẳng thức Cơsi mà chúng ta giải nhiều tập thời gian ngắn Chính mà giáo viên chúng ta dạy giải tập cần tìm tòi, nghiên cứu kĩ phương pháp giải cho dạng, loại cụ thể Làm điều này, tự rèn luyện cho có hành trang kiến thức vững vàng, tự tin đứng bục giảng mà để lại ấn tượng tớt đẹp trước học sinh, cha mẹ em d) Phương pháp phân tích sớ hạng: Loại tập dùng phương pháp phân tích sớ hạng tập mệnh danh khó đới với học sinh, em khơng hiểu, khơng nắm cách phân tích sớ hạng gì, có chỉ dự đốn, mò mẫm, may kết đúng Vì - 12 mà học sinh giáo viên cảm thấy nản chí ḿn lùi bước gặp dạng toán Để giúp học sinh bớt chán nản, cam đảm, tự tin đối mặt với loại tập Người thầy phải làm để giúp cho học sinh biết liên tưởng, ghép nối kiến thức học, tìm dạng tập quen thuộc có cách giải từ dễ đến khó, khơn khéo gợi ý cho học sinh biết dựa vào học , tìm điều tương tự có thể vận dụng cho tập Làm nhiều lần, qua nhiều tập tương tự chắn học sinh khơng cảm thấy chán nản hay lười biếng Nhiều em có hứng thú tìm tòi lời giải cho nhiều tập hay khó Ví dụ 1: Chứng minh A = 1 1 + + + + 1 2 n Thực tập khó, mặc dầu phân sớ có gớng ( tử chung, mẫu sớ có dạng bình phương sớ tự nhiên liên tiếp) dạng Vậy làm để tách, tách ? Trả lời câu hỏi không dễ đối với học sinh với giáo viên Ḿn vậy, đòi hỏi giáo viên chúng ta phải thường xuyên tham khảo tài liệu, sưu tầm phương pháp giải hay phù hợp đối tượng học sinh Minh học cách giải tập sau: Giải : Ta có với ∀ k >1 : ( 2k + − 2k + 1) 4 2.2   = 2< = = = = 2 − ÷ với k 4k 4k − ( 2k − 1) ( 2k + 1) ( 2k − 1) ( 2k + 1) ( 2k − 1) ( 2k + 1)  2k − 2k +  k = , 3, Cho k 2, 3, n ta : 1 1   1 1 1 + + + <  − + − + − ÷<  − ÷< 2 n 2n − 2n +  3 5  2n +  1 1 Do + + + + < + = ( đpcm) n 3 Ví dụ 3: Chứng minh rằng: + Giải:Ta có = = k k 1 + + + > 2 n ( ( ) n + − với ∀n ∈ Z + ) k − k +1 2 > = =2 k − k −1 k+ k k + k +1 ( k +1 − k ) với k =1,2,3 - 13 Khi k = 1,2 , 3, n ta ( ) 1 + + + > 2 − + − + − + + n + − n = 2 n 1 + + + > n + − với ∀n ∈ Z + Vậy + n 1+ ( ( ) n +1 −1 ) */ Bài tập tương tự :( Tham khảo ) 1 1 + + + + < − với n > 2 n n 1 1 b) + + + + < với ∀n ∈ Z + n Chứng minh :a) 1 1 + + + + c) + ( n + 1) n < với ∀n ∈ Z   − ÷ k +1   k Gợi ý giải câu c: Mỗi phân sớ có dạng công thức tổng quát : <  Thay k số 1, 2, 3, vào cơng thức tổng qt , ta có điều phải chứng minh 1   1   1 = k = k − + − ÷= k  ÷ ÷= k ( k + 1) k +1   k k +1   k k +1  ( k + 1) k  k  k  1    − −  + ÷  ÷<  ÷ ÷ k +1   k k +1  k +1   k  k