Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh Trung học phổ thông qua dạy học giải toán về bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacopxki

Mâu thuẫn này đã làm nảy sinh và thúc đẩy một cuộc vận động đổi mới phương pháp dạy học ở tất cả các cấp trong ngành giáo dục với định hướng đổi mới là: phương pháp dạy học cần hướng vào

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

CHUYÊN NGÀNH: Lý luận và phương pháp dạy học (Bộ môn Toán)

Mã số: 601410

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Thành Văn

MỤC LỤC

Lời cảm ơn i

Danh mục kí hiệu viết tắt ii

Danh mục các bảng v

Danh mục các biểu đồ vi

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 9

1.1 Tư duy và tư duy sáng tạo 9

1.1.1 Tư duy 9

1.1.2 Tư duy sáng tạo 11

1.2 Vị trí và chức năng và vai trò của bài tập toán học 16

1.3 Các quy trình giải một bài toán theo bốn bước của Polya 17

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 19

Chương 2 : RÈN LUYỆN TƯ DUY VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI 20

2.1 Bất đẳng thức Côsi 20

2.1.1 Bất đẳng thức Côsi: 20

2.1.2 Một số kĩ thuật thường sử dụng 21

2.2 Bất đẳng thức Bunhiacopxki 50

2.2.1 Bất đẳng thức Bunhiacopxki 50

2.2.2 Một số hệ quả của bất đẳng thức Bunhiacopxki 50

2.2.3 Một số kĩ thuật thường dùng 51

2.3 Các bài toán sáng tạo bất đẳng thức 67

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 72

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 74

3.1 Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 74

3.1.1 Mục đích của thực nghiệm 74

3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 74

3.2 Phương pháp thực nghiệm sư phạm 74

3.3 Nội dung thực nghiệm sư phạm 74

3.3.1 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 74

3.3.2 Đề kiểm tra 75

3.4 Những đánh giá từ kết quả bài giảng và bài kiểm tra 77

3.4.1 Kết quả từ bài giảng 77

3.4.2 Kết quả từ bài kiểm tra của học sinh 77

KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 79

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 80

TÀI LIỆU THAM KHẢO 81

DANH MỤC KÍ HIỆU VIẾT TẮT

BĐT : Bất đẳng thức

GV : Giáo viên

HS : Học sinh THPT : Trung học phổ thông

VT : Vế trái

VP : Vế phải

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 3.1: Kết quả thống kê từ giáo viên về tính khả thi của giờ dạy Bảng 3.2: Tỉ lệ bài trên trung bình và dưới trung bình của học sinh Bảng 3.3: Tỉ lệ bài khá, giỏi của học sinh

DANH MỤC BIỂU ĐỒ

Biểu đồ 3.1: Kết quả bài kiểm tra, đánh giá của học sinh

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Nước ta đang trong giai đoạn công nghiệp hóa, hiện đại hóa và hội nhập với cộng đồng quốc tế Trong sự nghiệp đổi mới toàn diện của đất nước, đổi mới giáo dục là trọng tâm của sự phát triển Nhân tố quyết định thắng lợi của công cuộc công nghiệp hóa, hiện đại hóa và hội nhập quốc tế là con người Công cuộc đổi mới này đòi hỏi nhà trường phải tạo ra những con người lao động năng động, sáng tạo để làm chủ đất nước, tạo nguồn nhân lực cho xã hội phát triển

Luật giáo dục nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam năm 2005 đã quy định

“Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên.” [13]

Những quy định trên phản ánh nhu cầu đổi mới phương pháp giáo dục để giải quyết mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con người mới với phương pháp giáo dục của nước ta hiện nay Mâu thuẫn này đã làm nảy sinh và thúc đẩy một cuộc vận động đổi mới phương pháp dạy học ở tất cả các cấp trong ngành giáo dục với định hướng đổi mới là: phương pháp dạy học cần hướng vào việc tổ chức cho người học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo

Nhìn chung, tư tưởng chủ đạo của phương pháp đổi mới là: tập trung vào các hoạt động của trò; trò tự nghiên cứu, tìm tòi, khám phá; tăng cường giao lưu trao đổi giữa trò và trò

Vấn đề rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh đã được khá nhiều người quan tâm nghiên cứu Tuy nhiên, việc khai thác và ứng dụng những lí luận này vào thực

tế giảng dạy môn toán ở các trường phổ thông nước ta còn nhiều hạn chế vì hầu hết giáo viên chưa thấy được tác dụng to lớn của phương pháp này nên chưa được coi trọng và áp dụng vào thực tế Ngoài ra, giáo viên cũng chưa có nhiều kinh nghiệm

và thiếu những cơ sở lí luận để xây dựng các hoạt động tương thích với nội dung , chưa được huấn luyện một cách có hệ thống, chưa có điều kiện để thực hiện,… Bất đẳng thức là một lĩnh vực khó trong chương trình toán phổ thông nhưng cũng là một phần toán sơ cấp đẹp và thú vị Trong các kì thi tuyển sinh đại học, thi

học sinh giỏi, các bài toán bất đẳng thức hay được đề cập và là một thử thách thực

sự với các thí sinh

Xuất phát từ những lí do trên, tôi chọn nghiên cứu đề tài “Rèn luyện tư duy

sáng tạo cho học sinh THPT qua dạy học giải toán về bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacopxki”

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lí luận của việc rèn tư duy

- Nghiên cứu một số kỹ năng áp dụng bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức

Bunhiacopxki vào chứng minh bất đẳng thức

- Xây dựng hệ thống bài tập về bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacopxki

- Thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi của đề tài, trên cơ sở đó đưa ra

giải pháp nhằm nâng cao chất lượng dạy học toán, góp phần tích cực vào công cuộc đổi mới phương pháp dạy học toán ở trường phổ thông hiện nay

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Các nhiệm vụ nghiên cứu:

- Làm rõ cơ sở lí luận về tư duy, tư duy sáng tạo và rèn tư duy

- Xây dựng hệ thống bài tập có nội dung thuận lợi cho việc rèn tư duy

- Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài

4 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu nội dung bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacopxki trong chương trình Toán THPT

5 Giả thuyết khoa học

Nếu xây dựng được hệ thống bài tập về bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacopxki với nội dung kiến thức phong phú, sâu sắc và GV biết khai thác triệt

để các bài tập đó để rèn luyện tư duy cho HS (rèn năng lực quan sát, rèn các thao tác tư duy, rèn năng lực tư duy độc lập, sáng tạo,… ) thì năng lực tư duy của HS sẽ phát triển

6 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận

- Nghiên cứu tài lí luận về tư duy, tư duy sáng tạo và tư duy toán học

- Nghiên cứu sách giáo khoa, sách giáo viên, sách nâng cao, sách chuẩn kiến thức

có liên quan đến bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacopxki

Nghiên cứu thực tiễn

- Dự giờ, tổng kết, rút kinh nghiệm khi dạy theo chủ đề này

- Phỏng vấn, điều tra ý kiến của học sinh, giáo viên về việc dạy và học phần này

- Thực nghiệm sư phạm và thống kê

7 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3 chương

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2 Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc dạy học giải một

số bài toán về bất đẳng thức Cô si và bất đẳng thức Bunhiacopxki

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính, bản chất mối liên

hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiên tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết [11]

Theo từ điển triết học: “Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lí luận Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt động sản xuất xã hội của con người và đảm bảo phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật Tư duy chỉ tồn tại trong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài người cho nên tư duy của con người được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và những kết quả của tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ Tiêu biểu cho tư duy là quá trình trừu tượng hóa, phân tích và tổng hợp Kết quả của quá trình

tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó.”

1.1.1.2 Các thao tác của tư duy

a Phân tích

Là quá trình tách các sự vật, hiện tượng tự nhiên của hiện thực với các dấu hiệu và thuộc tính của chúng cũng như các mối liên hệ và quan hệ giữa chúng theo một hướng xác định Xuất phát từ góc độ phân tích, các hoạt động tư duy đi sâu vào bản chất thuộc tính của bộ phận từ đó đi tới những giả thiết và những kết luận khoa học Trong học tập, hoạt động này rất phổ biến

Là hoạt động nhận thức phản ánh của tư duy biểu hiện trong việc xác lập tính thống nhất của các phẩm chất, thuộc tính của các yếu tố trong một sự vật nguyên vẹn có thể có được trong việc xác định phương hướng thống nhất và xác định các mối liên hệ, các mối quan hệ giữa các yếu tố của sự vật nguyên vẹn đó trong việc liên kết và liên hệ giữa chúng và chính vì vậy đã thu được một sự vật và hiện tượng nguyên vẹn mới Như vậy, tư duy tổng hợp cũng được phát triển từ sơ đẳng đến phức tạp với khối lượng lớn Phân tích và tổng hợp không phải là hai phạm trù riêng

rẽ của tư duy Đây là hai quá trình có mối quan hệ biện chứng Phân tích để tổng hợp có cơ sở và tổng hợp để phân tich đạt được chiều sâu bản chất sự vật hiện tượng Sự phát triển của phân tích và tổng hợp là đảm bảo hình thành của toàn bộ tư duy và các thao tác tư duy của học sinh

c So sánh

Là quá trình dùng trí óc để xác định sự giống nhau hay khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các sự vật, hiện tượng của hiện thực Trong hoạt động tư duy của học sinh thì so sánh giữ vai trò tích cực

d Trừu tượng hóa và khái quát hóa

Trừu tượng hóa là quá trình dùng trí óc để gạt bỏ đi những mặt, những thuộc tính, những mối liên hệ, quan hệ thứ yếu, không cần thiết về phương diện nào đó và chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết để tư duy

Khái quát hóa là quá trình dùng trí óc để bao quát nhiều đối tượng khác nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính, những mối liên hệ, quan hệ chung nhất dịnh Những thuộc tính này bao gồm hai loại: những thuộc tính giống nhau và những thuộc tính chung bản chất

Khái quát hóa và trừu tượng hóa có mối liên hệ mật thiết với nhau, chi phối

và bổ sung cho nhau, giống như mối quan hệ giữa phân tích và tổng hợp nhưng ở mức độ cao hơn

Trên đây là những thao tác tư duy cơ bản Khi xem xét chúng trong một hành động tư duy cụ thể cần chú ý mấy điểm sau:

Thứ nhất, các thao tác tư duy có mối quan hệ mật thiết vói nhau, thống nhất với nhau theo một hướng nhất định, do nhiệm vụ của tư duy quy định

Thứ hai, trong thực tế, các thao tác tư duy đan chéo nhau chứ không theo trình tự máy móc nêu trên

Cuối cùng tùy theo nhiệm vụ và điều kiện tư duy, không nhất thiết hành động tư duy nào cũng phải thực hiện đầy đủ các thao tác trên

1.1.2 Tư duy sáng tạo

1.1.2.1 Khái niệm tư duy sáng tạo

Theo định nghĩa trong từ điển thì sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết vấn đề mới không gò bó và phụ thuộc vào cái đã có Nội dung của sáng tạo gồm hai

ý chính là có tính mới (khác cái cũ, cái đã biết) và có lợi ích (giá trị hơn cái cũ) Sáng tạo cần được nghiên cứu trên nhiều phương diện như là một quá trình phát sinh cái mới trên nền tảng cái cũ, như một kiểu tư duy, như là một năng lực của con người

Các nhà nghiên cứu đã đưa ra nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sáng tạo Theo Nguyễn Bá Kim: “Tính linh hoạt, tính độc lập, tính phê phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác sáng tạo của tư duy sáng tạo Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ” [11]

Theo Tôn Thân quan niệm: “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập tạo

ra ý tưởng mới, độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao” Và theo tác giả “tư duy sáng tạo là tư duy độc lập và nó không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích, vừa trong việc tìm giải pháp” Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đều mang rất đậm dấu ấn của mỗi cá nhân đã tạo

ra nó [10]

Nhà tâm lí học người Đức Mehlow cho rằng:”Tư duy sáng tạo là hạt nhân của sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục” Theo ông, tư duy sáng tạo được đặc trưng bởi mức độ cao của chất lượng, hoạt động trí tuệ như tính mềm dẻo, tính chính xác, tính nhạy cảm, tính kế hoạch Trong khi đó, J.DanTon lại cho rằng: “Tư duy sáng tạo đó là những năng lực tìm thấy những ý nghĩa mới, tìm thấy những mối quan hệ, là một chức năng của kiến thức, trí tưởng

phiêu lưu bao gồm những điều như: sự khám phá, sự phát sinh, sự đổi mới, trí tưởng tượng, sự thí nghiệm, sự thám hiểm”

Trong cuốn “Sáng tạo toán học”, G.Polya cho rằng: “Một tư duy gọi là có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó Có thể coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau này Các bài toán vận dụng phương tiện và tư liệu này có số lượng càng lớn, có dạng muôn màu muôn vẻ thì mức độ sang tạo của tư duy càng cao ”[14]

Qua những định nghĩa của các tác giả trên chúng ta đều nhận thấy nét phổ biến nhất của tư duy sáng tạo là tư duy sáng tạo ra cái mới Thật vậy, tư duy sáng tạo dẫn đến những tri thức mới về thế giới, về các phương thức hoạt động Lene đã chỉ ra các thuộc tính sau của tư duy sáng tạo:

- Có sự tự lực chuyển các tri thức và kĩ năng sang một tình huống sáng tạo

- Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết “đúng quy cách”

- Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết

- Nhìn thấy cấu tạo của đối tượng đang nghiên cứu

- Kỹ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm hiểu lời giải

- Kỹ năng sáng tạo ra một phương pháp giải độc đáo tuy đã biết nhưng theo một phương thức khác

Có thể nói đến tư duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá, tự tìm cách chứng minh mà học sinh đó chưa biết đến Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề, tư duy sáng tạo giải quyết mâu thuẫn tồn tại trong tình huống đó với hiệu quả cao, thể hiện ở tính hợp lí, tiết kiệm, tính khả thi và cả ở vẻ đẹp của giải pháp

1.1.2.2 Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo

Theo nghiên cứu của các nhà tâm lí học, giáo dục học, về cấu trúc của tư duy sáng tạo, có năm đặc trưng cơ bản sau:

Tính mềm dẻo

Tính mềm dẻo của tư duy là năng lực dễ dàng đi từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, từ thao tác tư duy này sang thao tác tư duy khác, vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa,

cụ thể hóa và các phương pháp suy luận để dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại Suy nghĩ không

rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc các kiến thức kỹ năng đã có sẵn vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới, trong đó những yếu tố đã thay đổi, có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh nghiệm, những phương pháp, những cách suy nghĩ từ trước Đó là nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết

Như vậy, tính mềm dẻo là một trong những đặc điểm cơ bản của tư duy sáng tạo Do đó, để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh ta có thể cho các em giải các bài tập mà thông qua đó rèn luyện được tính mềm dẻo của tư duy

Tính nhuần nhuyễn

Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cách nhanh chóng

sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các tình huống, hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới Các nhà tâm lí học rất coi trọng yếu tố chất lượng của ý tưởng sinh ra, lấy đó làm tiêu chí để đánh giá sáng tạo

Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất định các ý tưởng Số ý tưởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất hiện ý tưởng độc đáo, trong trường hợp này số lượng làm nảy sinh chất lượng Tính nhuần nhuyễn còn thể hiện rõ nét ở 2 đặc trưng sau:

Một là tính đa dạng của các cách xử lí khi giải toán, khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau Đứng trước một vấn đề giải quyết, người cố tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuất được nhiều phương án tối ưu

Hai là khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau, có cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tượng chứ không phải cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc

Tính độc đáo

Tính độc đáo của tư duy được đặc trưng bởi các khả năng:

- Khả năng tìm ra những hiện tượng và những kết hợp mới

- Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện mà bên ngoài liên tưởng

như không có liên hệ với nhau

- Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác

Các yếu tố cơ bản trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có mối quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau Tính mềm dẻo của tư duy sáng tạo tạo điều kiện cho việc tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau và nhờ đó đề xuất được nhiều phương án khác nhau mà có thể tìm được giải pháp lạ, đặc sắc Các yếu tố này có quan hệ khăng khít với các yếu tố khác như: tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề Tất cả các yếu tố đặc trưng nói trên cùng góp phần tạo nên tư duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của cin người

- Khả năng nhanh chóng phát hiện vấn đề

- Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu từ đó có nhu

cầu cấu trúc lại, tạo ra cái mới

Các yếu tố cơ bản của tư duy sáng tạo nêu trên đã biểu hiện khá rõ ở học sinh nói chung và đặc biệt rõ nét đối với học sinh khá giỏi Trong học tập Toán mà cụ thể là hoạt động giải toán, các em đã biết di chuyển, thay đổi các hoạt động trí tuệ, biết sử dụng xen kẽ phân tích và tổng hợp, dùng phân tích khi tìm tòi lời gải và dùng tổng hợp để trình bày lời giải Ở học sinh khá giỏi cũng có sự biểu hiện các yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo Điều quan trọng là người giáo viên phải có phương pháp dạt học thích hợp để có thể bồi dưỡng và phát triển tốt hơn năng lực sáng tạo ở các em

1.1.2.3 Một số việc cần làm để phát triển tư duy toán học cho học sinh

Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo

Trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý bồi dưỡng từng yếu tố của tư duy sáng tạo: tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo Có thể khái thác nội dung các vấn đề giảng dạy, đề xuất các câu hỏi thông minh nhằm giúp học sinh lật đi lật lại vấn đề theo các khía cạnh khác nhau để học sinh nắm thật vững bản chất các

khái niệm, các mệnh đề, tránh được lối học thuộc lòng máy móc và vận dụng thiếu sáng tạo

Sử dụng từng loại câu hỏi và bài tập tác động đến từng yếu tố của tư duy sáng tạo như: những bài tập có cách giải riêng đơn giản hơn là việc áp dụng công thức tổng quát, những bài tập có nhiều lời giải khác nhau đòi hỏi học sinh phải biết chuyển từ phương pháp này sang phương pháp khác, những bài tập có những vấn đề thuận nghịch đi liền với nhau, song song với nhau, giúp việc hình thành các liên tưởng ngược xảy ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận, những bài toán không theo mẫu, không đưa được về các loại giải toán bằng cách áp dụng các định lí, quy tắc trong chương trình…

Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề, khơi dậy những ý tưởng mới

Về giảng dạy lý thuyết, cần tận dụng phương pháp tập dượt nghiên cứu, trong

đó giáo viên đưa ra các tình huống có vấn đề dẫn dắt học sinh tìm tòi, dự đoán được những quy luật của thế giới khách quan, tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề, dự đoán được các kết quả, tìm được hướng giải của một bài toán, hướng chứng minh một định lý Nói cách khác là tăng cường cả hai bước suy đoán và suy diễn trong quá trình dạy toán

Về thực hành giải toán, cần coi trọng các bài tập trong đó chưa rõ điều phải chứng minh, học sinh phải tự xác lập, tự tìm tòi để phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề

Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cần kết hợp hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác

Việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần được tiến hành trong mối quan hệ hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác như: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, trừu tượng hóa, đặc biệt hóa, hệ thống hóa trong đó phân tích và tổng hợp đóng vai trò nền tảng

Để bồi dưỡng tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn của tư duy, học sinh cần được luyện tập thường xuyên năng lực tiến hành phân tích đồng thời với tổng hợp để nhìn thấy đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau trong những mối quan hệ khác nhau Trên cơ sở so sánh các trường hợp riêng lẻ, dùng phép tương tự hóa để chuyển từ

thiết với trừu tượng hóa, làm rõ mối quan hệ chung riêng giữa mệnh đề xuất phát và mệnh đề tìm được bằng đặc biệt hóa và hệ thống hóa, ta có thể luyện tập cho học sinh khái quát hóa tài liệu toán học, tạo khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau, khả năng tìm ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng như không có liên hệ với nhau, khả năng tìm ra giải pháp lạ hoặc duy nhất Các hoạt động này góp phần bồi dưỡng tính nhuần nhuyễn cũng như tính độc đáo của tư duy

1.1.3 Vị trí và chức năng và vai trò của bài tập toán học

1.1.3.1 Vị trí

Bài tập toán học có vai trò đặc biệt quan trọng trong môn Toán ở trường phổ thông Giải bài tập toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện những hoạt động như nhận dạng, thể hiện các khái niệm, định nghĩa, định lí, qui tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ chung, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học

Giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học, giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo và ứng dụng toán học vào thực tiễn

1.1.3.2 Chức năng và vai trò của bài tập toán học

Chức năng của bài tập toán học là: dạy học, giáo dục, phát triển và kiểm tra Vai trò của bài tập toán thể hiện ở cả ba bình diện: mục đích, nội dung và phương pháp của quá trình dạy học Cụ thể là:

Về mặt mục đích dạy học: bài tập toán thể hiện những chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện mục đích dạy học của môn toán như:

- Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, kỹ năng ứng dụng toán học ở

những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học

- Phát triển năng lực trí tuệ chung: rèn luyện các thao tác tư duy, hình thành các

phẩm chất trí tuệ

- Hình thành, bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng cũng như những

phẩm chất đạo đức của người lao động mới

Về mặt nội dung dạy học, bài tập toán là một phương tiện để cài đặt nội dung dưới dạng tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho tri thức đã học ở phần

lý thuyết

Về mặt phương pháp dạy học, bài tập toán là giá mang những hoạt động để HS kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục đích dạy học khác nhau Khai thác tốt bài toán như vậy sẽ góp phần tổ chức tốt cho HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu

Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán được sử dụng với những dụng ý khác nhau Về phương pháp dạy học, đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra…Đặc biệt về mặt kiểm tra, bài tập toán là phương tiện không thể thay thế để đánh giá mức độ tiếp thu kiến thức, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển tư duy của HS cũng như hiệu quả giảng dạy của

GV

1.1.4 Các quy trình giải một bài toán theo bốn bước của Polya

Theo Polya (1975), phương pháp chung cho quá trình tìm lời giải bài toán gồm bốn bước

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

Để tìm hiểu nội dung bài toán, HS cần thực hiện các thao tác: phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán; phân biệt cái đã cho

và cái phải tìm, phải chứng minh; dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ việc diễn tả đề bài

Qua các bước ở trên ta thấy, việc đánh giá được dữ kiện có thỏa mãn không, thừa hay thiếu…đã bước đầu thể hiện tư duy sáng tạo Nếu làm tốt được bước này thì việc giải bài toán có thể rất thuận lợi để tìm được lời giải đúng

Bước 2: Tìm cách giải

Để tìm được cách giải, HS cần thực hiện những hoạt động sau:

Tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán như: biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với bài toán cũ

có liên quan, sử dụng phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích…

Kiểm tra lời giải bằng cách xem kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan Tìm thêm cách giải khác, so sánh và chọn ra cách giải hợp lí nhất

Thực hiện được các hoạt động ở bước 2, tư duy sáng tạo đã được thể hiện ở mức độ cao hơn Chẳng hạn việc liên hệ một bài toán liên quan hay tổng quát chính

là sự thể hiện tư duy sáng tạo

Bước 3: Trình bày lời giải

Trong quá trình tìm kiếm cách giải, học sinh thường phải áp dụng thao tác mò mẫm dự đoán Do đó, có thể còn có những ý tưởng, những thao tác chưa trọn vẹn, còn rườm rà phức tạp, thậm chí sai xót…, những suy luận dài dòng Như vậy, việc chỉnh sửa những ý tưởng, thao tác hay suy luận là cần thiết

Hơn nữa, thực tế cho thấy có nhiều học sinh đã hiểu rõ con đường giải toán nhưng lại không thể trình bày một lời giải đúng Vì vậy, ngoài việc tìm tòi lời giải bài toán, cần rèn luyện cho học sinh cách trình bày một lời giải sao cho ngắn gọn, đầy đủ và chính xác Trong bước này, cần chú ý sử dụng các kí hiệu, ngôn ngữ toán học một cách thích hợp và chính xác

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

Trong quá trình giải toán nên cho học sinh biết các nội dung của logic hình thức một cách có ý thức, xem như vốn thường trực quan trọng để làm việc với toán học cũng như để sử dụng trong quá trình học tập liên tục, thường xuyên Để thực hiện điều này, sau khi giải xong mỗi bài toán, cần có phần nhìn lại phương pháp đã

sử dụng, dần dần những hiểu biết về logic hình thức sẽ thâm nhập vào ý thức học sinh

Nên hệ thống hóa các bài toán có liên quan với một chủ đề hay một mô hình nào đấy để học sinh thấy được những tính chất đa dạng thông qua các chủ đề và mô hình đó, cũng là cơ sở quan trọng để phát triển tư duy sáng tạo trong quá trình hạt động và nghiên cứu

CHƯƠNG 2 RÈN LUYỆN TƯ DUY VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CÔ

SI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI 2.1 Bất đẳng thức Côsi

Côsi để chứng minh các bài toán về bất đẳng thức hoàn toàn phụ thuộc vào sự linh hoạt của người sử dụng và kĩ thuật chọn các số a a1, , ,2 a n

2.1.2 Một số kĩ thuật thường sử dụng

2.1.2.1 Kĩ thuật cân bằng hệ số

Trong bất đẳng thức, “kĩ thuật cân bằng hệ số” hay “kĩ thuật chọn điểm rơi”

là một kĩ thuật quan trọng Ý tưởng của kĩ thuật này chính là việc xác định được dấu đẳng thức xảy ra khi nào để có thể sử dụng được những đánh giá hợp lí Ta hãy mở đầu bằng một ví dụ đơn giản sau:

Ví dụ 1: Với a b c , , 0thỏa mãn ab bc ca   1 Chứng minh rằng: 3 3 3 1

Phân tích và định hướng lời giải

Biểu thức dưới dấu căn bậc 3 là một tích của 2 thừa số Để sử dụng được BĐT Côsi ta cần viết:

Nói khác đi, ta đã thêm vào thừa số 1 ( hằng số ở đây là 1 )

Khi đó, theo BĐT Côsi, ta có:

3 1

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c   1.

Từ hai ví dụ trên, ta xây dựng phương pháp giải cho dạng toán này như sau: Bước 1: Cho a b c  , thay vào điều kiện để xác định a b c, ,

Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi với n 2,3, 4,5 cùng với các số hạng hằng số

đã xác định ở bước 1 để mô tả điều kiện hoặc biểu thức cần chứng minh

Phương pháp trên được gọi là phương pháp thêm bớt hệ số khi sử dụng BĐT Côsi Vấn đề quan trọng ở chỗ cần chọn hằng số như thế nào để có thể áp dụng được BĐT Côsi vào BĐT cần chứng minh Đồng thời phải chọn đúng hệ số khi ghép cặp để đẳng thức có thể xảy ra được

Ví dụ 3: Với x 1 Hãy tìm gía trị nhỏ nhất của biểu thức 3 1 .

2

x

Phân tích và định hướng lời giải

Lời giải sai: sử dụng Côsi dạng a b  2 ab, dễ thấy: 3 1 2 3 1 6.

Vậy ta có kết luận min y  6.

Nguyên nhân của lời giải sai: Lời giải trên sai vì trong đánh giá trên, dấu bằng của bài toán chỉ xảy ra khi 3 1

2

x x

Dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi x 1 Để bảo toàn dấu bằng khi sử dụng BĐT Côsi, ta chọn hằng số  sao cho 1

2

x x

Phân tích và định hướng lời giải

Dự đoán dấu của đẳng thức xảy ra khi

3

2 3

Từ đó, để bảo toàn đƣợc dấu bằng cho bài toán, ta sẽ đánh giá nhƣ sau:

Bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại thành:

2

3 a b  3 b c  3 c a Tới đây, ta sử dụng BĐT Côsi dạng

Phân tích và định hướng lời giải

a) Ý tưởng đầu tiên chúng ta nghĩ tới là làm thế nào để phá bỏ được lớp căn thức ở vế trái ( vì biểu thức vế phải không chứa căn) Một cách tự nhiên, ta nhớ lại BĐT Côsi bộ hai số dạng: .

Cộng vế với vế 2 BĐT trên ta suy ra được điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi 1 1 2

BĐT này có thể viết lại thành:

Phân tích và định hướng lời giải Sai lầm thường gặp: Sử dụng BĐT Côsi, ta có

2 1 2 , 2 1 2 , 2 2 2

Cộng 3 BĐT trên lại và rút gọn ta được: x2 y2     1 x y xy  8 x2 y2  7. Vậy min P 7.

Nhận xét: Lời giải trên là sai vì ta chỉ chứng minh được P 7chứ không phải P 7 Thật vậy, nếu xét tới dấu bằng thì để thỏa mãn những đánh giá trên, ta phải có:

 , điều này là không thể xảy ra Lưu ý rằng khi khi kết luận giá trị lớn

nhất, nhỏ nhất của một biểu thức thì nhất định phải chỉ ra được sự tồn tại của dấu bằng

Lời giải đúng: Theo Cô si có:  2 2

Trên đây, chúng ta đã được tiếp xúc với những bài toán mà ở đó việc dự đoán dấu đẳng thức được thực hiện khá dễ dàng Tuy nhiên, trên thực tế việc giải một bài toán không phải lúc nào cũng suôn sẻ như vậy Có những bài toán mà nếu chỉ bằng quan sát và cảm nhận thì ta không thể nào dự đoán được dấu bằng sẽ xảy

ra khi nào Trong những trường hợp như thế, ta thường giả định dấu bằng sẽ đạt được tại một bộ số nào đó rồi bằng những suy luận thích hợp, ta tìm cách đánh giá

và chọn lựa bộ số thích hợp Để rõ hơn, ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 7: Cho các số thực x y z, , thỏa mãn xy yz xz   1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2 y2  2 z2

Phân tích và định hướng lời giải

Để tìm được giá trị nhỏ nhất của P, ta mong muốn một BĐT dạng

x y  z k xy yz zx 

Để từ đó sử dụng giả thiết xy yz zx   1 và suy ra kết quả nếu dấu bằng có thể xảy

ra Đây là một BĐT quá quen thuộc, ta chỉ việc ghép cặp rồi sử dụng BĐT Côsi

là dựa trên hai yếu tố:

Thứ nhất, vế trái có dạng tổng các bình phương còn vế phải có dạng tổng của các tích Chính điều đó đã gợi cho ta nghĩ đến việc sử dụng đánh giá quen thuộc

Thứ hai, dấu đẳng thức xảy ra khi x y z 

Như vậy, muốn áp dụng kĩ thuật tương tự vào bài toán này, ta cần biết dấu đẳng thức xảy ra khi nào Tuy nhiên, việc quan sát bài toán chỉ cho ta một dữ kiện duy nhất, đó là khi P đạt min thì x y do vai trò đối xứng của chúng, có nghĩa là ta vẫn chưa biết giá trị cụ thể của x y z, , là bao nhiêu

Lúc này, ta làm như sau: giả sử rằng P đạt giá trị nhỏ nhất khi:

22

32

x y xy

b y a z abyz

a z b x abzx

Điều ta mong muốn ở đây là có thể tận dụng được giả thiết xy yz zx   1

Do đó, nếu cộng vế với vế của các BĐT trên lại với nhau thì ta vẫn chưa thu được điều gì vì hệ số của xy yz xz, , chưa bằng nhau nên ta vẫn chưa sử dụng được giả thiết Như vậy, ta cần thêm một bước chuyển nhỏ để đưa hệ số của xy yz xz, , về bằng nhau, đó là nhân cả 2 vế của (1) với ab, khi đó:

 2 2  

4 2

Đến đây, nếu ta chọn các số a b, sao cho hệ số của z2 gấp 2 lần hệ số của

Cộng 3 BĐT trên lại theo vế, ta được:

Phân tích và định hướng lời giải

Quan sát bài toán, điều trước tiên mà ta thấy được đó là có thể dự đoán ngay được giá trị nhỏ nhất của P sẽ đạt được khi a b (do vai trò đối xứng của chúng) Giả thiết của bài toán liên quan đến những biểu thức bậc nhất, còn P lại có lũy thừa

2 và 3, do vậy ta nghĩ ngay đến việc sử dụng Côsi để chuyển biểu thức này về dạng bậc nhất Điều đáng nói ở đây là ta không thể dự đoán được dấu bằng của bài toán xảy ra khi nào Do vậy, cách tốt nhất là ta sử dụng giả định

Giả sử tại a b x   0,c y  0 thì P đạt giá trị nhỏ nhất Khi đó 2x y  3 Đến đây, sử dụng BĐT Côsi, ta có:

Khi đứng trước một bài toán, điều mà ta mong muốn là làm sao để có thể tận dụng được tối đa giả thiết của đề bài Do đó, ý tưởng của bài toán này là chọn các số ,

x y thích hợp sao cho ta có thể sử dụng được giả thiết Muốn vậy thì hệ số của

Bài 3 Với a b c, , là những số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c   3 Chứng minh rằng P a2 26 b2 26 c2 26 3

Bài 5 Với a b c , , 0, chứng minh rằng 3 3 3  

c c

Cộng vế với vế 3 BĐT trên ta đƣợc điều cần chứng minh

Bài 6 Với a b c, ,  0,a4 b4 c4  3, chứng minh rằng ab2 bc2  c a2  4

Cộng vế với vế 3 BĐT trên ta thu đƣợc BĐT cần chứng minh

Bài 7 Với a 10,b 100,c 1000 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Cộng vế với vế 3 BĐT trên ta thu đƣợc điều phải chứng minh

Bài 9 Với a0,b0,c3,a b c  6 Chứng minh rằng 27

Cộng vế với vế các BĐT trên ta đƣợc điều phải chứng minh

Bài 12 Với x2,y3,z4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

z z

 



Dấu bằng xảy ra tại x4,y6,z8

Bài 13 Với x y z, , là các số thực dương thỏa mãn 1 1 1 3

Bài 15 Với x y z, , là các số thực dương thỏa mãn 1 x 1 y 1 z 0

2.1.2.2 Kĩ thuật Côsi ngược dấu

Đây là một trong các phương pháp dùng bất đẳng thức Côsi đặc biệt hữu hiệu với những bài toán nếu vội vàng áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi từ đầu sẽ đi đến dạng sau: A B C  Vì thế, không thể kết luận gì về mối quan hệ giữa BĐT A

và C Sử dụng kĩ thuật Côsi ngược sẽ tránh được điều này Kĩ thuật Côsi ngược dấu được áp dụng dựa vào tính chất:

Ta xét các ví dụ minh họa sau:

Ví dụ 1: Cho 3 số dương a b c, , thỏa mãn a b c   3 Chứng minh rằng

Phân tích và định hướng lời giải

Ở bài toán này, nếu sử dụng BĐT Côsi kiểu 2

Hoàn toàn tương tự, ta có

Nếu ta chỉ ra được ab bc ca   3 thì sẽ có điều cần chứng minh

Điều này hiển nhiên đúng vì  2

3 3

a b c

Vậy bài toán đã được chứng minh xong Dấu bằng xảy ra khi a b c   1

Ví dụ 2: Cho a b c, , là các số thực dương Chứng minh rằng

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c   1

Ví dụ 5: Với x y z, ,  0,x y z   3 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức