Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh qua các bài toán về phương trình và hệ phương trình ở trường trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC NGUYỄN TUẤN PHƯƠNG RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH QUA CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN TUẤN PHƯƠNG

RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH

QUA CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHAM TOÁN

HÀ NỘI - 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN TUẤN PHƯƠNG

RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH

QUA CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHAM TOÁN

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 60 14 10

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu trườngĐại học Giáo dục-Đại học Quốc gia Hà Nội, các thầy cô giáo trong nhà trường

và các thầy cô giáo giảng dạy cao học chuyên ngành Lý luận và phương phápdạy học bộ môn Toán đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập

DANH MỤC KÍ HIỆU VÀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn i

Danh mục các kí hiệu viết tắt ii

Mục lục iii

Danh mục các bảng vi

Danh mục các hình vii

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Tư duy 5

1.2 Tư duy sáng tạo 6

1.3 Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo 9

1.3.1 Tính mềm dẻo 9

1.3.2 Tính nhuần nhuyễn 11

1.3.3 Tính độc đáo 21

1.3.4 Tính hoàn thiện 22

1.3.5 Tính nhạy cảm vấn đề 25

1.3.6 Vận dụng tư duy biện chứng để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh 28

1.4 Tiềm năng của các bài toán về phương trình và hệ phương trình trong việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh 30

1.5 Kết luận chương 1 32

Chương 2: MỘT SỐ NỘI DUNG DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THEO ĐỊNH HƯỚNG RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH 33

2.1 Giới thiệu hệ thống kiến thức về phương trình và hệ phương trình 33

2.2 Sơ lược các dạng bài tập và phương pháp giải phương trình và hệ phương trình 36

2.2.1 Phương trình đa thức, phân thức 36

2.2.2 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 37

2.2.3 Phương trình vô tỷ 38

2.2.4 phương trình mũ và logarit 39

2.2.5 Phương trình lượng giác 40

2.2.6 Hệ phương trình 40 2.3 Vận dụng một số quan điểm triết học duy vật biện chứng vào việc

tìm tòi lời giải toán phương trình và hệ phương trình 40

2.3.1 Khai thác mối quan hệ nguyên nhân và kết quả để định hướng tìm lời giải 41

2.3.2 Khai thác mối quan hệ cái chung và cái riêng trong việc tìm tòi lời giải lời giải bài toán và sáng tạo bài toán mới 44

2.3.3 Khai thác mối quan hệ giữa nội dung và hình thức để quy các bài toán lạ về quen 47

2.4 Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh qua các bài toán về phương trình và hệ phương trình giải bằng phương pháp đánh giấ giá trị hai vế 49

2.4.1 Nội dung của phương pháp đánh giá giá trị hai vế 49

2.4.2 Ví dụ minh hoạ 49

2.5 Khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải cho một phương trình, hệ phương trình 54

2.6 Rèn luyện tư duy sáng tạo thông qua việc hướng dẫn học sinh xây dựng phương trình và hệ phương trình mới 66

2.6.1 Xây dựng phương trình giải được bằng cách đưa về hệ phương trình 66

2.6.2 Xây dựng phương trình mới từ phương trình bậc hai cho trước 72

2.6.3 Xây dựng phương trình và hệ phương trình đại số bằng số phức 73

2.6.4 Xây dựng phương trình lượng giác từ những đẳng thức lượng giác đặc biệt 77

2.7 Chuyển việc tìm tòi lời giải phương trình và hệ phương trình về các bài toán hình học 79

2.7.1 Phương pháp đồ thị 79

2.7.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình bằng toạ độ vectơ trong mặt phẳng 84

2.7.3 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình bằng toạ độ vectơ trong không gian 89

2.8 Rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề và tư duy biện chứng cho học sinh thông qua hoạt động tìm tòi cái mới khi giải phương trình và hệ phương trình 95

2.9 Rèn luyện tư duy sáng tạo thông qua việc tập cho học sinh làm quen dần với nghiên cứu toán học 100

2.10 Kết luận chương 2 105

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 106

3.1 Mục đích thực nghiệm 106

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 106

3.2.1 Tổ chức thực nghiệm 106

3.2.2 Nội dung thực nghiệm 107

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 109

3.3.1 Đánh giá định tính 109

3.3.2 Đánh giá định lượng 110

3.3.3 Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm 112

KẾT LUẬN 113

TÀI LIỆU THAM KHẢO 114

vi

DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU

Bảng 2.1: Các hệ thức về độ dài vectơ……… 85 Bảng 3.1: Thống kê kết quả kiểm tra sau thực nghiệm……… 111 Biểu đồ 3.1: Kết quả kiểm tra sau thực nghiệm ……… 111

Hình 2.3: Biểu diễn trên hệ trục tọa độ đường tròn

9

u v  và đường thẳng u   v 1 1 2 m ……… 58 Hình 2.4: Bảng biến thiên của hàm số f x( ) 2xx2 với 0 x2 ……… 63 Hình 2.5: Miền mặt phẳng tọa độ chia bởi đường thẳng x2y 4 0…… 80Hình 2.6: Đồ thị hàm số y  2 | x | x 2 ……… 81Hình 2.7: Đường thẳng x y k và nửa đường tròn x2 y2 1……… 82Hình 2.8: Minh họa ví dụ 2.7.3……… 83Hình 2.9: Qui trình sử dụng tọa độ vectơ để giải phương trình dạng thứ nhất 85 Hình 2.10: Qui trình sử dụng tọa độ vectơ để giải phương trình dạng thứ hai… 86

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Nghị quyết trung ương Đảng khoá VII đã nhận định rằng: “Con người đượcđào tạo thường thiếu năng động, chậm thích nghi với nền kinh tế xã hội đang đổimới”, từ đó chỉ đạo chúng ta phải đổi mới giáo dục và đào tạo, đổi mới phươngpháp giáo dục Điều 24.2 trong Luật Giáo dục ghi rõ: “Phương pháp giáo dụcphổ thông phải phát huy tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp vớiđặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện

kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềmvui, hứng thú học tập cho học sinh ”

Nghị quyết Trung ương 2 khoá VIII đã khẳng định: “Phải đổi mới phươngpháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp

tư duy sáng tạo của người học Từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến vàphương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tựhọc, tự nghiên cứu cho học sinh, nhất là sinh viên đại học”

Những qui định này phản ánh nhu cầu đổi mới phương pháp giáo dục hiệnnay nhằm đào tạo những con người có đủ trình độ và kĩ năng tham gia quá trìnhcông nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước Xã hội ngày nay đang phát triển với tốc

độ chóng mặt, lượng thông tin bùng nổ Cùng với đó, nó đòi hỏi con người phải

có tính năng động và có khả năng thích nghi cao với sự phát triển mạnh mẽ vềmọi mặt khoa học kĩ thuật, đời sống Như vậy rèn luyện khả năng sáng tạocho học sinh là nhiệm vụ quan trọng, cấp thiết của nhà trường phổ thông

Mặt khác, Toán học là môn khoa học cơ bản, là công cụ để học tập và nghiêncứu các môn học khác Toán học có vai trò to lớn trong sự phát triển của các

ngành khoa học kĩ thuật Nó liên quan chặt chẽ và có ứng dụng rộng rãi trongnhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ, kĩ thuật và đời sống.

Vì thế, dạy học môn Toán ở nhà trường phổ thông giữ vai trò quan trọngtrong việc rèn luyện, bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh

Từ trước đến nay đã có nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm đến vấn

đề bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh Trong cuốn "Sáng tạo toán học”,Polya đã đi sâu nghiên cứu bản chất của quá trình giải toán , quá trình sáng tạotoán học và đúc rút những kinh nghiệm giảng dạy của bản thân Krutecxki đãtrình bày các nghiên cứu của ông về cấu trúc năng lực toán học của học sinh

và nêu bật những phương pháp bồi dưỡng năng lực toán học cho học sinh trongcuốn “Tâm lí năng lực toán học của học sinh”

Ở nước ta cũng có nhiều công trình của các giáo sư Hoàng Chúng, NguyễnCảnh Toàn nghiên cứu về lí luận và thực tiễn việc phát triển tư duy sáng tạocho học sinh

Có thể thấy rằng vấn đề bồi dưỡng và phát triển tư duy sáng tạo trong giảngdạy bộ môn Toán đã thu hút được sự quan tâm chú ý của nhiều nhà nghiên cứu.Tuy nhiên, các tác giả thường không đi sâu khai thác vào nghiên cứu cụ thể việcphát triển tư duy sáng tạo thông qua dạy học phương trình và hệ phương trìnhtrong chương trình phổ thông

Vì vậy, tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn này là:

"Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh qua các bài toán về phương trình

và hệ phương trình ở trường trung học phổ thông."

2 Mục đích, nhiệm vụ của đề tài

Nghiên cứu và đề xuất một số biện pháp nhằm góp phần rèn luyện và bồidưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh qua các bài giảng về phương trình và hệphương trình trong chương trình toán trung học phổ thông

3 Phương pháp nghiên cứu

3.1 Nghiên cứu lí luận

- Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học, tâm lí học, lí luận dạy học môn

- Các tài liệu sách báo, bài viết phục vụ cho đề tài

3.2 Điều tra, quan sát

Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh trong quátrình khai thác các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập và hệ thống bài tậpchọn lọc

Thời gian: Năm học 2012 – 2013

5 Đối tượng khảo sát

Học sinh các lớp 11A1, 11A2 trường trung học phổ thông Xuân Đỉnh, HàNội

6 Giả thuyết khoa học

Nếu dạy học phương trình và hệ phương trình trong chương trình toán trunghọc phổ thông theo các biện pháp đề xuất trong sáng kiến kinh nghiệm này thì

sẽ rèn luyện và bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh

7 Điểm mới của đề tài

- Trình bày cơ sở lí luận về tư duy sáng tạo

- Thực trạng dạy học môn Toán phần phương trình và hệ phương trình ở nhàtrường phổ thông

- Đề xuất được các biện pháp dạy học giải phương trình và hệ phương trìnhtheo định hướng rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh

- Kết quả thực nghiệm sư phạm cho thấy đề tài có tính khả thi và hiệu quả

- Kết quả của đề tài có thể làm tài liệu tham khảo hữu ích cho đồng nghiệp

và cho những ai quan tâm đến dạy học rèn luyện, phát triển tư duy sáng tạo chohọc sinh

8 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, danh mục tài liệu tham khảo vàmục lục, luận văn được trình bày trong ba chương:

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2 Một số nội dung dạy học phương trình và hệ phương trình theođịnh hướng rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính, bản chất mối liên

hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tượng trong hiện thựckhách quan mà trước đó ta chưa biết (theo tâm lý học đại cương - Nguyễn QuangCẩn)

Theo từ điển triết học: "Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chứcmột cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quantrong các khái niệm, phán đoán, lý luận Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạtđộng sản xuất xã hội của con người và đảm bảo phản ánh thực tại một cách giántiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật Tư duy chỉ tồn tại trong mối liên

hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêubiểu cho xã hội loài người cho nên tư duy của con người được thực hiện trongmối liên hệ chặt chẽ với lời nói và những kết quả của tư duy được ghi nhận trongngôn ngữ Tiêu biểu cho tư duy là những quá trình như trừu tượng hoá, phântích và tổng hợp, việc nêu lên là những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyếtchung, việc đề xuất những giả thiết, những ý niệm Kết quả của quá trình tư duy

bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó".

Từ đó ta có thể rút ta những đặc điểm cơ bản của tư duy

• Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là một quá trình phản ánhtích cực thế giới khách quan

• Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thể hiệnqua ngôn ngữ

• Bản chất của tư duy là ở sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đối tượngđược phản ánh với hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt động củacon người nhằm phản ánh đối tượng

• Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo

• Khách thể trong tư duy được phản ánh với nhiều mức độ khác nhau từthuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con người

1.2 Tư duy sáng tạo

Theo định nghĩa trong từ điển thì sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyếtvấn đề mới không bị gò bó và phụ thuộc vào cái đã có Nội dung của sáng tạogồm hai ý chính có tính mới (khác cái cũ, cái đã biết) và có lợi ích (giá trị hơncái cũ) Như vậy sự sáng tạo cần thiết cho bất kỳ hoạt động nào của xã hội loàingười Sáng tạo thường được nghiên cứu trên nhiều phương diện như là một quátrình phát sinh cái mới trên nền tảng cái cũ, như một kiểu tư duy, như là mộtnăng lực của con người

Các nhà nghiên cứu đưa ra nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sáng tạo.Theo Nguyễn Bá Kim trong [14]: "Tính linh hoạt, tính dộc lập và tính phê phán

là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về nhữngmặt khác nhau của tư duy sáng tạo Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ởkhả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kếtquả mới Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ"

Trong [20], Tôn Thân cho rằng: "Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lậptạo ra ý tưởng mới, độc đáo, và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao" Và theo tác

giả "Tư duy sáng tạo là tư duy độc lập và nó không bị gò bó phụ thuộc vào cái

đã có Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong việc tìmgiải pháp Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đều mang rất đậm dấu ấn của mỗi

J DanTon lại cho rằng "Tư duy sáng tạo đó là những năng lực tìm thấy những

ý nghĩa mới, tìm thấy những mối quan hệ, là một chức năng của kiến thức, trítưởng tượng và sự đánh giá, là một quá trình, một cách dạy và học bao gồmnhững chuỗi phiêu lưu, chứa đựng những điều như: sự khám phá, sự phát sinh,

sự đổi mới, trí tưởng tượng, sự thí nghiệm, sự thám hiểm"

Trong [9], G.Polya cho rằng: "Một tư duy gọi là có hiệu quả nếu tư duy đódẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó Có thể coi là sáng tạo nếu tư duy

đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau này Các bài toán vậndụng những tư liệu phương tiện này có số lượng càng lớn, có dạng muôn màumuôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao, thí dụ: lúc những cố gắngcủa người giải vạch ra được các phương thức giải áp dụng cho những bài toánkhác Việc làm của người giải có thể là sáng tạo một cách gián tiếp, chẳng hạnlúc ta để lại một bài toán tuy không giải được nhưng tốt vì đã gợi ra cho ngườikhác những suy nghĩ có hiệu quả"

Trong [24], Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với người học Toán:

"Đối với người học Toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ đươngđầu với những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưa từngbiết Như vậy, một bài tập cũng được xem như là mang yếu tố sáng tạo nếu cácthao tác giải nó không bị những mệnh lệnh nào đó chi phối (từng phần hay hoàntoàn), tức là nếu người giải chưa biết trước thuật toán để giải và phải tiến hànhtìm hiểu những bước đi chưa biết trước Nhà trường phổ thông có thể chuẩn bịcho học sinh sẵn sàng hoạt động sáng tạo theo nội dung vừa trình bày

Theo định nghĩa thông thường và phổ biến nhất của tư duy sáng tạo thì đó là

tư duy sáng tạo ra cái mới Thật vậy, tư duy sáng tạo dẫn đến những tri thức mới

về thế giới về các phương thức hoạt động Trong [15], Lene đã chỉ ra các thuộctính sau đây của tư duy sáng tạo:

• Có sự tự lực chuyển các tri thức và kỹ năng sang một tình huống sáng tạo

• Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết "đúng quy cách"

• Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết

• Nhìn thấy cấu tạo của đối tượng đang nghiên cứu

• Kỹ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm hiểu lờigiải (khả năng xem xét đối tượng ở những phương thức đã biết thành mộtphương thức mới)

• Kỹ năng sáng tạo một phương pháp giải độc đáo tuy đã biết nhưng phươngthức khác

• Tư duy sáng tạo là tư duy tích cực và tư duy độc lập nhưng không phảitrong tư duy tích cực đều là tư duy độc lập và không phải trong tư duy độclập đều là tư duy sáng tạo và có thể biểu hiện mối quan hệ giữa các kháiniệm dưới dạng vòng trong đồng tâm

Hình 1.1: Sơ đồ mối quan hệ các cấp độ của tư duy

Có thể nói đến tư duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá, tự tìm cách chứng minh

mà học sinh đó chưa biết đến Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề, tư duy sáng tạogiải quyết mâu thuẫn tồn tạo trong tình huống đó với hiệu quả cao, thể hiện ởtính hợp lý, tiết kiệm, tính khả thi và cả ở vẻ đẹp của giải pháp

Nói chung tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mớiđộc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao.

1.3 Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo

Theo nghiên cứu của các nhà tâm lý học, giáo dục học, về cấu trúc của

tư duy sáng tạo, có năm đặc trưng cơ bản sau:

Ví dụ 1.3.1 Giải phương trình

q

1 +p1 − x2

q(1 − x)2−

q(1 + x)3

Đến đây sẽ đưa các em vào một tình huống có vấn đề: phải tìm một phươngpháp khác tối ưu hơn để có thể giải được bài toán.

Do đặc thù của bài toán nên ta chỉ còn trông cậy vào khả năng hữu tỷ hóabằng cách đưa vào các ẩn phụ để chuyển phương trình vô tỷ một ẩn khó giải về

2 hay x = −

√2

2 .Vậy nghiệm của phương trình là x = −

√2

2 Tính mềm dẻo của tư duy còn là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóngtrật tự của hệ thống tri thức chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quanniệm khác, định nghĩa lại sự vật, hiện tượng, gạt bỏ sơ đồ tư duy có sẵn vàxây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong những quan hệ mới,

hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất sự vật và điều phán đoán Suy nghĩkhông rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc các kiến thức kỹ năng đã cósẵn vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới, trong đó có những yếu tố đã thay đổi, cókhả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh nghiệm, những phươngpháp, những cách suy nghĩ đã có từ trước Đó là nhận ra vấn đề mới trong điềukiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết.

Như vậy, tính mềm dẻo là một trong những đặc điểm cơ bản của tư duy sángtạo, do đó để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh ta có thể cho các em giảicác bài tập mà thông qua đó rèn luyện được tính mềm dẻo của tư duy

Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cách nhanhchóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các hình huống, hoàn cảnh, đưa ragiả thuyết mới Các nhà tâm lý học rất coi trọng yếu tố chất lượng của ý tưởngsinh ra, lấy đó làm tiêu chí để đánh giá sáng tạo

Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhấtđịnh các ý tưởng Số ý tưởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuấthiện ý tưởng độc đáo, trong trường hợp này số lượng làm nảy sinh ra chất lượng.Tính nhuần nhuyễn còn thể hiện rõ nét ở 2 đặc trưng sau:

Một là tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm đượcnhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau Đứng trước một vấn

để phải giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuấtđược nhiều phương án khác nhau và từ đó tìm được phương án tối ưu

Hai là khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau, có mộtcái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tượng chứ không phải cáinhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc

Lời giải Cách 1: Từ hệ phương trình đã cho, ta suy ra

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (−9; −9) và (7; 7)

Cách 2: Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình sau đây

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (−9; −9) và (7; 7).

Cách 3: Xét các trường hợp sau đây

TH1: Nếu x = y, thế vào phương trình đầu của hệ ta được

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (−9; −9) và (7; 7).

Cách 4: Từ hệ phương trình đã cho ta có

√

x+ 9 +√7 − x

+

Vậy để (1.2) xảy ra thì ở (1.3) và (1.4) phải xảy ra dấu bằng, tức là

Thay (x; y) bởi (−9; −9); (−9; 7); (7; 7); (7; −9) vào hệ phương trình đã cho ta

có nghiệm của hệ phương trình là (−9; −9); (7; 7)

Ta có

f(−9) = 4; f (7) = 4; f (−1) = 4

√2

Thay (x; y) bởi (−9; −9); (7; 7); (−9; 7); (7; −9) vào hệ phương trình đã cho ta

có nghiệm của hệ phương trình là (−9; −9); (7; 7)

Thay (x; y) bởi (−9; −9); (7; 7); (−9; 7); (7; −9) vào hệ phương trình đã cho ta

có nghiệm của hệ phương trình là (−9; −9) và (7; 7)

Đặt x + 1 = u; y + 1 = v Ta thu được hệ phương trình với ẩn u và v là

(

−8 ≤ x + 1 ≤ 8

−8 ≤ y + 1 ≤ 8suy ra

(

−8 ≤ u ≤ 8

−8 ≤ v ≤ 8

Ta lại đặt u = 8 cos 2a; v = 8 cos 2b với a, b ∈0;π

2 Ta thu được hệ phương trìnhvới ẩn a, b là:

⇔

8(2cos2a) +p8(2sin2b) = 4p

|cos b| + |sin a| = 1 ⇒ |cos a| + |sin b| + |cos b| + |sin a| = 2. (1.7)

Do |cos a| ≥ cos2a; |sin b| ≥ sin2b; |cos b| ≥ cos2b; |sin a| ≥ sin2a nên

|cos a| + |sin b| + |cos b| + |sin a| ≥ cos2a+ sin2a+ cos2b+ sin2a= 2

Vậy (1.7) xảy ra khi ta có

với a, b ∈

h0;π2i

Lại do cos2a+ sin2a= 1; cos2b+ sin2b= 1 nên ta chỉ cần xét với

(

cos a = 0cos b = 0 ;

(cos a = 0cos b = 1 ;

(cos a = 1cos b = 0 ;

(cos a = 1cos b = 1

TH1:

(

cos a = 0cos b = 0 ⇔

⇔

(cos 2a = −1cos 2b = −1

y= 7 (thỏa mãn bài toán).

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (−9; −9) và (7; 7)

1.3.3 Tính độc đáo

Tính độc đáo của tư duy được đặc trưng bởi các khả năng

• Khả năng tìm ra những hiện tượng và những kết hợp mới

• Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện mà bên ngoàiliên tưởng như không có liên hệ với nhau

• Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác.Các yếu tố cơ bản trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có quan hệ mậtthiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt độngtrí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho việctìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau (tính nhuầnnhuyễn) và nhờ đó đề xuất được nhiều phương án khác nhau mà có thể tìm đượcgiải pháp lạ, đặc sắc (tính độc đáo) Các yếu tố này có quan hệ khăng khít vớicác yếu tố khác như: Tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề Tất

cả các yếu tố đặc trưng nói trên cùng góp phần tạo nên tư duy sáng tạo, đỉnh caonhất trong các hoạt động trí tuệ của con người

Ví dụ 1.3.3 Cho phương trình

√

x+ 1 +√4 − x +p(x + 1) (4 − x) = m (1.8)

Hãy tìm tham số thực m để phương trình trên có nghiệm duy nhất

Lời giải. Về nguyên tắc bài toán trên có thể giải bằng một trong bốn cách đã nêutrong ví dụ 1.3.2 Tuy nhiên, nhờ vào mỗi liên hệ giữa các căn thức của bài toán

ta đi đến lời giải ngắn gọn và đẹp hơn Ta sẽ giải bài toán này bằng phương phápđiều kiện cần và đủ

Điều kiện cần Nhận thấy rằng nếu x0là nghiệm của phương trình (1.8) thì 3−x0cũng là nghiệm của (1.8) Bởi vậy điều kiện cần để phương trình có nghiệm duynhất là x0= 3 − x0 ⇔ x0= 3

2 Thay vào phương trình (1.8) có m = 5

2+

√10

Điều kiện đủ Với m = 5

Việc kiểm tra đánh giá lời giải một bài tập toán về phương trình và bấtphương trình cần tiến hành theo các mặt sau:

Kiểm tra kết quả về mặt định tính, tức là kiểm tra việc xác định tính đúngđắn của việc chọn phương pháp giải, công cụ sử dụng đã phù hợp với từng dạng

phương trình hay bất phương trình hay chưa? Tạo thói quen thường nhật chohọc sinh, sau khi giải xong một bài toán, luôn đặt câu hỏi dạng như: Lời giải đã

"hoàn thiện" hay chưa? Có phương pháp nào tối ưu hơn hay không? Bài toán này

có thể mở rộng, thu hẹp hay không? Bài toán tương tự sẽ như thế nào?

Kiểm tra về mặt định lượng, là rà soát lại quá trình thao tác đã dùng khi giảicác bài tập toán Trong quá trình giải các bài tập về phương trình hay bất phươngtrình, các em học sinh thường hay nhầm lẫn giữa các phép biến đổi tương đương

và phép biến đổi hệ quả, hay khi giải bằng cách đặt ẩn phụ lạo không tìm đượcđiều kiện đúng của ẩn phụ Kinh nghiệm cũng cho thấy rằng, khi hướng dẫncác em kiểm tra về mặt định lượng, để đảm bảo không mắc sai lầm, nên dùngcon đường khác để thực hiện bài giải đó

Nếu công việc kiểm tra đánh giá lời giải được tiến hành thường xuyên và cóchất lượng, ngoài việc giúp ích cho học sinh rất nhiều trong quá trình giải toán,còn góp phần không nhỏ trong việc rèn luyện tính hoàn thiện cho các em, từ đógóp phần rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho người học

Ví dụ 1.3.4 Tìm tham số m sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất

lg x2+ 2mx
− lg (x − 1) = 0 (1.12)Đây là bài toán mà học sinh thường hay mắc nhiều kiểu sai lầm, ở đây đưa

ra một số sai lầm hay gặp nhất Chẳng hạn, rất nhiều học sinh đưa ra lời giải nhưsau:

Phương trình (1.12) tương đương với

Trong nhiều kỳ thi đại học, loại phương trình này làm khá nhiều học sinh giảisai Đây chỉ là một kiểu sai Sai lầm là khi mũ hóa khử logarit, học sinh đã khôngđặt điều kiện Nhớ rằng

và vấp phải bế tắc không giải tiếp được nữa!

Lời giải đúng là: Phương trình (1.12) tương đương với

m< −1

2.

Do đó trường hợp này không xảy ra.

⇔

(2m + 1 = 0

Do đó trường hợp này cũng không xảy ra

Tóm lại: (1.12) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m < −1

2

Tính nhạy cảm vấn đề có các đặc trưng sau:

1 Khả năng nhanh chóng phát hiện vấn đề

2 Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu từ đó

có nhu cầu cấu trúc lại, tạo ra cái mới

Tính nhạy cảm của quá trình tư duy vô cùng cần thiết cho việc học Toán Dùrằng khả năng nhạy cảm của một học sinh phần nào đó phụ thuộc mức độ thôngminh của trí tuệ, nhưng đó mới chỉ là điều kiện cần Muốn rèn luyện khả năngnhạy cảm của tư duy trước một vấn đề toán học nào đó, điều chủ yếu người họccần có một vốn trí thức phong phú, vốn phương pháp và kĩ thuật đa dạng để có

sự phản xạ nhanh chóng, từ đó dễ dàng chuyển hóa nội dung bài toán từ "miềnngôn ngữ" này sang "miền ngôn ngữ" khác Bên cạnh yếu tố cần đó, không thểkhông có điều kiện đủ là phải thường xuyên luyện tập thông qua giải bài tậptoán Lười nhác ỷ vào một số năng lực vốn có mà không chịu rèn luyện là trởngại chủ yếu để rèn luyện khả năng này đối với học sinh

các phương pháp giải kiểu "truyền thống" như sau: Điều kiện: −1 ≤ x ≤ 4.

Cách giải thứ nhất: Đưa (1.14) về dạng√x+ 1 = 1 +√4 − x sau đó dùng phépbiến đổi tương đương bằng cách bình phương hai vế để đưa về phương trình bậc2

ở vế trái là tổng của ba căn bậc hai nên nếu dùng phương pháp bình phương sẽđược một phương trình vô cùng phức tạp Còn nếu dùng phương pháp đặt ẩn phụthì sẽ đưa phương trình đã chom về hệ hai phương trình ba ẩn

Cứng nhắc, rập khuôn, thiếu linh hoạt là bệnh phổ biến trong phương pháp

tư duy của học sinh, các em rất lúng túng khi đứng trước một bài toán quen thuộcnhưng các cách giải quen thuộc lại không thể sử dụng được Nguyên nhân củađiều này là học sinh chưa có được sự nhanh nhạy trong việc chuyển hóa nội dunghình thức của bài toán để đưa ra công cụ thích hợp

Đối với bài toán này ta cần cấu trúc lại bài toán để phù hợp với kiến thức

hiện có của học sinh Với nhận xét mang tính chất "chìa khóa" là:

Từ đẳng thức cuối cùng Nhận thấy rằng vế trái chính là độ dài một vectơ ~u với

~u =√

x+ 1;√2x − 3;√

50 − 3x



Từ đó, ta có lời giải như sau

Điều kiện: 3

2 ≤ x ≤ 50

3 Trong không gian với hệ trục Oxyz, chọn

√

50 − 3x1

Các yếu tố cơ bản của tư duy sáng tạo nêu trên đã biểu hiện khá rõ ở học sinh

nói chung và đặc biệt rõ nét đối với học sinh khá giỏi Trong học tập Toán mà

cụ thể là trong hoạt động giải toán, các em đã biết di chuyển, thay đổi các hoạtđộng trí tuệ, biết sử dụng xen kẽ phân tích và tổng hợp, dùng phân tích trong khitìm tòi lời giải và dùng tổng hợp để trình bày lời giải Ở học sinh khá và giỏicũng có sự biểu hiện các yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo Điều quan trọng

là người giáo viên phải có phương pháp dạy học thích hợp để có thể bồi dưỡng

và phát triển tốt hơn năng lực sáng tạo ở các em

sinh

Tư duy biện chứng có thể phản ánh đúng đắn thế giới xung quanh và nhiệm

vụ của người thầy giáo là rèn luyện cho học sinh năng lực xem xét các đối tượng

và hiện tượng trong sự vận động, trong những mối liên hệ, mối mâu thuẫn vàtrong sự phát triển

Tư duy biện chứng rất quan trọng, nó là cái giúp ta phát hiện vấn đề và địnhhướng tìm tòi cách giải quyết vấn đề, nó giúp ta cũng cố lòng tin khi trong việctìm tòi tạm thời gặp thất bại, những khi đó ta vẫn vững lòng tin rằng rồi sẽ cóngày thành công và hướng tìm đến thành công là cố nhìn cho được mỗi kháiniệm toán học theo nhiều cách khác nhau, càng nhiều càng tốt

Tư duy sáng tạo là loại hình tư duy đặc trưng bởi hoạt động và suy nghĩnhận thức mà những hoạt động nhận thức ấy luôn theo một phương diện mới,giải quyết vấn đề theo cách mới, vận dụng trong một hoàn cảnh hoàn toàn mới,xem xét sự vật hiện tượng, về mối quan hệ theo một cách mới có ý nghĩa, có giátrị Muốn đạt được điều đó khi xem xét vấn đề nào đó chúng ta phải xem xét từchính bản thân nó, nhìn nó dưới nhiều khía cạnh khác nhau, đặt nó vào nhữnghoàn cảnh khác nhau, như thế mới giải quyết vấn đề một cách sáng tạo được.Mặt khác tư duy biện chứng đã chỉ rõ là khi xem xét sự vật phải xem xét mộtcách đầy đủ với tất cả tính phức tạp của nó, tức là phải xem xét sự vật trong tất

cả các mặt, các mối quan hệ trong tổng thể những mối quan hệ phong phú, phứctạp và muôn vẻ của nó với các sự vật khác Đây là cơ sở để học sinh học toánmột cách sáng tạo, không gò bó, đưa ra được nhiều cách giải khác nhau

Điều đó có nghĩa là chúng ta phải rèn luyện tư duy biện chứng cho học sinhhay nói cách khác là rèn luyện tư duy biện chứng cho học sinh từ đó có thể rènluyện được tư duy sáng tạo cho học sinh Xét ví dụ sau đây.

Ví dụ 1.3.7 Giải phương trình

log22x+ log2x

4 = 5logx8 + 25 log2x2 (1.16)

Chứng minh. Điều kiện 0 < x 6= 1

Đặt log2x= t, khi đó logx2 = 1

x Một cách tự nhiên ta nghĩ đến việc biến đổi để đưa phương trình này về dạngquen thuộc đã biết cách giải chẳng hạn: ax4+ bx2+ c = 0, (x + a)4+ (x + b)4=

c, hay x4 = ax2+ bx + c, Nhưng rất đáng tiếc phương trình này không rơivào những dạng quen thuộc như vậy

Ngay lập tức, ý tưởng thường trực mà mỗi khi ta giải phương trình bậc cao

là đoán nghiệm để từ đó đưa về phương trình tích được áp dụng vì hệ số tự do ởđây là 25 Nhưng thật không may, phương trình này không có nghiệm hữu tỷ.Khi những phương pháp thường dùng nhất không khả thi, ta sẽ nghĩ đến cáchcuối cùng đó là dùng phương pháp hệ số bất định để đưa vế trái của phương trình

về dạng (x2+ mx + n)(x2+ px + q) Tuy đây là cách về lý thuyết có thể thực hiệnđược nhưng vấn đề là ở chỗ ta phải giải một hệ phương trình với 4 ẩn m, n, p, qvốn là việc không hề đơn giản

Khi mọi ngả đường để giải bài toán gần như đi vào bế tắc, ta nhớ lại rằng vớiphương trình chứa tham số, chúng ta có thể tráo đổi vai trò của ẩn và tham số đểđưa phương trình bậc cao về phương trình tích Vậy có thể áp dụng cách này đểgiải bài toán hay không?

Theo dõi tiếp lời giải dưới đây:

Đặt a = 5 khi đó phương trình (1.17) trở thành

a2+ 3at − t2 t2− t + 2
= 0 (1.18)Coi (1.18) là phương trình bậc 2 đối với a Ta có

2 ⇔ log2x= 1 ±

√212

⇔ x = 2

1 ±√

21

2 (thỏa mãn điều kiện)

Nhận xét 1.3.1 Khi giải phương trình chứa tham số chúng ta thường được yêu

cầu giải phương trình với một giá trị cho trước nào đó của tham số Đây là bàitoán quen thuộc, tuy nhiên với phương trình trên hằng số đã quay ngược lại đóngvai trò là tham số Vì lẽ đó những phương trình dạng này thường được giải bằngphương pháp đặc biệt mà ta gọi là phương pháp hằng số biến thiên

1.4 Tiềm năng của các bài toán về phương trình và hệ phương trình trong

việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh

Trong quá trình học Toán thì kỹ năng vận dụng Toán học là quan trọng nhất,nhà trường phổ thông không chỉ cung cấp cho học sinh những kiến thức Toánhọc, mà còn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng tính độc lập, sự độc đáo vàkhả năng sáng tạo

Các nhà tâm lý học cho rằng: "Sáng tạo bắt đầu từ thời điểm mà các phươngpháp logic để giải quyết nhiệm vụ là không đủ và gặp trở ngại hoặc kết quả

không đáp ứng được các đòi hỏi đặt ra từ đầu, hoặc xuất hiện giải pháp mới tốthơn giải pháp cũ".

Chính vì vậy điều quan trọng là hệ thống bài tập cần phải được khai thác và

sử dụng hợp lý nhằm rèn luyện cho học sinh khả năng phát triển tư duy sáng tạobiểu hiện ở các mặt như: khả năng tìm hướng đi mới (khả năng tìm nhiều lời giảikhác nhau cho một bài toán), khả năng tìm ra kết quả mới (khai thác các kết quảcủa một bài toán, xem xét các khía cạnh khác nhau của một bài toán)

Chủ đề phương trình và hệ phương trình chứa đựng nhiều tiềm năng to lớntrong việc bồi dưỡng và phát huy năng lực sáng tạo cho học sinh Bên cạnh việcgiúp học sinh giải quyết các bài tập sách giáo khoa, giáo viên có thể khai tháccác tiềm năng đó thông qua việc xây dựng hệ thống bài tập mới trên cơ sở hệthống bài tập cơ bản, tạo cơ hội cho học sinh phát triển năng lực sáng tạo củamình

Trong quá trình dạy học giáo viên cần dẫn dắt học sinh giải quyết hệ thốngbài tập mới, tạo cho học sinh phát hiện vấn đề mới, đó là vấn đề quan trọng mà

ta cần quan tâm bồi dưỡng và rèn luyện cho học sinh

Có nhiều phương pháp khai thác khác các bài tập cơ bản trong sách giáokhoa, để tạo ra các bài toán có tác dụng rèn luyện tính mềm dẻo, tính nhuầnnhuyễn, tính độc đáo của tư duy

Trên cơ sở phân tích khái niệm tư duy sáng tạo cùng những yếu tố đặc trưngcủa nó và dựa vào quan điểm: rèn luyện và bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tưduy sáng tạo cho học sinh là một trong những biện pháp để phát triển năng lực

tư duy sáng tạo cho các em Các bài tập chủ yếu nhằm rèn luyện và bồi dưỡngtính mềm dẻo của tư duy sáng tạo với các đặc trưng: dễ dàng chuyển từ hoạtđộng trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, suy nghĩ không rập khuôn; khảnăng nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, khả năng nhìn thấy chứcnăng mới của đối tượng quen biết Các bài tập chủ yếu nhằm rèn luyện và bồidưỡng tính nhuần nhuyễn của tư duy sáng tạo với các đặc trưng: khả năng tìmđược nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và hoàn cảnh khác nhau, khả năng xemxét đối tượng dưới những khía cạnh khác nhau Các bài tập chủ yếu nhằm rènluyện và bồi dưỡng tính nhạy cảm vấn đề của tư duy sáng tạo với các đặc trưng:nhanh chóng phát hiện những vấn đề tìm ra kết quả mới, tạo được bài toán mới,