Tính độc đáo của tư duy được đặc trưng bởi các khả năng. • Khả năng tìm ra những hiện tượng và những kết hợp mới.
• Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện mà bên ngoài liên tưởng như không có liên hệ với nhau.
• Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác. Các yếu tố cơ bản trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau. Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau (tính nhuần nhuyễn) và nhờ đó đề xuất được nhiều phương án khác nhau mà có thể tìm được giải pháp lạ, đặc sắc (tính độc đáo). Các yếu tố này có quan hệ khăng khít với các yếu tố khác như: Tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề. Tất cả các yếu tố đặc trưng nói trên cùng góp phần tạo nên tư duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con người.
Ví dụ 1.3.3. Cho phương trình √
x+1+√
4−x+p(x+1) (4−x) =m. (1.8) Hãy tìm tham số thựcmđể phương trình trên có nghiệm duy nhất.
Lời giải. Về nguyên tắc bài toán trên có thể giải bằng một trong bốn cách đã nêu trong ví dụ 1.3.2. Tuy nhiên, nhờ vào mỗi liên hệ giữa các căn thức của bài toán ta đi đến lời giải ngắn gọn và đẹp hơn. Ta sẽ giải bài toán này bằng phương pháp điều kiện cần và đủ.
Điều kiện cần.Nhận thấy rằng nếux0là nghiệm của phương trình (1.8) thì3−x0 cũng là nghiệm của (1.8). Bởi vậy điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất làx0=3−x0 ⇔x0= 3
2. Thay vào phương trình (1.8) cóm= 5
2+ √
10
Điều kiện đủ.Vớim= 5
2+ √ 10, phương trình (1.8) trở thành √ x+1+√ 4−x+p(x+1) (4−x) = 5 2 + √ 10.
Theo bất đẳng thức Cauchy-Swatz √ x+1+√ 4−x≤√1+1√ 1+4=√ 10. (1.9) Theo bất đẳng thức AM-GM: p (x+1) (4−x)≤ x+1+4−x 2 = 5 2. (1.10) Cộng theo vế các bất đẳng thức (1.9) và (1.10), ta được: √ x+1+√ 4−x+p(x+1) (4−x)≤ 5 2 + √ 10. (1.11) Dấu đẳng thức trong (1.11) xảy ra khi và chỉ khi dấu đẳng thức trong (1.9) và (1.10) đồng thời xảy ra. Nghĩa là
1+x=4−x⇔x= 3
2. Vậym= 5
2+ √
10là điều kiện cần và đủ để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.