dần với nghiên cứu toán học
Theo [22], giữa một nhà toán học và một học sinh tập dượt nghiên cứu toán, có những điểm khác nhau và giống nhau. Đối với nhà toán học, họ sẽ có vấn đề để nghiên cứu khi giữa lí luận toán học và thực thiễn hoặc trong nội bộ lí luận toán học có mâu thuẫn. Đối với học sinh, vấn đề để nghiên cứu phát sinh chủ yếu từ nhu cầu nhận thức, muốn biết rộng hơn, sâu hơn. Giải quyết xong vấn đề, nhà toán học cung cấp được những hiểu biết mới cho loài người, còn học sinh tự chiếm lĩnh được những kiến thức mới chưa học bao giờ, nhưng là mới với bản thân mình. Tuy nhiên cái thu hoạch chính của học sinh không phải là những kiến thức mới đó vì những kiến thức đó hoặc chỉ là thứ yếu, hoặc nếu quan trọng họ sẽ được học kĩ trên lớp, mà cái đáng quý và đáng trân trọng là qua lao động, tìm
tòi, sáng tạo, họ quen dần với kiểu tư duy mà lâu nay ở nhà trường ít dạy: tư duy biện chứng, tư duy sáng tạo. Từ đó khơi dạy ở họ sự tự tin vào khả năng sáng tạo của mình, lòng ham muốn tìm tòi và phát minh. Các kiến thức đó đáng quý là vì nó do học sinh tìm ra chứ không phải do ai khác mang đến cho họ. Để đi đến những kiến thức mới trong toán học, học sinh phải kết hợp tư duy logic và tư duy biện chứng, cả tư duy hình tượng và thói quen tìm tòi bằng thực nghiệm. Trong việc phát hiện vấn đề và định hướng giải quyết tư duy biện chứng có vai trò chủ đạo. Khi giải quyết vấn đề thì tư duy logic đóng vai trò chính. Do đó để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thì việc cần làm và nên làm là hãy tập cho họ làm quen dần với nghiên cứu toán học. Ta sẽ làm rõ hơn điều này qua ví dụ sử dụng mâu thuẩn trong việc giải phương trình bậc 3 để đi tới khái niệm số phức.
ĐI TÌM SỐ PHỨC Phần 1. Phát hiện và đặt vấn đề nghiên cứu.
Khi đa biết các tập số tự nhiên, số nguyên, số hưu tỷ, số thực hầu hết học sinh cảm thấy như vậy là đã đủ dùng. Liệu có bao giờ họ cảm thấy thiếu một thứ số gì đó ngoài những thứ số trên? Thậm chí ngay cả khi học phương trình bậc hai ax2+bx+c=0 gặp trường hợp ∆=b2−4ac <0 cũng không ai thấy nhu cầu đó mà bằng lòng với nhận định phương trình vô nghiệm. Điều này cũng dễ hiểu bởi lẽ những phương trình như vậy trong thực tế không có lời giải. Lấy ví dụ, nếu ai đó muốn xây một căn phòng rộng30m2 nhưng chu vi lại chỉ có 10m để đỡ tốn gạch thì chắc chắn là không thể bởi lẽ hai cạnh của căn phòng đó chính là nghiệm của phương trình
x2−5x+30=0 Phương trình này vô nghiệm vì∆=−95<0.
Tuy nhiên khi đã biết giải phương trình bậc hai, dù chưa có nhu cầu thực tế nhưng nhu cầu hiểu biết thỏa mãn về tư duy thúc đẩy người ta tìm cách giải phương trình bậc 3:
Nhớ lại rằng để giải phương trình bậc haiax2+bx+c=0ta đã thay đổi ẩn số bằng phép đặt ẩn phụX=x+ b
2a , từ đó đưa phương trình này về dạng khuyết X
aX2+D=0, với D= 4ac−b2 4a .
Cũng theo cách làm này, ta sẽ tìm một phép thay đổi ẩn số dạngX =x+m và chonmsao cho phương trình bậc 3 sẽ khuyếtX2
a(X−m)3+b(X−m)2+c(X−m) +d =0.
Hệ sốX2 ở đây làb−3am. Vậy ta lấym= b
3a và chia cả hai vế cho a, ta sẽ đưa được phương trình này về dạng
X3+pX+q=0. (2.43) Khi biến đổi được đến đây, hẳn ai cũng muốn tiếp tục thực hiện phép thay ẩn số để làm khuyết nốt cả X. Nhưng vấn đề là ta không thể thực hiện phép thay ẩn này lần 2 bởi lẽ nếu thay ẩn X0 =X+n rồi tìm n để X0 triệt tiêu thì khi X0 triệt tiêu thì nói chung X02 không triệt tiêu và ta sẽ đi tới phương trình X03+p0X02+q0 =0 còn phức tạp hơn dạng (2.43).
Mỗi lần thay đổi ẩn số thực chất là một lần ta cho mình quyền lựa chọn. Ở trên với các phép thay ẩn số như vậy ta đã cho mình quyền lựa chọn tham số m. Vì không thể tiếp tục thực hiện cách làm này, ta lựa chọn cách thay ẩn khác, chẳng hạn ta có thể coi ẩn cũ như là hàm của hai ẩn mới có sự ràng buộc với nhau theo một quan hệ nào đó (quan hệ này giúp cho tuy hai ẩn nhưng lại là một). Xét cách đặt ẩn phụ đơn giản nhất:
X =Y +Z Khi đó phương trình (2.43) trở thành:
Y3+Z3+ (3Y Z+p) (Y +Z) +q=0. (2.44) Để đưa phương trình (2.44) về dạng đơn giản ta chọn quan hệ
3Y Z+p=0 hayY Z =−p 3
Khi đó (3) trở thành
Y3+Z3=−q.
Như vậyX3,Y3 là hai nghiệm của phương trình bậc 2: z2+qz− p
3
27 =0. (2.45) Tính đượcY3vàZ3, ta tính ra đượcY,Z từ đó tính đượcX =Y+Z. Bài toán như vậy đã giải xong.
Sau khi có được lời giải tổng quát như vậy ta áp dụng vào một phương trình bậc 3 cụ thể chẳng hạn:
X3−X =0.
Rõ ràng phương trình này có 3 nghiệm là X =−1; X =0; X =1. Ở đây p=
−1;q=0. Do đó phương trình (2.45) trở thành z2+ 1
27 =0.
Nhưng thật đáng tiếc phương trình này lại vô nghiệm vậy lấy đâu raY3 và Z3. Đến đây xuất hiện một mâu thuẫn: Để giải phương trình bậc 3 chắc chắn có nghiệm ta đã dẫn tới một phương trình bậc 2 vô nghiệm.
Phần 2. Sáng tạo
Ở lý luận trên ta thấy rõ giữa lí luận và thực tiễn có sự không ăn khớp. Tình huống mâu thuẫn này làm nảy sinh một ý tưởng táo bạo. Hãy cứ thử chấp nhận căn bậc hai của các số âm xem sao. Nếu vậy ta có
Y3=√ −1 √ 3 9 ; Z 3=−√−1 √ 3 9 .
Để tìmY vàZ ta phải tìm cho bằng được căn bậc ba của√−1. Rõ ràng−√−1 là một căn bậc ba của √−1vì −√−1 3 = −√−1 2 −√−1 = (−1) −√−1 =√ −1.
Nhưng chưa hết, ta cần phải cẩn thận vì biết đâu vẫn còn các số có dạng m+
n√
−1 mà khi lập phương vẫn cho ta kết quả là√−1. Ta có m3+3m2n√
−1−3mn2−n3√
−1=√
⇔
(
m3−3mn2 =0 3m2n−n3=1 Giải hệ này, ta tìm ra được 3 căn bậc ba của√−1là
−√−1; √ 3 2 + √ −1 2 ; − √ 3 2 + √ −1 2 . Để ý rằng √ 3 9 = √ 3 3 !3 , ta có ba giá trị củaY vàZ là Y1=− √ 3 3 √ −1; Y2= √ 3 3 √ 3 2 + √ −1 2 ! ; Y3 = √ 3 3 − √ 3 2 + √ −1 2 ! . Z1= √ 3 3 √ −1; Z2=− √ 3 3 √ 3 2 + √ −1 2 ! ; Z3 =− √ 3 3 − √ 3 2 + √ −1 2 ! .
Vì X =Y +Z nên có vấn đề này sinh là phải xác định chính xác xem lấyY nào cộng vớiZ nào. Nhớ rằngY Z =−p
3 = 1
2 nên phải lấyY1+Z1;Y2+Z3;Y3+Z2. Vậy ta có ba nghiệm của phương trìnhX3−X =0 là
X1=Y1+Z1=0; X2 =Y2+Z3=1; X3=Y3+Z2=−1.
Chính là ba nghiệm mà ta thấy ngay từ ban đầu.
Phần 3. Phân tích và kết luận
Trong quá trình giải phương trình bậc 3 vô tình ta đã vấp phải một tình huống mâu thuẫn tưởng chừng không thể giải quyết. Bằng việc chấp nhận sự tồn tại của √
−1 ta đã vượt qua được mâu thuẫn đó. Thực tế này cho thấy rằng ta bắt buộc phải chấp nhận sự tồn tại của "số bí hiểm" √−1. Vì sự bí hiểm của những số dạng b√
−1, người ta gọi tên chúng là số ảo. Số √−1 được gọi là đơn vị ảo và kí hiệui=√
−1. Những số có dạng a+biđược gọi là những số phức, trong đó alà phần thực còn blà phần ảo. Họ hàng nhà số bây giờ đã phải chấp nhận một thành viên mới mà việc tìm ra là không hề đơn giản.
Trước hết cần khẳng định bài giảng trên không phải là một bài thuyết trình về lịch sử phát minh của số phức. Tuy nhiên bài giảng này dựa trên thực tế phát minh ra số phức khi còn người tìm kiếm cách giải cho nhưng phương trinh bậc
cao. Cũng tù đây ta rút ra một qui luật quan trọng trong cuộc sống và cả toán học đó là: Khi tất cả mọi việc đều ăn khớp, không có khó khăn, không có mâu thuẫn thì không có gì thúc đẩy con người tìm tòi và suy nghĩ nên chắc chắn không có bất kì một điều gì mới được tạo ra. Trái lại khi gặp khó khăn, gặp mâu thuẫn, điều đó thúc đẩy con người bằng sự nghiên cứu, tìm tòi, thử nghiệm tìm ra cách giải quyết chắc chắn lúc đó cái mới sẽ ra đời.Chính vì thế "Mâu thuẫn là động lực cho sự phát triển". Ở đây khi gặp bế tắc trong việc giải phương trình bậc 3 người ta đã phát minh ra số phức để giải quyết bế tắc đó. Trong học tập của học sinh cũng vậy, người giáo viên cần phải tạo ra những tình huống có vấn đề, phải tìm được những tình huống làm nổi bật một mâu thuẫn nào đó từ đó kích thích học sinh động não suy nghĩ. Sự nhạy cảm để phát hiện ra mâu thuẫn, cách thức tìm tòi, nghiên cứu để giải quyết mâu thuẫn chính là những bước cơ sở quan trọng để hình thành tư duy biện chứng, tư duy sáng tạo cho học sinh.