Phương trình và hệ phương trình là một trong những nội dung cơ bản đóng vai trò hết sức quan trọng trong chương trình môn Toán ở nhà trường phổ thông. Những vấn đề lý thuyết như khái niệm phương trình, hệ phương trình; quan hệ tương đương của phương trình, hệ phương trình; các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình ... được giới thiệu và đưa vào theo từng mức độ phù hợp với từng bậc, từng lớp theo vòng tròn xoáy trôn ốc từ lớp 8 đến lớp 12. Đồng thời học sinh cũng dần dần làm quen với từng loại phương trình và hệ phương trình phù hợp với năng lực nhận thức toán học của học sinh.
Ở đầu bậc trung học phổ thông, trong chương trình đại số 10 nâng cao, học sinh được học về phương trình và hệ phương trình với các khái niệm chung và một số phương pháp cơ bản để giải phương trình và hệ phương trình. Nếu không nghiên cứu kỹ thì có thể đưa ra kết luận: Những kiến thức này là sự trình bày lặp lại những gì mà học sinh đã được làm quen ở bậc trung học cơ sở. Thực chất không phải như vậy. Ở đây có sự lặp lại về hình thức nhưng lại có sự khác biệt khá lớn về nội dung.
Sự khác biệt khá lớn ở hai cấp học trung học cơ sở và trung học phổ thông thể hiện ngay ở khái niệm phương trình.
Trong sách giáo khoa Toán 8, tập hai đã định nghĩa:"Một phương trình ẩnx
có dạngA(x) =B(x), trong đó vế tráiA(x)và vế phảiB(x)là hai biểu thức của cùng một biếnx"
Trong sách giáo khoa Đại số 10 Nâng cao, định nghĩa: "Cho hai hàm số y= f(x) và y=g(x) có tập xác định lầm lượt là Df và Dg. Đặt D=Df ∩Dg, mệnh đề chứa biến f(x) =g(x) được gọi là một phương trình một ẩn, x gọi là ẩn số (hay ẩn) vàD gọi là tập xác định của phương trình. Sốx0 thuộc D gọi là nghiệm của phương trình f(x) =g(x)nếu f(x0) =g(x0)là mệnh đề đúng"
Như vậy trong định nghĩa Phương trình ở bậc Trung học phổ thông đã đưa vào khái niệm mới là mệnh đề chứa biến, đây là khái niệm không được xây dựng ở Trung học cơ sở. Bậc Trung học phổ thông, khái niệm tập xác định phương trình được đưa vào, đây là điểm mới so với bậc Trung học cơ sở. Dễ nhận thấy khái niệm phương trình ở bậc Trung học phổ thông là sự kế thừa và phát triển khái niệm phương trình ở bậc Trung học cơ sở. Sự chính xác và khoa học của khái niệm phương trình ở bậc Trung học phổ thông đã tạo điều kiện thuận lợi cho việc đi sâu nghiên cứu các phép biến đổi phương trình, giúp học sinh hiểu đầy đủ hơn khái niệm của phương trình. Những khái niệm này ở bậc Trung học cơ sở được hiểu một cách trực quan chẳng hạn khái niệm nghiệm của phương trình được thông hiểu qua hoạt động: "khi x= 2 hãy tính giá trị mỗi vế của phương trìnhx2+1=2(x+3)−5 và khi đó học sinh sẽ hiểu đơn giản rằng nghiệm của phương trình là số để hai vế của phương trình bằng nhau". Còn ở bậc Trung học phổ thông nhờ khái niệm mệnh đề chứa biến mà khái niệm nghiệm của phương trình được đưa vào logic và hợp lý hơn.
Về mặt kĩ năng giải các phương trình cũng có sự khác biệt giữa hai cấp học. Cùng là các nội dung xoay quanh việc nghiên cứu cách giải phương trình và hệ phương trình nhưng mục tiêu của hai cấp học là không giống nhau. Sách giáo khoa Đại số 10 Nâng cao viết: "Các vấn đề phương trình bậc nhất và bậc hai mà
học sinh đã được học ở các lớp dưới nay chỉ nhắc lại rất sơ lược, thậm chí coi như học sinh đã nắm vững nhằm tập trung cho các vấn đề mới. Cụ thể, vấn đề mới ở đây là phương pháp giải và biện luận các phương trình có tham số". Theo
tác giả Nguyễn Bá Kim [14]: "Trong khi ở trường Trung học cơ sở học sinh làm việc chủ yếu với những phương trình có hệ số hằng số thì ở lớp 10 đi sâu vào
những phương trình có tham biến đòi hỏi học sinh phải biện luận trong khi giải". Như vậy, phương trình và hệ phương trình có tham số trở thành nội dung chính trong chương trình toán ở bậc Trung học phổ thông. Sự khác biệt này được thể hiện rõ ràng ngay trong Sách giáo khoa ở cả hai cấp học. Chẳng hạn ở đây ta so sánh việc trình bày nội dung phương trình bậc nhất một ẩn số.
Sách giáo khoa Toán 8, tập 2 đã đưa ra cách giải tổng quát phương trình bậc nhất một ẩn:
Phương trìnhax+b=0với a6=0 được giải như sau: ax+b=0⇔ax=−b⇔x=−b
a.
Vậy phương trình bậc nhấtax+b=0luôn có nghiệm duy nhất x=−b a.
Sách giáo khoa đại số 10 nâng cao đưa ra phương pháp giải và biện luận phương trình dạngax+b=0như sau:
• a6=0: Phương trình có nghiệm duy nhấtx=−b a. • a=0vàb6=0: Phương trình vô nghiệm.
• a=0vàb=0: Phương trình nghiệm đúng với mọixthuộc tập số thực. Tiếp nối mạch kiến thức về phương trình, sách giáo khoa đại số 10 nâng cao giới thiệu các khái niệm về hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn (mà trọng tâm là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn), hệ phương trình bậc hai hai ẩn cũng như phương pháp giải các loại hệ này. Nếu như ở lớp 9, học sinh chủ yếu giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số thì ở chương trình lớp 10 các em được giới thiệu kỹ cách giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng định thức. Để giải hệ phương trình bậc hai hai ẩn học sinh vẫn sử dụng các phương pháp quen thuộc như phương pháp thê, cộng đại số, đặt ẩn phụ,.... Tuy nhiên việc chọn phương pháp nào phụ thuộc vào các phương trình cụ thể. Sách giáo khoa đại số 10 cũng chú trọng vào các loại hệ có tính đối xứng (tráo đổi vai trò củax,ythì hệ không thay đổi).
Như vậy, chủ đề phương trình và hệ phương trình ở hai cấp Trung học cơ sở và Trung học phổ thông có sự khác biệt rõ rệt. Mặc dù chủ đề Phương trình và