Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh qua các bài toán về phương trình và hệ phương trình ở trường trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC NGUYỄN TUẤN PHƯƠNG RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH QUA CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHAM TOÁN HÀ NỘI - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC NGUYỄN TUẤN PHƯƠNG RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH QUA CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHAM TỐN CHUN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MƠN TỐN) Mã số: 60 14 10 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn HÀ NỘI - 2014 L I C M ƠN L i đ u tiên c a lu n văn này, tác gi xin bày t lòng bi t ơn chân thành, sâu s c t i PGS TS Nguy n Minh Tu n, ngư i th y không ch hư ng d n truy n cho tác gi nh ng kinh nghi m quí báu h c t p nghiên c u khoa h c mà cịn ln quan tâm, đ ng viên, khích l t n tình hư ng d n đ tác gi vươn lên h c t p vư t qua nh ng khó khăn trình hồn thành lu n văn Tác gi xin đư c g i l i c m ơn chân thành đ n Ban giám hi u trư ng Đ i h c Giáo d c-Đ i h c Qu c gia Hà N i, th y cô giáo nhà trư ng th y cô giáo gi ng d y cao h c chuyên ngành Lý lu n phương pháp d y h c b môn Toán t o u ki n thu n l i trình tác gi h c t p nghiên c u Nhân đây, tác gi xin bày t lịng bi t ơn t i gia đình, ngư i thân đ ng viên t o m i u ki n đ tác gi có th hoàn thành b n lu n văn Hà n i, ngày 10 tháng 09 năm 2013 H c viên: Nguy n Tu n Phương i DANH M C KÍ HI U VÀ CÁC CH VI T T T ii MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn i Danh mục kí hiệu viết tắt ii Mục lục iii Danh mục bảng vi Danh mục hình vii MỞ ĐẦU Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Tư 1.2 Tư sáng tạo 1.3 Một số yếu tố đặc trưng tư sáng tạo 1.3.1 Tính mềm dẻo 1.3.2 Tính nhuần nhuyễn 11 1.3.3 Tính độc đáo 21 1.3.4 Tính hồn thiện 22 1.3.5 Tính nhạy cảm vấn đề 25 1.3.6 Vận dụng tư biện chứng để phát triển tư sáng tạo cho học sinh 28 1.4 Tiềm tốn phương trình hệ phương trình việc bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh 30 1.5 Kết luận chương 32 Chƣơng 2: MỘT SỐ NỘI DUNG DẠY HỌC PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH THEO ĐỊNH HƢỚNG RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH 33 2.1 Giới thiệu hệ thống kiến thức phương trình hệ phương trình 33 2.2 Sơ lược dạng tập phương pháp giải phương trình hệ phương trình 36 2.2.1 Phương trình đa thức, phân thức 36 2.2.2 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 37 2.2.3 Phương trình vơ tỷ 38 2.2.4 phương trình mũ logarit 39 2.2.5 Phương trình lượng giác 40 2.2.6 Hệ phương trình 40 2.3 Vận dụng số quan điểm triết học vật biện chứng vào việc iii tìm tịi lời giải tốn phương trình hệ phương trình 40 2.3.1 Khai thác mối quan hệ nguyên nhân kết để định hướng tìm lời giải 41 2.3.2 Khai thác mối quan hệ chung riêng việc tìm tịi lời giải lời giải toán sáng tạo toán 44 2.3.3 Khai thác mối quan hệ nội dung hình thức để quy toán lạ quen 47 2.4 Rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh qua tốn phương trình hệ phương trình giải phương pháp đánh giấ giá trị hai vế 49 2.4.1 Nội dung phương pháp đánh giá giá trị hai vế 49 2.4.2 Ví dụ minh hoạ 49 2.5 Khuyến khích học sinh tìm nhiều cách giải cho phương trình, hệ phương trình 54 2.6 Rèn luyện tư sáng tạo thông qua việc hướng dẫn học sinh xây dựng phương trình hệ phương trình 66 2.6.1 Xây dựng phương trình giải cách đưa hệ phương trình 66 2.6.2 Xây dựng phương trình từ phương trình bậc hai cho trước 72 2.6.3 Xây dựng phương trình hệ phương trình đại số số phức 73 2.6.4 Xây dựng phương trình lượng giác từ đẳng thức lượng giác đặc biệt 77 2.7 Chuyển việc tìm tịi lời giải phương trình hệ phương trình tốn hình học 79 2.7.1 Phương pháp đồ thị 79 2.7.2 Phương pháp giải phương trình hệ phương trình toạ độ vectơ mặt phẳng 84 2.7.3 Phương pháp giải phương trình hệ phương trình toạ độ vectơ không gian 89 2.8 Rèn luyện khả phát vấn đề tư biện chứng cho học sinh thơng qua hoạt động tìm tịi giải phương trình hệ phương trình 95 2.9 Rèn luyện tư sáng tạo thông qua việc tập cho học sinh làm quen dần với nghiên cứu toán học 100 2.10 Kết luận chương 105 Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 106 iv 3.1 Mục đích thực nghiệm 106 3.2 Tổ chức nội dung thực nghiệm 106 3.2.1 Tổ chức thực nghiệm 106 3.2.2 Nội dung thực nghiệm 107 3.3 Đánh giá kết thực nghiệm 109 3.3.1 Đánh giá định tính 109 3.3.2 Đánh giá định lượng 110 3.3.3 Kết luận chung thực nghiệm sư phạm 112 KẾT LUẬN 113 TÀI LIỆU THAM KHẢO 114 v DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU Bảng 2.1: Các hệ thức độ dài vectơ……………………………………… 85 Bảng 3.1: Thống kê kết kiểm tra sau thực nghiệm……………………… 111 Biểu đồ 3.1: Kết kiểm tra sau thực nghiệm ………………………………… 111 vi DANH MỤC CÁC HÌNH Hình 1.1: Hình 1.2: Hình 2.1: Sơ đồ mối quan hệ cấp độ tư Bảng biến thiên hàm số f (t)  t    t ,t [ 9;7] 16 Biểu diễn hệ trục tọa độ đường tròn u2  v2  đường thẳng u  v  …………………………………………………… 56 Hình Bảng biến thiên hàm số f (t)  t2  2t  3;3  2.2: ………… 57   Biểu diễn hệ trục tọa độ đường tròn u  v2  đường Hì nh 3: thẳng u  v  1   2m ……………………………………… 58 Hình 2.4: Bảng biến thiên hàm số f (x)  2x  x2 với  x  ……… 63 Hình 2.5: Miền mặt phẳng tọa độ chia đường thẳng x  y   …… 80 Hình 2.6: Đồ thị hàm số y  | x |  x2 …………………………………… 81 Hình 2.7: Đường thẳng x  y  k nửa đường trịn x2  y2  1…………… 82 Hình 2.8: Minh họa ví dụ 2.7.3……………………………………………… 83 Hình 2.9: Qui trình sử dụng tọa độ vectơ để giải phương trình dạng thứ 85 Hình 2.10: Qui trình sử dụng tọa độ vectơ để giải phương trình dạng thứ hai… 86 vii M c đích sư ph m c a yêu c u h c sinh phát huy tính đ c đáo, m t đ c trưng quan tr ng c a tư sáng t o Tho t tiên m i nhìn phương trình th y hình th c r t r c r i V ph i t ng hai hàm s mũ v trái hàm lư ng giác r t ph c t p Khi g p ki u h c sinh khó tránh kh i hoang mang, b t c Nhưng n u đư c giáo viên thư ng xuyên b i dư ng l c gi i toán, c ng v i tư sáng t o c a mình, h c sinh có th nhanh chóng phát hi n v n đ V i nh ng tốn có d ng đ c bi t th phương pháp gi i t h n ph i đ c bi t Đ i v i tốn phương pháp đánh giá hai v c a phương trình Đ i v i 3, gi i phương trình: tan 3x = tan 5x M c đích sư ph m c a yêu c u h c sinh phát huy tính hồn thi n thơng qua vi c ki m tra, đánh giá l i gi i toán phát hi n toán m i Đa s em h c sinh c hai l p đ u có l i gi i sau: Ta có: tan 3x = tan 5x ⇔ 3x = 5x + kπ ⇔ x = k π , k ∈ Z Ta có th th y r ng k = x = π không ph i nghi m Nguyên l i gi i c a em h c sinh m c sai l m ch , đ i v i phương trình d ng tan f (x) = tan g (x) phương trình s tương đương v i h f (x) = g(x) + kπ f (x) = π2 + lπ Sau s a ch a sai l m cho em (thông qua ti t t ch n tr ki m tra), r t nhi u em (trư c làm sai này) tìm phương pháp đ gi i toán tương t : cot f (x) = cot g(x); tan f (x) = cot g(x) 3.3 Đánh giá k t qu th c nghi m 3.3.1 Đánh giá đ nh tính Ch đ phương trình lư ng giác m t ch đ khó chương trình tốn Trung h c ph thơng Thơng qua q trình th c nghi m, quan sát ch t lư ng tr l i câu h i, l i gi i t p c a h c sinh, có th rút m t s nh n 109 xét sau: Khi đ ng trư c tốn gi i phương trình lư ng giác, h c sinh r t lúng túng ch n l a cơng c gi i tốn Các em khơng bi t nên dùng công th c đ bi n đ i cho phù h p v i toán (đi u có m t ph n nguyên nhân: S lư ng công th c lư ng giác chương trình ph thơng r t l n tương đ i khó nh ) Các em hay quên đ t u ki n c a n, ho c n u đ t trư c đư c u ki n c a n vi c ki m tra lo i giá tr không thích h p r t khó khăn Khi gi i tốn có dùng đ n n s ph , h c sinh thư ng th c hi n nh ng yêu c u c a toán ban đ u vào toán v i n ph (bi n m i) mà không h lưu ý đ n quy lu t tương ng gi a hai bi n Năng l c liên tư ng huy đ ng ki n th c r t h n ch Khi đ ng trư c m t tốn, có thói quen xem xét bi u th c, s , có m t tốn y liên quan đ n nh ng đ n nh ng ki n th c đư c h c hay không Sau nghiên c u k v n d ng bi n pháp sư ph m đư c xây d ng chương vào trình d y h c, giáo viên d y th c nghi m đ u cho r ng: Khơng có tr ng i, khó khăn v n d ng bi n pháp vào gi ng d y l p h c chương trinh nâng cao Đ c bi t nh ng g i ý v cách s d ng qui t c b n bư c, tr ng phân tích đ tìm tịi l i gi i tốn, c n thi t áp d ng phù h p v i h c sinh h c t i trư ng, đ c bi t v i nh ng h c sinh có l c h c khá, gi i Giáo viên h ng thú dùng bi n pháp này, cịn h c sinh h c t p m t cách tích c c hơn, nh ng khó khăn sai l m c a h c sinh đư c ch gi m r t nhi u đ c bi t hình thành đư c cho h c sinh m t cách th c tư khác trư c r t nhi u H c sinh b t đ u ham thích nh ng d ng tốn mà trư c em r t ng i b i ln g p ph i nh ng thi u sót sai l m đ ng trư c d ng tốn 3.3.2 Đánh giá đ nh lư ng H u h t em h c sinh c l p th c nghi m l p đ i ch ng đ u hoàn thành 3, 70% h c sinh l p th c nghi m hoàn thi n 2, 110 l p đ i ch ng ch có chưa đ n 35% h c sinh hồn thành t t t p Còn v i 1, m t toán d h u h t h c sinh c l p th c nghi m l p đ i ch ng đ u khơng hồn thi n M c dù l p th c nghi m làm t t Dư i k t qu c th : Hình 3.1: B ng th ng kê k t qu ki m tra sau th c nghi m Hình 3.2: Bi u đ 3.1: K t qu ki m tra sau th c nghi m Căn c vào trình d y h c k t qu ki m tra sau th c nghi m có th th y hi u qu c a bi n pháp sư ph m nh m rèn luy n tư sáng t o cho h c sinh qua vi c tìm tịi l i gi i tốn v phương trình h phương trình nhà trư ng ph thơng 111 3.3.3 K t lu n chung v th c nghi m sư ph m Quá trình th c nghi m nh ng k t qu rút sau th c nghi m cho th y r ng: m c đích th c nghi m đư c hồn thành, tính kh thi tính hi u qu c a bi n pháp đư c kh ng đ nh Th c hi n đư c bi n pháp s góp ph n rèn luy n tư sáng t o cho h c sinh qua tốn v phương trình h phương trình nhà trư ng ph thơng, góp ph n nâng cao hi u qu d y h c mơn tốn cho h c sinh nhà trư ng ph thông 112 K T LU N Qua trình nghiên c u đ tài "Rèn luy n tư sáng t o cho h c sinh qua tốn v phương trình h phương trình trư ng trung h c ph thơng " tác gi thu đư c k t qu sau: Đã h th ng hóa, phân tích, di n gi i đư c khái ni m tư tư sáng t o Làm rõ s khác bi t gi a n i dung phương trình h phương trình c p h c Trung h c s Trung h c ph thông hai Th ng kê đư c d ng t p phương pháp gi i phương trình h phương trình chương trình Tốn b c Trung h c ph thông V n d ng đư c m t s quan m tri t h c Duy v t bi n ch ng vào d y h c gi i t p phương trình h phương trình, quan m rèn luy n b i dư ng tư sáng t o thơng qua vi c tìm tịi l i gi i Xây d ng đư c m t s bi n pháp sư ph m đ rèn luy n t ng y u t c a tư sáng t o thơng qua vi c tìm tịi l i gi i t p phương trình h phương trình, t góp ph n rèn luy n phát tri n tư sáng t o cho em h c sinh Đã t ch c th c nghi m sư ph m đ ki m ch ng tính kh thi hi u qu c a nh ng bi n pháp sư ph m đư c đ xu t Qua nh ng nh n xét trên, có th kh ng đ nh r ng: M c đích nghiên c u đư c th c hi n Nhi m v nghiên c u hoàn thành Gi thi t khoa h c ch p nh n đư c 113 TÀI LIỆU THAM KHẢO Bộ giáo dục đào tạo (1995), Triết học Mác-Lênin (tập 1), Nhà xuất Giáo dục Bộ giáo dục đào tạo (1995), Triết học Mác-Lênin (tập 2), Nhà xuất Giáo dục Hoàng Chúng (1969), Rèn luyện khả sáng tạo toán học trường phổ thông, Nhà xuất Giáo dục Hà Văn Chương (2011), Tuyển chọn giải hệ phương trình-phương trình khơng mẫu mực, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội Crutexki V.A (1980), Những sở Tâm lý học sư phạm, Nhà xuất Giáo dục Crutexki V.A (1973), Tâm lý lực Toán học học sinh, Nhà xuất Giáo dục Nguyễn Đình Đức (1973), Góp phần bồ dưỡng tư sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông qua việc tìm tịi lời giải tốn phương trình bất phương trình theo chương trình nâng cao, Trường Đại học Vinh G Polya (1968), Toán học suy luận có lý, Nhà xuất Giáo dục G Polya (1978), Sáng tạo Toán học, Nhà xuất Giáo dục 10 G Polya (1978), Giải toán nào, Nhà xuất Giáo dục 11 Nguyễn Thái Hoè (2001), Rèn luyện tư qua việc giải tập toán, Nhà xuất Giáo dục 12 Nguyễn Thái Hoè (1990), Phương pháp giải tập toán, Nhà xuất Giáo dục 13 Phan Huy Khải (2002), Các phương pháp biện luận hệ có tham số, Nhà xuất Hà Nội 14 Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thuỵ (1996), Phương pháp dạy học mơn Tốn, Nhà xuất Giáo dục 15 Lene (1977), Dạy học nêu vấn đề, Nhà xuất Giáo dục 114 16 Nguyễn Vũ Lương (chủ biên), Nguyễn Hữu Độ, Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng (2008), Lượng giác: Đẳng thức phương trình (tập một) Nhà xuất Giáo dục 17 Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Tuấn (2008), Chuyên đề chọn lọc dãy số áp dụng Nhà xuất Giáo dục 18 Phạm Thành Nghị (2002), Một số sở tâm lý học việc bồi dưỡng lực sáng tạo, Tạp chí tâm lý học, số 4/2002 19 Phạm Quốc Phong (2009), Một số chuyên đề chọn lọc tốn trung học phổ thơng, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội 20 Tôn Thân (1995), Xây dựng hệ thống câu hỏi tập nhằm bồi dưỡng số yếu tố tư sáng tạo cho học sinh giỏi trường THCS Việt Nam, Viện Khoa học giáo dục 21 Nguyễn Cảnh Toàn (1997), Phương pháp luận vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu Toán học, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội 22 Nguyễn Cảnh Tồn (1997), Tập cho học sinh giỏi tốn làm quen dần với nghiên cứu toán học, Nhà xuất Giáo dục 23 Nguyễn Tất Thu (2013), Cẩm nang luyện thi đại học Đại số sơ cấp, Nhà xuất tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh 24 Trần Thúc Trình (1998), Tư hoạt động Toán học, Viện Khoa học giáo dục 25 Đức Uy (1999), Tâm lý học sáng tạo, NXB Giáo dục 115