10 chuyên đề bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất

ĐỀ BÀI CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC – TÌM GIÁ TRỊ MIN MAX (Đề thi thử THPT QG Sở giáo dục Hà Tĩnh năm 2015) Cho a, b, c số thực không âm, phân biệt thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: (Đề thi thử THPT QG Sở giáo dục Thanh Hóa năm 2015) Cho x, y, z số thực thỏa mãn   2  x  1  2 , y  0, z  x  y  z  1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 1   2 ( x  y) ( x  z )  ( y  z )2 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lương Thế Vinh – HN – lần – năm 2015) √ Cho số thực x, y, z dương thỏa mãn √ √ biểu thức Tìm giá trị nhỏ (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa – lần – năm 2015) Tìm GTLN, GTNN hàm số f  x   ln x  x  e2  0;e Cho a, b, c ba số thực dương Chứng minh rằng: a  b2  c  1 1      2 4b 4c 4a ab bc ca (Đề thi thử THPT QG Sở GD ĐT Lào Cai – năm 2015) Cho x số thực thuộc đoạn * + Tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ biểu thức √ √ √ √ (Đề thi thử THPT QG Sở GD ĐT Bạc Liêu – năm 2015) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Cho ba số thực a, b, c thỏa √ (Đề thi thử THPT QG Sở GD ĐT Bình Dương – năm 2015) Cho a , b , c số thực dương thỏa mãn , tìm giá trị nhỏ biểu thức (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Cà Mau – năm 2015) >> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Cho P a, b, c bc 3a  bc  ca 3b  ca số  dương a b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức: ab 3c  ab (Đề thi thử THPT QG Sở GD ĐT Cần Thơ – năm 2015) Cho số thực không âm thỏa mãn Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức 10 (Đề thi thử THPT QG Sở GD ĐT Lâm Đồng – năm 2015) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: √ √ √ 11 (Đề thi thử THPT QG Sở GD ĐT Quảng Nam – năm 2015) Cho ba số thực dương a ; b ; c tùy ý Tìm giá trị nhỏ biểu thức : √ √ √ √ √ √ 12 (Đề thi thử THPT QG Sở GD ĐT Quảng Ngãi – năm 2015) Xét số thực x ,y , z thỏa mãn x y z xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x y 13 (Đề thi thử THPT QG Sở GD ĐT Bắc Ninh – năm 2015) Tìm giá trị lớn , nhỏ hàm số với [ ] 14 (Đề thi thử THPT QG Sở GD ĐT Bắc Ninh – năm 2015) Cho số thực dương thỏa mãn √ Tìm giá trị nhỏ biểu thức √ √ 15 (Đề thi thử THPT QG Sở GD ĐT Tây Ninh – năm 2015)  4x   x Cho x số thực thuộc đoạn [  1, ] Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P   4x   x  16 (Đề thi thử THPT QG Sở GD ĐT Đăc Nông – năm 2015) Với số dương x y có tổng bé Chứng minh >> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! z 17 (Đề thi thử THPT QG Sở GD ĐT Vĩnh Phúc – lần 1– năm 2015) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f(x) = x3 – 3x + đoạn [0;2] 18 (Đề thi thử THPT QG Sở GD ĐT Vĩnh Phúc – lần 1– năm 2015) Cho x , y , z số thực dương thỏa mãn x + y – z = Tìm giá trị lớn biểu thức 19 (Đề thi thử THPT QG Sở GD ĐT Vĩnh Long – năm 2015) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện thức √ √ Tìm giá trị nhỏ biểu √ 20 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Hạ Long – năm 2015) √ √ Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 21 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Hạ Long – năm 2015) Chứng minh rằng: Với ΔABC ta có s s s t t t √ 22 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Khoa học tư nhiên – lần – năm 2015) Với số thực:  a,b,c  thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  1 a  1 b  1 c 23 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Quốc Học Huế - lần – năm 2015) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 = 3c2 + Tìm giá trị lớn biểu thức 24 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Khối D lần năm 2015) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: Cho số thực a, b, c thỏa mãn a.b.c = đoạn [-2; 2] Tìm giá trị lớn biểu thức 25 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp - lần 1– năm 2015) Giải bất phương trình: √ √ Cho số thực dương a, b thỏa mãn: a4 + b4 + Chứng minh rằng: >> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 26 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai – năm 2015) Cho số dương a, b, c thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ 27 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Nguyễn Trung Thiên – lần – năm 2015) ba số thực dương thỏa mãn Cho Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: 28 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Bạch Đằng – Hải Phòng – năm 2015) Cho P a, b, c bc 3a  bc  ca 3b  ca  số dương a b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức: ab 3c  ab 29 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Cẩm Bình – Hà Tĩnh – Lần – năm 2015) Cho a, b, c ba số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= + 2(a2 + b2 + c2) + 30 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chu Văn An - lần – năm 2015) Giải bất phương trình √ √ √ √ √ Xét số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ biểu thức 31 (Đề thi thử THPT QG Trường chuyên THPT Bến Tre - lần – năm 2015) Cho số thực cho Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 32 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên ĐH Vinh - lần - năm 2015) Giả sử số thực không âm thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức 33 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên ĐH Vinh - lần - năm 2015) Giả sử x, y, z số thực không âm thỏa mãn xy  yz  zx  >> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  1     x  1 y  1 z  1 2 x y y z z x 2 34 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên ĐHSP – HN lần năm 2015) Tìm giá trị nhỏ hàm số với x [2;4] 35 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Hoàng Lê Kha – Tây Ninh – năm 2015) √ Cho a , b , c số thực dương thỏa mãn √ Tìm giá trị lớn biểu thức : √ √ √ 36 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Hùng Vương – Phú Thọ - Lần - năm 2015) Cho số thực dương a , b , c thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 37 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Hưng Yên – năm 2015)   Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z   xy  yz  zx  Tìm giá trị lớn biểu thức: P  x  y  z  x  y  z 3 38 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt – năm 2015) Cho số thực dương a; b ; c thỏa mãn điều kiện : Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P  1   1 a b c ab bc ca   c2 a b 39 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Khoa học tự nhiên – lần – năm 2015) Với a, b, c số thực dương, nhỏ thỏa mãn chứng minh rằng: 40 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM - năm 2015) Cho a, b số thực dương thỏa mãn √ Tìm giá trị nhỏ biểu thức 41 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Lê Qúy Đôn – Đà Nẵng - năm 2015) Cho số thực dương √ √ thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức >> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 42 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Lương Văn Chánh – Phú Yên – lần – năm 2015) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f(x) = (x-6)√ [0;3] 43 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Lương Văn Chánh – Phú Yên – lần – năm 2015) √ – Giả sử x y không đồng Chứng minh: -2√ – 44 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam - năm 2015) Cho số thực a , b thuộc khoảng (0,1) thỏa mãn biểu thức sau : Tìm giá trị lớn √ 45 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM - năm 2015) Cho số thực x, y, z thỏa mãn xyz =2 CMR: x8  y y8  z x8  z  8 x4  y  x2 y y  z  y z x4  z  x2 z 46 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam - năm 2015) Cho a,b,c ba số thực dương Chứng minh : a a + 8c 2 + b b + 8a + c c + 8ab 2 ³1 47 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Nguyễn Huệ- Hà Nội –lần - năm 2015) Với x, y , z 0, tìm giá trị lớn biểu thức: 48 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp – lần - năm 2015) Cho x, y số thực dương thỏa mãn x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức √ √ 49 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Nguyễn Huệ- Hà Nội - năm 2015) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: 50 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Sơn Tây – Hà Nội - năm 2015) >> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Cho số thực x ; y ; z không âm cho hai số đồng thời Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ( xy  yz  zx)( 1   ) 2 x y y z z  x2 51 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Sơn Tây – lần - năm 2015) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 11b3  a 11c3  b3 11a  c3   6 ab  4b bc  4c2 ca  4a 52 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Sư Phạm Hà Nội – lần - năm 2015) Cho số thực dương a, b, c, d Chứng minh √ 53 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Sư Phạm Hà Nội – lần - năm 2015) Cho ba số thực, a, b, c thay đổi thuộc đoạn 1; 2 thỏa mãn a  b  c  a2 b2 c2 Chứng minh đẳng thức:    bc  ac  ab  54 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc – lần - năm 2015) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn Chứng minh 55 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc – lần - năm 2015) Cho số thực dương a, b, c thoả mãn a2 + b2 + c2 = Tìm GTNN biểu thức S = 8(a+b+c) + 5( + + ) 56 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc – lần - năm 2015) Cho số thực dương thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 57 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Cù Huy Cận – Hà Tĩnh – lần - năm 2015) Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện >> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ của: 58 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Đa Phúc – Hà Nội - năm 2015) Cho ba số thực a,b,c đôi phân biệt thỏa mãn điều kiện (√ trị nhỏ biểu thức | ) | Tìm giá √ 59 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Đào Duy Từ - lần - năm 2015) Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức √ √ 60 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Đông Sơn - năm 2015) Cho x, y, z số thực thỏa mãn Chứng minh 61 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Gang Thép – Thái Nguyên – lần - năm 2015) Cho a, b, c độ dài tam giác thỏa mãn Chứng minh 62 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Hai Bà Trưng – Thừa Thiên Huế – lần - năm 2015) Cho a, b, c ≥ số thực dương thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn của: 63 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh – lần - năm 2015) Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn  2a   2b2   2c2  Chứng minh 2a3  b6  c6  64 64 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh – lần - năm 2015) 2x2  y  2x  y Cho  x   y Tìm giá trị nhỏ B = xy 65 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Hiền Đa – Phú Thọ – lần - năm 2015) Cho số dương a, b, c thay đổi thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a2 b2 c2 P   2 b3    c  1 c3    a  1 a    b  1 >> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 66 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Hồng Quang – Hải Dương – lần - năm 2015) Cho số dương x, y, z thỏa mãn x > y (x +z)(z+y) = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 67 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Ischool Nha Trang – lần - năm 2015) Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn điều kiện x2 + y2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức ( ) 68 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lam Kinh – Thanh Hóa – lần - năm 2015) Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: b c   a    2   3a  b 3a  c 2a  b  c  3a  c 3a  b 69 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lạng Giang số - năm 2015) thỏa mãn Cho Chứng minh rằng: 70 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lê Quý Đôn – Đống Đa – Hà Nội - năm 2015) Cho số thực a,b,c,d thỏa mãn , Tìm giá trị nhỏ biểu thức : √ Q=√ √ 71 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lê Quý Đôn – Hải Phòng - năm 2015) x Cho x, y số thực thuộc  0;1 thoả mãn thức P  1 x  1 y   y3  x  y  xy  1  x 1  y  Tìm giá trị lớn biểu  4xy  x  y 72 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lệ Thủy – Quảng Bình - năm 2015) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kieenh Chưng minh rằng: >> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 73 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc - năm 2015) Cho ba số dương a, b, c thay đổi thỏa mãn a + b + c = Tìm GTLN biêu thức √ √ √ 74 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lương Ngọc Quyến – Thái Nguyên - năm 2015) Cho a, b, c ba số thực dương Chứng minh rằng: 75 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội – lần - năm 2015) Cho số thực a, b không âm thỏa mãn: √ Tìm giá trị lớn biểu thức 76 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội – lần - năm 2015) Cho số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức √ 77 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội – lần - năm 2015) Cho số thực a, b dương thỏa mãn ab ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức √ 78 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh – lần - năm 2015) Cho x, y hai số thỏa mãn: x, y  3(x  y)  4xy Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu  1   2  x y  thức: P  x3  y3   79 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lý Tự Trọng – Khánh Hòa – lần - năm 2015) >> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 10 a3 b3 c3 abc     (a  b)(a  c) (b  c)(b  a) (c  a)(c  b) a3 ab ac    a ( 1) (Bất đẳng thức Cô si) Ta có (a  b)(a  c) 8 b3 bc ba    b ( 2) Tương tự (b  c)(b  a) 8 c3 ca cb    c (c  a)(c  b) 8 ( 3) Cộng vế với vế bất đẳng thức ( 1) , ( 2) , (3) suy điều phải chứng minh 84 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai- Hà Tĩnh - năm 2015) √ Ta có √ √ √ √ (0,5đ) √ => Giả thiết ⇔ Mặt khác nên đặt ⇔ Xét hàm số => (0,5đ) (do a, b, c dương) (0;4] ta có =>Hàm số f(t) nghịch biến (0;4] (0,5đ) ] GTNN P , ⇔ (0,5đ) 85 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Nguyễn Trãi – Kon Tum - năm 2015) (1,0 điểm) Áp dụng bất đẳng thức S 1   , x  0, y  x y x y 1 1 1       2     3  bca a cb bca a bc  a cb a bc  >> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 69   c b a 2 3 1 3  Từ giả thiết ta có   a, nên          a    c b c b a a c b a  Vậy giá trị nhỏ S Dấu xảy a  b  c  suy S  86 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Như Xuân – Thanh Hóa - năm 2015) Ta có : P  x x y2 y2 z z      y z z x x y (*) (0,25) Nhận thấy : x2 + y2 – xy  xy x, y  R Do : x3 + y3  xy(x + y) x, y > Tương tự, ta có : z2 x  zx x z hay x y2   x  y x, y > y x y2 z2   y  z y, z > z y x, z > Cộng vế ba bất đẳng thức vừa nhận trên, kết hợp với (*), ta được: P  2(x + y + z) = x, y, z > x + y + z = Hơn nữa, ta lại có P = x = y = z = Vì vậy, minP = 87 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Nông Cống – lần - năm 2015) Ta có √ =√ √ +√ √ + √ √ √ 3| | = 3(x+y) Dấu xảy x = y Đặt x + y = t ta có { Ta có P = 2t3 + 2t2 – xy (6t +5) + √ P 2t3 + 2t2 - (6t + 5) + √ ⇔* (*) +√ ⇔ 4P 2t3 + 3t2 + 4√ = f (t) 0,25 >> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 70 Xét hàm số f(t)= 2t3 + 3t2 + 4√ (*), f‟(t) = 6t2 + 6t + √ Với t thoả mãn (*) Suy f(t) {f(0);f(1)} = f(0) = 0,25 Vậy 4P f(t) ⇔x=y=0 f(0) = Hay P = đạt { 0,25 88 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Phù Cừ - Hưng Yên - năm 2015) √ Và √ (2) Thật vậy, với x, y, z ≥ ta có: (1) ⇔ (2) ⇔ Khi biểu thức P trở thành √ (0,25đ) √ Đặt √ Nên Xét hàm số với t > Có (0,25đ) Do t > nên Suy ⇔ >> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 71 Lập bảng biến thiên => Vậy GTLN P ⇔ (0,25đ) 89 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Quảng Xương – Thanh Hóa - năm 2015) Áp dụng bổ đề: Với Ta có: √ (0,5đ) √ √ Chú ý: CM bổ đề: Với Áp dụng BĐT Bunhiacopski với dãy √ √ ( √ √ √ √ ta có: nên có: Do Dấu xảy ⇔ Lại có: √ √ √ √ √ √ √ ⇔ √ Dấu xảy * √ suy đpcm (0,5đ) √ Dấu xảy [ √ √ Dấu xảy * (0,5đ) Đặt Điều kiện t f‟(t) Ta có: với 36 + >> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 144 f(t) 71 72 [ Xét hàm số (0,5đ) Ta có: ⇔* ; nửa khoảng [ BBT Ta có [ Vậy 90 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh – lần - năm 2015) (2a + 3a+ 4a) ( BĐT [ Do a ] + 2a + ) < 24 3a 2a < 16 ; > Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 73 Ta có x  xy  xyz  x   x 1 x.8 y  x.8 y.32 z x  y x  y  32 z 32    x  y  z   x  y  z 24 24 t  x  y  z;t  3 f  t    t  t ; f  t    t   P  f t    2t 3t Lập bảng biến thiên hàm f(t) ta Pmin   t=1 16   x  21 x  y  z      y  Dấu “=” xảy 2 x  y 21 2 x  32 z     z  21  92 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Quỳnh Lưu – Nghệ An - năm 2015) Ta có Đặt nên ( (0,25đ) a, b, c thuộc [1; 2] nên t thuộc [1; 4] Ta có Hàm số ) với t thuộc [1;4] (0,25đ) đồng biến [1;4] nên đạt GTNN , a, b, c thuộc [1; 2] ⇔ Dấu xảy (0,25đ) (0,25đ) Vậy Min P = 93 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Thủ Đức - TPHCM - năm 2015) Vì a + b + c = ta có Vì theo BĐT Cô-Si √ √ √ √ (0,25đ) , dấu đẳng thức xảy ⇔b = c >> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 74 Tương tự √ (0,25đ) √ (0,25đ) Suy Đẳng thức xảy a = b = c = Vậy max P = a = b= c = (0,25đ) 94 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Tĩnh Gia - năm 2015) a b c 1 1 93 abc abc abc     b c c a a b    abc abc abc abc abc abc 1 Đặt x  a b c , ta có: x,y,z>0 x  y  z  ;y  ;z  abc abc abc Khi đpcm  1 x 1 y 1 z  3 1 x 1 y 1 z  3        yz zx xy 1 x 1 y 1 z  1  1  x   1  y   1  z      9 1 1  x  y  z  Ta cm:    1 Ta có: 1 x 1 y 1 z 1 9       x  y  z 1  x   1  y   1  z  Từ suy (1) đúng, dấu đẳng thức xảy x  y  z  Ta cm: y x z 3    2 1 x 1 y 1 z Thật vậy, Xét hàm số f(x) = x 1  x  víi  x  Ta có f‟(x) =  3x =0 x ; x BBT x f‟(x) +  >> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 75 f(x) 3 Suy < f(x) < Vậy ta có: Suy 3 Dấu “=” xảy  x  y x x 3x x 3y z 3   = ; tương tự: ;   z 2 1 y  x 1  x  x 1 z 3 y x z 3 3    (x+y+z)= 1 x 1 y 1 z 2 Từ suy (2) đúng, dấu đẳng thức xảy x  y  z  Từ suy đpcm dấu đẳng thức xảy a  b  c 95 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Phú Yên - năm 2015) P =xyz – (xy +2yz +zx) =yz(x-2)-x(y+z) (0,25đ) [ Xét hàm số: [ Vậy ] , ta có Mặt khác, x = 0, y = z = ], khảo sát hàm số [ ] (0,25đ) Vậy P = (0,25đ) Ta có (0,25đ) Khi x = 1, y = z =0 => P =0 Vậy max P = 96 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Triệu Sơn – lần - năm 2015) 1 Cho a, b, c thuộc khoảng (0;1) thoả mãn (  1)(  1)(  1)  Tìm GTNN biểu thức P = a  b2  c2 a b c 1 (  1)(  1)(  1)   ab  bc  ca  a  b  c   2abc a b c P= (a  b  c)2  2(ab  bc  ca)  (a  b  c)2  2(a  b  c  1)  4abc Theo Cô si abc  ( abc ) >> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 76 P  t  2t   t v ới t  a  b  c (0 x y z z x x z (  )(  ) y y y y  x y y x (  )(  ) z z z z x2 y2 z2   = ( y  z )( z  y) ( z  x)( x  z ) ( x  y)( y  x) Ta có ( y  z )( z  y)  yz  y  z  yz  2( y  z )  yz  ( y  z ) >> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 78 Suy x2 x2  (1) ( y  z )( z  y ) y  z y2 y2  Tương tự có (2); ( z  x)( x  z ) x  z z2 z2  (3) ( x  y)( y  x) y  x 2 x2 y2 z2   ) Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta VT  ( y  z x2  z y  x2 x2 y2 z2 1  2 Lại có = ( x  y  z )(   )3 2 2 y z x z y x y z x z y  x2 = 1 1 (( x  y )  ( y  z )  ( z  x ))(   )     2 2 y z x z y x 2 (BĐT Netbit) Suy VT   (đpcm) 100 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Chí Linh – Hải Dương – lần - năm 2015) Xét f ( x)  2x  x  (2m ln  1)( x  m) , m  f '( x)  2x ln 1  (2m ln 1); f '( x)   x  m Lập bảng biến thiên ta f ( x)  2m  mx  2x  x  (2m ln  1)( x  m)  2m  m x, m  0(*) Dấu đẳng thức xảy x=m Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có 2a  a  (23 ln  1)(a  3)  22  a (1)  b  (2 ln  1)(b  2)   b (2) b 2 Cộng vế (1)(2) ta P  23   22   (23 ln 1)(a  3)  (4ln 1)(b  2) a, b  P   (4ln 1)(a  b  5)  4(a  3)ln  Khi a=3,b=2 P=7 nên giá trị nhỏ P 101 (Đáp án đề thi THPT QG minh họa Bộ GD ĐT - năm 2015) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy với số thực x, xét điểm A(x; x +1), B( √ ;- ) C ( √ ;- ) 0,25 >> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 79 Khi ta có P = a = BC, b = CA, c = AB + Gọi G trọng tâm tam giác ABC ta có P= + = ( + ) 0,25 Trong ma; mb; mc tương ứng độ dài đường trung tuyến xuất phát từ A, B, C tam giác ABC Theo bất đẳng thức cosi cho hai số thực không âm ta cao a.ma = √ √ √ cách tương tự ta có b.mb √ Suy P ( √ = c.mc + OB.GB + OC GC) √ 0,25 √ (1) Ta có + OB.GB + OC GC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (2) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) + GA2 + GB2 + GC2 = (ma2 + mb2 + mC2) = Từ (1) (2)(3) suy P (3) 0,25 √ Hơn kiểm tra trực tiếp ta thấy P = √ x = Vậy P = √ 102 (Đáp án đề thi THPT QG thức Bộ GD ĐT - năm 2015) Đặt t = ab + bc + ca Ta có [ ] Mặt khác, Và nên Suy t ≤ 12 ; (0,25 đ) , nên Suy (0,25 đ) Vậy t ∊[11;12] Khi >> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 80 (0,25 đ) ; với t ∊ [11;12] Ta có Xét hàm số [ Do ], nên f(t) nghịch biến đoạn [11,12] Do Suy Ta có a =1, b = 2, c = thỏa mãn điều kiện toán Vậy giá trị lớn P 103 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THCS & THPT Nguyễn Viết Xuân - năm 2015) Đặt t = x + y =>xy = – t ; x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = t2 – 2(3 – t) = t2 + 2t – ( Ta có ) ( Suy (0,25 đ) ⇔t ) (0,25 đ) Xét hàm số với Ta có Suy hàm số f(t) nghịch biến với t ≥ (0,25 đ) => Vậy giá trị lớn P x = y =1 104 (0,25 đ) (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên KHTN – lần - năm 2015) Theo bất ẳng thức Cauchy – S hw rz t √ √ √ ó √ √ √ √ √ √ =>bất ẳng thức cần chứng minh Dấu bất ẳng thức xảy ⇔ √ >> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 81 105 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Bình Định - năm 2015) Vì x, y, z thuộc đoạn [1;2], nên ta có: ⇔ Dấu “=” xảy x = y = z = Do x ≥ nên ta có (0,25 đ) √ √ √ √ Đăt √ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: (0,25 đ) với t ∊[1;2] √ Xét hàm số [1;2] với t thuộc đoạn [1;2] => Vì x [ ] Giá trị lớn P 106 (0,25 đ) x = y = z = (0,25 đ) (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Cổ Loa – Hà Nội – lần - năm 2015) Ta có Xét hàm Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm có hoành độ x =1 Ta chưng minh Thật ta có Bất đẳng thức (1) (0,25 đ) Sử dụng kết (1) ta có Dấu “=” xảy a = b = c =1 Vậy giá trị lớn P (0,25 đ) >> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 82 107 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Lương Ngọc Quyến – lần - năm 2015) Ta có: x, y, z > nên dấu = xảy x = y Lại có: + xy + x + y = (1 + x )(1 + y) 2xy ≤ x2 + y2 dấu = xảy x = y (0,25 đ) Nên ta được: √ = √ √ => => => √ √ √ (0,25 đ) => Xét hàm số ⇔ Ta có Lập bảng biến thiên hàm số f(z) Ta nhận Vậy GTNN P (0,25 đ) ( ) đạt (0,25 đ) >> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 83 [...]... và x + y + z = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 80 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Mạc Đĩnh Chi - TPHCM - năm 2015) Cho các số thực x ; y thay đổi Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức : √ √ | | 81 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Nghèn – Hà Tĩnh - năm 2015) Cho a, b, c là các số thực không đồng thời bằng 0 và thỏa mãn: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 82 (Đề thi thử THPT QG... thực thuộc đoạn [1;2] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: √ 106 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Cổ Loa – Hà Nội – lần 3 - năm 2015) Cho a,b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 107 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lương Ngọc Quyến – lần 2 - năm 2015) Cho 3 số thực dương x, y, z thay đổi, thỏa mãn x + y +1 = z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức √ >> Truy cập... b + c = 6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 103 (Đề thi thử THPT QG Trường THCS & THPT Nguyễn Viết Xuân - năm 2015) Cho x, y là cá số thực dương thỏa mãn xy + x + y = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 104 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên KHTN – lần 5 - năm 2015) Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1, chứng minh rằng √ 105 √ √ √ (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Lê... 2015) a  b  5 Cho các số thực a, b thoả mãn  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2a  2b  a  b a  3 101 (Đề thi THPT QG minh họa của Bộ GD và ĐT - năm 2015) Xét số thực x Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = √ + √ √ √ √ >> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 13 102 (Đề thi THPT QG chính thức của Bộ GD và ĐT - năm 2015) Cho các số thực... 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x 2 (y  z) y 2 (z  x) z 2 (x  y)   yz zx xy 87 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Nông Cống 1 – lần 2 - năm 2015) Cho x, y là các số thực không âm thoả mãn √ √ Tìm GTNN của P: 2(x3 + y3) + 2(x2 + y2) – xy +√ +√ 88 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Phù Cừ - Hưng Yên - năm 2015) Cho ba số thực không âm x, y, z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức √ √ √ 89 (Đề. .. Quỳnh Lưu – Nghệ An - năm 2015) Cho a, b, c thuộc đoạn [1; 2] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 93 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Thủ Đức - TPHCM - năm 2015) Cho a, b, c là các số dương và a + b+ c = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức √ √ >> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! √ 12 94 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Tĩnh Gia 2 - năm 2015) Cho... thỏa mãn x +y + z √ Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức √ √ 90 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh – lần 1 - năm 2015) Cho a [ ] Chứng minh rằng: (2a + 3a + 4a) (6a + 8a + 12a) √ , dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi √ √  Giá trị nhỏ nhất của A là Xét hàm số : [√ √ √ , đạt được khi trên [√ 0,25đ ], >> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 21 luôn đồng biến trên D => => { , dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :  Vậy giá trị lớn nhất của A là , đạt được khi 0,25đ 10 (Đáp án đề thi thử THPT QG Sở GD và...  ca b  a bc  c ab  93 3 2 abc 95 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Phú Yên - năm 2015) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức Cho 96 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Triệu Sơn 5 – lần 2 - năm 2015) 1 1 1 Cho a, b, c thuộc khoảng (0;1) thoả mãn (  1)(  1)(  1)  1 Tìm GTNN của biểu thức P = a 2  b2  c2 a b c 97 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Trần Nguyên Hãn... đổi, thỏa mãn x + y +1 = z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức √ >> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 14 ĐÁP ÁN CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC – TÌM GIÁ TRỊ MIN MAX 1 (Đáp án đề thi thử THPT QG Sở giáo dục Hà Tĩnh năm 2015)  1 1 1  2   (a  b 2  c 2 ) 2 2 2   (a  b) (b  c) (c  a)  Ta có 3F   Gọi c  min(a, b, c) ; đặt a  c  x; b  c  ... dương a b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức: ab 3c  ab (Đề thi thử THPT QG Sở GD ĐT Cần Thơ – năm 2015) Cho số thực không âm thỏa mãn Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức 10 (Đề thi thử THPT... mãn √ Tìm giá trị nhỏ biểu thức √ √ 15 (Đề thi thử THPT QG Sở GD ĐT Tây Ninh – năm 2015)  4x   x Cho x số thực thuộc đoạn [  1, ] Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P   4x   x  16 (Đề thi... + Tìm giá trị lớn biểu thức 24 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Khối D lần năm 2015) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: Cho số thực a, b, c thỏa mãn a.b.c = đoạn [-2; 2] Tìm giá trị