ĐỀ BÀI CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC – TÌM GIÁ TRỊ MIN MAX 1... Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 9.. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức... Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 29.. Tìm giá t
Trang 1ĐỀ BÀI CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC – TÌM GIÁ TRỊ MIN MAX
1 (Đề thi thử THPT QG Sở giáo dục Hà Tĩnh năm 2015)
Cho a, b, c là các số thực không âm, phân biệt thỏa mãn a2
+ b2 + c2 = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 (Đề thi thử THPT QG Sở giáo dục Thanh Hóa năm 2015)
Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn 12 2x12 2,y0,z0 và x yz1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
2
)(8
1)
(
1)
(
1
z y z
x y
3 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lương Thế Vinh – HN – lần 4 – năm 2015)
Cho các số thực x, y, z dương và thỏa mãn √ Tìm giá trị nhỏ
5 (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Lào Cai – năm 2015)
Cho x là số thực thuộc đoạn * + Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức √ √ √ √
6 (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Bạc Liêu – năm 2015)
Cho ba số thực a, b, c thỏa Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
√
7 (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Bình Dương – năm 2015)
Cho a , b , c là 3 số thực dương thỏa mãn , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
8 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Cà Mau – năm 2015)
Trang 2Cho a b c là các số dương và , , a b c 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
9 (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Cần Thơ – năm 2015)
Cho các số thực không âm thỏa mãn và Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
10 (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Lâm Đồng – năm 2015)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
√
√
√
11 (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Quảng Nam – năm 2015)
Cho ba số thực dương a ; b ; c tùy ý Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
√
√
√ √
√ √
12 (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Quảng Ngãi – năm 2015)
Xét 3 số thực x ,y , z thỏa mãn x y z xyz Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x y z
13 (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Bắc Ninh – năm 2015)
Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số với [ ]
14 (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Bắc Ninh – năm 2015)
Cho các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
15 (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Tây Ninh – năm 2015)
Cho x là số thực thuộc đoạn [ 1, ]5
16 (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Đăc Nông – năm 2015)
Với các số dương x và y có tổng bé hơn 1 Chứng minh rằng
Trang 319 (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Vĩnh Long – năm 2015)
Cho a, b, c là ba số thực dương và thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
20 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Hạ Long – năm 2015)
Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số √ √
21 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Hạ Long – năm 2015)
Chứng minh rằng: Với mọi ΔABC ta đều có s s s t t t √
22 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Khoa học tư nhiên – lần 2 – năm 2015)
Với các số thực: 0a, b,c2 thỏa mãn a b c 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P 1 a 1 b 1 c
23 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Quốc Học Huế - lần 1 – năm 2015)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 = 3c2 + 4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
24 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Khối D lần 2 năm 2015)
1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn [-2; 2]
2 Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a.b.c = 1 và
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
25 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp - lần 1– năm 2015)
Trang 4
26 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai – năm 2015)
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của
27 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Nguyễn Trung Thiên – lần 1 – năm 2015)
Cho là ba số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
28 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Bạch Đằng – Hải Phòng – năm 2015)
Cho a b c, , là các số dương và a b c 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
29 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Cẩm Bình – Hà Tĩnh – Lần 1 – năm 2015)
Cho a, b, c là ba số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
31 (Đề thi thử THPT QG Trường chuyên THPT Bến Tre - lần 2 – năm 2015)
Cho là các số thực sao cho
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
32 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên ĐH Vinh - lần 1 - năm 2015)
Giả sử là các số thực không âm thỏa mãn
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
33 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên ĐH Vinh - lần 2 - năm 2015)
Giả sử x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn xy yz zx 1
Trang 5Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 21 2 21 2 2 1 2 5
x y y z z x 2
34 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên ĐHSP – HN lần 7 năm 2015)
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số với x [2;4]
35 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Hoàng Lê Kha – Tây Ninh – năm 2015)
Cho a , b , c là 3 số thực dương thỏa mãn √ √
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
√ √ √
36 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Hùng Vương – Phú Thọ - Lần 3 - năm 2015)
Cho các số thực dương a , b , c thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
37 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Hưng Yên – năm 2015)
Cho x y z là các số thực dương thỏa mãn , , 2 2 2
5 x y z 9 xy2yzzx Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
1
x P
38 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt – năm 2015)
Cho 3 số thực dương a; b ; c thỏa mãn điều kiện : 1 111
c b
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2 2 2
b
a c a
c b c
b a
P
39 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Khoa học tự nhiên – lần 1 – năm 2015)
Với a, b, c là các số thực dương, nhỏ hơn và thỏa mãn chứng minh rằng:
40 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM - năm 2015)
Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
√
41 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Lê Qúy Đôn – Đà Nẵng - năm 2015)
Cho các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
√
√
Trang 642 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Lương Văn Chánh – Phú Yên – lần 1 – năm 2015)
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) = (x-6)√ trên [0;3]
43 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Lương Văn Chánh – Phú Yên – lần 1 – năm 2015)
Giả sử x và y không đồng nhất bằng 0 Chứng minh: -2√ – 2 √ –
44 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam - năm 2015)
Cho 2 số thực a , b thuộc khoảng (0,1) thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau : √
45 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM - năm 2015)
Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn xyz =2 2 CMR:
46 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam - năm 2015)
Cho là ba số thực dương Chứng minh rằng :
47 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Nguyễn Huệ- Hà Nội –lần 1 - năm 2015)
Với x, y , z 0, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
48 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp – lần 2 - năm
2015)
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x + y ≤ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức √
√
49 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Nguyễn Huệ- Hà Nội - năm 2015)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng:
50 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Sơn Tây – Hà Nội - năm 2015)
Trang 7Cho các số thực x ; y ; z không âm sao cho không có hai số nào đồng thời bằng 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = (xy yz zx)( 2 1 2 21 2 21 2)
51 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Sơn Tây – lần 2 - năm 2015)
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 3 Chứng minh rằng:
52 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Sư Phạm Hà Nội – lần 1 - năm 2015)
Cho các số thực dương a, b, c, d Chứng minh rằng
√
53 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Sư Phạm Hà Nội – lần 3 - năm 2015)
Cho ba số thực, a, b, c thay đổi thuộc đoạn 1; 2 và thỏa mãn a b c 4
54 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc – lần 2 - năm 2015)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn Chứng minh rằng
55 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc – lần 3 - năm 2015)
Cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn a2 + b2 + c2 = 3
Tìm GTNN của biểu thức S = 8(a+b+c) + 5( + + )
56 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc – lần 4 - năm 2015)
Cho các số thực dương thỏa mãn:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
57 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Cù Huy Cận – Hà Tĩnh – lần 1 - năm 2015)
Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện
Trang 8Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của:
58 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Đa Phúc – Hà Nội - năm 2015)
Cho ba số thực a,b,c đôi một phân biệt và thỏa mãn các điều kiện và Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức (√ | |) √
59 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Đào Duy Từ - lần 1 - năm 2015)
Cho các số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
√ √
60 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Đông Sơn 1 - năm 2015)
Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn Chứng minh rằng
61 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Gang Thép – Thái Nguyên – lần 1 - năm 2015)
Cho a, b, c là độ dài của tam giác thỏa mãn
Chứng minh rằng
62 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Hai Bà Trưng – Thừa Thiên Huế – lần 3 - năm 2015)
Cho a, b, c ≥ 1 là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 6 Tìm giá trị lớn nhất của:
63 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh – lần 1 - năm 2015)
Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn 2 2 2
1 2 a 1 2 b 1 2 c 5Chứng minh rằng 4 2a3b6c6 64
64 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh – lần 2 - năm 2015)
Cho 2 x 3 y Tìm giá trị nhỏ nhất của B =
2 2
2x y 2x y
xy
65 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Hiền Đa – Phú Thọ – lần 2 - năm 2015)
Cho các số dương a, b, c thay đổi thỏa mãn a b c 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Trang 966 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Hồng Quang – Hải Dương – lần 1 - năm 2015)
Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x > y và (x +z)(z+y) = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
67 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Ischool Nha Trang – lần 1 - năm 2015)
Cho x, y là hai số thực dương và thỏa mãn điều kiện x2
+ y2 = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( )
68 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lam Kinh – Thanh Hóa – lần 1 - năm 2015)
Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:
69 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lạng Giang số 1 - năm 2015)
Cho thỏa mãn Chứng minh rằng:
70 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lê Quý Đôn – Đống Đa – Hà Nội - năm 2015)
Cho các số thực a,b,c,d thỏa mãn ,
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Q=√ √ √
71 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lê Quý Đôn – Hải Phòng - năm 2015)
Cho x, y là các số thực thuộc 0;1 thoả mãn 3 3
1 x 1 yxy
72 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lệ Thủy – Quảng Bình - năm 2015)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kieenh Chưng minh rằng:
Trang 10
73 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc - năm 2015)
Cho ba số dương a, b, c thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 2 Tìm GTLN của biêu thức
√ √ √
74 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lương Ngọc Quyến – Thái Nguyên - năm 2015)
Cho a, b, c là ba số thực dương Chứng minh rằng:
75 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội – lần 1 - năm 2015)
Cho các số thực a, b không âm và thỏa mãn:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức √
76 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội – lần 2 - năm 2015)
Cho các số thực dương thỏa mãn
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức √
77 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội – lần 3 - năm 2015)
Cho các số thực a, b dương và thỏa mãn ab ≥ 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
√
78 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh – lần 2 - năm 2015)
Cho x, ylà hai số thỏa mãn: x, y1 và 3(x y) 4xy.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
Trang 11Cho x , y , z 0 và x + y + z = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
80 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Mạc Đĩnh Chi - TPHCM - năm 2015)
Cho các số thực x ; y thay đổi Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
√ √ | |
81 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Nghèn – Hà Tĩnh - năm 2015)
Cho a, b, c là các số thực không đồng thời bằng 0 và thỏa mãn:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
83 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Ngô Gia Tự - Bắc Ninh – lần 1 - năm 2015)
Cho x, y, z là ba số thực thỏa mãn 5x 5y 5z 1 Chứng minh rằng
84 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai- Hà Tĩnh - năm 2015)
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn
Tìm giá trị nhỏ nhất của
85 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Nguyễn Trãi – Kon Tum - năm 2015)
Cho là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn 2c b abc Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Trang 1286 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Như Xuân – Thanh Hóa - năm 2015)
Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x (y2 z) y (z2 x) z (x2 y)
87 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Nông Cống 1 – lần 2 - năm 2015)
Cho x, y là các số thực không âm thoả mãn
√ √ Tìm GTNN của P: 2(x3
+ y3) + 2(x2 + y2) – xy +√ +√
88 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Phù Cừ - Hưng Yên - năm 2015)
Cho ba số thực không âm x, y, z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
√ √ √
89 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Quảng Xương 1 – Thanh Hóa - năm 2015)
Cho ba số thực dương x , y , z thỏa mãn x +y + z Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
√ √ √
90 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh – lần 1 - năm 2015)
Cho a [ ] Chứng minh rằng:
(2a + 3a + 4a) (6a + 8a + 12a) <24a+1
91 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Quỳ Châu – Nghệ An – lần 3 - năm 2015)
Cho x, ,y, z là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
92 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Quỳnh Lưu – Nghệ An - năm 2015)
Cho a, b, c thuộc đoạn [1; 2] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
93 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Thủ Đức - TPHCM - năm 2015)
Cho a, b, c là các số dương và a + b+ c = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức √ √ √
Trang 1394 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Tĩnh Gia 2 - năm 2015)
95 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Phú Yên - năm 2015)
Cho Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức
96 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Triệu Sơn 5 – lần 2 - năm 2015)
Cho a b c, , thuộc khoảng (0;1) thoả mãn (1 1)(1 1)(1 1) 1
a b c Tìm GTNN của biểu thức P = a2b2c2
97 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Trần Nguyên Hãn – Hải Phòng - năm 2015)
Cho các số dương ,a b,c thỏa mãn điều kiện ab bc ca 3
1 a b c( )1 b c( a)1 c a b( ) abc
98 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Trần Phú – Thanh Hóa - năm 2015)
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a b c và a2 +b2+c2 = 5 Chứng minh rằng:
(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca) -4
99 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Gia Bình 1 – Bắc Ninh - năm 2015)
Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 1 Chứng minh rằng:
101 (Đề thi THPT QG minh họa của Bộ GD và ĐT - năm 2015)
Xét số thực x Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = √ +
√ √
√ √
Trang 14102 (Đề thi THPT QG chính thức của Bộ GD và ĐT - năm 2015)
Cho các số thực a, b, c thuộc đoạn [1;3] và thỏa mãn điều kiện a + b + c = 6 Tìm giá trị lớn nhất của
103 (Đề thi thử THPT QG Trường THCS & THPT Nguyễn Viết Xuân - năm 2015)
Cho x, y là cá số thực dương thỏa mãn xy + x + y = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
104 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên KHTN – lần 5 - năm 2015)
Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1, chứng minh rằng
106 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Cổ Loa – Hà Nội – lần 3 - năm 2015)
Cho a,b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
107 (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lương Ngọc Quyến – lần 2 - năm 2015)
Cho 3 số thực dương x, y, z thay đổi, thỏa mãn x + y +1 = z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
√
Trang 15ĐÁP ÁN CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC – TÌM GIÁ TRỊ MIN MAX
1 (Đáp án đề thi thử THPT QG Sở giáo dục Hà Tĩnh năm 2015)
c a b
x y xy
a b
ab ab
Trang 16Ta thấy hệ này luôn có nghiệm phân biệt
Vậy giá trị nhỏ nhất của F là 11 5 5
1)
1(
1)
1(
1)
1(8
1)
1(
1)
1(
1
x z
y x
y z
1)
1(
1)
1(
1
2 2
Thật vậy: 2 2 (1 )[(1 )2 (1 )2] [(1 )(1 )]2
1
1)
1(
1)
1(
1
y z y
z yz yz
2
)1
()2
22)(
1
2 2
2)
()1)(
(2)1(
)1(2))(
1()1(2)1)(
(2
y z zy y
z zy
yz zy z
y zy yz
zy y
42))(
1
0)1()
)1(2
2 2
2
x x
z y
)1(1
11
1)
1(
1)
1
(
1
x x
yz z
y
2 2
)1(8
1)
4
Xét
t t t
4
)
2 2
2
)8()4(
240723)
8(
1)
4(
4)
('
t t
t t t
t t
2407230
Trang 17Do đó
4
3)
1
4)1
z y x z
y x
z y x
Vậy
4
3min P khi x3,yz1
3 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Lương Thế Vinh – HN – lần 4 – năm 2015)
Trang 19Vậy minP = , khi x = ; Vậy maxP = , khi 0,25đ
6 (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Bạc Liêu – năm 2015)
Ta có: √
= √
Vì nên: dấu bằng xảy ra khi a = 0
Tương tự: dấu bằng xảy ra khi a = 0
Nên:
√ dấu bằng xảy ra khi a = 0 (0,25 đ)
Áp dụng bất đẳng thức: với x >0, y > 0 ta có:
+
dấu bằng xảy ra khi x = y (phải chứng minh)
+ dấu bằng xảy ra khi x = y
Trang 20Suy ra , dấu bằng xảy ra khi: { √
⇔ , (0,25 đ)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là
7 (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Bình Dương – năm 2015)
Trang 218 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Cà Mau – năm 2015)
Trang 22
=> luôn đồng biến trên D => , dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :
Vậy giá trị lớn nhất của A là , đạt được khi 0,25đ
10 (Đáp án đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Lâm Đồng – năm 2015)
Trang 23Do đó đặt x = √ ; y = √ ; z = √ ; (x ; y ; z > 0) khi đó xyz = 1
Khi đó P = 0,25đ
Ta có
Nên P = x y z √xyz
Vậy khi và chỉ khi x = y =z =1 hay a = b =c 0,25đ
12 (Đáp án đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Quảng Ngãi – năm 2015)
t Dấu đẳng thức xảy ra khi (x ; y ; z ) = (1;0;0) và các hoán vị 0,25đ
13 (Đáp án đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Bắc Ninh – năm 2015)
(0,5đ)
⇔ * (0,5đ)
(0,5đ)
Trang 24Vậy x[ ] đạt được khi
√ √
=> [ liên tục trên [ (0,25đ)
=> Hàm số đồng biến trên [
=> √ (0,25đ)
Vậy √ đạt được khi (0,25đ)
15 (Đáp án đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Tây Ninh – năm 2015)
Trang 25Áp dụng bất đẳng thức Cô – si 3 lần ta có điều phải chứng minh
Dấu bằng xảy ra: khi và chỉ khi
Trang 26( ) ( ) ( )
Như vậy ,
Lúc này {
Trang 27
19 (Đáp án đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Vĩnh Long – năm 2015)
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ Vậy √ khi (0,25đ)
20 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Hạ Long – năm 2015)
Trang 2822 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Khoa học tư nhiên – lần 2 – năm 2015)
Trang 29Ta chứng minh : 1 a 1 b 1 1 a b * Thật vậy :
* 1 a 1 b 2 1 a 1 b 1 1 a b 2 1 a b
1 a 1 b 1 a b ab 0
(luôn đúng)
Vì vai trò của a, b, c như nhau nên không mất tính tổng quát giả sử : a b c
Suy ra: 1 c 2 Theo (*) ta có: P 1 1 a b 1 c 1 4 c 1 c
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là: 1 2 3
23 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Quốc Học Huế - lần 1 – năm 2015)
+ y2 -2c(x+y) = a2 + b2 – 2c2 = (a2 + b2 – 3c2) +c2 = 4 + c2 nên P – c3
+ 4 + c2 (0,5) Xét hàm số:
U = f(t) = - t3 + t2 + 4, t ; f‟(t) = -3t2 + 2t ; f‟(t) = 0 *
Bảng biến thiên
Trang 30Từ đó ta có : P , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a= b= 2√ và c =
24 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Khối D lần 2 năm 2015)
1 Hàm số liên tục trên đoạn [-2;2]
⇔ [ [ ] [ ]
Trang 31Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi {
*
⇔[
{ {
Vậy max P = đạt được khi
[
{ {
25 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp - lần 1– năm 2015)
1
√
√ ĐK:
Trang 32Thật vây:
Với a, b > 0 và ab ≤ 1, (*)⇔
(đúng) (0,25đ) Khi đó
(0,25đ) Xét hàm số ; với
27 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Nguyễn Trung Thiên – lần 1 – năm 2015)
Từ giả thiết suy ra: √ Ta có:
=> Mặt khác (0,25đ)
Thật vậy: ⇔ ⇔ luôn đúng
Trang 33+ , x>0; f‟(x) = 4x - = 0,25 f‟(x) = 0 x =
bảng biến thiên: 0,25
x f‟(x) - 0 +
F(x)
P f(a) + f(b) + f(c)
Trang 34Min P = đạt được khi a = b = c = 0,25
30 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Chu Văn An - lần 1 – năm 2015)
√ với Ta có √ √ +
+Bảng xét dấu
Suy ra [ Dấu “=” xảy ra t=1 (0,25đ)
Do [ √
√ [ Dấu “=” xảy ra khi √ (0,25đ)
Khi đó, từ giả thiết ta được (0,25đ)
Suy ra: với điều kiện
Với mỗi x cố định, xét đạo hàm của hàm số theo ẩn y ta được:
Trang 35
√
Suy ra: √ (0,25đ)
Xét hàm số: √ với với
√
Khi đó (0,25đ)
Với điều kiện (*), ta có (0,25đ)
Vậy
31 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường chuyên THPT Bến Tre - lần 2 – năm 2015)
Trang 36
32 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên ĐH Vinh - lần 1 - năm 2015)
Từ giả thiết suy ra và
Xét hàm số [ ] Ta có
Suy ra ⇔ ⇔ và ⇔
Vì , nên
Suy ra bảng biến thiên (0,5đ)
Suy ra với mọi [ ], hay với mọi [ ]
Mặt khác, do nên
Từ đó ta có
Trang 37
Đặt khi đó và
Xét hàm số với
Ta có và ⇔
Dựa vào bảng biến thiên ta có với mọi Suy ra , dấu đẳng thức xảy ra khi hoặc các hoán vị
Vậy giá trị lớn nhất của P là
33 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên ĐH Vinh - lần 2 - năm 2015)
Giả sử zmin x; y;z Đặt x z u 0; y z v 0
Trang 38 Dấu đẳng thức xảy ra khi x y 1;z 0 hoặc các hoán vị
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 25
Trang 4036 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Hùng Vương – Phú Thọ - Lần 3 - năm 2015)
Trước hết từ giả thiết ta có:
Vậy = Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1 0,25đ
37 (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Hưng Yên – năm 2015)
Từ điều kiện: 5x2 + 5(y2 + z2) = 9x(y + z) + 18yz
5x2 - 9x(y + z) = 18yz - 5(y2 + z2)