Bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số hoặc một biểu thức là dạng toán các bạn thường gặp trong các kì thi, không chỉ ở bậc THCS mà sau này các bạ[r]
(1)DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Bài toán tìm giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) hàm số biểu thức dạng tốn bạn thường gặp kì thi, không bậc THCS mà sau bạn gặp bậc THPT Tất nhiên bậc học, toán đặt với mức độ khác viết xin bước đầu trao đổi với bạn chút kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức để giải loại toán
Kiến thức cần biết để sử dụng : * Với a, b ≥ :
và đẳng thức xảy a = b Đây bất đẳng thức Cơsi trường hợp số Các bạn suy từ bất đẳng thức hiển nhiên :
* Với a, b |a| + |b| ≥ |a + b| (**) đẳng thức xảy ab ≥ Các bạn cần bình phương hai vế để có bất đẳng thức tương đương hiển nhiên
* Với số a, b, c, d tùy ý ta có :
(a2 + b2)(c2 + d2) ≥ (ac + bd)2 (***) đẳng thức xảy ad =
bc Đây bất đẳng thức Bunhiacơpski hai cặp số Các bạn suy bất đẳng thức dựa vào đẳng thức :
(a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad - bc)2
* Cho a ≠ 0,
Do :
- Nếu a > f(x) ≥ (4ac - b2)/(4a) với x đẳng thức xảy
chỉ x = - b/(2a)
- Nếu a < f(x) ≤ (4ac - b2)/(4a) với x đẳng thức xảy
chỉ x = - b/(2a)
Bây bạn theo dõi thí dụ :
Thí dụ : Tìm giá trị nhỏ hàm số :
Lời giải : Thực phép chia tử thức cho mẫu thức ta viết :
(2)với x
Đẳng thức xảy
Vậy y đạt giá trị nhỏ x =
Thí dụ : Tìm giá trị nhỏ hàm số : y = |x - 2003| + |x + 2003|
Lời giải : áp dụng bất đẳng thức (**) với a = x + 2003 b = 2003 - x ta có :
y = |x - 2003| + |x + 2003| = |2003 - x| + |x + 2003| ≥ |(2003 - x) + (x + 2003)| = 2006
Đẳng thức xảy (2003 - x)(x + 2003) ≥ Tương đương - 2003 ≤ x ≤ 2003
Do y đạt giá trị nhỏ 4006 - 2003 ≤ x ≤ 2003
Chú ý : Nhiều bạn lại áp dụng với a = x + 2003 b = x - 2003 chưa Bởi ta có :
y ≥ |(x - 20003) + (x + 2003)| = |2x| = 2|x|
Vì 2|x| khơng phải số nên dù đẳng thức có xảy khơng kết luận giá trị nhỏ y
Thí dụ : Tìm giá trị lớn hàm số : y = - 2001 x2 + 2002 x - 2003
Lời giải : Như phần kiến thức trình bày trên, ta viết :
với x
Đẳng thức xảy x = 1001/2001 nên y đạt giái trị nhỏ - 3006002/2001
Chú ý : Khi gặp đa thức nhiều ẩn, bạn tạm coi đa thức ẩn với ẩn thực cách biến đổi tương tự giải tốn
Thí dụ : Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = x2 + y2 - xy - x + y +
(3)Từ ta có giá trị nhỏ P 2/3
Chú ý : Nhiều bạn có “sáng kiến” viết : P = 1/2.(2x2 + 2y2 - 2xy - 2x + 2y + 2)
= 1/2.[ (x - y)2 + (x - 1)2 + (y + 102 ] ≥ với x, y
Tuy nhiên bất đẳng thức trở thành đẳng thức Ta không gì, ngồi việc biết giá trị nhỏ P, tồn số dương (!) Các bạn thấy bất đẳng thức không trở thành đẳng thức mà vội vàng “liều lĩnh” kết luận : P khơng có giá trị nhỏ (?)
Thí dụ : Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số :
Lời giải : Tập xác định hàm số ≤ x ≤ Ta có :
với x thuộc tập xác định Vì y ≥ nên từ y2 ≥ => y ≥
Đẳng thức xảy x = x = Do GTNN y
(4)Do GTLN y
Mức độ khó hơn, bạn tham khảo tốn :
Thí dụ 6 : Tìm giá trị nhỏ hàm số : y = x4 - 4x3 + 8x
Lời giải : Ta có :
y = (x4 - 4x3 + 4x2) - 4(x2 - 2x)
= (x2 - 2x)2 - 4(x2 - 2x)
= [ (x2 - 2x) - 2]2 - ≥ - với x
Đẳng thức xảy :
Do giá trị nhỏ y -4,
Thí dụ : Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số :
Lời giải : Căn thức có nghĩa - x2 ≥ 0
Tương đương với x2 ≥ hay |x| ≤
Tương đương - ≤ x ≤ Ta có :
áp dụng bất đẳng thức (*) với a = x2 b = - x2 ta có
Từ (1) (2) ta có |y| ≤ => - ≤ y ≤ GTLN y
GTNN y -2
Các bạn tự luyện tập thêm qua toán : 1 Tìm giá trị nhỏ hàm số
(5)3 Tìm giá trị nhỏ
P = x2 + 2y2 - 2xy + 2(x - 2y + 1)