Với mong muốn trao đổi kiến thức chuyên môn cũng như kinh nghiệm học toán và dạy toán cùng đồng nghiệp, trong chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” này, tôi trình bày chi tiết hai k[r]
(1)Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” MỤC LỤC MỤ C LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG I Ứng dụng BĐT Côsi chứng m inh BĐT II Một số kỹ thuật sử dụng BĐT Côsi Kỹ thuật chọn điểm rơi tro ng c/m các BĐ T có điều kiện Kỹ thuật tách-ghép Côsi 13 III Ứng dụng BĐT Côsi bài toán Max-Min 15 KẾT LUẬN 20 TÀ I LIỆU THAM KH ẢO 21 MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Lop12.net Trang (2) Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” MỞ ĐẦU Bất đẳng thức là nội hay khá khó Toán học Nó thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà Toán học lớn, và từ đó nhiều bất đẳng thức hay gắn liền với tên tuổi nhà Toán học tiếng đời BĐT Bunhiacopski, BĐT Becnuli, BĐT Schur,…Trong đó bật mà chúng không thể không nhắc đến, đó là bất đẳng thức Cauchy (Côsi), vì BĐT Côsi là bất đẳng thức đơn giản, gần gủi lại là bất đẳng thức mạnh và có ứng dụng rộng rãi Toán học nhiều lĩnh vực khoa học tự nhiên khác Trong chương trình Toán học phổ thông, vấn đề bất đẳng thức xem là nội dung hóc búa Khi nghiên cứu, tìm hiểu và học tập nội dung này hầu hết chúng ta e ngại và không thật cảm thấy thích thú với nó Tuy nhiên, bài toán bất đẳng thức lại là bài toán góp mặt đầy đủ các kì thi HSG các kì thi tuyển sinh Đại học Như thế, gặp bài toán BĐT kì thi nào đó chúng ta lại bỏ qua và dễ dàng đầu hàng nó hay sao? Để giúp cho người học có cái nhìn thiện cảm và không còn e ngại vấn đề này nhiều toán học người làm toán đã nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo và hình thành nên phương pháp chứng minh bất đẳng thức Khi nghiên cứu và khai thác BĐT Côsi, tôi thấy tâm đắc với hai kỹ thuật chứng minh BĐT đặc sắc, đó là kĩ thuật “chọn điểm rơi” và kỹ thuật “tách-ghép Côsi” Với hai kỹ thuật này chúng ta có thể vận dụng để chứng minh nhiều bất đẳng thức mà nhìn chúng ta tưởng khó khăn Với mong muốn trao đổi kiến thức chuyên môn kinh nghiệm học toán và dạy toán cùng đồng nghiệp, chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” này, tôi trình bày chi tiết hai kỹ thuật chứng minh trên và thể cách cụ thể hai kỹ thuật đó qua các ví dụ và bài toán Hy vọng đây là tài liệu chuyên môn có giá trị MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Lop12.net Trang (3) Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” NỘI DUNG Trước hết ta nhắc lại bất đẳng thức (BĐT) Côsi cho hai số không âm: ab Định lý 1: Cho hai số thực không âm a và b, ta có: ab (1) Đẳng thức xảy a b (Việc chứng minh BĐT này là khá đơn giản) BĐT (1) còn có nhiều cách biểu diễn khác sau: a b 2ab (2) ( a b) (3) 2 ab ab (4) BĐT Côsi cho ba số không âm: Định lí 2: Với ba số thực không âm a, b và c ta có: abc abc (5) Đẳng thức xảy và a b c Chứng minh: Chứng minh (5) có nhiều cách Sau đây là số cách chứng minh sáng tạo Cách 1: Sử dụng BĐT cho hai cặp số không âm ( a, b ) và (c, abc ) ta được: a b2 a b c abc ab c abc 4 ab c abc abc a b c 3 abc abc 3 abc Đẳng thức xảy và a b c Cách 2: Trước hết ta chứng minh BĐT Côsi cho bốn số a, b, c, d không âm Ta có a b c d (a b) (c d ) (a b )(c d ) 2 ab.2 cd 4 abcd abcd abcd Đẳng thức xảy và a b c d (*) MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Lop12.net Trang (4) Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” abc Bây giờ, ta đặt d Ta có abc abc abc 4 abc 3 4(a b c) abc abc abc 4 abc abc 3 3 abc abc abc abc abc abc abc 3 3 Đẳng thức xảy và a b c Tổng quát: Cho n số thực không âm a1 , a2 , , an Ta có a1 a2 an n a1a2 an (6) n Đẳng thức xảy và a1 a2 an (BĐT này chứng minh phương pháp qui nạp theo n) Một số chú ý sử dụng BĐT Côsi: i) Khi áp dụng BĐT Côsi thì các số phải không âm ii) BĐT Côsi thường áp dụng bất đẳng thức cần chứng minh có tổng và tích iii) Điều kiện xảy dấu “=” là các số SAU ĐÂ Y CHÚN CHÚNG TA XÉT XÉT MỘT SỐ ỨN ỨN G DỤN DỤN G CỦA CỦA BĐ T C ÔSI I Ứng dụng BĐT Côsi chứng minh BĐT Ví dụ 1: Cho hai số thực không âm a và b Chứng minh: (a b)(ab 1) 4ab Giải Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm ta có: a b ab Suy ( a b)( ab 1) ab ab 4ab ab ab a b Đẳng thức xảy a b ab 1 1 Ví dụ 2: Cho hai số thực không âm a và b Chứng minh: ( a b) a b Giải Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm ta có: a b ab 1 1 1 Suy ( a b) ab a b ab a b ab Đẳng thức xảy a b MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Lop12.net Trang (5) Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” Nhận xét: BĐT sau còn viết lại dạng sau: 1 (I) a b ab 11 1 (I') Các BĐT này có nhiều ứng dụng việc chứng minh a b 4 a b các BĐT Sau đây chúng ta xét số ứng dụng đó: Bài toán 1.1: Cho a, b, c là ba cạnh tam giác và p là nửa chu vi 1 1 1 Chứng minh rằng: 2 p a p b p c a b c Giải Áp dụng BĐT (I) ta có: 1 4 p a p b p a p b p (a b ) c 1 1 Tương tự, ta có: và pb pc a pc pa b Cộng các BĐT này vế theo vế, ta được: 1 1 1 2 4 a b c p a p b p c 1 1 1 2 p a p b p c a b c 1 Đẳng thức xảy a b c (đpcm) p a p b p c Bài toán 1.2: Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: 1 1 1 a 3b b 3c c 3a 2a b c a 2b c a b 2c Giải Áp dụng BĐT (I) ta có: 1 a 3b a b 2c 2a 4b 2c a 2b c 1 1 Tương tự, ta có: và b 3c 2a b c a b 2c c 3a a 2b c 2a b c Cộng ba BĐT trên ta có đpcm Bài toán 1.3: Cho x, y, z Chứng minh rằng: 1 11 1 2x y z x y z x y 2z x y z Giải Áp dụng BĐT (I’) ta có: 1 1 1 2 1 x y z ( x y ) ( x z ) x y x z 16 x y z Tương tự ta có: 1 1 1 1 1 2 và x y z 16 x y z x y z 16 x y z MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Lop12.net Trang (6) Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” Cộng các BĐT này ta được: 1 1 4 4 x y z x y z x y z 16 x y z 1 11 1 2x y z x y z x y 2z x y z Đẳng thức xảy và x y z Bài toán 1.4: Cho a, b dương và a b Chứng minh: a2 b2 a 1 b 1 Giải Ta có a2 1 b2 1 1 VT ( a b 2) a 1 a 1 b 1 b 1 a 1 b 1 1 1 a 1 b 1 1 4 Mặt khác, theo BĐT (I’) ta có: a 1 b 1 a b 1 Do đó, VT 1 Đẳng thức xảy a b (đpcm) 3 1 1 Ví dụ 3: Cho a, b, c Chứng minh rằng: ( a b c ) a b c Giải Áp dụng BĐT cho ba số dương ta có: a b c 3 abc 1 1 9 1 1 ( a b c) abc 3 a b c 3 abc a b c abc Đẳng thức xảy và a b c 1 Nhận xét: BĐT trên còn viết lại các dạng sau: (II) a b c abc 1 1 1 (II') a b c 9 a b c Từ các BĐT (I) và (II) ta có thể tổng quát thành BĐT sau: “Cho n số thực dương Ta có a1 , a2 , , an 1 n (III) Đẳng thức xảy a1 a2 an ” a1 a2 an a1 a2 an Bất đẳng thức (III) sử dụng nhiều các bài toán chứng minh BĐT Sau đây là số ứng dụng nó Bài toán 1.5: Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a b c bc ca ab MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Lop12.net Trang (7) Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” Chú thích: BĐT này có tên gọi là BĐT Nesbit cho ba số dương Có nhiều cách để chứng minh BĐT này, sau đây là số cách Cm có sử dụng BĐT Côsi Cách 1: Biến đổi vế trái BĐT cần chứng minh sau: a b c VT 1 1 1 bc ca ab 1 (a b c) 3 bc ca ab 1 (a b) (b c) (c a) 3 bc ca ab Do đó áp dụng BĐT (II) cho ba số a b, b c, c a ta có VT 2 Đẳng thức xảy a b b c c a a b c BĐT chứng minh Cách 2: Đặt X b c, Y c a, Z a b Lúc đó ta có: o a b c (X Y Z) Y Z X Z X Y X Y Z o a ;b ;c 2 X Y Z X Z Y Do đó VT 3 Mà theo BĐT Côsi ta Y X X Z Y Z x y có 2, x, y y x Suy VT (2 3) (đpcm) 2 Bài toán 1.6: Cho a, b, c và a b c Chứng minh rằng: a b c 1 a 1 b 1 c a 1 b 11 c 11 1 Giải Ta có VT 3 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 1 9 Áp dụng BĐT (II) ta có: a 1 b 1 c 1 a b c Do đó VT Đẳng thức xảy a b c 4 Nhận xét: Bài toán trên là trường hợp đặc biệt bài toán tổng quát sau: n “Cho n số thực dương a1 , a2 , , an và a i Khi đó, ta có: i 1 a1 a a n n ” a1 a2 an n MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Lop12.net Trang (8) Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” BĐT này chứng minh theo cách bài toán trên kết hợp với việc sử dụng BĐT (III) Bài toán 1.7: Cho ba số dương a, b, c cho a b c Chứng minh rằng: 1 ab bc ca Giải Ta có ab bc ca a b c Áp dụng BĐT (II), ta có: 1 9 2 ab bc ca ab bc ca a b c 3 Bất đửng thức chứng minh Bài toán 1.8: Cho x, y, z là ba số dương và x y z Chứng minh rằng: x2 1 2 y z 82 x2 y2 z2 1 1 Giải Trước hết ta có VT ( x y z ) (Hd: Sử dụng pp x y z véctơ) Do đó 2 1 1 1 1 2 VT ( x y z ) 81( x y z ) 80( x y z ) x y z x y z 1 1 18( x y z ) 80( x y z ) 162 80 82 x y z Suy VT 82 Đẳng thức xảy x y z Bài toán 1.9: Cho a, b, c và a b c Chứng minh rằng: 1 1 30 2 a b c ab bc ca 1 Giải Áp dụng BĐT (II), ta có: ab bc ca ab bc ca Suy VT 2 a b c ab bc ca 1 2 a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca 1 Mặt khác, ta có: ab bc ca ( a b c ) 21 3 ab bc ca Tiếp tục áp dụng BĐT (II), ta có: MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Lop12.net Trang (9) Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” 1 2 2 2 a b c ab bc ca ab bc ca a b c 2(ab bc ca ) 1 9 2 a b c ab bc ca ab bc ca ( a b c) Do đó VT 21 30 Đẳng thức xảy a b c II Một số kỹ thuật sử dụng BĐT Côsi chứng minh BĐT Kỹ thuật chọn điểm rơi chứng các BĐT có điều kiện Bài toán 2.1: Cho a, là các số dương cho a b Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1 a) a b , b) a b , c) a8 b8 128 Giải Các BĐT này có thể chứng minh sau: (a b)2 2 a) Áp dụng BĐT (2), ta có: a b 2 b) Áp dụng BĐT (2) hai lần liên tiếp, ta có: ( a b) (a b ) 4 a b 2 c) Áp dụng BĐT b), ta có: 1 a b 8 a b 2 128 Nhận xét: Các BĐT là trường hợp riêng BĐT tổng quát sau: “Cho a và b là các số dương có tổng Chứng minh rằng: a b 1 , với n * ” BĐT này chứng minh phương pháp qui nạp theo n Nếu thay giả thiết a b giả thiết a b , ta có các BĐT sau: 2 4 8 a’) a b b’) a b c’) a8 b8 128 Và, ta có BĐT tổng quát sau: a b 1 Một hạn chế phương pháp này là chứng minh cho trường hợp số mũ a và b là số chẵn Bây giờ, cho a và b là các số dương thỏa a b , ta hãy xét các BĐT sau: 1 a) a b b) a b c) a b9 16 256 n n n n n n n MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Lop12.net Trang (10) Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” Ta nhận thấy đây là các bất đẳng thức đối xứng, nên đẳng thức xảy và a b Do đó a b thì chắn đẳng thức xảy a b Từ đó giúp ta hình thành cách chứng minh sau: a) Áp dụng BĐT Côsi, ta có: 3 1 1 1 a 3a 3 4 2 2 1 1 3 a b ( a b) 6. 3 2 2 1 1 b3 3b 4 2 2 1 a b 2 2 Đẳng thức xảy a b b) Áp dụng BĐT Côsi, ta có: 5 5 1 1 1 1 1 a 5a. 2 2 2 2 2 1 1 5 a b 8. 5( a b) 5 5 2 2 1 1 1 1 1 b 5b. 2 2 2 2 2 5 1 1 1 a b 8. 10. a5 b 2 2 16 5 Đẳng thức xảy a b c) Áp dụng BĐT Côsi, ta có: 9 1 1 1 a 9a. 2 2 ht 1 1 9 a b 16. 9(a b) 9 2 2 1 1 1 b 9b. 2 2 ht 9 9 1 1 1 a b 16. 18. a9 b 2 2 256 Đẳng thức xảy a b 9 MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Lop12.net Trang 10 (11) Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” Tổng quát: Ta có bài toán sau: “Cho a và b là hai số thực dương và a b Khi (a b)n n n n n n đó ta có a b Hay a b n1 , n * Đẳng thức xảy n 1 2 ab ” Chứng minh n n n 1 a na. 2 2 2 n n 1 ( n 1) ht n n a b 2( n 1). n (a b) n n n 1 2 2 n b nb. 2 2 2 ( n 1) ht n n n n n n n a b 2( n 1). 2n. a b n 1 2 2 2 Bây ta thử tăng thêm biến vế trái Khi đó với a, b, c 0; a b c Ta hãy xét cá BĐT sau: a) a b2 c A b) a b3 c3 B c) a n bn c n N 2 A 3 Với kĩ thuật tương tự trên ta hoàn toàn có thể B n N 3n 1 Từ các trường hợp riêng trên, ta thử tổng quát thành bài toán lớn: Bài toán: Cho k số thực dương a1 , a2 , , ak thỏa a1 a2 ak Chứng n n n n minh rằng: a1 a2 ak n1 Hay k n a1n a2n akn a1 a2 an * với n Đẳng thức xảy k k nào? Chứng minh Áp dụng BĐT Côsi, ta có: n n MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Lop12.net Trang 11 (12) Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” n n n 1 n a1 na1. k k k ( n 1) ht n n n 1 n n 1 a2n na2 k k k k k a n k (n 1). n a i i ( n 1) ht i 1 i 1 k k n n n 1 n ak nak k k k ( n 1) ht n n n k n a k ( n 1). kn ain a1n a2n akn k n 1 i 1 i 1 k k k k k n i Hay n n a1n a2n akn a1 a2 ak * , n k k k Đẳng thức xảy a1 a2 ak k BĐT (IV) sử dụng nhiều chứng minh các BĐT (IV) Kĩ thuật tách-ghép Côsi Bài toán 2.2: Cho a, b, c Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a bc bc ca ac 2 a bc a2 b c Giải Áp dụng BĐT Côsi, ta có: 2 a bc bc b2 ca c2 ab Tương tự, ta có: b & c ca ab Cộng các BĐT trên ta được: a2 b2 c2 abc abc bc ca ac a2 b2 c2 abc bc ca ac Đẳng thức xảy a b c Nhận xét: a2 bc Trong bài toán trên, chúng ta lại ghép ? Mục đích bc việc ghép này là làm các biến mẫu vì VP BĐT là biểu thức MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Lop12.net Trang 12 (13) Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” không chứa biến mẫu Nhưng lại ghép phải là b c hay a2 bc với không bc bc ,…điều này xuất phát từ điều kiện để BĐT xảy đó là a b c a2 b2 c2 Nếu abc thì a b c nên BĐT trở thành bc ca ac Phương pháp trên sử dụng nhiều chứng minh BĐT Bài toán 2.3: Cho a, b, c & abc Chứng minh a3 b3 c3 ( a 1)(b 1) (b 1)(c 1) (c 1)(a 1) Giải Áp dụng BĐT Côsi cho ba số thực dương ta có: a3 a 1 b 1 a3 a b 3a 3 ( a 1)(b 1) 8 ( a 1)(b 1) 8 Tương tự ta có: b3 b c 3b c3 c a 3c và (b 1)(c 1) 8 (c 1)(a 1) 8 Cộng ba BĐT ta được: a3 b3 c3 abc3 (a b c) ( a 1)(b 1) (b 1)(c 1) (c 1)( a 1) 4 a3 b3 c3 2( a b c ) 2.3 abc 3 ( a 1)(b 1) (b 1)(c 1) (c 1)( a 1) 4 Đẳng thức xảy a b c Bài toán 2.4: Cho a, b, c Chứng minh rằng: a4 b4 c4 abc b (c a) c (a b) a (b c ) Giải Áp dụng BĐT Côsi ta cho bốn số dương ta có: a4 b b ca a4 b b ca 2a b (c a ) 2 b (c a ) 2 Tương tự, ta có: b4 c c ab b4 c c ab 2b; 2 c ( a b) 2 c ( a b) 2 c4 a a bc c4 a a bc 44 2c a (b c ) 2 a (b c ) 2 Cộng các BĐT trên ta được: abc abc VT a b c 2( a b c ) VT 2 MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Lop12.net Trang 13 (14) Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” a4 b4 c4 abc Đẳng thức xảy Hay b (c a) c (a b) a (b c) a b c Bài toán 2.5: Cho x, y , z và xyz Chứng minh rằng: x3 y z x y z Giải Áp dụng BĐT Côsi cho ba số thực không âm, ta có: x3 3 x3 x Tương tự ta có: y 3 y y & z 3 z z Cộng các BĐT này ta được: x y z 3( x y z ) Mặt khác: x y z 3 xyz 2( x y z ) Do đó x3 y z 3( x y z ) x3 y z x y z 2( x y z ) x y z x y z Đẳng thức xảy x y z Nhận xét: Xuất phát từ x x3 nên ta áp dụng BĐT Côsi cho ba số có dạng x3 a a Do đẳng thức xảy x y z nên a Tổng quát, ta có bài toán sau: “Cho k số thực a1 , a2 , , ak không âm và có tích Chứng minh rằng: a1m a2m akm a1n a2n akn , m n ” Giải Với i 1, k Ta áp dụng BĐT Côsi cho m số, gồm n số aim và (m n) số 1, ta có: mn n m naim ( m n) aim aim 1 1 m m.ai Cho i chạy từ đến ( m n) n k lấy tổng hai vế các BĐT đó, ta được: n( a1m a2m akm ) k ( m n ) n( a1n a2n akn ) ( m n)(a1n a2n akn ) Mà a1n a2n akn k k a1n a2n akn k (m n )(a1n a2n akn ) (m n)k Do đó n( a1m a2m akm ) n( a1n a2n akn ) a1m a2m akm a1n a2n akn Đẳng thức xảy a1 a2 ak BĐT chứng minh Bài toán 2.6: Cho a, b và c là ba số dương cho abc Chứng minh rằng: MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Lop12.net Trang 14 (15) Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” 27 a b c a 1 b 1 c 1 Giải Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có: a 1 1 a 1 a Tương tự ta có: a 3a 3 a a 4 3 b b &c c Nhân các BĐT này vế theo vế, ta được: b 1 c 1 27 27 abc a b c a 1 b 1 c 1 8 Đẳng thức xảy a b c BĐT chứng minh III Ứng dụng BĐT Côsi bài toán Max-Min Bài toán 3.1: Cho ba số dương x, y, z thỏa x y z Tìm giá trị nhỏ 1 biểu thức: A x y z x y z Giải Theo BĐT Côsi ta có: 1 1 1 1 x y z 1 x y z 9 x y z 8 1 1 8 9 x y z 2 Và x , y , z Từ đó ta có: 9x 9y 9z 8 1 2 Ax y z 10 9x 9y 9z x y z 3 Đẳng thức xảy x y z Vậy Amin 10 đạt x y z Bài toán 3.2: Cho ba số dương x, y, z thỏa xyz Tìm giá trị nhỏ x3 y y3 z z x3 xy yz zx Giải Áp dụng BĐT Cối cho ba số dương ta có: x3 y 3 3 3 Tương tự, ta có: x y x y xy xy xy biểu thức: P y3 z3 yz z3 x3 , zx yz MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Lop12.net zx Trang 15 (16) Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” Cộng các BĐT trên ta được: x3 y y3 z3 z x3 P xy yz zx xy yz zx 3 3 3 xy yz zx xyz 33 Đẳng thức xảy x y z Vậy Pmin 3 đạt x y z Bài toán 3.3: Cho ba số x, y, z thỏa x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A 4x y 4z Giải Ta có x x 4 x x 4 x x Tương tự ta có: Do đó 4y 4y , 4x y 4z 4z 4z 4x y 4z 4x y 4z 4x yz Đẳng thức xảy x y z Vậy Amin đạt x y z Bài toán 3.4: Cho x, y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: y B (1 x ) x y Giải Ta có 1 x 1 x x x x3 y y y y y3 44 , 1 1 44 3 , 3 3 x 3x 3x x 3x 3 36 1 1 44 16 y y3 y y y y y y x y 36 Do đó ta có B (1 x ) 256 256 x 33 33 x y y x Vậy Bmin 256 y Bài toán 3.5: Cho ba số dương x, y, z thỏa x y z Tìm giá trị lớn 3 biểu thức: P x y y 3z z 3x MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Lop12.net Trang 16 (17) Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” Giải Áp dụng BĐT Côsi ta có: x 3y 11 ( x y ).1.1 ( x y 2) 3 y 3z 1 ( y 3z ).1.1 ( y z 2) 3 z 3x 1 ( z 3x ).1.1 ( z x 2) 3 Suy P x y y 3z z x 4( x y z ) 6 1 Đẳng thức xảy x y z Vậy Pmax đạt x y z 4 Bài toán 3.6: Cho x, y, z là ba số dương thỏa xyz Hãy tìm giá trị nhỏ 1 biểu thức: Q x ( y z ) y ( z x) z ( x y ) 1 Giải Đặt a , b , c Ta có a, b, c và abc x y z a b2 c2 Khi đó Q Áp dụng BĐT Côsi ta có: bc ca ab a2 bc b2 ca c2 ab a, b, c bc ca ab Cộng các BĐT này ta a bc a b c 3 abc Q abcQ 2 2 Đẳng thức xảy a b c x y z Vậy Qmin đạt x y z Bài toán 3.7: Cho x, y, z là ba số dương và x y z Tìm giá trị nhỏ x3 y3 z3 biểu thức: S yz zx x y Giải Áp dụng BĐT Côsi ta có: x3 yz x3 y z 33 x, yz yz y3 zx y3 z x 23 y, zx zx z3 x y z3 x y 33 3z x y x y Cộng các BĐT trên ta có: S x y z 3( x y z ) S 2( x y z ) MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Lop12.net Trang 17 (18) Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” Đẳng thức xảy x y z Vậy S đạt x y z Bài toán 3.8: Cho x, y, z dương thỏa a b c 12 Tìm giá trị nhỏ 1 biểu thức: K ab bc ca Giải Áp dụng BĐT Côsi ta có: 1 ab 1 bc 1 ca , , ab 25 bc 25 ca 25 2 Và a b c ab bc ca Do đó ab bc ca a b2 c K K 25 25 25 25 12 K K 25 25 5 Vậy K đạt a b c 5 Bài toán 3.9: Cho x, y là các số dương thỏa x y Tìm giá trị nhỏ 4 biểu thức: S x 4y Giải Ta có 1 1 1 S 55 x 4y x x x x 4y x.x.x.x.4 y x.x.x.x.4 y 5.5 25 5 x x x x y 4( x y ) x y x Tức là S Đẳng thức xảy 5 x y y x Vậy S đạt y Bài toán 3.10: Cho a, b, c là ba số dương thỏa a b2 c Tìm giá trị bc ac ab nhỏ biểu thức: A a b c 2 bc ac ab Giải Ta có A 2( a b c ) a b c Áp dụng BĐT Côsi ta có: MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Lop12.net Trang 18 (19) Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” 2 2 2 bc ac ab bc ac ab 2c , 2a , 2b a b b c c a Cộng các BĐT này ta được: 2 bc ac ab 2 a b c a b c Suy A2 3(a b c ) A Dấu “=” xảy a b c Vậy Amin Bài toán 3.11: Cho ba số a, b, c dương thỏa a b c Tìm giá trị nhỏ 1 biểu thức: K 1 a b c Giải Áp dụng BĐT Côsi cho ba số dương ta có: 1 1 1 , , Do đó 8 a 4a 8 b 4b 8 c 4c 3 3 3 1 1 , , Nhân ba BĐT thức a 4 a b 4 b c 4 c 27 này ta được: K 1 Tiếp tục áp dụng BĐT Côsi ta có: 64 a b c 1 1 1 1 1 1 1 1 33 , 1 33 ,1 3 a 2 a 4a b 2 b 4b c 2 c 4c 27 27 27.27.3 27.27.3 729 Suy K Đẳng thức xảy 64 abc 64.4( a b c ) 64.4.6 512 và a b c 729 Kết luận: K đạt a b c 512 1 -Hết - MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Lop12.net Trang 19 (20) Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” KẾT LUẬN Trong chuyên đề này, chúng ta đã nghiên cứu và sử dụng hai kỹ thuật đặc sắc chứng minh BĐT và ứng dụng nó bài toán Max-Min đại số Như chúng ta đã biết, BĐT Côsi là BĐT khá tiếng phạm vi ứng dụng rộng rãi nó Ngoài việc vận dụng để chứng minh các bất đẳng thức Đại số, BĐT Côsi còn sử dụng các các bài chứng minh BĐT lượng giác hay các bài toán cực trị Hình học Tuy nhiên, thời gian nghiên cứu không nhiều nên chuyên đề này vấn đề thú vị đó chưa đề cập đến BĐT là nội dung Toán học khá rộng, càng sâu chúng ta càng thấy thú vị cảm nhận ngày càng rõ phức tạp nó Mặc dù đã cố gắng nhiều nhũng gì đề cập chuyên đề này chắn còn khiêm tốn Mong nhận góp ý chân thành quý thầy cô và các bạn động nghiệp nội dung và hình thức trình bày để chuyên đề hoàn thiện MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Lop12.net Trang 20 (21)