BÀI TẬP LỚN Bất đẳng thức côsi và ứng dụng

Hơn nữa ẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó các em vận ội

L I NÓI Đ U ỜI NÓI ĐẦU ẦUI.Lí do ch n đ tài ọn đề tài ề tài

1 C s khoa h c ơ sở khoa học ở khoa học ọn đề tài

Nh chúng ta đã bi t, thông qua vi c h c toán h c sinh có th n mư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắm ết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắm ệc học toán học sinh có thể nắm ọc toán học sinh có thể nắm ọc toán học sinh có thể nắm ể nắm ắm

v ng đư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắmợc nội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó các em vậnc n i dung toán h c và phội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó các em vận ọc toán học sinh có thể nắm ư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắmơng pháp giải toán từ đó các em vậnng pháp gi i toán t đó các em v nải toán từ đó các em vận ừ đó các em vận ận

d ng vào các môn h c khác nh t là các môn khoa h c t nhiên H n n aọc toán học sinh có thể nắm ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ọc toán học sinh có thể nắm ự nhiên Hơn nữa ơng pháp giải toán từ đó các em vậntoán h c còn là c s c a m i ngành khoa h c khác Chính vì th , toán h cọc toán học sinh có thể nắm ơng pháp giải toán từ đó các em vận ở của mọi ngành khoa học khác Chính vì thế, toán học ủa mọi ngành khoa học khác Chính vì thế, toán học ọc toán học sinh có thể nắm ọc toán học sinh có thể nắm ết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắm ọc toán học sinh có thể nắm

có vai trò quan tr ng trong nhà trọc toán học sinh có thể nắm ư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắmờng phổ thông nó đòi hỏi người thầyng ph thông nó đòi h i ngổ thông nó đòi hỏi người thầy ỏi người thầy ư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắmờng phổ thông nó đòi hỏi người thầyi th yầy

m i s lao đ ng ngh thu t sáng t o, đ t o ra phọc toán học sinh có thể nắm ự nhiên Hơn nữa ội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó các em vận ệc học toán học sinh có thể nắm ận ạo, để tạo ra phương pháp dạy học giúp ể nắm ạo, để tạo ra phương pháp dạy học giúp ư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắmơng pháp giải toán từ đó các em vậnng pháp d y h c giúpạo, để tạo ra phương pháp dạy học giúp ọc toán học sinh có thể nắm

h c sinh h c t t và gi i quy t các bài toá m t cách hi u qu ọc toán học sinh có thể nắm ọc toán học sinh có thể nắm ốt và giải quyết các bài toá một cách hiệu quả ải toán từ đó các em vận ết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắm ội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó các em vận ệc học toán học sinh có thể nắm ải toán từ đó các em vận

B t đ ng th c cô-si là m t n i dung quan tr ng trong chất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó các em vận ội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó các em vận ọc toán học sinh có thể nắm ư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắmơng pháp giải toán từ đó các em vậnng trìnhtoán h c đ i s Vi c n m v ng các phọc toán học sinh có thể nắm ạo, để tạo ra phương pháp dạy học giúp ốt và giải quyết các bài toá một cách hiệu quả ệc học toán học sinh có thể nắm ắm ư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắmơng pháp giải toán từ đó các em vậnng pháp gi i b t phải toán từ đó các em vận ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắmơng pháp giải toán từ đó các em vậnng trìnhkhông nh ng giúp h c sinh h c t t b môn toán mà còn có tác d ng h trọc toán học sinh có thể nắm ọc toán học sinh có thể nắm ốt và giải quyết các bài toá một cách hiệu quả ội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó các em vận ỗ trợ ợc nội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó các em vậncho nhi u b môn khác nh Hóa h c, V t lý, Tin h c… Đ c bi t h tr tội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó các em vận ư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắm ọc toán học sinh có thể nắm ận ọc toán học sinh có thể nắm ặc biệt hỗ trợ tư ệc học toán học sinh có thể nắm ỗ trợ ợc nội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó các em vận ư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắmduy cho h c sinh Nh ng v n đ đ t ra cho giáo viên toán hi n nay là giúpọc toán học sinh có thể nắm ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ặc biệt hỗ trợ tư ệc học toán học sinh có thể nắm

h c sinh h c t t b môn toán nói chung và n m v ng s d ng b t đ ngọc toán học sinh có thể nắm ọc toán học sinh có thể nắm ốt và giải quyết các bài toá một cách hiệu quả ội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó các em vận ắm ử dụng bất đẳng ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình

th c côsi nói riêng.ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình

2 C s th c ti n ơ sở khoa học ở khoa học ực tiễn ễn

Ch đ "B t đ ng th c côsi" có r t nhi u ng d ng và đủa mọi ngành khoa học khác Chính vì thế, toán học ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắmợc nội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó các em vận ử dụng bất đẳngc s d ngkhá ph bi n đ ch ng minh b t đ ng th c, đánh giá bi u th c và t đóổ thông nó đòi hỏi người thầy ết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắm ể nắm ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ể nắm ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ừ đó các em vận

gi i quy t nhi u bài toán khác nhau, là m t ch đ hay, ch ch t trongải toán từ đó các em vận ết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắm ội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó các em vận ủa mọi ngành khoa học khác Chính vì thế, toán học ủa mọi ngành khoa học khác Chính vì thế, toán học ốt và giải quyết các bài toá một cách hiệu quả

chư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắmơng pháp giải toán từ đó các em vậnng trình Toán đ i s đ i v i c ngạo, để tạo ra phương pháp dạy học giúp ốt và giải quyết các bài toá một cách hiệu quả ốt và giải quyết các bài toá một cách hiệu quả ới cả người dạy và người học Vì vậy, để ải toán từ đó các em vận ư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắmờng phổ thông nó đòi hỏi người thầyi d y và ngạo, để tạo ra phương pháp dạy học giúp ư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắmờng phổ thông nó đòi hỏi người thầy ọc toán học sinh có thể nắmi h c Vì v y, đận ể nắm

nh m xác đ nh m c tiêu giáo d c c th trong ch đ này em đã ch n định mục tiêu giáo dục cụ thể trong chủ đề này em đã chọn đề ể nắm ủa mọi ngành khoa học khác Chính vì thế, toán học ọc toán học sinh có thể nắmtài: "B t đ ng th c côsi và ng d ng ” ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình

II M c đích nghiên c u ục đích nghiên cứu ứu

M t v n đ thội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó các em vận ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắmờng phổ thông nó đòi hỏi người thầyng g p trong đ i s , làm cho h c sinh lung túng đó làặc biệt hỗ trợ tư ạo, để tạo ra phương pháp dạy học giúp ốt và giải quyết các bài toá một cách hiệu quả ọc toán học sinh có thể nắm

nh ng bài toán v b t đ ng th c đ i s nh “b t đ ng th c Cô-si (Cauchy),ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ạo, để tạo ra phương pháp dạy học giúp ốt và giải quyết các bài toá một cách hiệu quả ư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắm ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình

b t đ ng th c Bunhiacopski, b t đ ng th c Jensen, b t đ ng th cất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trìnhBeruoulli Thông thư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắmờng phổ thông nó đòi hỏi người thầyng đây là nh ng d ng toán khó, là m t ph n quanạo, để tạo ra phương pháp dạy học giúp ội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó các em vận ầy

tr ng c a đ i s và nh ng ki n th c v b t đ ng th c làm phong phú h nọc toán học sinh có thể nắm ủa mọi ngành khoa học khác Chính vì thế, toán học ạo, để tạo ra phương pháp dạy học giúp ốt và giải quyết các bài toá một cách hiệu quả ết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắm ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ơng pháp giải toán từ đó các em vận

ph m vi ng d ng đ i s trong cu c s ng.ạo, để tạo ra phương pháp dạy học giúp ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ạo, để tạo ra phương pháp dạy học giúp ốt và giải quyết các bài toá một cách hiệu quả ội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó các em vận ốt và giải quyết các bài toá một cách hiệu quả

III Ph ươ sở khoa học ng pháp nghiên c u ứu

-Phư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắmơng pháp giải toán từ đó các em vậnng pháp nghiên c u tài li u.ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ệc học toán học sinh có thể nắm

-Phư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắmơng pháp giải toán từ đó các em vậnng pháp quan sát

-Phư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắmơng pháp giải toán từ đó các em vậnng pháp d y h c và đánh giá trong giáo d c Toán h c.ạo, để tạo ra phương pháp dạy học giúp ọc toán học sinh có thể nắm ọc toán học sinh có thể nắm

N I DUNG ỘI DUNG

I, B T Đ NG TH C CÔ-SI ẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI ẲNG THỨC CÔ-SI ỨC CÔ-SI.

1 B t đ ng th c cô-si v i hai s ất đẳng thức cô-si với hai số ẳng thức cô-si với hai số ứu ới hai số ố

V i hai s không âm a, b ta cóới cả người dạy và người học Vì vậy, để ốt và giải quyết các bài toá một cách hiệu quả :

Đ ng th c x y ra khi và ch khi ẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ải toán từ đó các em vận ỉ khi a = b  a  b

= 0, t c là khi và ch khi a =ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ỉ khi a = bb



≥ 2, a > 0

H qu 2 ệ quả: ả: : N u a, b cùng dết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắm ư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắmơng pháp giải toán từ đó các em vậnng và có t ng không đ i thì tích ab l nổ thông nó đòi hỏi người thầy ổ thông nó đòi hỏi người thầy ới cả người dạy và người học Vì vậy, để

nh t khi và ch khi a = b.ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ỉ khi a = b

Ch ng minh ứng minh: : Đ t S = a + b Áp d ng b t đ ng th c cô-si ta cóặc biệt hỗ trợ tư ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình

A B

C D

C D

G H

H qu 3 ệ quả: ả: : N u ết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắm a b cùng d ng và có tích không đ i thì t ng , ư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắmơng pháp giải toán từ đó các em vận ổ thông nó đòi hỏi người thầy ổ thông nó đòi hỏi người thầy a b nhỏi người thầy

nh t khi và ch khi ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ỉ khi a = b a b

Ch ng minh ứng minh: : Đ t ặc biệt hỗ trợ tư S ab Áp d ng b t đ ng th c cô-si ta có:ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình

2

a b

Đ ng th c x y ra khi và ch khi ẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ải toán từ đó các em vận ỉ khi a = b a b  S

V y t ng ận ổ thông nó đòi hỏi người thầy a b đ t giá tr nh nh t b ng ạo, để tạo ra phương pháp dạy học giúp ịnh mục tiêu giáo dục cụ thể trong chủ đề này em đã chọn đề ỏi người thầy ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa 2 S khi và ch khiỉ khi a = b

a b  S

Ý nghĩa hình h c ọc : Trong t t c các hình ch nh t có cùng di n tích,ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ải toán từ đó các em vận ận ệc học toán học sinh có thể nắmhình vuông có chu vi nh nh t.ỏi người thầy ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa

2 B t đ ng th c cô-si v i 3 s ất đẳng thức cô-si với hai số ẳng thức cô-si với hai số ứu ới hai số ố

V i 3 s th c không âm ới cả người dạy và người học Vì vậy, để ốt và giải quyết các bài toá một cách hiệu quả ự nhiên Hơn nữa a b c ta có:, ,

3 B t đ ng th c cô-si v i n s ất đẳng thức cô-si với hai số ẳng thức cô-si với hai số ứu ới hai số ố

 Cho n s th c không âm b t kì ốt và giải quyết các bài toá một cách hiệu quả ự nhiên Hơn nữa ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa a a a ta có:1, 2 n



D u “=” x y ra khi và ch khi ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ải toán từ đó các em vận ỉ khi a = b a1 a2   a n

Ch ng minh:ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình

V i n = 1 BĐT hi n nhiên đúng.ới cả người dạy và người học Vì vậy, để ể nắm

V i n = 2 BĐT đã đới cả người dạy và người học Vì vậy, để ư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắmợc nội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó các em vậnc ch ng minh trức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ở của mọi ngành khoa học khác Chính vì thế, toán học ư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắmờng phổ thông nó đòi hỏi người thầyng h p b t đ ng th c cô-siợc nội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó các em vận ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trìnhcho 2 s ốt và giải quyết các bài toá một cách hiệu quả

Đ ch ng minh b t đ ng th c t ng quát, trể nắm ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ổ thông nó đòi hỏi người thầy ư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắmới cả người dạy và người học Vì vậy, đểc h t ta xét vài b t đ ngết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắm ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình

th c ph N u ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắm x x1, 2 R

 thì ta luôn có(chuy n m t b ph n sang v ph i, taể nắm ội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó các em vận ội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó các em vận ận ết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắm ải toán từ đó các em vận

đư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắmợc nội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó các em vậnc)

T đóừ đó các em vận :

(n – 1)(x1n + x2n +…+ x n n) ≥ x1¿ ¿+ x3n−1 +…+x n n−1) + x2¿ ¿+ x3n−1 +…+x n n−1) + x n¿ ¿+

x2n−1 +…+x n−1 n−1) (**)

Theo gi thi t quy n p, ta th a nh n r ng đ i v i n – 1 s th c khôngải toán từ đó các em vận ết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắm ạo, để tạo ra phương pháp dạy học giúp ừ đó các em vận ận ốt và giải quyết các bài toá một cách hiệu quả ới cả người dạy và người học Vì vậy, để ốt và giải quyết các bài toá một cách hiệu quả ự nhiên Hơn nữa

âm b t kì, trung bình c ng không nh h n trung bình nhân c a chúng ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó các em vận ỏi người thầy ơng pháp giải toán từ đó các em vận ủa mọi ngành khoa học khác Chính vì thế, toán học Thết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắmthì ta có:

x2n−1+ x3n−1 +… +x n n−1 ≥ (n – 1)x2x3…x n

x1n−1+ x3n−1 +… +x n n−1 ≥ (n – 1)x1x3…x n

………

x1n−1+ x2n−1 +… +x n−1 n−1 ≥ (n – 1)x1x2…x n−1

S d ng các b t đ ng th c này, ta có th tăng cử dụng bất đẳng ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ể nắm ư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắmờng phổ thông nó đòi hỏi người thầyng các b t đ ngất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình

th c (**)ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình

(n – 1)(x1n + x2n +…+ x n n) ≥ n(n – 1)x1x2…x n

Trong h th c này đ t ệc học toán học sinh có thể nắm ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ặc biệt hỗ trợ tư x1n = a1, x2n = a2…, x n n = an ta đư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắmợc nội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó các em vậnc:

 M t s chú ý khi s d ng b t đ ng th c cô-si:ội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó các em vận ốt và giải quyết các bài toá một cách hiệu quả ử dụng bất đẳng ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình

 Khi áp d ng b t đ ng th c cô-si thì các s ph i là các s không âm.ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ốt và giải quyết các bài toá một cách hiệu quả ải toán từ đó các em vận ốt và giải quyết các bài toá một cách hiệu quả

 B t đ ng th c cô-si thất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắmờng phổ thông nó đòi hỏi người thầyng đư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắmợc nội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó các em vậnc áp d ng khi trong đ ng th c c nẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ầy

ch ng minh có t ng và tích.ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ổ thông nó đòi hỏi người thầy

 Đi u li n x y ra d u “=” là các s b ng nhau.ệc học toán học sinh có thể nắm ải toán từ đó các em vận ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ốt và giải quyết các bài toá một cách hiệu quả

II CÁC NG D NG C A B T Đ NG TH C CÔ-SI ỨC CÔ-SI ỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI ỦA BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI ẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI ẲNG THỨC CÔ-SI ỨC CÔ-SI.

1 Ch ng minh b t đ ng th c ứu ất đẳng thức cô-si với hai số ẳng thức cô-si với hai số ứu

Bài toán 1: cho x, y > 0, ch ng minh ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình

x  y x y

Phân tích:

Do x, y > 0 nên b t đ ng th c có th suy ra t b t đ ng th c cô-siất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ể nắm ừ đó các em vận ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình

ho c tr c ti p xét hi u.ặc biệt hỗ trợ tư ự nhiên Hơn nữa ết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắm ệc học toán học sinh có thể nắm

Khai thác bài toán:

B t đ ng th c trên có liên quan đ n vi c “c ng m u” nên có th sất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắm ệc học toán học sinh có thể nắm ội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó các em vận ẫu” nên có thể sử ể nắm ử dụng bất đẳng

d ng đ ch ng minh b t đ ng th c sau:ể nắm ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình

Cho a, b, c là đ dài 3 c nh c a m t tam giác, ch ng minh r ng:ội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó các em vận ạo, để tạo ra phương pháp dạy học giúp ủa mọi ngành khoa học khác Chính vì thế, toán học ội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó các em vận ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình

B t đ ng th c trên đất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắmợc nội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó các em vận ọc toán học sinh có thể nắmc g i là BĐT Cauchy c b n trơng pháp giải toán từ đó các em vận ải toán từ đó các em vận ư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắmờng phổ thông nó đòi hỏi người thầyng h p 3 s Taợc nội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó các em vận ốt và giải quyết các bài toá một cách hiệu quả.

có v trái ch a ết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắm ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình a b c  và các ngh ch đ o c a chúng Vì v y ta nghĩ đ n, , 0 ịnh mục tiêu giáo dục cụ thể trong chủ đề này em đã chọn đề ải toán từ đó các em vận ủa mọi ngành khoa học khác Chính vì thế, toán học ận ết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắm

vi c áp d ng b t đ ng th c cô-si.ệc học toán học sinh có thể nắm ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình

L i gi i ời giải ả: :

Cách 1: Áp d ng b t đ ng th c côsi cho các b s ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó các em vận ốt và giải quyết các bài toá một cách hiệu quả , ,a b c và

Khai thác bài toán: B ng cách tư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắmơng pháp giải toán từ đó các em vậnng t ta có th ch ng minh đự nhiên Hơn nữa ể nắm ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắmợc nội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó các em vậnc các

b t đ ng th c sau:`ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình

Bài toán2.1:Ch ng minh các b t đ ng th cức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình

Nhân t ng v c a 2 b t đ ng th c ta suy ra đpcm.ừ đó các em vận ết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắm ủa mọi ngành khoa học khác Chính vì thế, toán học ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình

Bài toán 2.3: Ch ng minh r ng:ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình

b c  a c  a b  a b c, , > 0

Phân tích : Áp d ng b t đ ng th c cô-si ho c đ t và áp d ng b t đ ngất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ặc biệt hỗ trợ tư ặc biệt hỗ trợ tư ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình

th c cô-si đ ch ng minh b t đ ng th c Ta có l i gi i nh sau:ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ể nắm ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ờng phổ thông nó đòi hỏi người thầy ải toán từ đó các em vận ư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắm

L i gi i ời giải ả: :

Cách 1 : Ta có :

32

D u "=" x y ra khi và ch khi ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ải toán từ đó các em vận ỉ khi a = b x y z 

Khai thác bài toán:

B ng cách tư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắmơng pháp giải toán từ đó các em vậnng t , ta có th ch ng minh đự nhiên Hơn nữa ể nắm ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắmợc nội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó các em vậnc các b t đ ng th c sau:ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình

v i a, b, c, d là dới cả người dạy và người học Vì vậy, để ư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắmơng pháp giải toán từ đó các em vậnng ta có:

2 Ch ng minh b t đ ng th c trong tam giác ứu ất đẳng thức cô-si với hai số ẳng thức cô-si với hai số ứu

Bài toán 1: cho a, b, c là đ dài 3 c nh c a 1 tam giácội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó các em vận ạo, để tạo ra phương pháp dạy học giúp ủa mọi ngành khoa học khác Chính vì thế, toán học

Ch ng minh r ng:ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình

a b+c−a +

b a+ c−b +

c a+b−c ≥3 Phân tích:

Ta c g ng làm m u “g n l i” đ tách các t theo m u.ốt và giải quyết các bài toá một cách hiệu quả ắm ẫu” nên có thể sử ọc toán học sinh có thể nắm ạo, để tạo ra phương pháp dạy học giúp ể nắm ử dụng bất đẳng ẫu” nên có thể sử

b+c−a +

b a+c−b +

c a+b−c =

Đ ý r ng c hai v c a các b t đ ng th c trên là các s dể nắm ải toán từ đó các em vận ết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắm ủa mọi ngành khoa học khác Chính vì thế, toán học ất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ốt và giải quyết các bài toá một cách hiệu quả ư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắmơng pháp giải toán từ đó các em vậnng và ba

b t đ ng th c này cùng chi u, nhân t ng v c a chúng ta đất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa ẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình ừ đó các em vận ết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắm ủa mọi ngành khoa học khác Chính vì thế, toán học ư chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắmợc nội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó các em vậnc: