BÀI TẬP LỚN Bất đẳng thức côsi và ứng dụng

LỜI NÓI ĐẦU I.Lí do chọn đề tài 1. Cơ sở khoa học Như chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắm vững được nội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó các em vận dụng vào các môn học khác nhất là các môn khoa học tự nhiên. Hơn nữa toán học còn là cơ sở của mọi ngành khoa học khác. Chính vì thế, toán học có vai trò quan trọng trong nhà trường phổ thông nó đòi hỏi người thầy mọi sự lao động nghệ thuật sáng tạo, để tạo ra phương pháp dạy học giúp học sinh học tốt và giải quyết các bài toá một cách hiệu quả. Bất đẳng thức cô-si là một nội dung quan trọng trong chương trình toán học đại số. Việc nắm vững các phương pháp giải bất phương trình không những giúp học sinh học tốt bộ môn toán mà còn có tác dụng hỗ trợ cho nhiều bộ môn khác như Hóa học, Vật lý, Tin học… Đặc biệt hỗ trợ tư duy cho học sinh. Những vấn đề đặt ra cho giáo viên toán hiện nay là giúp học sinh học tốt bộ môn toán nói chung và nắm vững sử dụng bất đẳng thức côsi nói riêng. 2. Cơ sở thực tiễn Chủ đề "Bất đẳng thức côsi" có rất nhiều ứng dụng và được sử dụng khá phổ biến để chứng minh bất đẳng thức, đánh giá biểu thức và từ đó giải quyết nhiều bài toán khác nhau, là một chủ đề hay, chủ chốt trong chương trình Toán đại số đối với cả người dạy và người học. Vì vậy, để nhằm xác định mục tiêu giáo dục cụ thể trong chủ đề này em đã chọn đề tài: "Bất đẳng thức côsi và ứng dụng ”. II. Mục đích nghiên cứu Một vấn đề thường gặp trong đại số, làm cho học sinh lung túng đó là những bài toán về bất đẳng thức đại số như “bất đẳng thức Cô-si (Cauchy), bất đẳng thức Bunhiacopski, bất đẳng thức Jensen, bất đẳng thức Beruoulli. Thông thường đây là những dạng toán khó, là một phần quan trọng của đại số và những kiến thức về bất đẳng thức làm phong phú hơn phạm vi ứng dụng đại số trong cuộc sống. III. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu. - Phương pháp quan sát. - Phương pháp dạy học và đánh giá trong giáo dục Toán học. NỘI DUNG I, BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI. 1. Bất đẳng thức cô-si với hai số • Với hai số không âm a, b ta có : ab ≤ 2 a b+ Đẳng thức = 2 a b+ xảy ra khi và chỉ khi a = b Chứng minh: Ta có - 2 a b+ = - 1 2 ( ) 2a b ab+ − = - 1 2 ( ) a b− 2 ≤ 0 Vậy ab ≤ 2 a b+ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ( ) a b− = 0, tức là khi và chỉ khi a = b. • Các hệ quả: Hệ quả 1: Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2. 1 a a + ≥ 2, a∀ > 0 Hệ quả 2: Nếu a, b cùng dương và có tổng không đổi thì tích ab lớn nhất khi và chỉ khi a = b. Chứng minh : Đặt S = a + b .Áp dụng bất đẳng thức cô-si ta có ab ≤ 2 a b+ = 2 S , do đó 2 4 S ab ≤ A B C D 1cm2 E F H G A B C D E F G H 1cm2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 2 S Vậy tích ab đạt giá trị lớn nhất bằng 2 4 S khi và chỉ khi a = b = 2 S Ý nghĩa hình học : Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất. Hệ quả 3 : Nếu ,a b cùng dương và có tích không đổi thì tổng a b + nhỏ nhất khi và chỉ khi a b= . Chứng minh: Đặt S ab= . Áp dụng bất đẳng thức cô-si ta có: 2 a b+ ≥ ab = S do đó 2a b S+ ≥ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b S= = Vậy tổng a b + đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 S khi và chỉ khi a b S = = Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất. 2. Bất đẳng thức cô-si với 3 số • Với 3 số thực không âm , ,a b c ta có: 3 a b c+ + ≥ 3 abc Đẳng thức 3 a b c+ + = xảy ra khi và chỉ khi a b c= = Chứng minh : Theo bất đẳng thức cô-si cho 2 số ta có : 2a b ab + ≥ 3 3 2c abc c abc + ≥ Cộng hai vế tương ứng của hai bất đẳng thức ta được: 3 3 2 2a b c abc ab c abc + + + ≥ + ( ) 3 2a b c abc ab c abc ⇔ + + + ≥ + 3 3 3 4 4a b c abc abc abc abc⇔ + + + ≥ = 3 3a b c abc ⇒ + + ≥ (đpcm). 3. Bất đẳng thức cô-si với n số • Cho n số thực không âm bất kì 1 2 , n a a a ta có: 1 2 1 2 n n n a a a a a a n + + + ≥ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 2 n a a a= = = Chứng minh: Với n = 1 BĐT hiển nhiên đúng. Với n = 2 BĐT đã được chứng minh ở trường hợp bất đẳng thức cô-si cho 2 số. Để chứng minh bất đẳng thức tổng quát, trước hết ta xét vài bất đẳng thức phụ. Nếu 1 2 ,x x R + ∈ thì: 1 2 x x< ⇔ 1 1 1 2 n n x x − − < Vậy ∀ 1 2 ,x x R + ∈ thì ta luôn có(chuyển một bộ phận sang vế phải, ta được) - )( 1 2 x x− ) ≥ 0 + ≥ 1 x + 2 x . Lấy n số thực không âm 1 2 , , , n x x x R, viết các bất đẳng thức tương ứng rồi cộng lại ta được : + ) + ( + ) +…+ ( + ) + ( + ) +…+( + )+…+ ( + ) ≥ ( 1 x + 2 x )+( 1 x + 3 x )+…+( 1 x + )+…+( + ) (*) Từ đó : (n – 1)( + +…+ ) ≥ + +…+) + + +…+) + + +…+) (**) Theo giả thiết quy nạp, ta thừa nhận rằng đối với n – 1 số thực không âm bất kì, trung bình cộng không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng. Thế thì ta có: + +… + ≥ (n – 1)… + +… + ≥ (n – 1)… ………………………………………………. + +… + ≥ (n – 1)… Sử dụng các bất đẳng thức này, ta có thể tăng cường các bất đẳng thức (**) (n – 1)( + +…+ ) ≥ n(n – 1)… Trong hệ thức này đặt = a 1 , = a 2 …, = a n ta được: 1 2 n a a a n + + + 1 2 n n a a a≥ (đpcm) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 2 n x x x= = = tức là khi và chỉ khi 1 2 n a a a= = = .  Một số chú ý khi sử dụng bất đẳng thức cô-si: • Khi áp dụng bất đẳng thức cô-si thì các số phải là các số không âm. • Bất đẳng thức cô-si thường được áp dụng khi trong đẳng thức cần chứng minh có tổng và tích. • Điều liện xảy ra dấu “=” là các số bằng nhau. II. CÁC ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI 1. Chứng minh bất đẳng thức Bài toán 1: cho x, y > 0, chứng minh 1 1 4 x y x y + ≥ + . Phân tích: Do x, y > 0 nên bất đẳng thức có thể suy ra từ bất đẳng thức cô-si hoặc trực tiếp xét hiệu. Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho 2 số dương ta có: 2x y xy+ ≥ 2 ( ) 4 4 1 1 4 x y xy x y xy x y x y x y ⇔ + ≥ + ⇔ ≥ + ⇔ + ≥ + Khai thác bài toán: Bất đẳng thức trên có liên quan đến việc “cộng mẫu” nên có thể sử dụng để chứng minh bất đẳng thức sau: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác, chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c   + + ≥ + +  ÷ − − −   Trong đó 2 a b c p + + = Bài toán 1.1: Chứng minh rằng:         ++ ++ ≤ + + + + + + + + cba cba ca ca bc cb ba ba 222222222 3 Bài toán 1.2: Cho 1,,0 ≤≤ cba . Chứng minh rằng: accbbacba 222222 1 +++≤++ Bài toán 1.3: Cho a > 0, b > 0, c > 0. Chứng minh:       −+≥++ cbaab c ac b bc a 111 2 Bài toán 1.4: Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng: x zy zy x ≥ + + + 4 2 Bài toán 1.5: Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: a b ba b a −≥− Bài toán 2: Cho , , 0a b c > . Chứng minh rằng: ( ) 1 1 1 9a b c a b c   + + + + ≥  ÷   Phân tích: Bất đẳng thức trên được gọi là BĐT Cauchy cơ bản trường hợp 3 số.Ta có vế trái chứa , , 0a b c > và các nghịch đảo của chúng. Vì vậy ta nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thức cô-si. Lời giải: Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức côsi cho các bộ số , ,a b c và 1 1 1 ; ; a b c ta có: 3 a b c abc + + ≥ 3 1 1 1 1 a b c abc + + ≥ Nhân từng vế với bất đẳng thức trên ta được: ( ) 1 1 1 9a b c a b c   + + + + ≥  ÷   (đpcm) Cách 2: Ta có: ( ) 1 1 1 a b c a b c   + + + +  ÷   = 3 3 2 2 2 9 b a c a b c a b a c c b       + + + + + + ≥ + + + =  ÷  ÷  ÷       Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a b c= = . Khai thác bài toán: Bằng cách tương tự ta có thể chứng minh được các bất đẳng thức sau:` Bài toán2.1:Chứng minh các bất đẳng thức a) 3 a b c b c a + + ≥ (a, b, c > 0) b) 2 2 2 a b c ab bc ca+ + ≥ + + Bài toán 2.2: chứng minh rằng: a) 2 2 2 2 1 x x + ≥ + x R ∀ ∈ HD: Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho 2 số 2 1x + và 1. b) 8 6 1 x x + ≥ − x ∀ > 1. HD: Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho hai số 1x − và 9. c) ( ) ( ) 1 4a b ab ab+ + ≥ , 0a b ∀ ≥ HD: Áp dụng bất đẳng thức cô-si ta có : 2 1 2 a b ab ab ab + ≥ + ≥ Nhân từng vế của 2 bất đẳng thức ta suy ra đpcm. Bài toán 2.3: Chứng minh rằng: a) ( ) ( ) ( ) 8a b b c c a abc + + + ≥ , , 0a b c ∀ ≥ [...]... cứu 2 NỘI DUNG 3 I .Bất đẳng thức cô-si 3 1 .Bất đẳng thức cô-si với hai số 4 2 .Bất đẳng thức cô-si với ba số 4 3 .Bất đẳng thức cô-si với n số .5 II CÁC ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI 6 1.Chứng minh bất đẳng thức .6 2.Chứng minh bất đẳng thức trong tam giác .10 3 .Ứng dụng bất đẳng thức cô-si tìm cực trị .13 KẾT LUẬN... 1 + b 2 ) + b 2 ( 1 + c 2 ) + c 2 ( 1 + a 2 ) ≥ 6abc HD: Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho 6 số a 2 , a 2b 2 , b 2 , b 2 c 2 , c 2 , c 2 a 2 Bài toán 3: Chứng minh bất đẳng thức nesbit ( 3 số ) a b c 3 + + ≥ b + c a + c a + b 2 ∀a, b, c > 0 Phân tích : Áp dụng bất đẳng thức cô-si hoặc đặt và áp dụng bất đẳng thức cô-si để chứng minh bất đẳng thức Ta có lời giải như sau: Lời giải : Cách 1 : Ta có : a... + 1) n KẾT LUẬN Bất đẳng thức cô-si và ứng dụng của bất đẳng thức cô-si” là một khái niệm hay nhưng khó đối với học sinh, do đó giáo viên cần hướng dẫn phân tích một cách tỉ mỉ để học sinh có thể chứng minh thành thạo các bất đẳng thức ở nhiều dạng khác nhau đồng thời các em cũng tìm ra được các cách làm hay đối với những bài toán chứng minh Qua chủ đề Bất đẳng thức cô-si và ứng dụng em hy vọng... b − c) ≥ 33 abc =3 abc Khai thác bài toán: Trong bài toán trên chúng ta đã sử dụng ẩn phụ hoặc dùng bất đẳng thức cô-si để giải Sử dụng cách thức trên, hãy giải bài toán sau: Bài toán 1.1: Cho a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1 Chứng minh rằng: + + ≤ 2 Bài toán 1.2: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC, Chứng minh rằng : ( a + b + c ) 2 ≤ 9bc Bài toán 2: Chứng minh rằng: a 3 b2 + c2 + b 3... 43 = 64 abc P= Khai thác bài toán: Bằng phương pháp tương tự ta có thể giải quyết bài toán tổng quát sau: Bài toán 6.1: cho S = a + b + c Tìm GTLN của P =  1  1  1   1 + ÷ 1 + ÷ 1 + ÷  a  b  c  Áp dụng các cách trên cùng với việc sử dụng bất đẳng thức cô-si, ta có thể giải quyết cái bài toán như:  Bài tập đề nghị: Bài tập 1: Tìm GTLN của B = x −1 + x y−2 y Bài tập 2:Cho 2 số dương x,... > 0) Bài tập 7: Với giá trị nào của số dương a thì biểu thức A đạt GTNN a1000 + a 900 + a 90 + a 5 + A= 1995 a Bài tập 8: Cho a, b, c, d là bốn số dương Chứng minh rằng: 1< a b c d + + + 0 suy ra ≤ 1 ⇔ 1 ≥3 3 abc 3 Do đó có thể khai triển biểu thức P rồi ước lượng theo bất đẳng thức Cô-si... Trong bài toán trên ta đã sử dụng bất đẳng thức cô-si theo 2 chiều ngược lại ab ≤ + Dùng a+b 2 để dùng điều kiện tổng 1 1 1 + = x y 2 từ đó ta được xy ≥ 4 + Dùng a + b ≥ 2 ab “làm giảm” tổng x+ y để dùng kết quả xy ≥ 4 Lưu ý: Không phải lúc nào ta cũng sử dụng trực tiếp bất đẳng thức cô-si • Cách 1: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phương biểu thức đó 3x − 5 + 7 − 3x Bài toán... Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x= y=z Khai thác bài toán: Bằng cách tương tự, ta có thể chứng minh được các bất đẳng thức sau: với a, b, c, d là dương ta có: 1 2 2 2 9 + + ≥ b+c c+a a+b a+b+c a2 b2 c2 a+b+c 2 + + ≥ b+c c+a a+b 2 2 Chứng minh bất đẳng thức trong tam giác Bài toán 1: cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác a b c + + ≥ 3 b+c−a a+c−b a+b−c Chứng minh rằng: Phân tích: Ta cố gắng làm mẫu... được cho dưới dạng tổng của hai căn thức Hai biểu thức lấy căn có tổng không đổi (= 2).Vì vậy, nếu bình phương A sẽ xuất hiện hạng tử là hai lần tích của hai căn thức Đến đây có thể áp dụng bất đẳng thức cô-si • Cách 2: Nhân và chia biểu thức cùng với một số khác 0 Bài toán 2 : Tìm Max của A = x −9 5x Phân tích: Trong cách giải trên, x – 9 được biểu diễn thành vận dụng BĐT Cô-si tích này sẽ trở thành . 3 abc abc ≥ = Khai thác bài toán: Trong bài toán trên chúng ta đã sử dụng ẩn phụ hoặc dùng bất đẳng thức cô-si để giải. Sử dụng cách thức trên, hãy giải bài toán sau: Bài toán 1.1: Cho a, b,. Khai thác bài toán: Ta có bài toán tổng quát: Cho 3 số dương a, b, c có a + b + c = S. Tìm giá trị lớn nhất của 1 1 1 ( , , ) 1 1 1 .f a b c a b c     = + + +  ÷ ÷ ÷     Bài toán. + = Bài toán 1.1: Chứng minh rằng:         ++ ++ ≤ + + + + + + + + cba cba ca ca bc cb ba ba 222222222 3 Bài toán 1.2: Cho 1,,0 ≤≤ cba . Chứng minh rằng: accbbacba 222222 1 +++≤++ Bài