Bài tập lớn giải tích hàm cực hay

Chương 5 TÍNH COMPACTTRONG KHÔNG GIAN BANACHTOÁN TỬ COM PAC Định lý: Cho X,d là một không gian metric và xét một tập hợp A ⊆ X.. Nếu trong phép cộng X,d là một không gian metric đầy đủ

Chương 5 TÍNH COMPACTTRONG KHÔNG GIAN BANACH

TOÁN TỬ COM PAC

Định lý: Cho (X,d) là một không gian metric và xét một tập hợp

A ⊆ X Sau đây là những khẳng định tương đương:

i) A là hoàn toàn bị chặn, , i e ∀ > ∃ ε 0 một hệ thống tập hợp hữu hạn

ii) Bất kỳ (( ) xn n M∈ ⊆ A đều bao hàm một dãy con Cauchy

Nếu trong phép cộng (X,d) là một không gian metric đầy đủ thì A toán tử hoàn toàn bị chặn khi và chỉ khi A là Compact tương đối, i,e…,A là Compact

Định lý Arzela – Ascoli :

Cho ( T,d) là một không gian metric Compact và A⊆ C(T)

Sau đây là những khẳng định tương đương :

i) A là chuẩn Compact tương đối

ii) A là đều bị chặn , i e ∃ > M 0như vậy f t ( ) ≤ ∀ ∈ ∀ ∈ M f A t T , và A là liên tục đồng bậc , , i e ∀ > ∃ > ε 0, δε 0 như vậy ∀ x y T , ∈ với d (x,y)< δε

nó là bộ phận của f x ( ) − f y ( ) < ε ∀ ∈f A.

iii) Bất kỳ dãy ( ) fn n M∈ ⊆ A đều chứa dãy con hội tụ đều

Compact tương đối trong lp 1≤ p <∞ Một tập hợp con A ⊆ lp là chuẩn của

Compact tương đối khi và chỉ khi A là không gian định chuẩn và ∀ > ∃ ∈ ε 0, nε

Compact tương đối trong c0: Một tập A ⊆ c0 là chuẩn Compact tương đối khi

và chỉ khi nó là một dãy λ λ − ( )n n M∈ ∈ c0 như vậy

Định nghĩa : Cho X,Y là không gian định chuẩn Một toán tử U ∈ L X Y ( , ) gọi

là Compact khi và chỉ khi U B ( X) ⊆ Y là hoàn toàn bị chặn

Nếu trong phép cộng , Y là một không gian Banach thì U ∈ L X Y ( , ) là toán tử Compact khi và chỉ khi U B ( X) ⊆ Y là Compact tương đối

Ta kí hiệu : K X Y ( , ) ={ U ∈ L X Y ( , )/ U là Compact } và

Định lý :i, Cho X, Y là không gian định chuẩn.Thì K(X, Y) không gian con

tuyến tính đóng của L( X, Y)

ii, Cho X, Y, Z, T là không gian định chuẩn Nếu

Compact ( tính chất lý tưởng của toán tử Compact)

Định nghĩa : Cho X, Y là không gian định chuẩn Một toán tử tuyến tính và liên

tục U: X → Y gọi là toán tử hạng hữu hạn khi và chỉ khi miền U(X) ⊆ Y là kích động hữu hạn hoặc tương ứng, nếu với n N x ∈ , , ,11 xn4∈ X* và

1 n

y y ∈ Y như vậy U x ( ) = x x y11( ) 1 + + x x y*n( ) n ∀ ∈ x X

Định lý Schauder : Cho X, Y là không gian Banach và U L X Y ∈ ( , ) Khi U

là Compact khi và chỉ khi U* là Compact

Định lý Mazur : Cho X là không gian Banach và tập hợp con A ⊆ X Khi những khẳng định sau là tương đương:

i, Là một Compact tương đối

ii, co(A) là một Compact tương đối

iii, ec(A) là Compact tương đối

iv, eco(A) là Compact tương đối.

Định lý Grothendleck : Cho X là một không gian Banach và một tập hợp con

A ⊆ X Khi A là Compact tương đối khi và chỉ khi với ( ) xn n N∈ ⊆ X như vậy

0

n

x → và A ⊆ co x n N { /n ∈ }

5.1 Bài tập

CÁC VÍ DỤ CỦA TẬP HỢP COMPACT TRONG l2

1 Các điều kiện dưới đây trên dãy ( ) λn n N⊂ ⊆ (0, ) ∞ theo Compact trong l2

Compact tương đối trong C a b [ ] ,

4 Chứng minh rằng một tập M của C1 dãy hàm f trên tô pô [ ] a b , mà thỏa

5 Cho M là tập hợp bị chặn trong không gian C a b [ ] , Chứng minh rằng tập

A bao hàm tất cả các dãy hàm của các dạng

1

0

( ) ( )

Compact tương đối trong C a b [ ] ,

6 Cho ( ) gn n N∈ là một dãy của dãy hàm lấy vi phân liên tục gấp đôi trong lân cận mở cố định của [0, 1] Như vậy gn = g’n(0) – 0 ∀ ∈ n N Giả sử rằng

''( ) 1

( ) gn n N∈ mà hội tụ đều trong [ ] 0,1

7 Cho M là một tập của C1 dãy hàm trên topo [a,b] mà thỏa mãn các điều kiện sau:

i, Với L >0 sao cho f x '( ) ≤ L, ∀ ∈ f M , ∀ ∈ x [ ] a b , ;

ii, Với mỗi dãy hàm f ∈ M , phương trình f x ( ) 0 = là một nghiệm bé

nhất.Chứng minh rằng M là Compact tương đối trong C a b [ ] ,

8 Thiết lập nếu theo sau tập của dãy hàm là Compact tương đối trong C a b [ ] ,

10 i, Tìm dãy hàm liên tục ϕ : 0,1 [ ] [ ] → 0, ∞ sao cho tập

A = f ∈ C f x ≤ ϕ x x ∀ ∈ là Compact tương đối trong

không gian C [ ] 0,1

ii, Cho T là một không gian metric Compact và ϕ : T → [ 0, ∞ ) liên tục Tìm ϕ

mà tập A = { f ∈ C T ( ) / ( ) f x ≤ ϕ ( ) x x T ∀ ∈ } là Compact tương đối trong không gian C(T)

GIỚI HẠN CỦA ARZELA – ASOCOLI

11 Định lý Arzela – asocoli bao hàm dãy ( ) fn n N∈ của giá trị thực liên tục dãy hàm được định nghĩa trên một không gian metric Ω là Compact tương đối ( i,

e ,…là một dãy con hội tụ đều) nếu:

iii, Dãy là liên tục đối bậc

Cho ví dụ của dãy mà một tập không phải Compact tương đối, sao cho: (i)

và (ii) đúng ,nhưng (iii) sai ;(i) và (iii) là đúng, nhưng (ii) là sai; (i) và (iii) là đúng, nhưng (i) là sai Lấy Ω là mọt tập hợp con của R

Định lý Arzela – Ascoli, các trường hợp tổng quát.

12 Cho ( Ω, τ ) là không gian Compact và (X, d) là không gian metric Trên không gian C ( , ) Ω X ={ f : Ω → X f / liên tục} chúng ta sẽ xét 2 to po: theo từng điểm topo hội tụ, τp, , , i e topo yếu hơn mà toán tử : f → f t ( )là liên tục

mà mỗi t ∈Ω, to po hội tụ đều, τn, cho bởi khoảng cách:

ii, Nếu A ⊆ Ω C ( , ) X là liên tục đồng bậc và với t ∈Ω, tập

{ f t ( ) / f ∈ A } ⊆ X là Compact tương đối, chứng minh rằng A là Compact

tương đối trong to po τn

Sự hợp thành của toán tử Compact

13 Cho X là không gian Banach Với mỗi A B L X , ∈ ( ) chúng ta xác định , : ( ) ( ), , ( ) AS

T L X → L X T S = B ∀ ∈ S L X ( ).

i, Nếu A, B là toán tử Compact chứng minh rằng TA B, là Compact tuyệt đối.

ii, Nếu A, B là hằng số khác không và nếu TA B, là Compact chứng minh rằng A,

B là toán tử Compact

Phép nhân toán tử Compact giữa không gian C(T)

14 Với mỗi dãy hàm ϕ ∈ C [ ] 0,1 , chúng ta xét phép nhân toán tử:

Mϕ C → C , ( M fϕ ) ( ) x = ϕ ( ) ( ) x f x ∀ ∈ x [ ] 0,1 ∀ ∈ f C [ ] 0,1

a, Tìm chuẩn Mϕ .

b, Dưới điều kiện trên dãy hàm ϕ là toán tử Compact Mϕ .

ii, Cho T là không gian metric Compact và ϕ ∈ C T ( ) Dưới điều kiện trong dãy hàm φ là phép nhân toán tử Mϕ: C T ( ) → C T ( ),( M f xϕ )( ) = ϕ ( ) ( ) x f x

∀ ∈ ∀ ∈ Compact ?

Ví dụ hữu hiệu của Compact và không toán tử Compact.

15 Đưa U C : [ ] 0,1 → C [ ] 0,1 ở dưới, nó thuộc loại chuẩn và thiết lập nếu U là Compact

( ) ( ) Vf x = ( f x ( ) − f ( ) − x ) / 2, ∀ ∈ − x [ 1,1 ] là tuyến tính và liên tục và

một chuẩn.U và V co phải là toán tử Compact ?

17 Với 1 p ≤ < ∞, tìm với chuẩn của toán tử U: lp → lp dưới, và nếu nó là

Toán tử Volterra và Hardy

(V là toán tử Volterra) Chứng minh rằng V là tuyến tính, liên tục, và

Compact.tìm chuẩn của nó

ii, Cho 1 < p <∞ Cho H: Lp( 0, ∞ → ) Lp( 0, ∞ ) ,

Một ví dụ của không toán tử Compact mà bình phương của nó là Compact.

20 Cho X là một không gian cuả c0 hoặc lp với 1 p ≤ < ∞ Chúng ta xét một

toán tử U: X → X U x x , ( 1, , 2 ) ( = 0, ,0, ,0, , x1 x2 x3 ) Chứng minh rằng U không là toán tử Compact nhưng U2 là Compact

Phép nhân toán tử Compact trong lp

21 Cho 1 p ≤ < ∞, và λ = ( ) λn n N∈ ⊆ Κ với sup n

n N λ

∈ < ∞ Chúng ta xác định phép nhân toán tử Mλ : lp → lp, Mλ( ) ( x = λ λ1 1x , 2 2x , )

ii, Mλ là toán tử Compact khi và chỉ khi λ ∈ c0

Phép lấy tổng toán tử không Compact

22 i, Chứng minh rằng phép lấy tổng toán tử ∑ :l1 → l∞ cho bởi

∑ ∑ là tuyến tính, liên tục, nhưng không Compact

ii, Chứng minh rằng bao hàm i: l1 → l∞ là một toán tử tuyến tính và liên tục

mà ∑ xác định (i) là một yếu tố, và i không là Compact

là tuyến tính và liên tục nhưng không Compact

Toán tử Compact trong không gian Banach hưũ hạn chiều không toàn ánh.

23 i, Cho X là một không gian Banach hữu hạn chiều, và A K X ∈ ( ) Chứng minh rằng với y X ∈ sao cho phương trình A x ( ) = ykhông có nghiệm, i,e,…,

A không là toàn ánh

ii, Cho A c : 00 → c A x00 ( ) ( n n N∈ ) ( = x nn / )n N∈ ∀ ( ) xn n N∈ ∈ c00.

Chứng minh rằng A là Compact và song ánh (Trên c00 chúng ta có chuẩn từ l∞).

Toán tử Compact không song ánh trong không gian định chuẩn hữu hạn chiều

24 Cho X, Y là không gian định chuẩn và A L X Y ∈ ( , )mà nó có tính chất : 0

c

∃ > như vậy ∀ ∈ x X Ax ≥ c x A có thể là một toán tử Compact không ?

25 i, Cho X, Y là không gian định chuẩn, X là không gian hữu hạn chiều và

Phép chiếu toán tử Compact là hạng toán tử hữu hạn

26 Cho X là không gian định chuẩn và T ∈ L X ( ) mà là Compact và T2 = T Chứng minh rằng T là một hạng toán tử hữu hạn

Miền của tập bị chặn, đóng, và lồi bởi một toán tử Compact

27 Cho X là một không gian phản xạ, Y là không gian Banach, và A X : → Y

tuyến tính và hội tụ Nếu M ⊆ X là đóng, lồi, và bị chặn, chứng minh rằng

( )

A M ⊆ Y là đóng

Nếu trong phép cộng, A là toán tử Compact A M ( ) ⊆ Y là Compact

28 Cho H là một không gian Hilbert và T H : → H là một toán tử Compact Chứng minh rằng T hoàn thành chuẩn, i,e,…Có một x H ∈ với x ≤ 1 như

vậy Tx = T

29 i, Cho X là một không gian phản xạ, Y là một không gian Banach, và

:

A X → Y là toán tử Compact Nếu M ⊆ X là một tập không đóng bị chặn

và lồi và y Y ∈ ,chứng minh rằng có một x0∈ M như vậy

0

inf

x M Ax y Ax y

∈ − = − Nếu, trong phép cộng, Y là một không gian

Hilbert Chứng minh rằng x0∈ M đạt được ở trên là một của phương trình

( ) PrA M( )( )

A x = y , ở đây Pr kí hiệu phép chiếu trực giao của một tập đóng, lồi, không trống trong không gian Hilbert

ii, Cho 1 < < p 2, : A lp → l2 là một phép nhân toán tử

30 Cho X là không gian Banach khả vi và tập hợp A ⊆ X Chứng minh rằng A

là Compact tương đối khi va chỉ khi với mỗi dãy ( )* *

n n N

∈ ⊆ hội tụ yếu về

không,mà theo sau nó về x*n → 0 đều trên A

Tập Compact trong không gian Banach

31 Cho X là một không gian Banach, và ( ) xn n N∈ ⊆ X như vậy lim n 0

Định lý về giới hạn của Mazur

32 Cho một ví dụ cuả một không gian định chuẩn X, một dãy ( ) xn n N∈ trong X, hội tụ định chuẩn về 0, mà ở đây là một dãy ( ) λn n N∈ ∈ l1 như vậy chuỗi

Tổng quát tính chất chung cho một toán tử Compact

33 Cho X và Y là không gian Compact, và T X : → Y một tuyến tính, liên tục,

và toán tử Compact Chứng minh rằng đây là một dãy ( ) *

y Tx

=

Các yếu tố toán tử Compact thông qua không gian con tuyến tính khép kín

34 Cho X và Y là hai không gian Banach Chứng minh rằng:

i, một toán tử tuyến tính và liên tục T: X → Y là Compact khi và chi khi có một dãy ( )* *

Các chuỗi

1

n n

37 Cho X là một không gian Banach Chứng minh rằng T c : 0 → X là

Compact yếu khi và chỉ khi T c : 0 → X là Compact

38 Cho ( ) ξn n N∈ là một dãy vô hướng Chứng minh rằng dãy hàm

41 i, Cho X là không gian Banach Chứng minh rằng các toán tử T ∈ L l X ( 1, )

là Compact khi và chỉ khi tập { Te n Nn / ∈ } ⊆ X là chuẩn Compact tương đối

ii, Cho ( ) an n N∈ ∈ l∞ Sử dụng (i) chứng minh rằng toán tử

Chính xác hơn, nếu T X : → c0 là toán tử tuyến tính và liên tục, chúng ta có thể tìm ( )* *

và chi khi xn* → 0 yếu Do đó toán tử Compact yếu với giá trị trong c0tương ứng với chuỗi rỗng yếu.

44 i, Cho X là không gian Banach.Chứng minh rằng T L X c ∈ ( , )0 là Compact khi và chỉ khi T p* n → 0 trong chuẩn của X*

iii, Cho H là một không gian Hilbert, và ( ) xn n N∈ ⊆ H \ 0 { } một hệ trục giao Chứng minh rằng dãy ( ( , n) )

→ = là tuyến tính và liên tục Nếu U là tuyến tính

và liên tục, chứng minh rằng U là Compact khi và chỉ khi xn → 0

Toán tử trong l1

45 Chứng minh rằng toán tử tuyến tính và liên tục từ không gian Banach X đến

không gian l1 tương ứng chuỗi Cauchy yếu *

1

n n

T L X l ∈ a T p ∈ ∈ ω X ( gặp bài tập 35 cho định nghĩa

chuỗi Cauchy yếu ) (ở đây p ln : 1 → K là phép chiếu chính tắc.)

46 Cho X là một không gian Banach Chứng minh rằng một toán tử

1

( , )

T L X l ∈ Chứng minh rằng T là Compact khi và chỉ khi T là Compact yếu

47 Cho X là không gian Banach Chứng minh rằng một toán tử T L X l ∈ ( , )1 là

Compact khi và chỉ khi chuỗi con của chuỗi *

1

n n

p p eak

n p

ω là một không gian Banach

50 Cho 1 p< < ∞, và cho X là một không gian Banach Chứng minh rằng tồn tại một phép đẳng cấu từ L l X ( , )p lên ωq( ) X được đưa bởi sự tương ứng

51 Xem xét 1 p< < ∞ và cho X là một không gian Banach Chứng minh rằng

tồn tại một đẳng cự phép đẳng cấu từ L X l ( , )p cho ωq( ) X , được đưa bởi sự

tuong ứng T ∈ L l X ( , )p a ( * n) q( *)

n N

T p ∈ ∈ ω X ( ở đây p ln : p → K là phép chiếu chính tắc)

ii, Cho E là các elipxoit từ các mệnh đề Ta có n, n

là một Compact trong tập l2.Các điều đó chứng tỏ rằng nếu 1 p≤ < ∞, tập

1/2 2

y = ∀ ∈y A Sử dụng bài tập 2, cho nên Alà tập Compact tương đối.

6 Xem (1, bài tập 5, xuất bản 1982).

Theo công thức Taylor, ∀x x, 0 ∈[ ]0,1 , ta có

∀ > ∃ > sao cho ∀x y, ∈[ ]0,1 với x y− < δε ⇒ f x n( ) − f n( )y < ε , ∀ ∈n ¥ có

nε ∈ ¥ sao cho 1 /n< δε, ∀ >n nε sau đó cho x= − 1 1 / ,n y= 1, x y− = 1 /n< δ∈

iii) Câu trả lời là không, từ { f n n | ∈ ¥} {⊆ fα | α ∈ ¡ }.

iv) Câu trả lời là đúng, ta có f 'α ( )x = cos(x+ α) ≤ ∀ ∈ 1, x [ ]0,1 , ∀ ∈ α ¡ Và từ công thức Lagrange nên fα( )x − f yα( ) = −x y f 'α( )c ≤ −x y , ∀x y, ∈[ ]0,1

( )fα α∈¡ là hội tụ đều theo Lipschitz Từ fα( )x ≥ ∀ ∈ ∀ ∈ 1, α ¡ , x [ ]0,1 từ bài tập 2 nên ( )fα α∈¡ là Compact tương đối.

v) Câu trả lời là không, từ khi xem nó là bao đóng không liên tục Nếu xem nó là bao đóng liên tục , thì ∀ > ∃ > ε 0, δε 0 sao cho

Từ bài tập 3 cho nên tập { fα | α ≥ 0} là Compact tương đối

9.i) Giả sử ( )x n n∈¥ ⊆ X là một dãy Cauchy, X là không gian Banach , có một

⊆U sẽ đảm bảo rằng A là Compact tương đối

ii) Ta chú ý theo giả thiết g xlấy giá trị của nó trong l∞ Từ Tlà một Compact trong không gian metric, g là liên tục khi và chỉ khi nó là liên tục đều,

Ta chỉ ra A là Compact tương đối khi và chỉ khi ϕ( )x = ∀ ∈ 0, x [ ]0,1

Gỉa sử A là Compact tương đối, cho a∈[ ]0,1 cho nên 1 / n a<

Điều khẳng định ngược lại là rõ ràng , vì A={ }0

ii) Cho T'là tập hợp tất cả các điểm tụ trong T Ta sẽ chứng minh rằng nếu

'

T ≠ ∅ thì A là Compact tương đối, cho bất kỳ ϕ :T →[ ]0, ∞ và nếu T' ≠ ∅ thì A

là Compact tương đối khi và chỉ khi ϕ( )a = 0, ∀ ∈a T' Thật vậy, nếu T' ≠ ∅ thì

từ đó T là Compact , không gian metric T là tập hữu hạn với phần tử n và trong trường hợp này, ta đồng nhất hóa trong C T( ) với l n∞ và tập hợp A với tập hợp các dạng { ( 1 , , ) n | 1 }

x x ∈l∞ x ≤ ∀ ≤ ≤a i n với một vài cố định (a1 , ,a n)∈ ¡ n+ mà rõ ràng là tiêu chuẩn Compact tương đối Gỉa sử a T∈ , cho n∈ ¥ , xác định

Nếu x≠a thì d x a( , ) 0 > do đó ta có nε ∈ ¥ sao cho 1 /n d x a< ( , ), ∀ ≥n nε

( ) min( ( , ),1) 1,

n

f x = nd x a = ∀ ≥n nε thì f x n( ) → 1, giả sử T' ≠ ∅ và cho a T∈ ' Nếu A

là Compact tương đối thì ∀ > ∃ > ε 0, δε 0 sao cho ∀x y T d x y, ∈ , ( , ) < δε cho nên

( ) ( ) ,

f x − f y < ∀ ∈ ε f A Từ f n( )ϕ ∈ ∀ ∈A n, ¥ thì ∀ ∈x T x a, ≠ với d x a( ), < δε nên ( ) ( ) ( ) ( ) ,

và δ 2 = min{d a b a b T T a b( ), | , ∈ \ ', ≠ } , thì dễ dàng thấy ∀x y T, ∈ , với d x y( , ) < δ

cho nên x hoặc y thuộc T', hoặc x= ∈y T T\ ' Cho bất kỳ f ∈A ta có

( ) ( )

f x = f y ( từ ϕ = 0 trên T') Từ điều này và định lý Arzela – Ascoli suy ra A

là Compact tương đối

Nếu T T\ ' là một phần tử, T T\ ={ }a , ta lấy δ =d a T( , ') thì dễ dàng thấy

Không phải là hàm liên tục, Do đó ( )f n n∈¥ không là Compact tương đối cho nên

nó không liên tục đồng bậc ( bằng định lý Arzela – Ascoli)

ii) Giả sử Ω =[ ]0,1 và f n: : 0,1[ ] → ¡ ,f x n( ) = ∀ ∈n x [ ]0,1 ∀ ∈n ¥ thì Ω là Compact, thì dãy ( )f n n∈¥ là liên tục đồng bậc và từ f n = ∀ ∈n n ¥ ch nên sup n .

¥

Cho điều này, cho

f x = ∀ ≥n ¥ thì ( )f n n∈¥ hội tụ theo từng điểm đế hàm zero vào ¡ Nếu

( )f n n∈¥ là dãy hội tụ thì dãy này phải hội tụ đến hàm zero

Do đó, có một dãy con ( )n k k∈¥ của ¥ sao cho 0

i) Đối với mỗi f ∈C(Ω ,X), một cơ sở của lân cận của f trong τptopo được

1 , , n

t t ∈ Ω sao cho ( )

1

n i i

f ∈Usao cho UIA⊆B p( f0 , ε)IA, với kí hiệu rõ ràng cho nên τn A| ⊆ τp A|

Nhưng hiển nhiên, ta có τp A| ⊆ τn A| và τn A| = τp A| .

ii) Ta xét không gian tích XΩ được xuất phát với topo tích số, phần tử của XΩ

có dạng ϕ =( )ϕt t∉Ωvới ϕ ∈t X đối với mỗi t∈ Ω Ta định nghĩa

là phép chiếu đồng cấu chính tắc ϕ =( )ϕt t∈¡ a ϕt từ XΩ đến X , mà, bằng định nghĩa của topo tích số là liên tục Do đó ψ : (C(Ω ,X), ) τp → ψ(C(Ω ,X) ) ⊆ XΩ là

phép biến đổi topo (1)

Cho p

F A− τ , A⊆C(Ω ,X) là liên tục đồng bậc Ta chứng tỏ F cũng là liên tục đồng bậc, cho t0 ∈ Ω > , ε 0, từ A là liên tục đồng bậc, có U là lân cận mở của

0

t sao cho d f t f t( ( ) ( ) 0 ) < ε / 3, ∀ ∈ ∀ ∈t U, f A, cho t U g F∈ , ∈ .Từ p

g∈ =F Aτ và

W g t t: , : / 3 ε là một lân cận mở của g đến τp topo, từ định nghĩa của bao

đóng cho nên W(g t t: , : / 3 0 ε )IA≠ ∅, do đó có f ∈Avới

∀ ∈ ∀ ∈ ta có d g t g t( ( ) ( ), 0 ) < ε Như vậy f là liên tục đồng bậc (2)

Từ đó X là Hilbert ( mỗi không gian metric là Hilbert) cho nên XΩ cũng là

ψ chứa trong tập hợp Compact

của XΩ Bằng giả thiết , đối với mỗi t∈ Ω có tập hợp Compact X t ⊆ X sao cho ( ) t

( )

t t

f f Aτ X

ψ

∈Ω

∈ ⊆∏ Từ X t là Compact đối với mỗi t∈ Ω, bằng định lý

Tychonoff đã biết cho nên t

t

X

∈Ω

∏ là Compact

13 Xem ( 8, định lý 3, chương IV).

i) Một cách hiển nhiên T A B ∈L L X L X( ( ) ( ), ), T A B ≤ A B. Ta kí hiệu như

thường lệ với B X là hình cầu đơn vị đóng trong X Từ Blà Compact , B B( )X ⊆ X

là Compact Giả sử Ω =B B( )X , cho A={AS |S∈L X( ): S ≤ ⊆ 1} C(Ω ,X), cho

Compact, là Compact tương đối

Bằng định lý Arzely - A scoli , từ dạng bài tập 12 cho nên A⊆C(Ω ,X) là Compact tương đối với topo hội tụ đều Nếu ta xét một dãy ( )S n n∈¥ ⊆ B L X( ), có

dãy con ( )n k k∈¥ của ¥ sao cho dãy (ASn k )

k∈ ¥ là hội tụ đều trong C(Ω ,X) , thì

(AS )

k

n B k

∈ ¥ là hội tụ đều trong B X, do đso trong tiêu chuẩn toán tử

ii) Từ B≠ 0 ta luôn có B∗ ≠ 0( ta biết B = B∗ ), giả sử thì x0∗∈X∗với B x∗( )0 ≠ 0

0 0

B x∗ ∗ ≠ cho nên dãy ( )Ax n k k

∈ ¥ la dãy Cauchy, do đó hội tụ (X là không gian Banach)

Do đó A là Compact và theo cùng một cách có thể chưng minh B là Compact.Chú ý: Cho x∗∈X x X∗, ∈ ta kí hiệu như thường lệ x∗⊗ ∈x L X( ) là toán tử

(x∗ ⊗x y) ( ) =x y x y∗( ) , ∀ ∈X Hiển nhiên x∗ ⊗ =x x∗ x .

14

i) a) M fϕ ∈C[ ]0,1 từ đó tích số của hai hàm liên tục là một hàm liên tục Hiển

nhiên Mϕlà tón tử tuyến tính Hơn nữa:

ii) Cho T' là tập hợp tất cả các điểm tụ trong T Biện luận nghiệm như bài tập

10 (ii), ta đạt được nếu T' = ∅ thì Mϕ là Compact Cho bất kỳ ϕ ∈C T( ) , trong khi nếu T' ≠ ∅ thì Mϕlà Compact khi và chỉ khi ϕ( )a = ∀ ∈ 0 a T'.

15 Xem (40, bài tập 16.1).

i) Lấy ϕ( )x =x, ta có Uf = ϕf và từ bài tập 14 , U = ϕ =xsup∈[ ]0,1 x =1 Từ ϕ ≠ 0

ta được U không phải là Compact

ii) Từ U là lượng dương, sử dụng bài tập 1 của chương 2 ta đạt được:

chuẩn của U là tính toán ở bài tập 2 của chương 2.

U = Xem bài tập 6 của chương 2, cho tính Compact ta có;

{Uf | f ≤ = 1} { f | f ≤ 1} =B c[ ] 0,1, không là Compact tương đối, C[ ]0,1 là vô hạn - chiều thứ nguyên

16 Xem (40, bài tâp 16.2).

Cho y Uf= thì ( ) ( )Ug x =(g x( ) +g( )−x ) / 2 = g x( ) ( ) ( )= Uf x Từ

( ) ( ) [ 1, 1 ]

g x = g −x ∀ ∈ −x Do đó U2 =U, U là một dụng cụng chiếu thì

2 2