Bài tập lớn giải tích hàm cực hay

Chương 5 TÍNH COMPACTTRONG KHÔNG GIAN BANACH TOÁN TỬ COM PAC Định lý: Cho (X,d) là một không gian metric và xét một tập hợp A ⊆ X. Sau đây là những khẳng định tương đương: i) A là hoàn toàn bị chặn, . . ., 0i e ε ∀ > ∃ một hệ thống tập hợp hữu hạn 1, , n x x X ∈ gọi là 1 ε –hệ tổng ảnh hưởng. A sao cho 1 ( , ) i i A B x ε = ⊆ U ii) Bất kỳ ( ( ) n n M x ∈ ⊆ A đều bao hàm một dãy con Cauchy. Nếu trong phép cộng (X,d) là một không gian metric đầy đủ thì A toán tử hoàn toàn bị chặn khi và chỉ khi A là Compact tương đối, i,e…, A là Compact. Định lý Arzela – Ascoli : Cho ( T,d) là một không gian metric Compact và A ⊆ C(T) . Sau đây là những khẳng định tương đương : i) A là chuẩn Compact tương đối ii) A là đều bị chặn . . ., 0i e M∃ > như vậy ( ) ,f t M f A t T ≤ ∀ ∈ ∀ ∈ và A là liên tục đồng bậc , . ., 0, 0i e ε ε δ ∀ > ∃ > như vậy ,x y T∀ ∈ với d (x,y)< ε δ nó là bộ phận của ( ) ( )f x f y ε − < f ∀ ∈ A. iii) Bất kỳ dãy ( ) n n M f ∈ ⊆ A đều chứa dãy con hội tụ đều. Compact tương đối trong p l 1≤ p <∞. Một tập hợp con A ⊆ p l là chuẩn của Compact tương đối khi và chỉ khi A là không gian định chuẩn và 0, n ε ε ∀ > ∃ ∈ N như vậy ( ) p k k n p x ε ε ∞ = < ∑ x ∀ ∈ A 1 Compact tương đối trong 0 c : Một tập A ⊆ 0 c là chuẩn Compact tương đối khi và chỉ khi nó là một dãy 0 ( ) n n M c λ λ ∈ − ∈ như vậy ( ) , n n p x x A n N λ ≤ ∀ ∈ ∀ ∈ . Định nghĩa : Cho X,Y là không gian định chuẩn. Một toán tử ( , )U L X Y ∈ gọi là Compact khi và chỉ khi ( ) X U B Y ⊆ là hoàn toàn bị chặn. Nếu trong phép cộng , Y là một không gian Banach thì ( , )U L X Y ∈ là toán tử Compact khi và chỉ khi ( ) X U B Y ⊆ là Compact tương đối. Ta kí hiệu : ( , )K X Y = { ( , )U L X Y ∈ / U là Compact } và ( ) ( , )K X K X X = . Định lý :i, Cho X, Y là không gian định chuẩn.Thì K(X, Y) không gian con tuyến tính đóng của L( X, Y). ii, Cho X, Y, Z, T là không gian định chuẩn. Nếu ( , ), ( , ), ( , )A L X Y B K Y Z C L Z T ∈ ∈ ∈ , thì hợp C, B,A là một toán tử Compact ( tính chất lý tưởng của toán tử Compact). Định nghĩa : Cho X, Y là không gian định chuẩn. Một toán tử tuyến tính và liên tục U: X → Y gọi là toán tử hạng hữu hạn khi và chỉ khi miền U(X) ⊆ Y là kích động hữu hạn hoặc tương ứng, nếu với 1 4 * 1 , , , n n N x x X ∈ ∈ và 1 n y y Y ∈ như vậy 1 * 1 1 ( ) ( ) ( ) n n U x x x y x x y = + + x X ∀ ∈ . Định lý Schauder : Cho X, Y là không gian Banach và ( , )U L X Y∈ . Khi U là Compact khi và chỉ khi * U là Compact. Định lý Mazur : Cho X là không gian Banach và tập hợp con A X ⊆ . Khi những khẳng định sau là tương đương: i, Là một Compact tương đối. ii, co(A) là một Compact tương đối. iii, ec(A) là Compact tương đối. 2 iv, eco(A) là Compact tương đối. Định lý Grothendleck : Cho X là một không gian Banach và một tập hợp con A X ⊆ . Khi A là Compact tương đối khi và chỉ khi với ( ) n n N x X ∈ ⊆ như vậy 0 n x → và { / } n A co x n N ⊆ ∈ . 5.1 Bài tập CÁC VÍ DỤ CỦA TẬP HỢP COMPACT TRONG 2 l 1. Các điều kiện dưới đây trên dãy ( ) (0, ) n n N λ ⊂ ⊆ ∞ theo Compact trong 2 l i, Trong hình hộp 1 2 2 {( , , ) / } n n x x l x n N λ ∈ ≤ ∀ ∈ . ii, Trong ellip xoit ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 , , / / 1 n n n x x l x λ ∞ =   ∈ ≤     ∑ . COMPACT TƯƠNG ĐỐI TRONG TẬP C(T) 2. Chứng minh rằng một tập [ ] ,M C a b ⊆ mà ở đây m.L > 0 và [ ] 0 ,x a b ∈ như vậy 0 ( )f x m ≤ f M ∀ ∈ và [ ] ( ) ( ) , , ,f x f y L x y f M x y a b − ≤ − ∀ ∈ ∀ ∈ là Compact tương đối trong [ ] ,C a b . 3. Chứng minh rằng một tập M của 1 C dãy hàm f trên tô pô [ ] ,a b mà thỏa mãn các điều kiện 2 / 1 2 1 2 ( ) , ( ) ( , 0 b a f a k f x dx k k k ≤ ≤ > ∫ là hằng số ) là Compact tương đối trong [ ] ,C a b . 4. Chứng minh rằng một tập M của 1 C dãy hàm f trên tô pô [ ] ,a b mà thỏa mãn các điều kiện ( ) ( ) ( ) 2 2 / ,( 0 b a f x f x dx k k + ≤ > ∫ là một hằng số) là Compact tương đối trong không gian [ ] ,C a b . 3 5. Cho M là tập hợp bị chặn trong không gian [ ] ,C a b . Chứng minh rằng tập A bao hàm tất cả các dãy hàm của các dạng 1 0 ( ) ( ) .y t x s ds = ∫ với x M ∈ .là Compact tương đối trong [ ] ,C a b . 6. Cho ( ) n n N g ∈ là một dãy của dãy hàm lấy vi phân liên tục gấp đôi trong lân cận mở cố định của [0, 1]. Như vậy g n = g’ n (0) – 0 n N ∀ ∈ . Giả sử rằng ''( ) 1g x ≤ [ ] , 0,1n N x ∀ ∈ ∀ ∈ . Chứng minh rằng đây là một dãy con của ( ) n n N g ∈ mà hội tụ đều trong [ ] 0,1 . 7. Cho M là một tập của 1 C dãy hàm trên topo [a,b] mà thỏa mãn các điều kiện sau: i, Với L >0 sao cho '( )f x L ≤ , [ ] , ,f M x a b ∀ ∈ ∀ ∈ ; ii, Với mỗi dãy hàm f M ∈ , phương trình ( ) 0f x = là một nghiệm bé nhất.Chứng minh rằng M là Compact tương đối trong [ ] ,C a b . 8. Thiết lập nếu theo sau tập của dãy hàm là Compact tương đối trong [ ] ,C a b . i, ( ) , . n n f x x n N = ∈ ii, ( ) sin , n f x nx n N = ∈ . iii, ( ) sin , .f x x R α α α = ∈ iv, ( ) sin( ), .f x x R α α α = + ∈ v, ( ) arctan( ), .f x x R α α α = ∈ vi, ( ) , , 0. x f x R α α ε α α − = ∈ ≥ 9. i, Cho X là không gian Banach, và xét một dãy Cauchy ( ) n n N x X ∈ ⊆ . Chứng minh rằng tập { } / n A x n N X = ∈ ⊆ là Compact tương đối. ii, Cho T là một không gian metric Compact, ( ) ( ) n n N f C T ∈ ⊆ một dãy toán tử bị chặn đều và cho phép g: ,T l ∞ → g ( ) x ( ) ( ) n n N f x ∈ − . Chứng minh rằng ( ) ( ) n n N f C T ∈ ⊆ là Compact tương đối khi và chỉ khi dãy hàm g là liên tục. 4 10. i, Tìm dãy hàm liên tục [ ] [ ] : 0,1 0, ϕ → ∞ sao cho tập [ ] [ ] { } 0,1 / ( ) ( ) 0,1A f C f x x x ϕ = ∈ ≤ ∀ ∈ là Compact tương đối trong không gian [ ] 0,1C . ii, Cho T là một không gian metric Compact và [ ) : 0,T ϕ → ∞ liên tục. Tìm ϕ mà tập { } ( ) / ( ) ( )A f C T f x x x T ϕ = ∈ ≤ ∀ ∈ là Compact tương đối trong không gian C(T). GIỚI HẠN CỦA ARZELA – ASOCOLI 11. Định lý Arzela – asocoli bao hàm dãy ( ) n n N f ∈ của giá trị thực liên tục dãy hàm được định nghĩa trên một không gian metric Ω là Compact tương đối ( i, e ,…là một dãy con hội tụ đều) nếu: i, Ω là Compact. ii, sup n n N f ∈ < ∞ ; iii, Dãy là liên tục đối bậc. Cho ví dụ của dãy mà một tập không phải Compact tương đối, sao cho: (i) và (ii) đúng ,nhưng (iii) sai ;(i) và (iii) là đúng, nhưng (ii) là sai; (i) và (iii) là đúng, nhưng (i) là sai. Lấy Ω là mọt tập hợp con của R. Định lý Arzela – Ascoli, các trường hợp tổng quát. 12. Cho ( Ω, τ ) là không gian Compact và (X, d) là không gian metric. Trên không gian ( , )C X Ω = { : /f X f Ω → liên tục} chúng ta sẽ xét 2 to po: theo từng điểm topo hội tụ, , , , p i e τ topo yếu hơn mà toán tử : ( )f f t → là liên tục mà mỗi t ∈Ω , to po hội tụ đều, n τ , cho bởi khoảng cách: ( ) : ( , ) ( , ) , ( , ) sup ( ). ( )C X C X f g d f t g t ρ ρ + Ω × Ω → = ¡ . ( , )f g C X ∀ ∈ Ω . Một tập hợp con ( , )A C X ⊆ Ω gọi là liên tục đồng bậc nếu với mỗi 0 t ∈Ω và 0 ε > đây là lân cận mở U của 0 t trong Ω sao cho 0 ( ( ), ( ))d f t f t ε < ,t U f A ∀ ∈ ∀ ∈ . i, Nếu ( , )A C X ⊆ Ω là liên tục đồng bậc, chứng minh rằng p τ và 0 τ trùng nhau trên A. 5 ii, Nếu ( , )A C X ⊆ Ω là liên tục đồng bậc và với t ∈Ω , tập { } ( ) /f t f A X ∈ ⊆ là Compact tương đối, chứng minh rằng A là Compact tương đối trong to po n τ . Sự hợp thành của toán tử Compact 13. Cho X là không gian Banach .Với mỗi , ( )A B L X ∈ chúng ta xác định , , : ( ) ( ), ( ) AS A B A B T L X L X T S B→ = ( )S L X ∀ ∈ . i, Nếu A, B là toán tử Compact chứng minh rằng ,A B T là Compact tuyệt đối. ii, Nếu A, B là hằng số khác không và nếu ,A B T là Compact chứng minh rằng A, B là toán tử Compact. Phép nhân toán tử Compact giữa không gian C(T) 14. Với mỗi dãy hàm [ ] 0,1C ϕ ∈ , chúng ta xét phép nhân toán tử: [ ] [ ] : 0,1 0,1M C C ϕ → , ( ) ( ) ( ) ( ) M f x x f x ϕ ϕ = [ ] [ ] 0,1 . 0,1 .x f C ∀ ∈ ∀ ∈ a, Tìm chuẩn M ϕ . b, Dưới điều kiện trên dãy hàm ϕ là toán tử Compact M ϕ . ii, Cho T là không gian metric Compact và ( )C T ϕ ∈ . Dưới điều kiện trong dãy hàm φ là phép nhân toán tử M ϕ : ( ) ( ),( )( ) ( ) ( )C T C T M f x x f x ϕ ϕ → = , ( )x T f C T ∀ ∈ ∀ ∈ Compact ? Ví dụ hữu hiệu của Compact và không toán tử Compact. 15. Đưa [ ] [ ] : 0,1 0,1U C C → ở dưới, nó thuộc loại chuẩn và thiết lập nếu U là Compact. i, ( ) ( ) ( ) Uf x xf x = . ii, ( ) ( ) (0) (1)Uf x f xf = + . iii, ( ) ( ) ( ) 1 0 tx Uf x x f t dt = ∫ . iv, ( ) ( ) ( ) 2 Uf x f x = . 16. Chứng minh rằng toán tử U, V : [ ] [ ] 1,1 1,1C C − → − cho bởi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / 2Uf x f x f x = + − , [ ] 1,1x ∀ ∈ − và 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / 2Vf x f x f x = − − , [ ] 1,1x ∀ ∈ − là tuyến tính và liên tục và một chuẩn.U và V co phải là toán tử Compact ? 17. Với 1 p ≤ < ∞ , tìm với chuẩn của toán tử U: p p l l → dưới, và nếu nó là Compact. i, ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 , , 0, , , , , p U x x x x x x l = ∀ ∈ . ii, ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 3 1 2, , , , / 2, / 3, , p U x x x x x x x l = ∀ ∈ . iii, ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 3 1 2 , , 0, , / 2, / 3, , , p U x x x x x x x l= ∀ ∈ . 18. Bao hàm chính tắc ( ) 1 2 : ,J l l J x x → = 1 x l ∀ ∈ có là một toán tử Compact ? Toán tử Volterra và Hardy 19. i, Cho V : [ ] [ ] ( ) ( ) 0 0,1 0,1 , ( ) x C C Vf x f t dt → ∫ [ ] 0,1f C ∀ ∈ . [ ] 0,1x ∀ ∈ (V là toán tử Volterra). Chứng minh rằng V là tuyến tính, liên tục, và Compact.tìm chuẩn của nó. ii, Cho 1 < p <∞ . Cho H: ( ) ( ) 0, 0, p p L L∞ → ∞ , ( ) ( ) ( ) 0 1/ ( ) x Hf x x f t dt= ∫ , ( ) ( ) 0, , 0, p f L x ∀ ∈ ∞ ∀ ∈ ∞ ( H là toán tử Hardy). Chứng minh rằng H là xác định, tuyến tính và liên tục tốt nhưng không Compact. Một ví dụ của không toán tử Compact mà bình phương của nó là Compact. 20. Cho X là một không gian cuả 0 c hoặc p l với 1 p ≤ < ∞ . Chúng ta xét một toán tử U: ( ) ( ) 1 2 1 2 3 , , , 0, ,0, ,0, , .X X U x x x x x → = Chứng minh rằng U không là toán tử Compact nhưng U 2 là Compact. Phép nhân toán tử Compact trong p l 7 21. Cho 1 p ≤ < ∞ , và ( ) n n N λ λ ∈ = ⊆ Κ với sup n n N λ ∈ < ∞ . Chúng ta xác định phép nhân toán tử : p p M l l λ → , ( ) ( ) 1 1 2 2 , , M x x x λ λ λ = ( ) 1 2 , , p x x x l ∀ = ∈ . Chứng minh rằng : i, M λ là tuyến tính và liên tục và sup n n N M λ λ ∈ = ii, M λ là toán tử Compact khi và chỉ khi 0 c λ ∈ . Phép lấy tổng toán tử không Compact 22. i, Chứng minh rằng phép lấy tổng toán tử ∑ : 1 l l ∞ → cho bởi ( ) 1 1 ( ) n n n N i n N t t ∈ = ∈   =  ÷   ∑ ∑ là tuyến tính, liên tục, nhưng không Compact. ii, Chứng minh rằng bao hàm i: 1 l l ∞ → là một toán tử tuyến tính và liên tục mà ∑ xác định (i) là một yếu tố, và i không là Compact. iii, Cho U: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0, 0, , x L L Uf x f t dt ∞ ∞ → ∞ = ∫ . Chứng minh rằng U là tuyến tính và liên tục nhưng không Compact. Toán tử Compact trong không gian Banach hưũ hạn chiều không toàn ánh. 23. i, Cho X là một không gian Banach hữu hạn chiều, và ( ) A K X ∈ . Chứng minh rằng với y X∈ sao cho phương trình ( ) A x y = không có nghiệm, i,e,…, A không là toàn ánh. ii, Cho ( ) ( ) 00 00 : . ( ) / n n N n n N A c c A x x n ∈ ∈ → = ( ) 00n n N x c ∈ ∀ ∈ . Chứng minh rằng A là Compact và song ánh. (Trên 00 c chúng ta có chuẩn từ l ∞ ). Toán tử Compact không song ánh trong không gian định chuẩn hữu hạn chiều 24. Cho X, Y là không gian định chuẩn và ( , )A L X Y ∈ mà nó có tính chất : 0c ∃ > như vậy .x X ∀ ∈ Ax c x ≥ . A có thể là một toán tử Compact không ? 8 25. i, Cho X, Y là không gian định chuẩn, X là không gian hữu hạn chiều và ( , )A K X Y ∈ . Chứng minh rằng có một dãy ( ) n n N x X ∈ ⊆ với 1x = n N ∀ ∈ và 0 n Ax → . Do đó 0 ( ) X A S ∈ . ii, Sử dụng (i) chứng minh rằng nếu X, Y là không gian định chuẩn, X là không gian hữu hạn chiều, sau đó ( ( ) ,U K X Y ∈ /U là không đơn ánh) là tiệm cận trong ( ) ,K X Y . Phép chiếu toán tử Compact là hạng toán tử hữu hạn 26. Cho X là không gian định chuẩn và ( )T L X ∈ mà là Compact và 2 T T= . Chứng minh rằng T là một hạng toán tử hữu hạn. Miền của tập bị chặn, đóng, và lồi bởi một toán tử Compact. 27. Cho X là một không gian phản xạ, Y là không gian Banach, và :A X Y → tuyến tính và hội tụ. Nếu M X ⊆ là đóng, lồi, và bị chặn, chứng minh rằng ( )A M Y ⊆ là đóng. Nếu trong phép cộng, A là toán tử Compact ( )A M Y ⊆ là Compact. 28. Cho H là một không gian Hilbert và :T H H → là một toán tử Compact. Chứng minh rằng T hoàn thành chuẩn, i,e,…Có một x H ∈ với 1x ≤ như vậy x T T = . 29. i, Cho X là một không gian phản xạ, Y là một không gian Banach, và :A X Y → là toán tử Compact. Nếu M X ⊆ là một tập không đóng bị chặn và lồi và y Y∈ ,chứng minh rằng có một 0 x M ∈ như vậy 0 inf x M Ax y Ax y ∈ − = − . Nếu, trong phép cộng, Y là một không gian Hilbert .Chứng minh rằng 0 x M ∈ đạt được ở trên là một của phương trình ( ) ( ) Pr ( ) A M A x y= , ở đây Pr kí hiệu phép chiếu trực giao của một tập đóng, lồi, không trống trong không gian Hilbert. 9 ii, Cho 2 1 2, : p p A l l < < → là một phép nhân toán tử 1 2 1 2 ( , , ) ( / 2, / 3, / ( 1), ) n A x x x x x n = + và ( ) 1 2 1 , , / 1 ( 1) p p n p p n n x M x x l n ∞ =     = ∈ ≤   +     ∑ Tìm hiểu một phần tử 0 x M ∈ như vậy 1 0 1 inf 2 2 x M Ax e Ax e ∈ − = − Các tập Compact tương đối và dãy không hội tụ có tính Compact yếu trong không gian Banach khả vi. 30. Cho X là không gian Banach khả vi và tập hợp A X ⊆ . Chứng minh rằng A là Compact tương đối khi va chỉ khi với mỗi dãy ( ) * * n n N x X ∈ ⊆ hội tụ yếu về không,mà theo sau nó về * 0 n x → đều trên A. Tập Compact trong không gian Banach 31. Cho X là một không gian Banach, và ( ) n n N x X ∈ ⊆ như vậy lim 0 n n x →∞ = . Chứng minh rằng tập 1 1 / . 1 n n n n n K x X x a x a X ∞ ∞ = =   = ∈ = ≤ ⊆     ∑ ∑ là định chuẩn Compact. Định lý về giới hạn của Mazur 32. Cho một ví dụ cuả một không gian định chuẩn X, một dãy ( ) n n N x ∈ trong X, hội tụ định chuẩn về 0, mà ở đây là một dãy ( ) 1n n N l λ ∈ ∈ như vậy chuỗi 1 n n n x λ ∞ = ∑ là không hội tụ trong X. Sau đó suy luận rằng đây là một không gian định chuẩn (mà không phải không gian Banach) trong đó lồi đóng của một tập Compact không phải là luôn luôn Compact và vì thế mà các định lý Mazur không còn đúng nữa mà không có giả thiết về sự đầy đủ của các chuẩn. Tổng quát tính chất chung cho một toán tử Compact 10 [...]... và do đó V liên tục với V ≤ 1 nếu ta xem 1(x)=1 là hàm hằng ∀x ∈[0,1] với x 1 = 1 ta được V (1) = sup ∫ f (t )dt = sup x∈[0,1] 0 x∈[0,1] x = 1 và do đó V = 1 Bởi vì tính Compact xem bài tập 5 ii) Bài toán được chứng minh như trong lời giải bài tập 14(ii) của chương 2 H là tuyến tính và liên tục Bài toán đã được chứng minh như trong lời giải của bài tập 38(i) chương 14 theo kết quả chung là đúng: nếu... luận nghiệm như bài tập 10(i), ta đạt được ϕ ( x ) = 0 ∀x ∈ [ 0,1] , M ϕ = 0 ii) Cho T ' là tập hợp tất cả các điểm tụ trong T Biện luận nghiệm như bài tập 10 (ii), ta đạt được nếu T ' = ∅ thì M ϕ là Compact Cho bất kỳ ϕ ∈ C ( T ) , trong khi nếu T ' ≠ ∅ thì M ϕ là Compact khi và chỉ khi ϕ ( a ) = 0 ∀a ∈ T ' 15 Xem (40, bài tập 16.1) i) Lấy ϕ ( x ) = x , ta có Uf = ϕ f và từ bài tập 14 , U = ϕ =... Xem ( 40 Bài tập 15.31) Cho t1 < t2 , t1 , t2 [ a, b ] ta có: t2 y (t2 ) − y (t1 ) = ∫ t1 t2 x( s) ds ≤ ∫ t1   x( s) ≤  sup x(t ) ÷( t2 − t1 ) ≤ L ( t2 − t1 )  t∈[ a ,b]  y (t2 ) − y (t1 ) ≤ L t2 − t1 ∀t1 , t2 ∈ [ a, b ] Do đó tập A là hội tụ đều theo Lipschitz ( L = supMx < ∞ Bởi giả thiết) Từ đó x∈ y (0) = 0 ∀y ∈ A Sử dụng bài tập 2, cho nên A là tập Compact tương đối 6 Xem (1, bài tập 5, xuất... tương đối 4 Xem (40 .bài tập 15.35) b Hiển nhiên, b ∫ 2 f '( x) dx = a ∫ ( f ( x) 2 2 ) + f '( x) dx ≤ k ∀f ∈ M a Tương tự như bài tập 3 ta được: f ( x) − f (a) ≤ k (b − a ) = k1 ∀f ∈ M , ∀X ∈ [ a, b ] , từ đó f (a ) ≤ f (a ) − f ( x) + f ( x) ≤ k1 + f ( x) ∀f ∈ M b a Vậy ( b − a ) f (a) = b b a ∫ f (a) dt ≤ ∫ k dt + ∫ f ( x) dx 1 a f ( a) ≤ c1 ∀f ∈ M , sử dụng bài tập 3 cho nên M là tập Compact tương... thể giải bài tập bằng cách sử dụng định ký Riesz, vì l p là không hữu hạn - chiều thứ nguyên  ∞ xn p ii) Ta có Ux =  ∑ p  n =1 n  1/ p  ÷ ÷  1/ p  ∞ p  ≤  ∑ xn ÷  n =1  = x U ≤ 1 Trong phép cộng, e1 = U ( e1 ) ≤ U 30 ∀x ∈ l p e1 , U ≥ 1, từ đó U = 1 , ta có { Ux | ∞   p x ≤ 1} =  y − ( y1 , y2 , ) ∈ l p | ∑ n p y ≤ 1 n =1   Từ dãy ( 1 / n ) n∈¥ ở trong co , và từ bài tập 1(ii) tập. .. lý Riesz) 35 Nếu X là không gian hữu hạn chiều thì với mỗi A ∈ L( X , Y ) là Compact (trong một tập không gian định chuẩn hữu hạn chiều nếu và chỉ nếu tập đó là đóng và bị chặn) Do đó A là Compact nếu và chỉ nếu X là hữu hạn chiều 25 i)[xem 40, bài tập 16.25] Khi X là không gian hữu hạn chiều, sử dụng bài tập 24 suy ra rằng ∀ε > 0∃xε ∈ X sao cho Ax ε < c xε Đặc biệt, ∀n ∈ N ∃xn ∈ X sao cho Ax n < xn... ) = Uf ≤ f f ( x) + f ( −x) 2 ≤ f + f 2 = f ∀f ∈ C [ 0,1] , U ≤ 1 Do đó U = 1 , hơn nữa U không là Compact, ta xét 2n tập { Uf n | n ∈ ¥ } ⊆ { Uf | f ≤ 1} , trong đó f n ( x ) = x ∀x ∈ [ −1,1] và ta sử dụng bài tập 8(i), cùng kiểu biện luận cũng có thê áp dụng cho V 17 Xem (40, bài tập 16.8) 1/ p  ∞ p  i) Ta có U ( x ) =  ∑ xn ÷  n =1  = x ∀x ∈ l p , từ khi U = 1 , ta chú ý U ( x1 , x2 , ) = (... A = τ p | A ii) Ta xét không gian tích X Ω được xuất phát với topo tích số, phần tử của X Ω có dạng ϕ = ( ϕt ) t∉Ω với ϕt ∈ X đối với mỗi t ∈ Ω Ta định nghĩa ψ : C ( Ω, X ) → X Ω ,ψ ( f ) = ( f t ) t∈Ω chúng ta hãy xét trên C ( Ω, X ) topo τ p và trên X Ω topo tích số Ta chứng tỏ ψ là liên tục Bằng định nghĩa của topo tích số, nó là đủ để chứng minh cho t ∈ Ω , hàm ( f → f ( t ) từ C ( Ω, X ) ,τ... phép lấy vi phân với tích phân có tham số, ta có 1 ∂ tx e f ( t) ∂x 0 g '( x) = ∫ ( ) 1 1 tx tx ∫ te f ( t ) dtdt = ∫ te f ( t ) dt 0 0 1 1 0 0 g ' ( x ) ≤ ∫ tetx f ( t ) dt ≤ ∫ tetx dt ≤ ε ∀x ∈ [ 0,1] Sử dụng công thức Lagrange cho nên tập hợp của tất cả các dãy hàm g hội tụ đều theo Lipschitz 1 0 Ta cũng có: g ( 0 ) = 1 0 ∫ f ( t ) dt ≤ ∫ f ( t ) dt ≤ f ≤ 1 Cho tất cả g , từ bài tập 2 cho nên { Uf... toán ở bài tập 2 của chương 2 2 iv) Từ ϕ : [ 0,1] → [ 0,1] , ϕ ( x ) = x là toàn ánh ta có: Uf = sup Uf ( x ) = sup f ( x ) = sup f ( ϕ ( x ) ) = sup f ( x ) = x 2 x∈[ 0,1] x∈[ 0,1] x∈[ 0,1] x∈[ 0,1] ∀f ∈ C [ 0,1] U = 1 Xem bài tập 6 của chương 2, cho tính Compact ta có; { Uf | f ≤ 1} = { f | f ≤ 1 } = Bc[ 0,1] , không là Compact tương đối, C [ 0,1] là vô hạn - chiều thứ nguyên 16 Xem (40, bài tâp . ∫ Do đó tập A là hội tụ đều theo Lipschitz ( sup x M L x ∈ = < ∞ . Bởi giả thiết). Từ đó (0) 0 y y A = ∀ ∈ . Sử dụng bài tập 2, cho nên A là tập Compact tương đối. 6. Xem (1, bài tập 5,. f a dt k dt f x dx− = ≤ + ∫ ∫ ∫ 1 ( )f a c f M ≤ ∀ ∈ , sử dụng bài tập 3 cho nên M là tập Compact tương đối. 5. Xem ( 40. Bài tập 15.31). Cho [ ] 1 2 1 2 , , ,t t t t a b < ta có: [ ] (. Compact tương đối. 4. Xem (40 .bài tập 15.35). Hiển nhiên, ( ) 2 2 2 '( ) ( ) '( ) b b a a f x dx f x f x dx k f M= + ≤ ∀ ∈ ∫ ∫ . Tương tự như bài tập 3 ta được: [ ] 1 ( ) ( ) ( )