bài tập lớn giải tích 2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG …..….... II- Cơ Sở Lý Thuyết: Công thức Stokes: Mặt S được đ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HỒ CHÍ MINH

KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG

… …

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

MÔN: GIẢI TÍCH 2

ĐỀ TÀI SỐ: 4

GVHD: Hoàng Hải Hà

Lớp: KU1201 + KU1202

Nhóm: 4

Nhóm sinh viên thực hiện:

Tp.HCM, tháng 05 năm 2013

Đề Tài Số 4 - Giải Tích 2

- -A- Bài Tập 1:

I - Yêu Cầu:

Dùng công thức Stokes tính tích phân đường loại 2 trong không gian : ( , , ) ( , , ) ( , , )

L

P x y z dx Q x y z dy R x y z dz 



, L là giao tuyến của các mặt

a b c

a  b  c     , hướng đi trên L là ngược chiều kim đồng hồ

nhìn từ phía z >0 Với P, Q, R, a, b, c nhập từ bàn phím.

II- Cơ Sở Lý Thuyết:

Công thức Stokes: Mặt S được định hướng, trơn từng khúc với biên là

chu tuyến Các hàm P, Q, R và các đạo hàm riêng cấp một liên tục trên miền mở chứa S Khi đó ta có:

∬

S

❑

(∂ R ∂ y−

∂Q

∂ z)dydz+( ∂ P

∂ z ¿

−∂ R

∂ x )dxdz +(

∂ Q

∂ x −

∂ P

∂ y)dxdy¿

=

L

P x y z dx Q x y z dy R x y z dz  



Trong đó hướng của L lấy theo hướng dương tương ứng của S

Cách thực hiện:

1) Xác định giao tuyến L

2) Tính pháp vécto

3) Tính pháp vecto đơn vị

4) Chuyển tích phân cần tính về tích phân mặt loại 1

5) Tính tích phân đã chuyển trong tọa độ cực

III- Code:

syms x y z real

P=input('Nhap P(x,y,z)= ');

Q=input('Nhap Q(x,y,z)= ');

R=input('Nhap R(x,y,z)= ');

a=input('Nhap a= ');

b=input('Nhap b= ');

c=input('Nhap c= ');

f=(x/a+y/b+z/c)-1;

n=[diff(f,'x') diff(f,'y') diff(f,'z')];

n=n/sqrt(diff(f,'x')^2 + diff(f,'y')^2 + diff(f,'z')^2); % tinh vector don vi cua vector phap

%phuong phap tinh la phuong phap stokes

p=(diff(R,'y')-diff(Q,'z'))*n(1,1);

q=(diff(P,'z')-diff(R,'x'))*n(1,2);

r=(diff(Q,'x')-diff(P,'y'))*n(1,3);

z=((-x/a)+(-y/b)+1)*c;

f=(eval(p)+eval(q)+eval(r))*sqrt(1+diff(z,'x')^2+diff(z,'y')^2);

% da chuyen ve tich phan mat loai 1

syms r phi real

x=r*cos(phi);y=r*sin(phi); % chuyen sang phuong phap truc toa do

f=eval(f);

S=int(int(f*r,'r',0,1),'phi',0,2*pi); %tinh tich phan

S=double(S);

disp(['Tich phan can tinh la: I= ' num2str(S)])

IV- Ví Dụ:

Ví dụ1 : Dùng công thức Stokes tính tích phân

I=

L

❑

(x− y )dx + (2x-z)dy + ydz với L là giao tuyến của các mặt

a b c

a  b  c     , hướng đi trên L là ngược chiều kim đồng

hồ nhìn từ từ phía z > 0

Kết quả:

>>Nhap P(x,y,z)= x-y

Nhap Q(x,y,z)= 2*x-z

Nhap R(x,y,z)= y

Nhap a= 1

Nhap b= 1

Nhap c= 1

Tich phan can tinh la: I= 15.708

Ví dụ 2: Dùng công thức Stokes tính tích phân

I=

L

❑

¿ ¿ – y2)dx + (3y-z2)dy + (3z – x2)dz với L là giao tuyến của các mặt

a b c

a  b  c     , hướng đi trên L là ngược chiều kim

đồng hồ nhìn từ từ phía z > 0

Kết quả:

>>Nhap P(x,y,z)= 3*x-y^2

Nhap Q(x,y,z)= 3*y-z^2

Nhap R(x,y,z)= 3*z-x^2

Nhap a= 2

Nhap b= 2

Nhap c= 2

Tich phan can tinh la: I= 12.5664

V- Kết Luận :

Đoạn code của nhóm có giải quyết được yêu cầu bài toán: Dùng công thức Stokes tính tích phân đường loại 2 trong không gian :

( , , ) ( , , ) ( , , )

L

P x y z dx Q x y z dy R x y z dz 



, L là giao tuyến của các mặt

a b c

a  b  c     , hướng đi trên L là ngược chiều kim đồng

hồ nhìn từ phía z >0 Với P, Q, R, a, b, c nhập từ bàn phím.

B- Bài Tập 2:

I - Yêu Cầu:

 Input: Hàm f = f(x,y), điểm M(x0, y0) , cấp n

 Output: Khai triển Taylor hàm z(x,y) tại điểm M đến cấp n

II- Cơ Sở Lý Thuyết:

Hàm f = f (x,y) có đạo hàm riêng đến cấp n+1 trong lân cận của điểm M0 = (x0,y0)

Công thức Taylor của f đến cấp n tại điểm M0 là :

F(x,y) = f(x0 + ∆ x,y0 + ∆ y) = f(x0,y0) + ∑

k =1

n

(d k)f

k ! (x0,y0) + Rn(∆ x,∆y) Trong đó Rn(∆ x,∆ y) là phần dư cấp n

III- Code:

syms x y real

warning off

f=input( 'nhap ham f(x,y)= ' );

n=input( 'nhap so n= ' );

disp( 'nhap lan luoc toa do diem M0' )

x0=input( 'x0= ' );

y0=input( 'y0= ' );

t=subs(f,[x y],[x0 y0]);

for i=1:n

c=zeros(1,i);

c=sym(c);

a=f;b=f;

for j=1:i

a=diff(a, 'x' );

sa=subs(a,[x y],[x0 y0]);

A=sa*(x-x0)^i;

b=diff(b, 'y' );

sb=subs(b,[x y],[x0 y0]);

B=sb*(y-y0)^i;

if i-j > 0

c(1,j)=a;

end

for k=1:i-j;

c(1,j)=diff(c(1,j), 'y' );

end

d=chinhhop(i,j);

e=doithua(i);

sc=subs(d*c(1,j)/e,[x y],[x0 y0]);

C=sc*(x-x0)^j*(y-y0)^(i-j);

t=t+C;

end

t=t+A/e+B/e;

end

disp([ 'khai trien taylor cua ham f(x,y)= ' char(f) 'den cap ' num2str(n) ' la' ])

disp(char(t))

[x1,y1]=meshgrid(x0-1:.05:x0+1,y0-1:.05:y0+1);

[~,mau]=numden(f);

mau=sym(mau);

for i=1:length(x1)

for k=1:length(x1)

x=x1(i,k);

y=y1(i,k);

if eval(mau)==0 || eval(exp(f))==0

x1(i,k)=NaN;

y1(i,k)=NaN;

end

end

end

f=char(f);f=strrep(f, '^' , '.^' );f=strrep(f, '*' , '.*' );

for i=1:length(x1)

for k=1:length(x1)

x=x1(i,k);

y=y1(i,k);

z(i,k)=eval(f);

end

end

[x1 y1 z]=khu(x1,y1,z);

set(surf(x1,y1,z), 'facecolor' , 'b' , 'edgecolor' , 'non' , 'faceal pha' ,.5)

hold on

t=char(t);t=strrep(t, '^' , '.^' );t=strrep(t, '*' , '.*' );

x=y1;y=y1;

t=eval(t);

[x1 y1 t]=khu(x1,y1,t);

set(surf(x1,y1,t), 'facecolor' , 'r' , 'edgecolor' , 'non' , 'faceal pha' ,.2)

hold off

rotate3d on

end

a=1;

for i=2:b

a=a*i;

end

end

a=doithua(i)/(doithua(j)*doithua(i-j));

end

khong ton tai cua ham f

for i=1:length(x)

for j=1:length(y)

if ~isreal(f(i,j))

f(i,j)=NaN;x(i,j)=NaN;y(i,j)=NaN;

end

end

end

end

IV- Ví Dụ:

a Ví dụ 1 : Khai triển theo công thức Taylor ở lân cân điểm (1,1) của hàm

f(x,y) = yx đến bậc 2

Kết quả:

>> nhap ham f(x,y)= y^x

>> nhap so n= 2

>> nhap lan luoc toa do diem M0

x0= 1

y0= 1

khai trien taylor cua ham f(x,y)= y^xden cap 2 la

y + (x - 1)*(y - 1)

b Ví dụ 2: Khai triển theo công thức Taylor ở lân cân điểm (2,-1) của

hàm f(x,y) = x3-5x2-xy+y2+10x+5y-4 đến bậc 2

Kết quả:

>>nhap ham f(x,y)= x^3-5*(x^2)-x*y+y^2+10*x+5*y-4

>>nhap so n= 2

>>nhap lan luoc toa do diem M0

x0= 2

y0= -1

khai trien taylor cua ham f(x,y)= x^3 - 5*x^2 - x*y + 10*x + y^2 + 5*y

- 4den cap 2 la3*x + y - (x - 2)*(y + 1) + (x - 2)^2 + (y + 1)^2 - 3

V- Kết Luận:

Đoạn Code của nhóm có thể khai triển Taylor hàm f(x,y) tại điểm M(x0,y0) đến cấp n Cho ra kết quả sau khi khai triển taylor của hàm f(x,y) và vẽ đồ thị hàm f(x,y)

I - Yêu Cầu:

 Input: Hàm f(x,y) đa thức bậc nhỏ hơn 4

 Ouput: cực trị tự do của hàm f(x,y) ( không xét trường hợp ∆=0 )

II- Cơ Sở Lý Thuyết:

Cho hàm f(x,y) xác định trong lân cận điểm (x0,y0) Điểm (x0,y0) gọi là điểm cực đại (cực tiểu) của hàm f(x,y) nếu tồn tại ε > 0 sao cho f(x,y) ≤

f(x0,y0), f(x,y) ≥ f(x0,y0) với mọi (x,y) ∈ Bε(x,y)

Các bước thực hiện:

1) Tìm đạo hàm riêng của hàm f(x,y), cho đạo hàm riêng bằng 0  Tìm điểm dừng

2) Tính 3 đạo hàm riêng cấp 2 của f(x,y)  f”xx , f’’yy , f’’xy

3) Xét tại từng điểm dừng Mi (xi ,yi), đặt:

A= f’’xx(Mi), B=f’’xy(Mi), C= f’’yy(Mi) ∆ = B2 – AC

Xét dấu ∆:

 ∆ > 0: hàm không đạt cực trị

 ∆ < 0: Nếu A>0 thì fct = f(Mi) Nếu A<0 thì fcđ = f(Mi)

 ∆ = 0 xét dấu ∆ f = f(x,y)-f(xi ,yi)

III- Code:

function d4b3

clc

syms x y real

f=input('nhap ham f(x,y)= ');

[a b]=solve([char(diff(f,'x')) '=0'],[char(diff(f,'y')) '=0']); % giai dao ham cap 1 a=double(a);

b=double(b);

% tinh dao ham cap 2

A=diff(f,2,x);

B=diff(f,x);B=diff(B,y);

C=diff(f,2,y);

cd=zeros(0); ct=zeros(0);

zcd=zeros(0); zct=zeros(0);

n=size(a,1);i=1;

while i<=n;

x=a(i);y=b(i);

sA=eval(A);sB=eval(B);sC=eval(C); %tim A,B,C

delta=(sA*sC-sB^2); %tinh delta

delta=double(delta);

if delta > 0

if sA > 0 % A > 0 la cuc tieu

ct=[ct;a(i) b(i)]; zct=[zct;eval(f)];

i=i+1;

elseif sA < 0 % A > 0 la cuc dai

cd=[cd;a(i) b(i)]; zcd=[zcd;eval(f)];

i=1+i;

else

a(i)=[];b(i)=[];

n=n-1;

end

else

a(i)=[];b(i)=[];

n=n-1;

end

end

if size([zcd;zct],1)>= 2 % ve hinh voi 2 cuc tri tro len

[x,y]=meshgrid(min(a)-abs(max( a )-min(a))/5:.1:max(a)+abs(max(a)-min(a))/5,min(b)-abs(max(b)-min(b))/5:.1:max(b)+abs(max(b)-min(b))/5); f=char(f);f=strrep(f,'^','.^');f=strrep(f,'*','.*');f=eval(f);

[x y f]=khu(x,y,f);

set(surf(x,y,f),'facecolor','b','edgecolor','non','facealpha',.3)

hold on

ctri(cd,ct,zcd,zct)

elseif size([zcd;zct],1)== 1 % ve hinh voi 1 cuc tri

[x,y]=meshgrid(a-2:.1:a+2,b-2:.1:b+2);

f=char(f);f=strrep(f,'^','.^');f=strrep(f,'*','.*');f=eval(f);

[x y f]=khu(x,y,f);

set(surf(x,y,f),'facecolor','b','edgecolor','non','facealpha',.3)

hold on

ctri(cd,ct,zcd,zct)

else % khong co cuc tri

disp('f khong co cuc tri chat, con co cuc tri ko chat hay khong thi chiu :))' ) [x,y]=meshgrid(-2:.1:2);

f=char(f);f=strrep(f,'^','.^');f=strrep(f,'*','.*');f=eval(f);

[x y f]=khu(x,y,f);

set(surf(x,y,f),'facecolor','b','edgecolor','non','facealpha',.3)

end

rotate3d on

hold off

xlabel('truc x')

ylabel('truc y')

zlabel('truc z')

end

function ctri(cd,ct,zcd,zct) % chuong trinh ve cuc tri

cd=double(cd);zcd=double(zcd);

for i=1:size(zcd,1)

disp([' f co cuc dai chat: ' '(' num2str(cd(i,1)) ',' num2str(cd(i,2)) ',' num2str(zcd(i)) ')'])

[x,y]=meshgrid(cd(i,1)-0.2:.05:cd(i,1)+0.2,cd(i,2)-0.2:.05:cd(i,2)+0.2);

z=zcd(i)+x.*0+y.*0;

set(surf(x,y,z),'facecolor','r','edgecolor','non')

text(cd(i,1),cd(i,2),zcd(i)+.1,['cuc dai (' num2str(cd(i,1)) ',' num2str(cd(i,2)) ',' num2str(zcd(i)) ')'])

end

ct=double(ct);zct=double(zct);

for i=1:size(zct,1)

disp([' f co cuc tieu chat: ' '(' num2str(ct(i,1)) ',' num2str(ct(i,2)) ',' num2str(zct(i)) ')'])

[x,y]=meshgrid(ct(i,1)-0.2:.05:ct(i,1)+0.2,ct(i,2)-0.2:.05:ct(i,2)+0.2);

z=zct(i)+x.*0+y.*0;

set(surf(x,y,z),'facecolor','r','edgecolor','non')

text(ct(i,1),ct(i,2),zct(i)-.1,['cuc tieu (' num2str(ct(i,1)) ',' num2str(ct(i,2)) ',' num2str(zct(i)) ')'])

end

end

function [x y f]=khu(x,y,f) % chuong trinh loai bo cac diem khong ton tai cua ham f

for i=1:length(x)

for j=1:length(y)

if ~isreal(f(i,j))

f(i,j)=NaN;x(i,j)=NaN;y(i,j)=NaN;

end

end

end

end

IV- Ví Dụ:

Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm f(x,y) = x3 + y3 – 3xy

Kết quả:

>>nhap ham f(x,y)= x^3+y^3-3*x*y

f co cuc tieu chat: (1,1,-1)

Ví dụ 2: Tìm cực trị hàm f(x,y) = x2 + y2.

Kết quả :

>>nhap ham f(x,y)= x^2+y^2

f co cuc tieu chat: (0,0,0)

V- Kết Luận :

Đoạn code của nhóm có thể tìm được cực trị tự do của hàm f(x,y), với f(x,y)

là đa thức bậc nhỏ hơn 4

I - Yêu Cầu:

 Input: Hàm f x y z( , , ).

 Output: Tích phân bội ba

( , , )

V

f x y z dV



, V là vật thể giới hạn bởi:

x  y z  z x  y Vẽ vật thể V.

II- Cơ Sở Lý Thuyết:

Ta có : Thể tích vật thể V =

( , , )

V

f x y z dV



Mặt phía dưới : z = √x2

+y2

Mặt phía trên : z1 = √4−x2−y2

Hình chiếu của V xuống mặt oxy : D : x2 + y2≤ 2

V=∬dxdy 

√x2

+y2

√4−x2

−y2

f (x , y , z)dz

III- Code:

function d4b4

clc

syms x y z real

f=input('nhap ham f(x,y,z)= ');

f=sym(f);

[x, y, ~] = ellipsoid(0,0,1,1,1,1);

z=sqrt(x.^2 + y.^2);

z1=sqrt(4-(x.^2+y.^2));

set(surf(x,y,z),'facecolor','g','edgecolor','non','facealpha',.1)

hold on

set(surf(x,y,z1),'facecolor','b','edgecolor','non','facealpha',.1)

hold off

rotate3d on

syms theta phi p

x=p*cos(phi)*sin(theta);

y=p*sin(phi)*sin(theta);

z=p*cos(theta);

f=eval(f);

I=int(int(int(f*p^2*sin(theta),'p',0,1),'phi',0,2*pi),'theta',pi/2,pi);

I=double(I);

disp(['tich phan can tinh la I= ' num2str(I)])

IV- Ví Dụ:

Ví dụ1: Cho f(x,y,z) = x2+y2+1

Tích phân bội ba

( , , )

V

f x y z dV



, V là vật thể giới hạn bởi:

x  y z  z x y Vẽ vật thể V

Kết quả :

>>nhap ham f(x,y,z)= x^2+y^2+1

tich phan can tinh la I= 2.9322

Ví dụ2:

Cho f(x,y,z) = x2+y2+z2+2x-4y

Tích phân bội ba

( , , )

V

f x y z dV



, V là vật thể giới hạn bởi:

x  y z  z x y Vẽ vật thể V

Kết quả :

>>nhap ham f(x,y,z)= x^2+2*x+y^2-4*y+z^2

tich phan can tinh la I= 1.2566

V- Kết Luận :

Đoạn code của nhóm tính được tích phân bội ba

( , , )

V

f x y z dV



và vẽ vật thể V