bài tập lớn giải tích 2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG … … BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN: GIẢI TÍCH ĐỀ TÀI SỐ: GVHD: Hoàng Hải Hà Lớp: KU1201 + KU1202 Nhóm: Nhóm sinh viên thực hiện: Tp.HCM, tháng 05 năm 2013 Đề Tài Số - Giải Tích - Bài Tập 1: A- I - Yêu Cầu: Dùng công thức Stokes tính tích phân đường loại không gian : ∫ P( x, y, z )dx + Q( x, y , z )dy + R( x, y, z )dz L , L giao tuyến mặt x2 a + y2 b + z2 c = 1, x y z + + =1 a b c , hướng L ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z >0 Với P, Q, R, a, b, c nhập từ bàn phím II- Cơ Sở Lý Thuyết: Công thức Stokes: Mặt S định hướng, trơn khúc với biên chu tuyến Các hàm P, Q, R đạo hàm riêng cấp liên tục miền mở chứa S Khi ta có: ∫ P( x, y, z )dx + Q( x, y, z )dy + R( x, y, z )dz L = Trong hướng L lấy theo hướng dương tương ứng S Cách thực hiện: 1) 2) 3) 4) 5) Xác định giao tuyến L Tính pháp vécto Tính pháp vecto đơn vị Chuyển tích phân cần tính tích phân mặt loại Tính tích phân chuyển tọa độ cực III- Code: syms x y z real P=input('Nhap P(x,y,z)= '); Q=input('Nhap Q(x,y,z)= '); R=input('Nhap R(x,y,z)= '); a=input('Nhap a= '); b=input('Nhap b= '); c=input('Nhap c= '); f=(x/a+y/b+z/c)-1; n=[diff(f,'x') diff(f,'y') diff(f,'z')]; n=n/sqrt(diff(f,'x')^2 + diff(f,'y')^2 + diff(f,'z')^2); % tinh vector don vi cua vector phap %phuong phap tinh la phuong phap stokes p=(diff(R,'y')-diff(Q,'z'))*n(1,1); q=(diff(P,'z')-diff(R,'x'))*n(1,2); r=(diff(Q,'x')-diff(P,'y'))*n(1,3); z=((-x/a)+(-y/b)+1)*c; f=(eval(p)+eval(q)+eval(r))*sqrt(1+diff(z,'x')^2+diff(z,'y')^2); % da chuyen ve tich phan mat loai syms r phi real x=r*cos(phi);y=r*sin(phi); % chuyen sang phuong phap truc toa f=eval(f); S=int(int(f*r,'r',0,1),'phi',0,2*pi); %tinh tich phan S=double(S); disp(['Tich phan can tinh la: I= ' num2str(S)]) IV- Ví Dụ: Ví dụ1 : Dùng công thức Stokes tính tích phân I=dx + (2x-z)dy + ydz với L giao tuyến x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1, x y z + + =1 a b c mặt , hướng L ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ từ phía z > Kết quả: >>Nhap P(x,y,z)= x-y Nhap Q(x,y,z)= 2*x-z Nhap R(x,y,z)= y Nhap a= Nhap b= Nhap c= Tich phan can tinh la: I= 15.708 Ví dụ 2: Dùng công thức Stokes tính tích phân I= – y2)dx + (3y-z2)dy + (3z – x2)dz với L giao tuyến mặt x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1, x y z + + =1 a b c , hướng L ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ từ phía z > Kết quả: >>Nhap P(x,y,z)= 3*x-y^2 Nhap Q(x,y,z)= 3*y-z^2 Nhap R(x,y,z)= 3*z-x^2 Nhap a= Nhap b= Nhap c= Tich phan can tinh la: I= 12.5664 V- Kết Luận : Đoạn code nhóm có giải yêu cầu toán: Dùng công thức Stokes tính tích phân đường loại không gian : ∫ P( x, y, z )dx + Q( x, y, z )dy + R( x, y, z )dz L , L giao tuyến mặt x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1, x y z + + =1 a b c , hướng L ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z >0 Với P, Q, R, a, b, c nhập từ bàn phím B- Bài Tập 2: I - Yêu Cầu: • Input: Hàm f = f(x,y), điểm M(x0, y0) , cấp n • Output: Khai triển Taylor hàm z(x,y) điểm M đến cấp n II- Cơ Sở Lý Thuyết: Hàm f = f (x,y) có đạo hàm riêng đến cấp n+1 lân cận điểm M0 = (x0,y0) Công thức Taylor f đến cấp n điểm M0 : F(x,y) = f(x0 + ,y0 + ) = f(x0,y0) + (x0,y0) + Rn(,∆y) Trong Rn(,) phần dư cấp n III- Code: function d4b2 syms x y real warning off f=input('nhap ham f(x,y)= '); n=input('nhap so n= '); disp('nhap lan luoc toa diem M0') x0=input('x0= '); y0=input('y0= '); t=subs(f,[x y],[x0 y0]); for i=1:n c=zeros(1,i); c=sym(c); a=f;b=f; for j=1:i a=diff(a,'x'); sa=subs(a,[x y],[x0 y0]); A=sa*(x-x0)^i; b=diff(b,'y'); sb=subs(b,[x y],[x0 y0]); B=sb*(y-y0)^i; if i-j > c(1,j)=a; end for k=1:i-j; c(1,j)=diff(c(1,j),'y'); end d=chinhhop(i,j); e=doithua(i); sc=subs(d*c(1,j)/e,[x y],[x0 y0]); C=sc*(x-x0)^j*(y-y0)^(i-j); t=t+C; end t=t+A/e+B/e; end disp(['khai trien taylor cua ham f(x,y)= ' char(f) 'den cap ' num2str(n) ' la']) disp(char(t)) [x1,y1]=meshgrid(x0-1:.05:x0+1,y0-1:.05:y0+1); [~,mau]=numden(f); mau=sym(mau); for i=1:length(x1) for k=1:length(x1) x=x1(i,k); y=y1(i,k); if eval(mau)==0 || eval(exp(f))==0 x1(i,k)=NaN; y1(i,k)=NaN; end end end f=char(f);f=strrep(f,'^','.^');f=strrep(f,'*','.*'); for i=1:length(x1) for k=1:length(x1) x=x1(i,k); y=y1(i,k); z(i,k)=eval(f); end end [x1 y1 z]=khu(x1,y1,z); set(surf(x1,y1,z),'facecolor','b','edgecolor','non','faceal pha',.5) hold on t=char(t);t=strrep(t,'^','.^');t=strrep(t,'*','.*'); x=y1;y=y1; t=eval(t); [x1 y1 t]=khu(x1,y1,t); set(surf(x1,y1,t),'facecolor','r','edgecolor','non','faceal pha',.2) hold off rotate3d on end function a=doithua(b) a=1; for i=2:b a=a*i; end end function a=chinhhop(i,j) a=doithua(i)/(doithua(j)*doithua(i-j)); end function [x y f]=khu(x,y,f) % chuong trinh loai bo cac diem khong ton tai cua ham f for i=1:length(x) for j=1:length(y) if ~isreal(f(i,j)) f(i,j)=NaN;x(i,j)=NaN;y(i,j)=NaN; end end end end IV- Ví Dụ: a Ví dụ 1: Khai triển theo công thức Taylor lân cân điểm (1,1) hàm f(x,y) = yx đến bậc Kết quả: >> nhap ham f(x,y)= y^x >> nhap so n= >> nhap lan luoc toa diem M0 x0= y0= khai trien taylor cua ham f(x,y)= y^xden cap la y + (x - 1)*(y - 1) b Ví dụ 2: Khai triển theo công thức Taylor lân cân điểm (2,-1) hàm f(x,y) = x3-5x2-xy+y2+10x+5y-4 đến bậc Kết quả: >>nhap ham f(x,y)= x^3-5*(x^2)-x*y+y^2+10*x+5*y-4 >>nhap so n= >>nhap lan luoc toa diem M0 x0= y0= -1 khai trien taylor cua ham f(x,y)= x^3 - 5*x^2 - x*y + 10*x + y^2 + 5*y - 4den cap la3*x + y - (x - 2)*(y + 1) + (x - 2)^2 + (y + 1)^2 - V- Kết Luận: Đoạn Code nhóm khai triển Taylor hàm f(x,y) điểm M(x 0,y0) đến cấp n Cho kết sau khai triển taylor hàm f(x,y) vẽ đồ thị hàm f(x,y) C- Bài Tập 3: I - Yêu Cầu: • • Input: Hàm f(x,y) đa thức bậc nhỏ Ouput: cực trị tự hàm f(x,y) ( không xét trường hợp ∆=0 ) II- Cơ Sở Lý Thuyết: Cho hàm f(x,y) xác định lân cận điểm (x0,y0) Điểm (x0,y0) gọi điểm cực đại (cực tiểu) hàm f(x,y) tồn > cho f(x,y) f(x0,y0), f(x,y) f(x0,y0) với (x,y) B(x,y) Các bước thực hiện: 1) 2) 3) Tìm đạo hàm riêng hàm f(x,y), cho đạo hàm riêng  Tìm điểm dừng Tính đạo hàm riêng cấp f(x,y)  f”xx , f’’yy , f’’xy Xét điểm dừng Mi (xi ,yi), đặt: A= f’’xx(Mi), B=f’’xy(Mi), C= f’’yy(Mi)  = B2 – AC Xét dấu ∆: • > 0: hàm không đạt cực trị • < 0: Nếu A>0 fct = f(Mi) Nếu A % A > la cuc tieu ct=[ct;a(i) b(i)]; zct=[zct;eval(f)]; i=i+1; elseif sA < % A > la cuc dai cd=[cd;a(i) b(i)]; zcd=[zcd;eval(f)]; i=1+i; else a(i)=[];b(i)=[]; n=n-1; end else a(i)=[];b(i)=[]; n=n-1; end end if size([zcd;zct],1)>= % ve hinh voi cuc tri tro len [x,y]=meshgrid(min(a)-abs(max( a )-min(a))/5:.1:max(a)+abs(max(a)min(a))/5,min(b)-abs(max(b)-min(b))/5:.1:max(b)+abs(max(b)-min(b))/5); f=char(f);f=strrep(f,'^','.^');f=strrep(f,'*','.*');f=eval(f); [x y f]=khu(x,y,f); set(surf(x,y,f),'facecolor','b','edgecolor','non','facealpha',.3) hold on ctri(cd,ct,zcd,zct) elseif size([zcd;zct],1)== % ve hinh voi cuc tri [x,y]=meshgrid(a-2:.1:a+2,b-2:.1:b+2); f=char(f);f=strrep(f,'^','.^');f=strrep(f,'*','.*');f=eval(f); [x y f]=khu(x,y,f); set(surf(x,y,f),'facecolor','b','edgecolor','non','facealpha',.3) hold on ctri(cd,ct,zcd,zct) else % khong co cuc tri disp('f khong co cuc tri chat, co cuc tri ko chat hay khong thi chiu :))' ) [x,y]=meshgrid(-2:.1:2); f=char(f);f=strrep(f,'^','.^');f=strrep(f,'*','.*');f=eval(f); [x y f]=khu(x,y,f); set(surf(x,y,f),'facecolor','b','edgecolor','non','facealpha',.3) end rotate3d on hold off xlabel('truc x') ylabel('truc y') zlabel('truc z') end function ctri(cd,ct,zcd,zct) % chuong trinh ve cuc tri cd=double(cd);zcd=double(zcd); for i=1:size(zcd,1) disp([' f co cuc dai chat: ' '(' num2str(cd(i,1)) ',' num2str(cd(i,2)) ',' num2str(zcd(i)) ')']) [x,y]=meshgrid(cd(i,1)-0.2:.05:cd(i,1)+0.2,cd(i,2)-0.2:.05:cd(i,2)+0.2); z=zcd(i)+x.*0+y.*0; set(surf(x,y,z),'facecolor','r','edgecolor','non') text(cd(i,1),cd(i,2),zcd(i)+.1,['cuc dai (' num2str(cd(i,1)) ',' num2str(cd(i,2)) ',' num2str(zcd(i)) ')']) end ct=double(ct);zct=double(zct); for i=1:size(zct,1) disp([' f co cuc tieu chat: ' '(' num2str(ct(i,1)) ',' num2str(ct(i,2)) ',' num2str(zct(i)) ')']) [x,y]=meshgrid(ct(i,1)-0.2:.05:ct(i,1)+0.2,ct(i,2)-0.2:.05:ct(i,2)+0.2); z=zct(i)+x.*0+y.*0; set(surf(x,y,z),'facecolor','r','edgecolor','non') text(ct(i,1),ct(i,2),zct(i)-.1,['cuc tieu (' num2str(ct(i,1)) ',' num2str(ct(i,2)) ',' num2str(zct(i)) ')']) end end function [x y f]=khu(x,y,f) % chuong trinh loai bo cac diem khong ton tai cua ham f for i=1:length(x) for j=1:length(y) if ~isreal(f(i,j)) f(i,j)=NaN;x(i,j)=NaN;y(i,j)=NaN; end end end end IV- Ví Dụ: Ví dụ 1: Tìm cực trị hàm f(x,y) = x3 + y3 – 3xy Kết quả: >>nhap ham f(x,y)= x^3+y^3-3*x*y f co cuc tieu chat: (1,1,-1) Ví dụ 2: Tìm cực trị hàm f(x,y) = x2 + y2 Kết : >>nhap ham f(x,y)= x^2+y^2 f co cuc tieu chat: (0,0,0) V- Kết Luận : Đoạn code nhóm tìm cực trị tự hàm f(x,y), với f(x,y) đa thức bậc nhỏ D- Bài Tập 4: I - Yêu Cầu: • Input: Hàm f ( x, y, z ) ∫∫∫ f ( x, y, z )dV V • Output: Tích phân bội ba , V vật thể giới hạn bởi: x + y + z ≤ 4, z ≤ x + y Vẽ vật thể V II- Cơ Sở Lý Thuyết: ∫∫∫ f ( x, y, z )dV V Ta có : Thể tích vật thể V = Mặt phía : z = Mặt phía : z1 = Hình chiếu V xuống mặt oxy : D : x2 + y2 V= III- Code: function d4b4 clc syms x y z real f=input('nhap ham f(x,y,z)= '); f=sym(f); [x, y, ~] = ellipsoid(0,0,1,1,1,1); z=sqrt(x.^2 + y.^2); z1=sqrt(4-(x.^2+y.^2)); set(surf(x,y,z),'facecolor','g','edgecolor','non','facealpha',.1) hold on set(surf(x,y,z1),'facecolor','b','edgecolor','non','facealpha',.1) hold off rotate3d on syms theta phi p x=p*cos(phi)*sin(theta); y=p*sin(phi)*sin(theta); z=p*cos(theta); f=eval(f); I=int(int(int(f*p^2*sin(theta),'p',0,1),'phi',0,2*pi),'theta',pi/2,pi); I=double(I); disp(['tich phan can tinh la I= ' num2str(I)]) end IV- Ví Dụ: Ví dụ1: Cho f(x,y,z) = x2+y2+1 ∫∫∫ f ( x, y, z)dV Tích phân bội ba V x + y + z ≤ 4, z ≤ x + y , V vật thể giới hạn bởi: Vẽ vật thể V Kết : >>nhap ham f(x,y,z)= x^2+y^2+1 tich phan can tinh la I= 2.9322 Ví dụ2: Cho f(x,y,z) = x2+y2+z2+2x-4y ∫∫∫ f ( x, y, z)dV Tích phân bội ba V x + y + z ≤ 4, z ≤ x + y , V vật thể giới hạn bởi: Vẽ vật thể V Kết : >>nhap ham f(x,y,z)= x^2+2*x+y^2-4*y+z^2 tich phan can tinh la I= 1.2566 V- Kết Luận : ∫∫∫ f ( x, y, z )dV Đoạn code nhóm tính tích phân bội ba vẽ vật thể V V ... bởi: Vẽ vật thể V Kết : >>nhap ham f(x,y,z)= x ^2+ y ^2+ 1 tich phan can tinh la I= 2. 9 322 Ví d 2: Cho f(x,y,z) = x2+y2+z2+2x-4y ∫∫∫ f ( x, y, z)dV Tích phân bội ba V x + y + z ≤ 4, z ≤ x + y , V... disp([' f co cuc dai chat: ' '(' num2str(cd(i,1)) ',' num2str(cd(i ,2) ) ',' num2str(zcd(i)) ')']) [x,y]=meshgrid(cd(i,1)-0 .2: .05:cd(i,1)+0 .2, cd(i ,2) -0 .2: .05:cd(i ,2) +0 .2) ; z=zcd(i)+x.*0+y.*0; set(surf(x,y,z),'facecolor','r','edgecolor','non')... disp(['Tich phan can tinh la: I= ' num2str(S)]) IV- Ví Dụ: Ví dụ1 : Dùng công thức Stokes tính tích phân I=dx + (2x-z)dy + ydz với L giao tuyến x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1, x y z + + =1 a b c mặt , hướng