Bài tập lớn Giải tích 1 trường đại học Bách Khoa TP HCM (có lời giải) thầy TRẦN THÔNG LƯU. Giới hạn hàm sốBài 1: Tính các giới hạnii) lim┬(x→1)〖(x+1)(√(6x2+3)+3x)〗= lim┬(x→1)〖(x+1)(〖〖((6x2+3)〗(1⁄2))〗+(3x) )〗= lim┬(x→1)〖1(1⁄2×(6x2+3)(1⁄21)×12x+3)〗 = 1v) lim┬(x→3)〖(x26x+9)(x29)〗 = lim┬(x→3)〖〖〖(x〗26x+9)〗〖(x29)〗 〗 = lim┬(x→3)〖(2x6)2x 〗= 0viii) lim┬(x→0)〖(√(x+1)1)(1+∛(x+1))〗 = lim┬(x→0)〖(〖(x+1)〗(1⁄2)1)(〖(x+1)〗(1⁄3)1)〗 = lim┬(x→0)〖((〖(x+1)〗(1⁄2)1)x)((〖(x+1)〗(1⁄3)1)x)〗 = (1⁄2)(1⁄3) Bài 2: Tính các giới hạnii) lim┬(x→0)〖(tanxsinx)x3 〗 = lim┬(x→0)〖(sinxcosx sinx)x3 〗 = lim┬(x→0)〖sin〖x(1cosx 1)〗x3 〗= lim┬(x→0)〖sinxx〗×(1cosx 1)x2 = lim┬(x→0)〖(1cosx)x2 〗×1cosx = lim┬(x→0)〖12〗 1cos0 = 12iv) lim┬(x→2)〖(x24)(arc tan〖(x+2)〗 )〗 = lim┬(x→2)〖〖(x24)〗〖(arc tan(x+2))〗 〗 = lim┬(x→2)〖2x(1(1+〖(x+2)〗2 ))〗 = lim┬(x→2)〖2x(1+〖(x+2)〗2 〗) = lim┬(x→2)〖2x+2x〖(x+2)〗2 〗 = 4vi) lim┬(x→π2)〖cosx∛(〖(1 sinx)〗2 )〗Đặt t = π2x => x→ π2=> t π2 = x t → 0=> lim┬(t→0)〖(cos t π2)∛(〖(1 sint π2)〗2 )〗= lim┬(t→0)〖sint∛(〖(1 cost)〗2 )〗= lim┬(t→0)〖sint〖(1 cost)〗(23) 〗= lim┬(t→0)〖t〖(t22)〗(23) 〗=〖lim┬(t→0) 8〗〖tt(43) 〗=〖lim┬(t→0) 〗〖8∛t〗 = ∞Bài 3 Tính các giới hạn ii) lim┬(x→2)(1(x2)4(x24)) iv) lim┬(x→0)(2sin2xcotx) iv) lim┬(x→∞)(√(x21)√(x2+1)) Bài 4 Tính các giới hạn ii) lim┬(x→π4)〖(π4x) 1sin(3π4+x) 〗Liên tụcBài 1. Khảo sát tính liên tục của hàm sốb)f(x)={█(1x sinx,x≠0 a,x=0)┤Tại x0 ≠ 0:f(x)=sinxx là hàm số sơ cấp nên liên tụcTai x0 = 0:lim┬(x →0)〖f(x)= lim┬(x →0)〖sinxx=1〗 〗 Vậy hàm số liên tục a = 1Bài 2. Tính các giới hàn sauiii)lim┬(x →0)〖〖(cosx)〗(1x2 ) 〗=lim┬(x →0)1(1〖cosx)〗(1x2 ) =lim┬(x →0)〖〖(1+ (1)2 x2)〗(1x2 ) 〗=e((1)2)iv)lim┬(x →π4)〖(tgx)tg2x 〗Đặt:x=t+π4 khi:x→π4 t→0lim┬(t →0)〖tg(t+π4)(tg2(t+π4)) 〗=lim┬(t →0)〖tg(t+π4)((2tg(t+π4))(1tg(t+π4)2 )) 〗=lim┬(t →0)〖{1+(1)1tg(t+π4)}(1(1tg(t+π4))(2tg(t+π4))(1+tg(t+π4))) 〗=e((2tg(t+π4))(1+tg(t+π4)))=e((2tg(0+π4))(1+tg(0+π4)))=e1v)lim┬(x →∞)〖(e(1x) + 1x)x 〗Đặt: t=1x khi:x→∞ t→0lim┬(t →0)〖〖(et+t)〗(1t) 〗=lim┬(t →0)〖〖(et1+1+t)〗(1t) 〗=lim┬(t →0)〖〖(t+1+t)〗(1t) 〗=lim┬(t →0)〖〖(1+2t)〗(1t) 〗=e2Đạo HàmBài 1. Tính đạo hàm của các hàm saub) 3(tan4 (x2+5x)) = (tan4(x2+5x))’. 3(tan4 (x2+5x)) .ln3= 4. ln3. 3(tan4 (x2+5x)). tan3(x2+5x). (2x+5). 1(cos2 (x2+5x))Bài 2. Tính đạo hàm cấp caob) y = 1(x+2)=> y’= 1〖(x+2)〗2 => y(n) = (〖(1)〗n.n)〖(x+2)〗(n+1) => y(10) = (〖(1)〗10.10)〖(x+2)〗(10+1) d) y = ln(x2+x+2) = ln(x1) (x+2) = ln(x1) + ln(x+2) => y(n) = (〖(1)〗(n+1). (n1))〖(x1)〗n + (〖(1)〗(n+1). (n1))〖(x+2)〗n = (1)n+1. (n1) (1〖(x1)〗n + 1〖(x+2)〗n ) => y(10) = (1)11. (9) (1〖(x1)〗10 + 1〖(x+2)〗10 )Bài tập thêmBài 1: Giải pt2) y cos〖(2y)〗 sin〖(y)〗 = 0y cos〖(2y)〗 = sin〖(y)〗 dydx . cos〖(2y)〗 = sin〖(y)〗 cos〖(2y)〗sin〖(y)〗 dy = dx ∫▒cos〖(2y)〗sin〖(y)〗 dy = ∫▒dx ∫▒(〖12sin〗2 y)sin〖(y)〗 dy = ∫▒dx∫▒〖2(sin〖(y)〗 〗)dy + ∫▒(sin〖(y)〗 dy)(〖sin〗2 (y)) = ∫▒dx2∫▒〖(sin〖(y)〗 〗)dy + ∫▒(sin〖(y)〗 dy)(1 〖cos〗2 (y)) = ∫▒dx2cos〖(y)〗 + I = x + CĐặt t = cos〖(y)〗 =≫ dt = sin〖(y)〗dy I = ∫▒( dt)(1 t2 ) = ∫▒( dt)((1t)(1+1)) = 12 ∫▒(1t+1+t)((1t)(1+1))dt= 12 ∫▒〖(1(1+t)〗+1(1t))dt= 12(ln(1 + t) – ln(1 + t))= 12 ln|(1+t)(1t)| = 12 ln|(1+cos〖(y)〗 )(1 cos〖(y)〗 )|Vậy 2cos〖(y)〗 12 ln|(1+cos〖(y)〗 )(1 cos〖(y)〗 )| = x + CBài 2:2) xyy+ x22y2=0⇔y= (2y2x2)xy⇔y= (2〖□((xy))〗21)(yx) (1)Đặt u=yx⇒y=ux⇒y=u x+u. Thay vào (1)⇒u x+u=(2u21)u⇒u x=(2u21)uu⇒dudx x=(u21)u⇒udu(u21)=dxx⇒∫▒udu(u21)=∫▒dxx⇒12 ∫▒(d(u21))(u21)=∫▒dxx⇒12 ln|u21|=ln|x|+CBài 3 2) y’’ +9y = 6e3x ()phương trình đặc trưng h2 + g = 0 {■(h= 3ih=3i)┤ytn= C1 cos3x + C2 sin3xyr có dạng yr = Ae3x => yr’ = 3Ae3x => yr’’= 9Ae3xThay vào () và đơn giản cho e3x => 9A + 9A = 6 => 18A = 6 => A= 13=> yr = 13 e3x=> Nghiệm tổng quát y = ytn + yr = C1.cos3x + C2.sin3x+ 13 e3x
BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH Nhóm GVHD: TRẦN THƠNG LƯU Đại học Bách Khoa Tp.HCM Giới hạn hàm số Bài 1: Tính giới hạn ii) =1 v) = = = viii) = = = = Bài 2: Tính giới hạn ii) = = = = = = iv) = = = ) = = -4 vi) Đặt t = => t - = => t => = = = = == Bài Tính giới hạn ii) iv) iv) Bài Tính giới hạn ii) Liên tục Bài Khảo sát tính liên tục hàm số b) Tại x0 0: Tai x0 = 0: Vậy hàm số liên tục a = Bài Tính giới hàn sau iii) = = = iv) Đặt: = = = = = e-1 v) Đặt: = = = = e2 Đạo Hàm Bài Tính đạo hàm hàm sau b) = (tan4(x2+5x))’ .ln3 = ln3 tan3(x2+5x) (2x+5) Bài Tính đạo hàm cấp cao b) y = => y’= => y(n) = => y(10) = d) y = ln(x2+x+2) = ln(x-1) (x+2) = ln(x-1) + ln(x+2) => y(n) = + = (-1)n+1 (n-1)! => y(10) = (-1)11 (9)! Bài tập thêm Bài 1: Giải pt 2) - = = = dy = dx dy = dy = + = + = 2 + I = x + C Đặt t = dt = - dy I = = = - dt = -)dt = -(1 + t) – ln(1 + t)) = - ln = - ln Vậy - ln = x + C Bài 2: 2) Đặt Thay vào (1) Bài 2) y’’ +9y = 6e3x (*) phương trình đặc trưng h2 + g = ytn= C1 cos3x + C2 sin3x yr có dạng yr = Ae3x => yr’ = 3Ae3x => yr’’= 9Ae3x Thay vào (*) đơn giản cho e3x => 9A + 9A = => 18A = => A= => yr = => Nghiệm tổng quát y = ytn + yr = C1.cos3x + C2.sin3x+