Chøng minh r»ng:... Chøng minh r»ng.[r]
(1)Một Số ứNG DụNG CủA BấT ĐẳNG THứC CÔ SI ứNG DụNG 1: Chứng minh bất đẳng thc
Bài toán số Cho a, b, c > Chøng minh r»ng a b c 1
a b c
*Ph©n tÝch:
Vế trái chứa a, b, c > nghịch đảo chúng Vì ta nghĩ đến việc dùng bất đẳng thức Cơsi
Lêi gi¶i:
Cách 1: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số a, b, c 1 1, , a b c ta có:
3
3
3
1 1
3
a b c abc
a b c abc
Nhân vế hai bất đẳng thức ta đợc: a b c 1
a b c
(®pcm)
C¸ch 2:
a b c 1 b a c a b c 2
a b c a b a c c b
DÊu "=" x¶y a b c
Bài toán số 1.1 Chứng minh bất đẳng thức: a a b c
b c a (a, b, c > 0)
b.a2 b2 c2 ab bc ca
Bài toán số 1.2 Chøng minh r»ng: a
2
2
x x
x R
áp dụng BĐT Côsi cho sè x2 +1 vµ 1.
b x
x
(2)áp dụng BĐT Côsi cho số x - vµ
c.a b ab 1 4ab a b,
áp dụng BĐT Côsi ta cã
2
a b ab
ab ab
Nhân vế BĐT ta suy đợc đpcm
Bài toán số 1.3 Chứng minh rằng:
a a b b c c a 8abc a b c, , 0 b.a21b2 b21c2c21a2 6abc
áp dụng BĐT Côsi cho số a a b b b c c c a2, 2, ,2 2, ,2 2.
Bài toán số 1.4
a n sè d¬ng a1, a2, , an Chøng minh r»ng:
1
1
1 1 n n
n n
a a a
a a a
b.NÕu a1, a2, , an dơng a1a2 an = a1+ a2 + + ann áp dụng BĐT Côsi cho n số dơng trªn)
Bài tốn số 2. Chứng minh bất đẳng Netbit
3
a b c
b c a c a b a b c, , >
Giải Đặt x= b + c, y = a + c, z = a +b
Khi x, y, z >
, ,
2 2
y z x x z y x y z
a b c
Ta cã:
1
2 2
1
3 2
2 2
a b c y z x x z y x y z
b c a c a b
x y x z y z
y x z x z x
(3)
1
6
1 1 1
6
2 2
a b c x y z x y z x y z
b c a c a b x y z
x y z
x y z
Khai thác toán:
Bng cách tơng tự, ta chứng minh đợc bất đẳng thức sau: với a, b, c dơng ta có:
2 2 2
2 a b c
b a c a c b c b a c b a b a a c c b
Bài toán số 2.2 Cho x, y > Chøng minh r»ng 1x1y x4y (1)
Phân tích:
Do x, y > nên BĐT (1) suy từ BĐT Côsi xét hiệu Giải
Cách 1: Sử dụng BĐT Côsic cho sè d¬ng x, y:
y x y x y x xy y x xy y x xy y x 1 4 2
C¸ch XÐt hiƯu cña vÕ:
0 4 1 y x xy y x y x xy xy y x x y x y y x y
x (2)
Do x > 0, y > nên BĐT (2) Vậy (1) luụn ỳng (pcm)
Khai thác toán:
Ta thấy BĐT có liên quan đến việc cộng mẫu nên sử dụng để chứng minh BĐT sau:
Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác, chứng minh rằng:
a p b p c a b c p 1 1 c b a p
Bài tập tơng tự:
Bài 1. Chứng minh rằng:
c b a c b a c a c a b c c b b a b
a2 2 2 2 2
3
(4) 2 2 2 2
4 a b c d
a d a d d d c d c c c b c b b b a b a
a
Bµi 3 Cho 0a,b,c 1 Chøng minh r»ng: a c c b b a c b
a2 2 1 2
Bµi 4 Cho a > 0, b > 0, c > Chøng minh: c b a ab c ac b bc
a 1
2
Bµi 5 Cho x, y, z > Chøng minh r»ng:
x z y z y x
Bµi 6 Cho a, b > Chøng minh r»ng:
a b b a b a
Bµi 7. Cho x, y > Chøng minh r»ng:
3 2
3 x y
y xy x x
Bµi 8 Cho x, y ≠ Chøng minh r»ng:
2 6 4 x y y x y
x
Bµi 9 Cho a, b > Chøng minh r»ng:
4 ab b a ab
áp dụng bất đẳng thức Côsi để chứng minh BĐT tam giác
Bài toán số 3. Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng: 3
a b c
c b c a b a c b a Giải: Cách
đặt x = b + c – a; y = a + c - b; z = a + b – c Khi x, y, z >
2 , , z y c z x b y x
a
VÕ tr¸i:
2 2 2 y z z y x z z x x y y x y x z x z y z y x c b a c b c a b a c b a
(5)2 c b a z y x y z z y x z z x x y y x C¸ch
Nhận xét: Do a, b, c, độ dài cạnh tam giác nên ta có: a + b - c > 0; a + c –b > 0; b + c - a >
áp dụng BĐT Côsi cho cặp sè d¬ng:
b c a a b c b c a c b b c a a b c a c b a b c a c b a ) (
Nhận thấy vế BĐT số dơng BĐT chiều, nhân vế đợc:
ab cac bbc aabc
Ta cã: 3 3 abc abc c b a b c a a c b abc c b a c b c a b a c b a
Bài tập 3.1. Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác ABC, abc
Chøng minh r»ng: a b c2 9bc
(*)
Giải Vì ab abc2bbc22bc2
chng minh (*) ta cần chứng minh: 2b c2 9bc
(1)
ThËt vËy:
b c bc bc c bc b bc c bc b bc c b 2 2 2 4 4 Ta cã:
b c bc
c c c c b b b b c b 2 2 2 2 0 2 2 0 (®pcm)
(6)3 2 2
3 a b 2 c a c b c b a (*)
Trong a, b, c độ dài cạnh tam giác Giải
Ta cã
2 3 c b c
b
ThËt vËy:
0 0 3 2 2 2 3 2 3 3 c b c b c b c b c b c c b b bc c b c b bc c b c b c b
Luôn suy (1) Tơng tự: 3 2
4
c a c
a
3 2
4
b a b
a
Do đó: ) (
3 2
3 2
3 2
a b
c c a b c b a b a c a c b c b a Mµ: 2 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 c b a c c b a b c a b a b a c c a b c b a b a c c a b c b a (4) Do: b c a a c b c b a
Từ (3) (4) suy điều phải chứng minh
Các tập khác:
Bi 3.3 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2.
Bµi tËp 3.4 Cho a, b, c lµ cạnh tam giác Chứng minh rằng: b c a b a c b c a b c abc
a2 2
Bài tập 3.5 Giả sử a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng: 1
3 3 3 3 abc c b a c b a c b a
(7)Chøng minh r»ng 1 13 9
abc a c c b b a c b a c b a
Bµi tËp 3.7 Cho a, b, c, d > vµ a + b + c + d = Chøng minh r»ng:
abc bcd bda cda2
ứNG DụNG 2: ứng dụng bất đẳng thức Cơsi để tìm cực trị
* Víi a 0, b ta cã a b 2 ab , dÊu “=” x¶y a = b
* Với n số không âm: a1 , a2 , …, an ta cã: a1a2 an n a a an 1 2 n
DÊu “=” x¶y a1 = … = an
* Tõ B§T trªn ta suy ra:
+ NÕu a.b = k (const) th× min(a + b) = k a = b + NÕu a + b = k (const) th× max(a.b) =
2
4 k
a = b * Mở rộng n số khơng âm:
+ NÕu a1.a2…an = k (const) th× min(a1 + a2 + … + an) = n n k
a1 = a2 = … = an
+ NÕu a1 + a2 + …+ an = k (const) th× max(a1.a2…an) =
n k n a1 = a2 = … = an
VÝ dô: Cho x > 0, y > tho¶ m·n: 1
2
x y
T×m GTNN cđa A = x y
Bài làm:
Vì x > 0, y > nªn
x > 0,
1
y > 0, x > 0, y > Ta cã:
1 1 1 1
2
4
2 4
Cs
x y x y xy
xy
A x y x y
(8)Nhận xét: Trong ví dụ ta sử dụng BĐT Côsi theo chiều ngợc nhau:
+ Dïng
2 a b
ab để dùng điều kiện tổng 1
2
x y từ đợc xy 4
+ Dùng a b 2 ab “làm giảm” tổng x y để dùng kết xy 4
Không phải lúc ta dùng trực tiếp BĐT Cơsi đối với số đề Ta có số biện pháp biến đổi biểu thức để vận dụng BĐT Cơsi tìm cực trị nó:
* Cách 1: Để tìm cực trị biểu thức ta tìm cực trị bình ph-ơng biểu thức đó.
VÝ dơ: T×m GTNN cđa A = 3x x
Bài giải
§iỊu kiƯn: x
Ta cã: A2 = ( 3x – ) + ( – 3x ) + 2 3x 5 3 x
A2 ( 3x – + – 3x ) + = 4
DÊu “=” x¶y 3x – = – 3x x = VËy max A2 = max A = x = 2
Ta thấy A đợc cho dới dạng tổng thức Hai biểu thức lấy có tổng khơng đổi (bằng 2) Vì vây, bình phơng A xuất hạng tử lần tích thức Đến vận dụng BĐT Côsi
2 ab a b
* Cách 2: Nhân chia biểu thức với số khác 0 Ví dụ: Tìm GTLN A =
5
x x
Bài giải:
Điều kiện: x Ta có:
1
9.3 3 9
9 3
5 5 10 30
x
x x
x A
x x x x
DÊu “=” x¶y 18
x
x
(9)VËy max A = 18 30 x
Trong cách giải trên, x – đợc biểu diễn thành 9.3
x
vận
dụng BĐT Côsi tÝch nµy trë thµnh nưa tỉng:
3
x
x
có dạng kx rút gọn cho x mẫu ( số đợc tìm cách lấy 9, số có đề bài)
* Cách 3: Biến đổi biểu thức cho thành tổng biểu thức sao cho tích chúng hng s.
Ví dụ 1: ( Tách hạng tử thành tổng nhiều hạng tử nhau) Cho x > 0, t×m GTNN cđa A =
4
3x 16 x
Bài giải
A =
4
3x 16 x
=
3 3
16 16 16
3x x x x x x x
x x x
A 4.2 = ( dÊu “=” x¶y x 163 x
x
)
VËy A = x =
Ví dụ 2: (Tách hạng tử chứa biến thành tổng số với hạng tử chứa biến cho hạng tử nghịch đảo hạng tử khác có biểu thức cho)
Cho < x < 2, t×m GTNN cđa A = 2
x x x
Bài giải
9
1
2
x x x x
A
x x x x
DÊu “=” x¶y
2
x x
x x x
VËy A =
2 x
(10) Trong cách giải ta tách
x thµnh tæng
2
1 x x
H¹ng tư x
x
nghịch đảo với
2
x x
nên vận dụng BĐT Cơsi ta đợc tích chúng số
* Cách 4: Thêm hạng tử vào biểu thức cho
VÝ dơ: Cho x, y, z > tho¶ m·n: x + y + z = T×m GTNN cđa P =
2 2
x y z
y z z x x y
Bµi giải
Vì x, y, z > ta có:
áp dụng BĐT Côsi số dơng
2
x
y z vµ y z
ta đợc:
2
2
4
x y z x y z x
x
y z y z
(1) T¬ng tù ta cã:
2
2
(2)
(3)
y x z y x z
z x y z x y
Cộng (1) + (2) + (3) ta đợc:
2 2
2
x y z x y x
x y z
y z z x x y
x y z
P x xy z
DÊu “=” x¶y x y z
VËy P =
3 x y z
Nhận xét: Ta ó thờm y z
vào hạng tö thø nhÊt
2
x
y z có đề bài,
(11)hạng tử lại đề Dấu đẳng thức xảy đồng thời (1), (2),
(3)
3 x y z
NÕu ta lần lợt thêm (y + z), (x + z), (x + y) vµo
2 2
; ;
x y z
y z x z x y th× ta
cũng khử đợc (y + z), (x + z), (x + y) nhng điều quan trọng khơng tìm đợc giá trị x, y, z để dấu đẳng thức đồng thời xảy ra, khơng tìm đợc GTNN ca P
áp dụng cách với việc sử dụng BĐT Côsi ta có ví dụ kh¸c nh sau:
VD 1: Cho a, b, c > tho¶ m·n: a + b + c = T×m GTLN cđa P = 1 1 1
a b c
Ph©n tÝch: a, b, c > 3 3
abc
abc
Do khai triển P ớc lợng theo BĐT Cơsi
Bµi giải
Cách 1: P 1 1 1 1
a b c ab bc ac abc
áp dụng BĐT Côsi cho số dơng ta cã:
3
3
1
3
3
3 27
a b c abc abc abc
abc
(1)
Mặt khác:
2 3
2
1 1
3 27
1 1
3
ab ac bc abc
a b c abc
(2)
(1) + (2) ta cã: P 1 32 27 27 64
VËy P = 64
(12)
3
4 4
4
1 1
1
1
4
4 64
a b c
P a b c
a b c abc
P a a b c b a b c c a b c abc
P a b c abc
Tỉng qu¸t: cho S = a + b + c
t×m GTLN cđa P = 1 1 1
a b c
VD 2: T×m GTLN cđa B = x y
x y
Bài giải
1.( 1)
1 1
2 2
2 2
4 2
x
x x
x x x
y
y y
y y y
max B = 2 1
2
2 4
x x
y y
VD 3: Cho sè d¬ng x, y cã x + y = T×m GTNN cđa B = 12 12
x y
Bài giải
Ta cã: B = 12 12
x y
= + xy
2
1 x y CS4xy B
xy
VËy B = x y
VD 4 : Cho x, y, z > tho¶ m·n: 1
1x 1y 1z
T×m GTNN cđa P = xyz
(13)Ta cã:
1 1
1
1 1 1 1
y z yz
x y z y z y z
T¬ng tù:
1
1 1
1
1 1
zx
y x z
xy
z x y
8 P xyz
VËy max P = 1
8 x y z
VD 5: Cho M = 3x2 – 2x + 3y2 – 2y + |x| + 1
Tính giá trị M biết x, y số thoả mãn x.y = biểu thức |x + y| t GTNN
Bài giải:
Ta có: x y 2CS4xy 4 x y 2
Min |x + y| = x = y, xy
x y
Khi x = y = hc x = y = - + Khi x = y = th× M = + Khi x = y = - th× M = 17 VD 6:
Cho số thực không âm a1, , a5 thoả mÃn: a1 + … + a5 =1
T×m GTLN cđa A = a1a2 + a2a3 + a3a4 + a4a5 Bµi gi¶i
Ta cã: A = a1a2 + a2a3 + a3a4 + a4a5 (a1 + a3 + a5)(a2 + a4)
1
1
2
1
2
2
a a a a a
a a a a a a a a a a
A
(14)VËy max A =
1
1
3
1
2
2 0
a a
a a a a a
a a a
VD 7: Cho a, b > T×m GTNN cđa A = x a x b
x
( x > 0)
Bài giải
x a x b x2 ax bx ab ab
A a b x
x x x
2
A a b ab A a b ab
DÊu “=” x¶y x ab x ab x
VD 8: Tìm GTNN hàm y =
1 x x víi < x <
Bài giải
Ta có: y =
2 2
1
x x x x
x x x x
( < x < 1)
= 3 2 2
1
x x x x
x x x x
DÊu “=” x¶y 2
1
x x
x
x x
VD 9: Cho a, b > cho tríc
Các số x, y > thay đổi cho a b x y
Tìm x, y để S = x + y đạt GTNN Tìm S theo a, b
Bài giải
Ta có:
a b a b bx y
S x y a b
x y x y y x
(15)2
min
bx ay
S ab a b ab
y x
ay bx
S a b ab
x y
Mµ a b x a ab
x y y b ab
VD 10: T×m GTNN cđa P =
4
2
4 16 56 80 356
2
x x x x
x x
Bài giải
Ta có: P =
4
2
4 16 56 80 356
x x x x
x x
= 4 2 5 2 256 64
2
CS
x x
x x
Suy P = 64 x = x = -
Bài tập t¬ng tù
BT 1: Cho x, y > thoả mÃn x y = Tìm GTLN A = 2
x y
x y x y
(16)
2
2
2 2 2 2
2
1
1
1
;
8
1
1
;
1
; 2000
A x x
yz x xz y xy z
B
xyz x
C x
x D
x x E
x
x x
F x
x x
x x
G
x x
x
H x
x
BT 3: Cho a, b, c > tho¶ m·n 1
1a 1b1c T×m GTLN cđa
biĨu thøc Q = abc
BT 4: Cho x, y > tho¶ m·n x + y = T×m GTNN cđa biĨu thøc P = 1 1
x y
(17)
2
2
2
2
2
4
;
;
1
1
1 ;
1 ;
1
; 0,1
2
;
2
x x
A x
x x
B x
x
x x
C
x x
D x x
x x
E x x
x x
F x
x x
x
G x
x
BT 6: Cho x, y > th¶o m·n x2 y2 4 T×m GTNN cđa biĨu thøc E =
2
1
x y
y x
BT 7: Tìm GTLN GTNN cña A = 3 x 6 x; 3 x 6 BT 8: T×m GTLN cđa A = x 1 y1 biÕt
,
2 x y x y
BT 9: Cho a, b > thoả mÃn a b = 216 Tìm GTNN S = 6a + 4b
BT 10: Cho a, b > tho¶ m·n a 1 b
T×m GTNN cđa A = a b b a
BT 11: Cho a, b > tho¶ m·n a ab
T×m GTNN cđa S = a2 b2
BT 12: Cho x, y, z tho¶ m·n xy + yz + zx = 100
(18)BT 13: Với giá trị cđa a th× tÝch xy nhËn GTLN nÕu x, y, a số thực thoả mÃn
2
4
1
4
x a a y
BT 14: T×m GTNN cđa A =
8
x a x
biÕt a > 0, x >
BT 15: Với giá trị số dơng a biểu thức D đạt GTNN ? A = a1000 a900 a90 a5 1995
a
BT 16: T×m GTNN cđa C = x100 10x10 2004
BT 17: T×m GTLN cđa E =
2
2 ; 0,
x xy y
x y
x xy y
BT 18: T×m GTLN cđa tÝch x x x1 2 ;n n2
BiÕt xi 1; i 1,n n
vµ x12 x22 xn2 1
BT 19: T×m GTLN cđa B =
19952 ; 0
x
x
x
BT 20: T×m GTNN cđa N =
2
5 x
x y x y
biÕt r»ng x, y >
BT 21: T×m GTLN cđa H = x 1 x2 víi 1 x BT 22: T×m GTLN cđa biĨu thøc:
P = 1 1 1
1 1
x y z
x y z
y z x z x y
Với x, y, z biến đổi nhng thoả mãn 0x y z, , 1
BT 23: T×m GTNN cđa
1 ,
f x y x
xy x y
;
,
x y
x y
BT 24: T×m GTLN cđa
2
2
x x
BT 25: T×m GTLN cđa x
x
(19)