TrườngSuưPhamưI khoa khoa hưđạiưhọcưọc tự nhiên ưKhoáưluậnưtốtưnghiệp Chuỗiưfourierưvàưứngưdụng ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư Lờiưmởưđầu Lí thuyết chuỗi khai triển hàm số thành chuỗi số đề tài quen thuộc chơng trình giải tích cổ điển Ngoài phơng pháp khai triển hàm số thành chuỗi số Từ lí thuyết chuỗi lợng giác_ chuỗi Fourier có thêm phơng pháp khai triển hàm số khai triển hàm số thành chuỗi lợng giác_ chuỗi Fourier Không với hàm tuần hoàn mà hàm số bất kì.Thông qua khai triển này, tính tổng chuỗi số Chuỗi Fourier giá trị mặt lí thuyết mà có ứng dụng to lớn vào lĩnh vực nghiên cứu khoa học khác thực tiễn: Khi giải phơng trình đạo hàm riêng, việc áp dụng lí thuyết Fourier khai triển Fourier có tầm quan trọng bản; cho phép với điều kiện định đa việc giải phơng trình vi phân thờng Lí thuyết chuỗi Fourier( nhânDirichlet; nhân Fejer ) công cụ nghiên cøu lÝ thuyÕt xÊp xØ LÝ thuyÕt Fourier, khai triÓn Fourier dùng để biểu diễn tợng tuần hoàn học, vật lí, kĩ thuật điện Khoá luận nhằm tìm hiểu việc khai triển hàm tuần hoàn hàm thành chuỗi lợng giác ứng dụng chuỗi Fourier vào việc giải phơng trình đạo hàm riêng Nội dung khoá luận: Chơng Kiến thức chuẩn bị Chơng Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier Chơng ứng dụng Chơng Kiến thức chuẩn bị 1.1 Chuỗi lợng giác 1.1.1 Khái niệm chuỗi lợng giác Chuỗi hàm số cã d¹ng: a0 + a1 cosx + b1 sinx +… + an cosnx + bn sinnx+… ∀ x R n 1.Trong {an },{bn } hai dãy số thực, gọi chuỗi lợng giác Với n, hàm sè x U(x) = an cos(nx) + b nsin(nx) cã a R có chu kì đạo hàm cấp Nếu chuỗi lợng giác hội tụ đến hàm f(x) f(x) hàm số có chu kì R Các số an , bn gọi hệ số chuỗi a n ; bn Định lí 1.1 Nếu chuỗi số hội tụ tuyệt n =1 n =1 a0 đối + a n cos(nx) + b n sin(nx) chuỗi lợng giác: n=1 (1.1) hội tụ R tổng hàm số liên tục R Định lý 1.2.Nếu {an };{bn } hai dãy số dơng giảm đến không n Thì chuỗi lợng giác (1.1) hội tụ điểm x R\2kZ [ 0;2 ] 1.2 Chuỗi Fourier Định lý 1.5 Nếu chuỗi lợng giác (1.1) hội tụ a = ∫ f (x)dx π0 2π th× nã héi tụ đều1trên R có tổng f(x) a p = ∫ f (x)cos(px)dx Trong ®ã: π0 2π b p = ∫ f (x)sin(px)dx π0 1.2.1 Hµm sè liên tục khúc Hàm số f xác định [a;b] đợc gọi liên tục khúc tồn phép phân hoạch : a = x0< x1< < xn = b đoạn [a;b] có tính chất sau: Với i, hàm số f liên tục (xi-1 ;xi ), i = 1; 2; …; n Cã giới hạn phải hữu hạn xi-1 có giới hạn trái hữu hạn xi hay f liên tục tõng π ∞ khóc trªn a[a;b] nÕu chØ cã mét số hữu hạn + a n cos(nx) + b n sin(nx) điểm gián nđoạn =1 loại I, liên tục điểm lại đoạn 2π a = ∫ f (x)dx π0 2π a n = ∫ f (x)cos nxdx π0 2π b n = ∫ f (x)sin nxdx π0 …) (n = 1;2; Gọi chuỗi Fourier hàm số f víi a0 ; an ; bn lµ hƯ sè Fourier cña f π 2π α+ π 11.1 f hàm số tuần hoàn với chu kì NhËn xÐt a n = ∫ f (x)cos nxdx = ∫ f (x)cos nxdx π0 π α th×: 2π α+2 π (i) bn = (ii) ∫ f (x)sin nxdx = π0 π ∫ f (x)sin nxdx α NhËn xét 1.2 (i) Nếu f(x) hàm chẵn, chuỗi Fourier cđa f(x) cã d¹ng: a0 ∞ + ∑ a n cos nx n =1 (ii) NÕu f(x) lµ hµm lẻ, chuỗi Fourier f(x) có dạng: b sin nx n =1 n 1.3 Điều kiện để chuỗi Fourier hội tụ 1.3.1 Công thức Dirichlet Sn(x) tổng riêng thứ n chuỗi (1.1) Đặt Sn (x) =a n (a k cos kx + b k sin kx) Trong ®ã: a2k +=∑ k =1 (1.2) π ∫− π f (t)cos ktdt 2π 2n + Sn (x) = π sin z dz ∫− π f (x + z) z π 2sin ; bk = π ∫− π f (t)sin ktdt 2π 2n + sin z π dz Sn (x) = ∫ [ f (x + z) + f (x − z) ] z (1.3) 2π sin (1.2) (1.3) đợc gọi công thức Dirichlet 2n + sin z Hàm Dn (z) = đợc gọi nhân Dirichlet 2 sin z Bổ đề 1.1 Nếu khả tổng [a;b] b limmột (x)sin = Bỉ ®Ị 1.2(Bỉϕ ®Ị Rieman ) NÕu f hàmpxdx số liên p a tục khúc [a;b] b ;b lim f ( x) cos λxdx = lim f ( x) sin λxdx = Hệ bổ đề số tuần →∞Rieman NÕu f lµ λ →hµm ∞ a a hoµn với chu kì xác định R, liên tục khúc đoạn bị chặn an , bn hệ số chuỗi Fourier cđa hµm sè f lima = 0; lim bn = n n n thì: 1.3.2 Điều kiện Dini Nh ta biết hàm số liên tục khúc [0;2 ] giới hạn phải f(x + 0) = giới hạn trái lim f (x h) f(x - 0) = tồnhtại, hữu hạn điểm x f (x + h) [0;2 ] lim h →0 hay f(x + 0) = f(x 0) = f(x) trừ số hữu hạn điểm Ta có điều kiện Dini nh sau: Định lý1.6 Nếu f hàm khả tổng với x cố định, ta tìm đợc > cho tÝch ph©n : f (x + t) − f (x) (1.4) dt ∫ tån t¹i t − + −δ tổng riêng Sn (x) chuỗi Fourier f hội tụ điểm x tới f(x) f(x) với x thuộc R 1.4 Đẳng thức Parseval Giả sử f: R R hàm tuần hoàn chu kì , thoả mãn a0 ®Þnh lý Dini Khi ®ã f(x) =+ ∑ (a n cosnx + b n sinnx) (*) trõ 2 n=1 π nh÷ng a 1∞ 2 → 2π −∫π f (x)dx = + ∑n=1 (a n + bn ) điểm gián đoạn loại I f(x) (1.6) (1.6) _ gọi đẳng thức Parseval 1.5 Định lý Fejer kì đờng Bổ đề 1.3 f hàm tuần hoàn với chu thẳng a cách chuỗi Hàm đợc xác định + (a n cosnx + b nsinnx) Fourier: n =1 1.5.1 Nh©n Fejer k a (x) +hµm S1 (x) +f: + Sn −1 (x) Sk (x)_ tổng chuỗi FourierScủa o + (ariªng cosjx + b sin jx) = j j Sk (x) = ; σ n(x) j=1 n σ n(x) đợc gọi tổng Fejer hàm f nz sin ÷ π f (x + z)dz σ n (x) = ∫ z÷ 2n nhân Fejer) sin ữ (gọi 1.5.2 Tính chất nhân Fejer n (z) → → π (i) n ∞ Φ n (z)dz = ∫ (ii) −π (iii) Víi−δ ∀δ > 0, cố định ta có: n (z)dz = Φ (z)dz =η ( δ ) →0 n n n 1.5.3 Định lí Fejer Nếu f hàm liên tục với chu kì n dãy tổng Fejer hội tụ tới f toàn trục số { } Chơng Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier 2.1 Khai triển hàm số tuần hoàn Hàm f tuần hoàn chu kì a+2 b+2 2π π NhËn xÐt 2.1 = f (x)dx ⇒ ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx ∫a f (x)dx NhËn xét 2.2 Nếu b f(x) tuần hoàn chu kì 2m, thoả mãn định m lý Dini [-m;m] b»ng phÐp ®ỉi x ' biÕn: = x ⇒ x = x' m π m x' x′ x′ π Ta cã: f(x) = f( ) = F( ) F( ) lµ mét hµm sè π hoµn chu [ − ; ] tuần m kì x2' , thoả mãn định lý Dini , nên khai a0 nπx nπx triÓna f(x) = + ∑ (a n cosnx '+ b nsinnx ') = + ∑ (a n cos + b nsin ) m m n =1 f( ) 2thành chuỗi cú dạng:2 n =1 Trong đó: 1π πx m a = ∫ F(x ')dx ' = ∫ f (x)d = ∫ f (x)dx π −π π −π m m −m 1π 1m nπx πx m nπx a n = ∫ F(x ')cos nx 'dx ' = ∫ f (x)cos d = ∫ f (x)cos dx π −π π −m m m m −m m 1π 1m nπx πx m nπx b n = ∫ F(x ')sinnx 'dx ' = ∫ f (x)sin d = ∫ f (x)sin dx −π m m m m −m m 2.2 KhaiπtriĨn mét hµmπ −sè bÊt kỳ Giả sử f(x) thoả mãn điều kiện định lý Dini [a;b], để khai triển hàm f(x) thành chuỗi Fourier, ta xây dựng hàm tuần hoàn g(x) có chu kì lớn (b - a) cho: g(x) = f(x) ∀ x [a;b] ∈ cã thể khai triển thành chuỗi Nếu hàm số g(x) Fourier tổng chuỗi f(x) điểm [a;b], trừ điểm gián đoạn loại I f(x) Có nhiều cách xây dựng hàm f(x) nh vậy.Với hàm g(x), có chuỗi Fourier tơng ứng Do có nhiều chuỗi Fourier biểu diễn hàm f(x) Nếu g(x) chẵn chuỗi Fourier gồm hàm cosin, hàm g(x) lẻ chuỗi Fourier gồm hàm số sin x VÝ dơ 2.6 Khai triĨn − 2thµnh π Fourier chuỗi hàm số f(x) ( −1) n ∞ ; ;∑ ∑ ∑ n = n =1 n n =1 n2 n = tuần hoàn chu kì ;f(x) với - x Từ tính giá trị chuỗi: a0 + a n cos nx n =1 Giải: 2π π x2 π x3 π = ∫ ftho¶ (x)dx =m·n − ®iỊu dx = kiƯn x |0 − định |0 = lý = Hàm số af(x) ∫ ÷ π0 π 0 π π π 3 Dini, f(x) lµ π 2 π x 2π 2π = f (x)cosnxdx =chuỗi cosnxdx x cosnxdx Fourier ữcosnxdx = có hàma nchẵn nên d¹ng: ∫ ∫ π0 π 0 π π0 π Trong ®ã: 4 =− n 2π n +1 cosn π = ( − 1) n π2 ∞ n +1 + ∑ (−= 1) cos nx Vậy chuỗi Fourier f(x): 2 n =1 n Đặc biệt: n +1 n +1 + ( − 1) = − = ⇒ ( − 1) = ∑ ∑ 2 +) Khi x = 0: n =1 nπ π n π2 n =1 ∞ ∑ ⇒ n =1 ( − 1) n n2 π2 =− 12 ∞ ∞ π2 π2 +)Khi xπ= + ∑ : 2 = 1− = ⇒ ∑ = n =1 n π π n =1 n x2 +) ¸p dơng c«ng thøc Parseval 1− víi:2 f(x) = π π ∞ a ta cã: f (x)dx = + (a + b ) ∫ 2π − π ∑ n =1 n n 16 x π x3 π x5 π | = ⇒ + ∑ 4 = ∫ 1 − ÷ dx = x |−π − |−π + −π 15 n =1 n π 2π −π π 2π π 3π 2π 5x π ∞ ⇒ π4 ∞ 8 π4 = − = ⇒∑ = ∑ 15 90 90 n =1 n n =1 n ∞ Ch¬ng ứng dụng 3.1 ứng dụng khai triển Fourier giải toán Dirichlet hình tròn 3.1.1 Bài toán Dirichlet hình tròn đơn vị R2, cho hình tròn S O1 _ tâm O bán kính đơn vị u = Xét toán Dirichlet hình tròn (3.1) ∂ 2u ∂ 2u U S1 = f (s) ∆ u = + víi (3.2) 2 x y hàm liên tục, tuần hoàn với chu kì S độ f C dài cung đờng tròn tính từ điểm cố định f (s) = f (s + 2π);f (0) = f (2π) chun ph¬ng trình (3.2) ph ơng 1 u = U xx + U yy = U ρρ + U + U = trình Laplacetrong toạ độ cùc: x = ρ cos ϕ ≤ ρ ≤1 Bằng cách đặt y = sin ϕ ϕ ∈ [ 0; 2π ] VËy U(ρ, ϕ) = a + ∑ (a n cos(nϕ) + b n sin(n) n =1 Dirichlet hình tròn đơn Là nghiệm bài2toán vị f () cú trin thành chuỗi Fourier 2π Khi ®ã = ∫ f (ϕ)d(ϕ) a 2π 2π π0 1 = ∫ f (ϕ)d(ϕ)sin(nϕ)d(ϕ) a n = π ∫ f (ϕ)d(ϕ) cos(nϕ)d(ϕ) b n tròn toán Dirichlet hình 3.1.2 Bài có bán kính u = Xét toán : (a > 0) = f (s) U S (3.3) U :ρ = a = f ( x ) ; U x + y = a = f ( x ) Điều kiện biên kí hiệu tìm nghiệm toán (3.3) dùng phép đổi Để = a biến: đa toán Dirichlet hình tròn đơn vị a +(3.3): Nghiệm 1; ; toán (a n cos(nϕ) + b n sin(nϕ))ρ1n ∑ n =1 U( )= suy ρ ;ϕ U( a0 ∞ a n bn + ∑ n cos nϕ + n sin nϕ ρ n )= n =1 a a 3.2 øng dơng khai triĨn Fourier gi¶i toán hỗn hợp phơng trình Hypebolic x ≤ 1;0 ≤ t ≤ T} { Trong miÒn Q = 3.2.1 Xét toán phơng trình dao động ucó 2cuỡng bức: sợi dây không = t x U(x;0) = ϕ0 (x) U (x;0) = ϕ (x) t U(0;t) = U(l;t) = (3.4) (3.5) (3.6) (3.7) kπ kπ kπ U k (x;t) = X k Tt = sin x A k cos t + Bk sin t l l l toán l ϕ0 (x); ϕ1 (x) NÕu ; Ak,Bk l nghiệm [ 0;l] khai triÓn thành chuỗi Fourier đợc xác định nh sau: kπ Ak = ϕ0 (x)sin xdx ∫ l0 l l 2l kπ Bk = ϕ1 (x)sin xdx ∫ kπ l 3.2.2 Bài toán hỗn hợp trình dao đối ∂ u víi ph ∂ 2¬ng u = + g(x;t) ∂t 2 (3.8) ®éng cđa ∂ x d©y cã cìng bøc ϕ0 (x) (3.9) 0≤x≤l U(x;0) = U (x;0) = Xét toán hỗn hỵp: ϕ1 (x) ≤ t ≤ T (3.10) t U(0;t) = U(l;t) = (3.11) U tt = U Ux U(x;0) = ϕ (x) Xét toán (1*): cách giải 3.2.1 U t(x;0) = ϕ1 (x) U(0;t) = U(l;t) = Xét toán (2*) U tt = U xx + g(x;t) U t (x;0) = U(x;0) = 0; U(0;t) = U(l;t) = o Nghiệm toán (2*): (3.12) (3.13) (3.14) k U k (x;t) = X(x)T(t) = ∑ Tk (t) sin x l l g(x; t) cã khai triÓn Fourier theok =hàm sin cú dạng : g(t) = k g k (t)sin x Tìm Tk (t): l k =1 Tk (0) = l kπ l kπ Tk′′(t) + ( ) Tk (t) = g k (t) = ∫ g(x;t)sin xdx Tk′ (0) = nghiệm toán (2*): U (x; t) l l0 l Suy nghiệm toán là: U(x; t) = U1 (x; t) + U2 (x; t) ∞ 3.3 ng dụng khai triển Fourier giải toán toán phơng trình truyền nhiệt (x;t) R : ≤ x ≤ l;0 ≤ t ≤ T Trong miền Q = { } Xét toán hỗn hợp phơng trình truyền nhiệt dạng : U t = a U xx ϕ∈ C2 ϕ(0) = ϕ(l) = U(x;0) = ϕ(x) U(0;t) = U(l;t) = akπ ∞ −( ) t k Nghiệm toán:U(x;t) = l A k sin( x)e ∑ l k =1 (3.15) (3.16) (3.17) cã khai triĨn Fourier th×: l kπ A k = O, bán (x)sin xdxa (x;y) kính Ví (x) dụ 3.1 Cho hình tròn tâm l0 l toạ độ Đêcac; toạ độ cực Tìm nghiệm toán Dirichlet ρ ;ϕ ) ®èi (víi ρ ∆u = phơng trình Laplace Đặt x = cos suy U ρ=a = A + By ρ f (ϕ) = A + B sin ϕ a a y = ρ sin ϕ a A Nghiệm toán có dạng: U(; ϕ) = + ∑ ρn (A n cos(nϕ) + Bn sin(nϕ)) n =1 2π 2π 2π 1 Bρ Bρ A = ∫ f (ϕ)dϕ = (A + sin ϕ)dϕ = A ∫ dϕ + ∫ sin ϕdϕ π0 π a π πa 2π 1 A n = n ∫ f (ϕ)cos(nϕ)dϕ = n πa πa 2π 2π ∫ Bρ Aϕ 02 π=+ cos ϕ 02 π = 2A π aπ Bρ (A + sin ϕ)cos(nϕ)dϕ a 2π 1 Bρ Bn = n ∫ f (ϕ)sin(nϕ)dϕ = n ∫ (A + sin ϕ)sin(nϕ)dϕ πa πa a = 2π Bρ Khi n=1: cos(n + 1) ϕ − cos(n − 1)ϕ] dϕ n +1 ∫ [ 2a π Khi 2π Bρ Bρ π Bρ B = d ϕ = ϕ0 = 2 ∫ VËy nghiệm toán Dirichlet: 2a 2a a n ≠1 Bn = Bρ Bρ2 U(ρ; ϕ) = A + ρ sin ϕ = A + sin a a =0 Kết luận ưKhoáưluậnưnàyưnhằmưtìmưhiểuưmộtưsốưvấnư đềưvềưlíưthuyếtưchuỗiưFourierưvàưứngưdụngư củaưnó ưưưưưưưNhữngưnộiưdungưchínhưcủaưkhoáưluậnưcóư thểưtómưtắtưnhưưsau:ư 1.ưTìmưhiểuưvềưlýưthuyếtưchuỗiưFourierư(điềuư kiệnưhộiưtụ,ưđẳngưthứcưPaseval,ưđịnhưlýư Fejer) 2.KhaiưtriểnưhàmưsốưthànhưchuỗiưFourierư 3.ứngưdụng: 3.1 .ưứngưdụngưkhaiưtriểnưFourierưgiảiưbàiưtoánư Dirichletưtrongưhìnhưtròn.ư 3.2.ứngưdụngưFourierưgiảiưbàiưtoánưhỗnưhợpưcủaư phươngưtrìnhưHypebolic 3.3.ưứngưdụngưFourierưgiảiưbàiưtoánưtoánưđốiưvớiư Emưchânưthànhưcảmươnưcácưthầyưgiáo,ưcôưgiáoư trongư khoaưkhoaưhọcưtựưnhiên;ưcácưbạnưsinhưviênưlớpư K6a_ĐHSPưtoánưđãưgiúpưđỡưưemưtậnưtìnhưtrongưquáư trìnhưnghiênưcứu.ưĐặcưbiệt,ưemưchânưthànhưbàyư tỏưlòng cảmươnưsâuưsắcưđếnưthầyưgiáoưMaiưXuânưThảo_ư ngườiư đãưtrựcưtiếpưhướngưdẫnưemưhoànưthànhưkhoáưluậnư ưưưưưEmưxinưchânưthànhưcảmươnưư ... có chuỗi Fourier tơng ứng Do có nhiều chuỗi Fourier biểu diễn hàm f(x) Nếu g(x) chẵn chuỗi Fourier gồm hàm cosin, hàm g(x) lẻ chuỗi Fourier gồm hàm số sin x VÝ dơ 2.6 Khai triĨn − 2thµnh π Fourier. .. số thành chuỗi lợng giác_ chuỗi Fourier Không với hàm tuần hoàn mà hàm số bất kì.Thông qua khai triển này, tính tổng chuỗi số Chuỗi Fourier giá trị mặt lí thuyết mà có ứng dụng to lớn vào lĩnh... Kết luận ưKhoá luận nàyưnhằmưtìmưhiểuưmộtưsốưvấnư đềưvềưlíưthuyết chuỗi Fourier và ứng dụng củaưnó ưưưưưưưNhữngưnộiưdungưchínhưcủaưkhoá luận cóư thểưtómưtắtưnhưưsau:ư 1.ưTìmưhiểuưvềưlýưthuyết chuỗi Fourier (điềuư